椭圆及其标准方程（讲义）-高二数学上册人教A版选择性

第一节椭圆及其标准方程

1.桶圆的定义

(1)椭圆定义：平面内与两个定点的又、F2的距离之和等大于常数(IF1F2I)的点的轨迹叫

作椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫作椭圆的焦距，焦距的一半叫作半焦

距.

(2)椭圆定义的集合语言表示：P={M||MFJ+|MF2|=2a,2a>|^^2|>0}

注意事项：定义中条件2a>IF1F2I>0不能少，这是根据三角形中的两边之和大于第三边得

出来的.否则：①当2a=IF/2I时，其轨迹为线段F1F2；②当2aVIF/2I时，其轨迹不存在.

2,椭圆标准方程的推导：

(1)怎样建立适当的直角坐标系？

以经过点E、F2的直线为x轴，线段FF2的垂直平分为y轴建立直角坐标系xOy，如图1.

⑵椭圆可以看作是哪些点的集合？用坐标如何表示？y

设点M(x,y)是椭圆上任一点，椭圆的焦距为2c(c>0).

焦点用、Fz的坐标分别是(c,0),(c,0)，又设M与Fi、F2的-0rg

距离的和等于常数2a.

由椭圆的定义，椭圆就是集合P={MHMFJ+|MF2|=2a}佟］

22

因为|MFJ=J(x+c)2+y2,|MF2|=yj(x-c)4-y

所以J(x+c)z+y2+J(x-c)2+yz=2a

PJ(x+c)2+y2=2a-y/(x—c)24-y2,

两边平方得(x+c)2+y2=4a—4aJ(x—c)2+寸+(x—c)2+y2

整理可得：a7(x—c)2+y2=a2—ex,再平方整理得(a?—。2)/十02y2=。2(。2一/)

两边同时除以Q2(Q2一。2),得名+“二7=1

考虑a>C〉0,应有Q2—c2>0,故设炉=02—2,所以捺+卷=1

第一定义平面内一动点P与两定点R、Fz距离之和为常数(大于|FEI)的点航迹

/隹占八、、焦点在X轴上焦点在y轴上

y由

图形

w

2z222

x乙yyx

标准方程-y+7-7=1,a>b>0--=la>b>0

a2-+f

范围aWxWa且bWy这bbWxWt^aWyWa

A1(a,0),A2(a,0),A1(0,a),A(0,a),

顶点2

Bi(0,b),B2(0,b)Bi(b,0),B2(b,0)

轴长长轴长二2a,短轴长二2b,焦距二I&F2I=2c“2=a2b2

隹占

/八、、Fi(c,0).F2(C,0)Fi(0,c)、F2(0,C)

c1~b^

离心率e=—=1----T(0<e<1)

(1JQ/

4.求椭圆的标准方程

(1)定义法：根据椭圆定义，确定a：b?的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆方程.

(2)待定系数法：根据椭圆焦点是在x轴还是y轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条

件列出a,b,c的方程组，解出a?,b?,从而求得标准方程.

注意：

①如果椭圆的焦点位置不能确定，可设方程为Ax2iDy2=1(A>0,B>0,A#=B).因为它包括焦

点在x轴上或焦点在y轴上的两类情况，所以可以避免分类讨论.

2222

②与椭圆上+匕=1■共焦点的#有圆可设为三—I-=1(k>m,k>n,m=/=n)

mnm+kn+k

5.求动点枕迹方程常见的方法

(1)定义法：若动点的轨迹特点符合某一基本轨迹(如椭圆、圆等)的定义，则可用定义法

求解.

(2)直接法:将动点满足的几何条件或等量关系直接坐标化，列出等式后化简，得出动点的

轨迹方程.

(3)相关点法：根据相关点所满足的方程，通过转换求出动点的轨迹方程.当题目中所求动

点和已知动点存在明显关系时，一般利用相关点方法求解.

►基础点1:椭圆的定义与方程

对椭圆定义的三点说明：

(1)椭圆是在平面内定义的，所以“平面内”这一条件不能忽视.

(2)定义中到两定点的距离之和是常数，而不能是变量.

⑶常数(2a)必须大于两定点间的距离，否则轨迹不是椭圆，这是判断一曲线是否为椭圆的

限制条件.

[1]已知点A(1,0),B(1,0),动点P(x,y)满足|P川+|PB|=2,则动点P的轨迹是()

A.椭圆B.直线C.线段D.圆

【2】平面内，Ft,F2是两个定点，“动点M满足IMF/+IMF2I为常数”是“M的轨迹是椭圆”

的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

[3]已知点瞬(3,0)，(3,0),有|P&+|P引=6,则点P的轨迹是()

A.椭圆B.直线C.线段D.圆

【4】如果点P(x,y)在运动过程中，总满足关系式J(x+4)2+y2+J(x-4)2+y2=10,那

么点P的轨迹为()

A.线段B.直线C.椭圆D.圆

[5]已知椭圆C:互+'=1的两个焦点分别为3,F2,点M为椭圆C上一点,则IMFJ+IMF2I=

3625

[6]椭圆^+丫？=1上一点p到一个焦点的距离为2,则P到另一个焦点的距离为____.

25

22

[7]已知F”F?分别是椭圆E:土+匕=1的左、右焦点，P是椭圆E上一点，若IP&I=2，则

95

飓|=()

A.1B.2C.3D.4

[8](多选)设定点R(0,2),F2(0,2),动点P满足IPF/+IPF2I=Q+：(Q>0),则点P的

轨迹可能是()

A.圆B.线段C.椭圆D.直线

【9】如图，把椭圆过+乃=1的长轴AB分成10等份，过每个分点作x轴的垂线分别交椭圆的上

43

半部分于点P/2,…,Pe,F是左焦点，则IPF/+IPF2I+…+|P&I=()

A.16B.18C.20D.22

►基础点2:椭圆标准方程的理解

22

对于方程上+匕=1表示椭圆的充要条件为：m>0,n>0,m#=n;

mn

当m>ri>0时，方程表示焦点在x轴上的椭圆；当n>m>0时，方程表示在y轴上的椭圆.

特别地，当m=n>0时，方程表示圆心在原点的圆

[10]以下方程表示椭圆的是（）

A.-+^=1B.2x23y2=1C.2x23y2=1D.m+?-=1

[11]已知条件p：mn>0,条件q:上+匕=1表示一个椭圆，则p是q的（）

mn

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

[12]已知曲线0:亡+上=1,则“a>0”是“曲线C是椭圆”的（）

4a3a+2

A.充要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

[13]设p:mx2+nyJl表示的是椭圆；q:m>0,n>0，则p是q成立的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

[14]已知方程工+>=1表示焦点在x轴上的椭鼠则实数k的取值范围为（）

k+53-k

A.（-00,-1）u（3,+8）B.（-00,-1）

C.（-1,3）D.（3,+8）

【15】如果方程9+2—=1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数a的取值范围是（）

aza+6

A.a>3B.a<2

C.a>3或a<2D.2<a<3且a^O

[16]（多选）若方程工+工=1所表示的曲线为C,则下面四个说法中正确的是（）

3—£t—1

A.曲线C可能是圆

B.若1<t<3,则C为椭圆

C.若C为椭圆，且焦点在X轴上，则2<t<3

D.若C为椭圆，且焦点在y轴上，则2<t<3

[17]曲线[+[=1与，7+为=1(0v/cv9)的关系是()

A.有相等的焦距，相同的焦点B.有不等的焦距，相同的焦点

C.有不等的焦距，不同的焦点D.有相等的焦距，不同的焦点

►基础点3:求椭圆的标准方程

求椭圆的标准方程的方法：

(1)定义法：根据椭圆定义，确定a；b?的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆方程.

(2)待定系数法：根据椭圆焦点是在x轴还是y轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条

件列出a,b,c的方程组，解出a2,b2,从而求得标准方程.注意：

①如果椭圆的焦点位置不能确定，可设方程为Ax2+ByJl(A>0,B>0,A手B).因为它包括焦点

在x轴上或焦点在y轴上的两类情况，所以可以避免分类讨论.

②与椭圆土+匕=1共焦点的椭圆可设为三--1-2—=1(k>m,k>n,m#=n)

mnm+kn+k

[18]已知椭圆的两个焦点的坐标分别是(4,0),(4,0),椭圆上一点P到两焦点的距离的和

等于10,求椭圆的标准方程.

[19]已知椭圆两焦点的坐标分别是(2,0),(2,0),并且经过点求该椭圆的标准方

程.

[20]已知椭圆的焦点在y轴上，焦距为2g，且经过点(0,4),求该椭圆的标准方程.

[21]已知椭圆C的焦点在坐标轴上，且经过A（一通,一2）和B（-2遮,1）两点，求该椭圆的标

准方程.

[22]已知椭圆的焦距为4,且经过点（芯,0）,求该椭圆的标准方程.

22

[23]已知桶圆过点Q（2&,1）,且与椭圆£+?=1有公共的焦点，求该椭圆的标准方程.

22

[24]求过点（通,一次），且与椭圆上+匕=1有相同的焦点的椭圆标准方程.

259

[25]已知椭圆E的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过A（2,0）,B（2,0）,C

三点，求椭圆E的标准方程.

►》重点题型专练V・

题型1:椭圆中距离的最值转化

［26］已知椭圆C:/+>=1的左、右焦点分别为Fi,Fz,A是C上一点，点B(2,1),则分B|+

95

|AFJ的最大值为()

A.7B.8C.9D.11

【27］已知椭圆C卷+?=1的左焦点为F,P为C上的动点，点A(1,2灰)，则|PF|一|PA|的

最大值为()

A.6-V2B.2\[2C.3D.3+企

［28］已知椭圆C:江+艺=1的左、右焦点为F2,M是椭圆C上一动点，直线I:y=k(x1)

43

+2经过的定点为N，则|MF』一|MN|的最大值为()

A.V2B.2C.2V2D.6

【］已知椭噌+的左焦点为

29”1F,若A、B是椭圆上两动点，且AB垂直于x轴,

则4ABF周长的最大值为.

［30］已知椭圆次+==1的右焦点为F,P是椭圆上一点，点A(0,2V3)，则4APF的

95

周长的最大值为()

A.6B.8C.12D.14

[31]已知椭圆?+?=1的右焦点为FP是椭圆上一点，点A(0,2V3)，则4APF的

周长的最大时，直线AP的方程是

［32］已知P是椭圆斗+4=1上一动点，。是圆a+2)2+丫2=1上一动点，点乂(5,4),则

1612

|PQ|一|PM|的最大值为()

A.3B.4C.5D.6

222

【33］已知F是椭圆C:土+匕=1的左焦点，点M在C上，N在。P:x2+(y-3)=1

43

上,则|MF|一|MN|的最大值是()

A.2B.710-1C.V13-1D.V13+1

【34】已知点P是椭圆卷+”=1上一动点，Q是圆(x+3)2+y2=l上一动点，点N(5,75),

则|PQ|一|PM|的最大值为

[35]已知椭圆C:亡+”=1左、右焦点分别为F2,M为椭圆C上任意一点，N为圆

43

E:(x—3尸+(y—2/=1上任意一点，则|MN|一|MF"的最小值为

[36]已知F,(2,0),F2(2,0)，动点P满足|PF』+|PF2|=6,若A(1,1),则|PA|+|PFj

的范围为.

[37]已知F(1,0)为椭圆9+?=1的焦点，P为椭圆上一动点，A(1,1),则|PA|+|PF|的最小

值为()

A.6—V5B.1C.6—2y/5D.6—V3

【38】已知椭圆方程江+g=1,F是其左焦点，点A(1,1)是椭圆内一点，点P是椭圆上任意

43

一点，若|PA|+|PF|的最大值为A”，最小值为Dw,那么Dnax+DBin=

[39]已知F是椭圆C:大+y2=i的左焦点，乂是椭圆c上任意一点，Q是圆E:x:+y2-

9

4\Z"2x—10y+32=0任意一点，则|MQ|—|MF|的最小值为()

A.-4B.-3C.-2D.-1

[40]设实数x,y满足2+匕=1,则“2+y2_2y+]++y2-2%+1的最小值为

()

A.2V2B.2V5-2C.2V5-V2D.前三个答案都不对

题型2：与椭圆有关的轨迹问题

1.求动点枕迹方程常见的方法

(1)定义法：若动点的轨迹特点符合某一基本轨迹(如椭圆、圆等)的定义，则可用定义法

求解.

(2)直接法:n多动点满足的几何条件或等量关系直接坐标化，列出等式后化简，得出动点的

轨迹方程.

(3)相关点法：根据相关点所满足的方程，通过转换求出动点的轨迹方程.当题目中所求动

点和已知动点存在明显关系时，一般利用相关点方法求解.

[41]已知动圆过点A(3,0),并且在圆B:(x-3)2+y2=100的内部与其相切，则动圆圆