新疆喀什市2025-2026学年高二年级上册期中测试数学试卷（解析版）

新疆喀什市2025-2026学年高二上学期期中测试数学试卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合要求的.

1.下列关于空间向量的说法正确的是（）

A.空间中任意两个单位向最都相等

B.空间中零向量的方向是确定的

C.空间中相反向量的模长相等

D.空间中共线的向量必在同一条直线上

【答案】C

【解析】相等向量是指长度相等，方向相同的向量，单位向量只是说明了长度，并未指明

方向，故A错误；

零向量的方向是任意的，故B错误；

相反向量是指方向相反，长度相等的向量，故C正确；

由于向量可以平移，所以共线向量不一定在一条直线上，故D错误.

故选：C.

2.已知点A（3,-l,0）,若向量AB=（2,5,-3）,则点8的坐标是（）

A.(5,4,-3)B.(1,-6,3)

C.(-1,6,-3)D.(2,5,-3)

【答案】A

【解析】设B(x,)，,z),因为A(3,—l,0),且48=(2,5,-3),

x-3=2x=5

则，y+l=5所以，y=4,即8(5,4,-3).

z=-3z=-3

故选:A.

3.设q,6是空间两个不共线的非零向量，已知4g=2^+&e；,AC=q+3e；，

力C=2q—4，且A、B、D三点共线,则实数攵的值为（）

A.-2B.-4C.-6D.一8

【答案】D

【解析】因为=+==（。+34）-（24-/）=-e,+4e2.

因为A、B、。三点共线，所以A8//8。.

故选：D.

4.已知两点42,3)1(4,5),则直线AN的斜率为()

A.gB.-1C.2D.1

【答案】D

【解析】由题意知42,3),8(45),

则直线A5的斜率为广三二1,

4-2

故选：D.

5.直线/过点P(l,2),且倾斜角为擀，则下列方程中能表示直线/的是()

A.y-2=x-\B.y=2

C.x=lD.y-2=0x(x-l)

【答案】C

【解析】直线/过点P(l,2),且倾斜角为5，

所以直线/的方程为x=l.

故选：C.

6.已知直线4经过A(—3,4),8(—8,—1)两点，直线的倾斜角为135，那么乙与4

()

A.垂直B.平行

C.重合D.相交但不垂直

【答案】A

-1-4

［解析］由题意4=工:诲=tanl350=一］,

所以4.&2=T，

所以

故选:A.

7.圆的方程为3)2+()，+2)2=5,则该圆的圆心与半径分别是()

A.圆心(3,-2),半径有B.圆心(-3,2),半径石

C.圆心(3,-2),半径5D.圆心(-3,2),半径5

【答案】A

【解析】由题意知圆的标准方程为(X—3)2+(>+2)2=5,

则该圆的圆心与半径分别是（3,-2）、6，

故选：A.

8.若方程F+y2_2奴+2-+2/+。+1=0表示圆，则实数。的取值范围是（）

A.(-l,+oo)B.(f,T]

C.(-oo,-l)D.[T,4W)

【答案】C

[解析】因为方程f+V-lax+2。），+2〃2+。+1=0,

可变形为（x—a『+（y+4=一〃_[,

由题知一。一1＞0,得到〃＜一1,

故选：C.

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有

多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分.

9.已知空间向量〃=（1,23）,=（2,1,0）,则下列计算正确的是（）

A.tz-Z?=1x24-2x1+3x0=4B.|cz|=V12+22+32=Vi'4

【答案】ABC

【解析】对于A,由向量的数量积坐标运算得。2=1X2+2X1+3X0=4,故A正确；

对于B，因为同=4+2?+3?=旧，故B正确；

对于C,由题意，/?|=V22+12+O-=V5,所以c°s"而■=而二后，故C正

确；

对于D,由4.0=4/0，所以“与人不垂直，故D错误.

故选：ABC.

io.已知直线4：工+〃y-〃=o和直线6：办一（2〃-3）），-1=。，下列说法正确的是（）

A.4始终过定点（If）

B.若/]〃，2，则4=1

C.若/*2,则4=0或2

D.当。＞0时，4始终不过第三象限

【答案】ACD

【解析】小心-2»，)+3尸1=0过定点(|g),故选项A正确；

当a=l时，重合，故选项B错误；

由lx4+ax(3-2a)=0.得a=0或2,故选项C正确；

当。>0时，4：y=-'x+i始终过(0J),斜率为负，不会过第三象限，故选项D正确.

a

故选：ACD.

11.已知圆。：(工一〃)2+()，-1)2=44的半径为2,则下列说法正确的是()

A.a=\

B.点(1,4)在圆C的外部

C.圆心C的坐标为(1,1)

D.当直线〃氏十y一2=0平分圆C的周长时，m=-\

【答案】ABC

【解析】选项A：因为圆。:(不一々)2+()，-1)2=44的半径为2,

所以/*2=4〃=4,解得。=1,则圆C:(x—l)2+(y—1)2=4,故A正确；

选项B：将(1,4)代入圆C方程可得(1一+(4-1『=9>4,

所以点(1.4)在圆。的外部，故B正确：

选项C：圆心坐标为(1,1),故C正确；

选项D：因为直线〃a+)-2=0平分圆C的周长，

所以直线〃认+)，-2=。过圆心(1,1),则〃?—1=0,解得〃?=1,故D错误.

故选：ABC.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.第12题第一空3分，第二空2分.

12.直线方程为=则该直线在x轴上的截距为,在)，轴上的截距为.

【答案】①.4©.-3

【解析】直线二一上二1的截距式方程为：-+^-=1.

434-3

所以直线在x轴上的截距为4,在丁轴上的截距为-3.

故答案为:4；-3.

13.求两平行线乙：2.r-3y+1=0与〃：4工一6,，-5=0的距离为.

【答案】

26

R祥解H根据平行线间距离公式即可求解.

【解析】Zl:2x-3y+l=0,

即4x-6y+2=0与4：4工一6)，-5=0的距离为

故答案为：乂叵.

26

14.在空间向量中，能作为基底的一组向量是______.

仆；

®d=q+6，b=4+c=e}-e3

②a二(l,1,0),=(1,0,1),c=(O,lJ)；

③d=(2,2,0),Z；=(1,0,1),6=(0,1,1).

【答案】②③

【解析】对于①：c=q-6=4+4-(6+%)=。一人，

所以出4c共面，不能作为空间向量中的基底，故①错误；

对于②：假设4,4C共面，则存在实数X,F，使得C=m+)协，

0=x+y

则(o,i,i)=Mi[,o)+y(LQi)，即，1=工,显然不成立，

[i=y

此方程无解，所以出〃,C不共面，可以作为基底，故②正确；

对于③：假设。泊,C共面，则存在实数X,)，，使得C=w+)协，

0=2x+y

则(0,l』)=x(2,2,0)+y(l,0,l),即1=2工，显然不成立，

J=y

此方程无解，所以4,“C不共面，可以作为基底，故③正确；

故答案为：②③

四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步

骤.

15.已知VABC的顶点分别为42,2),B(4,-2),C(-6,2).

(1)求4c边的中线所在直线的方程；

(2)求8c边的垂直平分线所在直线的方程.

解：(1)设中点的坐标为。(不),%)，则/==一=-1,%=二3—=0,

所以。(一1,0),

BC边中线过点42,2),。(一1,0)两点，

,2-02

所以

2

所以4。所在直线方程为y—0=§(x+l)，

即2x-3)，+2=0.

2-(-2)4_2

(2)因为8c斜率A=

-6-4IO--?

所以BC的垂直平分线的斜率k="

2

所以8c的垂直平分线所在直线的方程为y—0=|(x+l),

即5x-2y+5=0.

16.已知直线4：x+2y-4=0,/2：2x-y+3=0,/3：3x+4v-5=0.

(I)求4与4的交点〜的坐标；

(2)求点”到直线4的距离.

__2

x+2y-4=0故«|，卜

解：(1)由题设得方程组

2x-y+3=0

尸M

3X(_2]+4X【-5

(2)由点到直线的距离公式可得所求距高.I5)513.

a=-----:——/--------=——

7^7^25

17.已知正方体43co-A与GA的棱长为2.以。为原点,分别以DA.DC•力R为

X,y,Z轴建立空间直角坐标系.

(i)写出点A，B，G的坐标；

(2)求平面A8G的一个法向量；

(3)证明：直线AR//平面48G.

(1)解：根据题意，以。为原点，分别以OA，DC，DR为x,y,z轴建立空间直

角坐标系，如图，

且正方体ABCO-AACQI的校长为2,所以4(2,0,2),6(2,2,0),C.(0,2,2).

(2)解：因为4(2,0,2),5(220),C,(0,2,2),

所以48=((),2,—2),=(-2,2,0),设平面46G的法向量为”=(x,y,z),

/?•AB=02y-2z=()

所以,得《

n•AG=0-2x+2j=0

令X=l,所以y=z=l,所以平面43cl的一个法向冒:为(1,1,1).

(3)证明：由(1)可知"(0,0,2),4(2,0,0),所以A.=(-2,0,2),由⑵可

知，平面的法向量为方=(1,1,1),

所以方=0,所以AR_L〃，因A。金平面A]G，所以直线//平面4产弓.

18.如图所示在极长为1的正方形48c0—4qGA中，E为线段。。的中点,

(1)求点求到直线直七的距离;

(2)求点求到平面的距离.

解：（I）连接AE，RR,过点A作AGJ_瓦£于G,如图所示,

在直角三角形AE。中，AtE=

在直角三角形。蜴E中，B】E=

.直线A片1.平面AA。。，A七匚平面"。。.

A/1A|E,

S.»=—A.E-A.B.=—B.E'A,G

•AnA/7>i21।2Qf

/.Ag=BXE'\G

H13A「•A「一旧

..—x1=—A,G>..AG=—•

2213

故点A到直线B|E的距离为且.

3

（2）在正方体中，以。为原点，建立如图所示的空间直角坐标系,

A（l,0,0）,4（1，。，1），E（°，°，g），旦（1,1,1）.

/.?\A=（0,0,-l）,AB,=（0,1,1）,AE+1,0,；

设平面ABiE的一个法向量为：〃=（«/?,（?）.

1八

n•AE=0一〃+—(?=()z、

则〈・・，即《2,令c=2得〃=(l,—2,2).

=0/?+<?=0

AA•川22

「•点A到平面AB.E的距离为d=-r-j一=/、==T.

H"+（-2）2+223

19.如图，在四棱锥尸一43CD中，底面ABC。为正方形，/%_1_平面4次力,

PA=AB=2,M为P£＞的中点.

P

（1）求直线CM与平面P8O所成角的正弦值；

（2）求二面角3-P0-C的余弦值.

解：（I）因为A8CO是正方形，所以451AO.

又因为24_L平面A8CQ,以点A为坐标原点，AB、A。、AP所在直线分别为工、

＞、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系