新七年级数学专项提升：几何图形（解析版）

衔接点04几何图形

..R素养目标

小学阶段主要学习了常见的平面几何图形（三角形、四边形、圆）的周长与面积、立体图形（长、正

方体、圆柱、圆锥）的表面积与体积。培养的核心数学素养是学生的几何直观、空间观念和运算能力。

初中阶段较小学阶段在几何图形方面变化极大：不再是停留在建立图形的直观表象和对图形特征的研

究上，而要转入对其性质较为系统的研究。中学数学还要求进行数学证明，这对从来没有进行过数学证明

的学生来说，要掌握从论据推出结论的方法，来表明论据与结论之间必然的逻辑联系是有一定难度的。培

养的核心数学素养是学生的几何直观、抽象能力、推理能力等。

在初中几何中，随着变量和演绎推理证明等知识的进入，初中学生学习几何就需要提高相应的思维能

力，比如抽象思维，推理能力等等。难度提升，思维的层次也大为不同。如“三角形的内角和等于180。”

这个定理，小学教材中是由实验得出的。初中要强调说明不能满足于实验，而必须从理论上给予严格论证。

目录导航

题型探究

题型1、割补法求面积（一）平移与对称................................................3

题型2、割补法求面积（二）旋转..................................................................8

题型3、和差法求面积...........................................................................11

题型4、整体代换法...................................................................16

题型5、等积变换法求面积（体积）....................................................18

题型6、差不变思想（原理）.........................................................22

题型7、容斥原理（韦恩图）.........................................................24

题型8、平面图形的拼切重组问题（含翻折）............................................27

题型9、立体图形的拼切重组问题................................................................31

培优精练

A组（能力提升）...............................................................................37

B组（培优拓展）...............................................................................45

r.4知识梳理

1、基本公式

正方形：C=4。；S=axaa长方形：C=（a+Z?）x2；S=ab0平行四边形：S=ah＜）

三角形：S=ah+2。梯形：S=（a+/?）x〃+2。圆：C=7vd=2兀「\S=兀户.

正方体S&=axax6；V=axaxa长方体S表=（ab+ah+bh）x2；V=abh

圆柱体、圆锥体（〃:高：5：底面积；广底面半径）

圆柱侧面积：S=2〃〃/；圆柱表面积：5=2万广/?斗2万/；圆柱体积：V=Sh；圆锥体积：V=-Sh

3

2、求几何图形面积常见方法及运用：

1）割补法求面积（平移、对称、旋转等）；2）和差法求面积；3）等积变换（化线段比为面积比）；4）

运用整体思想；5）差不变；6）容斥原理（韦恩图）等。

公式法：所求面积的图形是规则图形，如扇形、特殊三角形、特殊四边形等，可直接利用公式计算。

割补法：就是从割和补两种不同角度认识同一个面积。还有的是从不同的舛度认识某个长方形面积的一半。

通过对面积问题的训练可以打开思维。特别是结合算两次的思想能让我们的思维理念得到很大提升。最后

我写了算两次解决面积问题，来诠释前面的理论。

和差法：所求面积的图形是不规则图形，可通过转化变成规则图形面积的和或差，这是求阴影部分面积最

常用的方法。

等积变换法：以线段比为对象运用两个面积比表示同一个面积比，有的是运用整体与局部思想整体由各个

局部合成。有的抓住面积不变，从两个不同的底和高来表示同一个三角形的面积或随便求出直角边的平方。

差不变思想（原理）：即利用等式的性质来求面积,若S，尸S乙,则S甲+S空白:S乙+S空白，S甲-S空白=5乙-5空白。

容斥原理：即重叠、分层思路，把图形中不规则的阴影部分看作几个规则图形用不同的方法重叠的结果，

利用分层把重叠部分分出来，组成重叠图形各个规则图形的面积总和减去分掉的那面积，就是剩卜所求那

部分面积。

，二▲题型探究

题型1、割补法求面积（一）平移与对称

【解题技巧】常见模型

例I.（23-24六年级•四川•期末）转化思想是解决问题的重要思想，它是将未知问题转化为已知知识和方法

来解决问题的一种策略，割补是解决图形问题的重要方法，我们推导平行四边形、梯形、圆等图形的面积

时都有用到，请用已学知识和方法来解决下面的问题吧。

如图1,若AQ=8厘米，BC=16厘米，求阴影部分的面积。

先在图2中画一画，涂一涂，再计算。若未使用转化、割补可直接计算。

图1图2

【答案】作图见详解；32平方厘米

【分析】将上边两块阴影部分可以割补到下边，拼成2个三角形，左边三角形的底和高都等于圆的半径，

右边三角形的底=8（2一圆的半径，右边三角形的高=圆的半径，根据三角形面积=底乂高：2,分别求出两

个三角形的面积，相加即可。

【详解】如图：8+2=4（厘米）4x4-2+（16-4）x4+2=8+12x4+2=8+24=32（平方厘米）

图2

答：阴影部分的面积是32平方厘米。

【点睛】熟练运用转化思想，通过图形割补将阴影部分的面积转化成两个三角形的面积和是解决本题关键。

例2.（23-24六年级下.江苏•课后作业）求涂色部分的面积。（单位：厘米）

【答案】48平方厘米

【分析】据图中可得：阴影部分面积由左右两侧的阴影部分面积，我们可以将左侧阴影部分移动到右侧半

圆左上方，可以拼接成一个底为8里面，高为6厘米的平行四边形。根据平行四边形面积二底x高得出答案。

【详解】如图：涂色面积为：8x6=48（平方厘米）

例3.（2022春•六年级统考期末i下图中阴影部分的面积是（）平方厘米。

【答案】8平方厘米

【分析】观察图形可知，小正方形部分阴影面积等于长方形空白处面枳，如下图：阴影部分面积等于长是

（2+2）厘米，宽是2厘米长方形面积；根据长方形面积公式：面积=长、宽，代入数据，即可解答。

2

【详解】（2+2）x2=4x2=8（平方厘米）

变式1.（23-24六年级下•辽宁•课后作业）已知正方形ABCD的面积为16平方厘米，你能结合我们学过的

图形运动求出涂色部分的面积吗？

【答案】6.28平方厘米

【分析】如图所示，以点。所在的水平直线为对称轴，可将下方的两个涂色部分通过轴对称变换到上方，

则涂色部分可转化为半个圆环。连接OA,OB得到三角形AOB,因为三角形AOB的面积=大圆的半径x

大圆的半径:2=Jx正方形ABCD的面积，据此求出大圆半径的平方；根据小圆的直径=正方形的边长求出

4

小圆的半径，利用半个圆环的面积=（大圆的面积一小圆的面积）-2,求出半个圆环的面积也就是涂色部

分的面积，据此解答。

【详解】把大圆的半径看作R在三角形AOB中，有;x*=16+41R2=4R?=8

正方形ABCD的面积为16平方厘米，则正方形ABCD边长为4厘米。

4-2=2（厘米），因此小圆的半径为2厘米。

3.14x（8-22）+2=3.l4x（8-4）+2=3.14x4+2=12.56+2=6.28（平方厘米）

答：涂色部分的面积是6.28平方厘米。

变式2.（23-24六年级•湖南•期中）求出阴影部分的面积和周长。

-3cm-----

【答案】面积9cm2；周长15.42cm

【分析】如图，把右面阴影:圆补到左边空白部分，这样阴影部分组成一个边长为3cm的正方形；根据正

方形的面积=边长x边长，即可求出阴影部分的面积。

阴影部分的周长=圆周长的一半+2个3cm的线段，根据圆的周长公式C=2m，代入数据计算即可求解。

-3cm-----

【详解】阴影部分的面积：3x3=9（cm2）阴影部分的周长：2x3.14x3:2+3x2=9.42+6=15.42（cm）

阴影部分的面积是9cm，阴影部分的周长是15.42cm。

变式3.（2024.浙江•小升初模拟）求下列图形中阴影部分的面积。

D

8cm

【答案】18.24平方厘米;3.16平方厘米

【分析】(1)连接CD、DB发现ABDC是一个正方形，根据箭头的方向将阴影部分移动到扇形里面。则

阴影部分的面积=扇形E4/面积一正方形八HOC面积，其中扇形是一个圆心角为90。，半径为8厘米的扇

形，则扇形的=，不产。正方形的面枳=边长x边长，但是本题不知道边长的长度，可以将正方形看成两个

直角三角形的面枳和。则直角三角形ACD面枳=底、高xg=直径x半径xg,则正方形的面枳=直径x半径

4乂2一直径x半径。

8cm

(2)连接CO,则阴影部分面积=平行四边形的面积一扇形4OC面积一三角形AOC面积。平行四边形的面

积=底、高；三角形BOC是一个等腰三角形，则两个底角都是30\则顶角就是120。即NBOC=120。，ZBOC

和/AOC合在一起是平角，为180°,则NAOC=60。。则扇形AOC的圆心角是60。。扇形AOC面根=图-万，

半径是平行四边形底的•半。三角形50c面积=底乂高x；,底是半径，高是平行四边形的高。

n-

【详解】（1）连接CD、DB,-x3.14x82-8x（8^2）=-x3.14x64-8x4=3.14x16-32=50.24-32=18.24

44

（平方厘米）则阴影部分的面积是18.24平方厘米。

（2）4x1.75=7（平方厘米）180-（180-30x2）=180°-（180。-60。）=180°-120°=60°

—x3.14x（44-2）2=-X3.14X22=-X3.14X4«2.09（平方屈米）2x1.75x1=1.75（平方厘米）

7—(2.09+1.75)=7-3.84=3.16(平方厘米)则阴影部分的面积是3.16平方厘米。

题型2、割补法求面积（二）旋转

【解题技巧】常见模型

图形转化后的图形秘籍计算方法

S阴影二SMDC

S阴影=S扇形8Q£

S阴影=S扇形

S阴影=S扇形ABE-S扇形MBN

S阴影二S正方形ME0:

S阴影=S长方形ACD尸

例I.（2023・四川成都・小升初真题）求图中阴影部分的面积。（单位：厘米）（4取3.14）

【答案】28.26平方厘米

【分析】如图，通过割补可知阴影部分面积等于半径为6厘米圆面积的Y根据S=+,代入数据计算即

即阴影部分面枳是28.26平方厘米。

例2.（2024六年级下•江苏•培优）如下图，三个同心圆的半径分别是2、6、10,求图中阴影部分面积占大

圆面积的百分之几?

【答案】33%

【分析】通过观察可知，所给图形阴影的面积正好是大圆面积的四分之一加上中圆和小圆组成的圆环面积

的四分之一，圆的半径已知，利用圆和圆环的面积公式可求得阴影的面积，然后在求出大圆的面积，用图

中阴影部分的面积除以大圆的面积即可.

【详解】Suw=-7TX1O2+—（62-22）=33兀

44

2

SAW]=7txlO=l（）（）n

33北+100冗=33%

变式I.（2021•江苏扬州・小升初真题）如图，两个同样大的正方形，把其中一个正方形的顶点固定在另一

个正方形的中心点上。旋转其中一个正方形如图所示，重叠部分的面积是5平方厘米，正方形的面积是

）平方厘米。

【答案】20

【分析】标注字母并做出辅助线，根据正方形的性质可得OA=OC,△AOB和ACOD形状大小完全相同,

可以将aCOD割补到^AOB的位置，因此阴影部分面积就是正方形面积的J,正方形面积就是重叠部分的

4

面积x4,即可解答。

5x4=20（平方厘米）

【点睛】本题考查正方形的特征，利用割补法将阴影部分不规则的图形转化为学过的图形进行解答。

变式2.（2023•山东•小升初模拟）求阴影部分面积。（单位：cm,兀取3.14）

7

【答案】（I）16平方厘米；（2）22平方厘米

【分析】（I）将右半部分的不规则阴影部分绕圆心顺时针旋转90。然后再平移，阴影部分的面积相当于底

是8厘米、高是4厘米的平行四边形面枳的一半，根据平行四边形的面枳公式：平行四边形的面枳=底、高，

用8/（8：2）：2即可求出阴影部分的面积。

（2）将左上部分阴影填补到中间空白处，那么阴影部分的面积哈好是上底为4,下底为7,高为4的梯形

的面积，梯形的面积二（上底+下底）x高92。

【详解】（1）8x4-2=32-2=16（平方厘米）阴影部分的面积是16平方厘米。

（2）（4+7）x4+2=44+2=22（平方厘米）

阴影部分的面积是22平方厘米。

题型3、和差法求面积

【解题技巧】常见模型

图形转化后的图形秘籍计算方法

以S阴影二S扇形-SgOE

S阴影=S半画AC+S半圆•一S&4c5

.4（：

FBFH

S阴影=S扇形BOE+SROCE~S扇形DOC

AC（）㈤4（：〃

S阴影=S扇形八oc+S\R

滔0C

小*S阴影=S扇形A03—SAROA

例I.（2024六年级卜江苏•专题练习）求下面各图涂色部分的面枳。

【答案】44dm2,9.435dm2

【分析】（1）用大正方形面积加上小正方形的面积，然后减去底为（8+6）dm,高为8dm的三角形的面

积即可；

（2）用上底为3dm,下底为4dm,高为（3+4）dm梯形的面积减去半径为3dm圆的!，再减去底和高都

为4dm的三角形的面积即可求出涂色部分的面积。

【详解】8x8+6x6-(6+8)x8-2

=64+36—14x8+2

=100—112:2

=100—56

=44（dm2）

（3-4）x（3+4）+2-3.14x3?x；-4x4+2

=7x7^-2-3.14x9x1-16^2

4

=49^-2-28.26x1-8

4

=24.5-7.065-8

=17.435-8

=9.435（dm2）

例2.（23-24六年级•浙江•期中）如下图，将直径AB为5a〃的半圆绕A逆时针旋转60。，此时AB到达AC

的位置，求阴影部分的面积（计算结果保留不）

AH

【答案】三八平方厘米

6

【详解】阴影部分的面积;以4c为直径的半圆的面积+扇形ABC的面积-以AB为直径的半圆的面积;扇形

ABC的面积.

加小卷泻二系八（平方厘米）

答：阴影部分的面枳是平方屉米.

6

【点睛】本题主要考查了扇形的面积的计算，正确理解阴影部分的面积=以AC为直径的半圆的面积+扇形

ABC的面积-以AB为直径的半圆的面积二扇形ABC的面积是解题的关键.

例3.（23・24六年级上•广东深圳♦期中）如图，三角形A8C是等腰直角三角形，/AC8为直角，。是A8的

中点，/W=20厘米，圆弧G。、”。的圆心分别在A、。两点，求图中阴影部分的面积。（单位：厘米）

H

【分析】由于三角形ABC是等腰直角三角形，则NCAB=NCBA=45。，圆弧GE和圆弧HF的半径相等，

则这两部分能够组成一个半径是20+2=10厘米，圆心角是90。的扇形，根据扇形的面积公式：S=yxnH,

把数代入即可求解，圆弧ED和圆弧FB中的空白部分能够组成一个正方形，圆弧ED和圆弧FD能够组合

成一个半径是10厘米，圆心角是90。的扇形，用这两个圆弧的面积减去正方形的面积即可求出三角形内阴

影部分的面积，知道正方形的对角线的长度，则面积=对角线x对角线：2,之后两部分的阴影部分面积相加

即可。

【详解】3.14x（20:2）2x-=3.14x|00x-=3\4x-=78.5（平方厘米）

444

78.5+（78.5-10x104-2）=78.5+28.5=107（平方厘米）

答：图中的阴影部分面积是107平方厘米。

【点睛】本题主要考杳扇形的面积公式以及正方形的面积公式，要注意正方形的面积可以用两条对角线相

乘除以2即可。

变式1.（2024六年级•广东•期中）如图，直角扇形的半径为7厘米，正方形的边长为4厘米，则阴影部分

22

的面积为（）平方厘米。（”取亍）

【答案】32.5

【分析】

阴影部分的面积=扇形的面积+正方形的面积一空白部分的面积。扇形是一个直角扇形，则扇形的面积=!

X圆的面积=!夕*2。正方形的面积=边长X边长，直角三角形是一条直角边是正方形的边长为4厘米，另外

4

一条直角边是正方形的边长与扇形半径长之和，则直角三角形的面积=两条直角边的乘积

I22

【详解】-x—X724-4X4-（7+4）x4:2

47

=j49+4+16-11x4+2

7

=154+4+16—22

=38.5+16-22

=32.5（平方厘米）

则阴影部分的面积为32.5平方厘米。

变式2.（2023•四川成都・小升初真题）如图，在长方形A8co中，A8=6厘米，8c=4厘米，扇形AM的

半径AE=6厘米，扇形C波的半径C尸=4厘米，则图中阴影部分的面积为（）平方厘米。（结果保

留许不取近似值）

【答案】13^-24

【分析】长方形的面积一扇形CBF的面积=不规则图形ABFD,阴影部分的面积=扇形ABE一不规则图形

ABFDo长方形的面积=长乂宽，圆的面积=乃/。注意：结果保留万，不取近似值。

【详解】扇形CBF的面积：1X^X42=1X^-X16=4^（平方厘米）

44

不规则图形ABFD：4x6-4^=[24—4乃）平方厘米

扇形ABE面积：枭4x62=Lx>36=9乃（平方厘米）

44

阴影部分的面积：9兀—（24—4/r）

=9九■—24+4万

=（13L24）平方厘米

则图中阴影部分的面积是为（13H-24）平方厘米。

【点睛】因为长方形的四个角都是90°，扇形CBF的圆心角为90。，即它的的面积是以半径为4厘米的圆的

同理扇形ABE的面积是以半径为6厘米的圆。求扇形的面积要先求出所在圆的面积。

变式3.（23-24六年级.江苏.期末）数学思考。

如图是一个正方形和半圆所组成的图形，其中P为半圆周的中点，Q为正方形BC边上的中点，求空白部分

的面积。（单位：平方厘米）

【答案】87.5平方厘米

【分析】如下图所示；连接PB,P点为半圆周的中点，作三角形PAB的高PG,则G是AB的中点，所以

PG的长度为正方形的边长加半圆的半径，正方形的边长是10厘米，半圆的直径是10厘米，所以PG的长

度是10+10:2=15厘米，所以三角形PAB的面积是10x15+2=75平方厘米；Q点为正方形一边的中点，

所以三角形PBQ的面积是5x5-2=12.5平方厘米，据此列式解答即可。

【详解】10x15^-2=150-5-2=75（平方厘米）

5x5:2=25+2=12.5（平方厘米）

754-12.5=87.5（平方厘米）

答：空白部分的面积是87.5平方厘米。

【点睛】此题考查了三角形、正方形和圆的面积公式的综合应用，连接BP,找出这两个白色三角形的高是

解决本题的关键。

题型4、整体代换法

【解题技巧】有些参数（如圆的半径）直接求很困难，但是可以直接求的半径的平方，采用设而不求，整

体代换即可。

例I.（23.24六年级•四川成都・期末）如图所示，O为大小两个圆的圆心，阴影部分的面积是8平方厘米,

圆环的面积是平方厘米。

【答案】25.12

【分析】假设小圆的半径为r,大圆的半径为R,则小正方形的力长为r,大正方形边长为R,阴影部分面

积=1^2一产=8（平方厘米），根据圆环的面积公式：S=TI（R2-r2）整体代入求解即可。

【详解】解：设小圆的半径为r厘米，大圆的半径为R厘米，

则小正方形的边长为r厘米，大正方形边长为R厘米，

阴影部分面积=1^一於=8（平方厘米），

圆环的面积：3.14x（R2-E）=3.14x8=25.12（平方厘米）

【点睛】本题主要考查了圆与组合图形，假设未知数然后进行整体代换是本题解题的关键。

例2.（2034・浙江•小升初模拟）在三角形ABC中，NC=90。，AC=BC=10厘米，A为扇形AEF的圆心，

且阴影部分①与②面积相等，求扇形所在圆的面积。

【答案】400平方厘米

【分析】根据题意，三角形ABC为等腰直角三角形，所以NA=NB=45。，因为阴影部分①与②面积相等，

所以扇形AEF的面积就等于三角形ABC的面积，整个圆面积的圆心角为360。，可用扇形AEF的面积除以

ZA占整个圆心角的几分之几即可得到答案。

45I1

【详解】IOx“八==50・二=400（平方厘米）

答：扇形所在的圆的面积为400平方厘米。

【点睛】解答此题的关键是利用等量代换计算扇形的面积，然后再用扇形的面积除以扇形的圆心角占整个

圆心角的分率即是扇形所在圆的面积。

例3.（23-24六年级上•河南周口・期末）如图，大正方形的面积比小正方形的面积多10平方厘米，求阴影

部分的面积。

【答案】5.7平方厘米

【分析】设大正方形的边长是a,利用大正方形与小正方形面积的关系求a?的值，然后利用圆的面积减去小

正方形的面积，求阴影部分的面积。

【详解】设大方形的边长是a

a2—ya2=10；ya2=10；ya2-？y=10-r；a24-=10-?^-；a2=10x2；a2=20

阴影部分的面积：3.14x20x1-1x20=62.8xi-10=15.7-10=5.7（平方厘米）

424

答：阴影部分的面积是5.7平方厘米。

【点睛】本题主要考查组合图形的面枳，关键把组合图形转化成规则图形，利用规则图形面积公式计算。

变式1.（2024六年级上•江苏•专题练习）如图，阴影部分的面积是25平方米，求圆环面枳。

【答案】157平方米

【分析】要计算圆环的面积，就要已知圆环内、外半径的具体数值，因为题中未给出，只是提供了阴影部

分面积是25平方■米，这就要首先思考阴影部分面积与圆环而枳具有哪些联系；S阴影=S大11ftlm形一S小直角：角形

=；R2—；产=25,要计算圆环面积可将外半径的平方与内半径的平方之差推导出即可，R2-r2=50,那么

圆环的面积就是兀（R2—r2）=157（平方米）。

【详解】如图：S阴影=S火血角的形一S柏佝向形=3口2-3~=3（R2-r）=25即RZ-inSO

所以兀（R2—r2）=3.14x50=157（平方米）

变式2.（23-24六年级上.辽宁・期中）如图，如果直角三角形的面积是25平方座米，那么圆内空白部分的

面积是（）平方厘米。

【答案】132

【分析】直角三角形的面积=底乂高:2,刚好底和高都是圆的半径，则三角形的面枳可以表示为rx-2=25,

圆的面积=兀忆求出圆的面积减去阴影部分的面积即可求出空白部分的面积。

【详解】解：设圆的半径是r。rx「：2=25；r2=25x2；r=50

圆的面积：=nr=3.14x50=157〔平方厘米）

空白部分的面积：157—25=132（平方厘米）

空白部分的面积是132平方厘米。

【点睛】此题考查不规则图形面积的计算方法，利用圆的面积公式求出圆的面积是解题的关键。

题型5、等积变换法求面积（体积）

【解题技巧】合理使用边、高的匕求面积的比例，灵活掌握边、高、面积之间的关系。

例I.（2022•安徽黄山•小升初真题）如图，三角形A8C的面积27cm2,CE=^-BC,BD=；A8,三角形

J3

的面积是（）cm2o

【答案】12

I7

【分析】由图可知，三角形AEO和三角形8a等高，RBD=-AB,则AQ=4,三角形他。的面积是

2I?

三角形AEB面积的彳，三角形AEC和三角形A族等高，且CE=1C,则8E=、BC,三角形4EB的面积是

三角形A8C面积的：，由此求出三角形AED的面枳占三角形A8C面积的分率，最后用乘法求出三角形AE。

的面积。

1722

【详解】因为CE=38C,则8E=m8C,所以三角形但的面积=《x三角形ABC面积=2x27=18(cm2)；

199?

因为8。=鼻48,则4O=、A8,所以三角形4瓦＞的面积=；x三角形人所面积=5xl8=l2(cn?).

由上可知，三角形A£O的面积是12cm2。

【点睛】根据三角形底边的关系找出三角形的面积关系是解答题目的关键。

例2.(2024六年级.山东.培优)如图所示，AB是半圆的直径，0是圆心，AC=CD=DB,M是CD的中点，

H是弦CD的中点，若N是OB上的一点，半圆面积等于12平方厘米，则图中阴影部分的面枳是多少？

【答案】2平方厘米

【分析】如下图所示，连接OC、OD、OH,则扇形AOC、COD,DOB的面积相等，都等于半恻面积的;，

又因为三角形COH与三角形CNH等底等高，则二者的面积相等，所以阴影部分的面积等于扇形COD面积

的一半，从而可以求出阴影部分的面积。

【详解】12x|xl=4xl=2(平方厘米)

答：图中阴影部分的面积是2平方厘米。

【点晴】解答本题的关键是作出合适的辅助线，得到阴影部分与半圆的面积的关系。

例3.（23-24六年级下•河南南阳期中）如图，一个果汁瓶，它的瓶身呈圆柱形，容积为462毫升。当瓶子

正放时，瓶内液面高为12厘米，瓶子倒放时，空余部分高为2厘米。瓶内装有果汁多少亳升？

【答案】396毫升

【分析】要求瓶内果汁的体积，则需先求出瓶子的底面积。圆柱形瓶子的体积即是它的容积，圆柱的体枳

=底面积x高；由于果汁在瓶内的体积不变，瓶内空余部分的体积也是不变的，所以假设瓶身全部呈圆柱形

的话，放正时液面的高度+放倒后空余部分的高度=圆柱的高，即（12+2）厘米；结合容积为462亳升,

用容积除以圆柱的高，就能得到瓶子的底面积，从而根据圆柱的体积=底面积x高，求出果汁的体积。

【详解】462毫升=462立方厘米

圆柱的底面积：462：（12+2）=462-14=33（平方厘米）

瓶内果汁的体积：33x12=396（立方厘米）396立方厘米=396亳升

答：瓶内装有果汁396亳升。

【点睛】解决此题的关键是理解前后两次瓶子的放置，后面空余部分就是前面的空余部分。

变式1.（22-23六年级上•浙江温州•期末）如图，已知有一块四边形花圃ABCD,其中E,F分别为AB,

AG上的点，且BE=2AE,G,H分别是DF,BC上的点，且FG=GD,连接EF,BF,BG,HD,

将花圃分成五块，图中阴影部分种兰花，三角形AEF的面积是25平方米，三角形BFG的面积是15（）平方

米，三角形HCD的面积是90平方米。空白部分种郁金香，那么郁金香的面积为多少平方米？

【答案】44。平方米

【分析】连接BD,如图所示:

A

£F

三角形面枳=底、高:2,三角形AEF和三角形BEF高相等，并且BE=2AE,那么三角形BEF的面积是三

角形AEF面积的2倍；FG=GD,那么三角形BGD和三角形BFG等底等高，那么这两个三角形的面枳相

等；同理，BH=HC,那么三角形BHD和三角形HCD等底等高，面积相等。

将空白部分的面积相加，求出种植郁金香的面积即可。

【详解】25x2=50（平方米）50+150+150+90=440（平方米）

答：郁金香的面积是440平方米。

【点睛】本题考查了三角形的面积、组合图形的面积，熟记并灵活运用三角形的面积公式，并掌握割补法

求组合图形的面积是解题的关键。

变式2.（23-24六年级上•湖南怀化•期中）如图：O点是半圆的圆心，半圆的直径AB是4厘米，C、D是

半圆弧上的三等分点，求图中阴影部分的面积。

【答案】］乃平方厘米

【分析】如图，连接OC、OD、CD,三角形ACD和三角形OCD等底等高，则三角形ACD的面积等于三

角形OCD的面积，求阴影部分的面积即求扇形OCD的面积，据此解答。

【详解】因为C、D是半圆弧上的三等分点，所以圆心角NCOD=60°

分析可知，阴影部分的面积=扇形OCD的面积詈x7rx（4+2『=\x；rx4=g/r（平方厘米）

答：阴影部分的面积是§乃平方厘米。

【点睛】把阴影部分的面积转化为扇形OCD的面积是解答题目的关键。

变式2.（2024六年级上•湖北•培优）一个楂长10cm的正方体容器中装有一些水，将一个高8cm的长方体

铁块竖直着放入水中（铁块底面与容器底面平行），铁块还没有完全浸没时，水就满了（如下图）,这个

铁块的体积是________cnf。

【答案】400

【分析】容器的容枳是1000立方厘米，水的体积是700立方厘米，铁块被淹没的体积是300立方厘米，被

淹没的高度是6厘米，求出铁块的底面积，再计算其体积。

【详解】10x10x10=1000（cm3）10x10x7=700（cm3）

1000-700=300（cm3）300+6=50（cnr）50x8=400（cm3）

本题考查的是立体几何中的浸水问题，注意区分完全淹没与不完全淹没的区别。

题型6、差不变思想（原理）

【解题技巧】差不变思想，即利用等式的性质来求面积，如果S>p=S乙,那么S甲+S空白=S乙+S的，反之亦可。

例I.（23-24六年级•湖北黄冈・期末）如图，半圆的直径是10厘米，阴影部分甲比乙的面积少1.25平方厘

米，求直角三角形ABO的边OA的长。

【答案】8.1厘米

【分析】根据题意可知，乙的面积一甲的面积=1.25平方厘米，给甲、乙分别补上空白部分，它们的面积

差不变，即（乙的面积+空白部分的面积）一（甲的面积+空白部分的面积）=1.25平方厘米，可以得出：

百角三角形ABO的面积一半圆的面积=1.25平方厘米；

根据圆的面积公式S=m2,求出圆的面积，然后除以2,即是半圆的面积，再加上1.25,求出直角三角形

ABO的面枳；已知直角三角形ABO的面枳和高，根据三角形的底=面积X24•高，即可求出直角三角形ABO

的边OA的长。

【详解】半圆的面积：3.14x（10-2）2-？2=3.14x25^2=78.5^2=39.25（平方厘米）

直角三角形的面积：39.254-1.25=40.5（平方厘米）

OA的长：40.5x24-10=814-10=8.1（厘米）

答：直角三角形ABO的边OA的氏是8.1厘米。

【点睛】关键是利用空白部分，把不规则图形甲、乙的面积差，转化成规则图形半圆和直角三角形的面积

差，然后灵活运用圆的面积、三角形的面积公式求解。

例2.（2024六年级•广东•培优）如图，平行四边形ABCD的边BC长10厘米，直角三角形ECB的直角边

EC长8厘米.已知阴影部分的总面积比三角形EFG的面积大10平方厘米，求平行四边形ABCD的面积.

【答案】50平方厘米.

【分析】因为阴影部分比三角形EFG的面积大10平方厘米，都加上梯形FGCB后，根据差不变性质，所

得的两个新图形的面积差不变，即平行四边行ABCD比直角三角形ECB的面积大10平方厘米.

【详解】解：三角形EFG的面积为：10x8“=40（平方厘米）.

平行四边形ABCD的面积为：40-10=50（平方厘米）.

答：平行四边形的面积为50平方厘米.

变式I.（2024.成都市六年级期中）如下图，ABCD是边长为10厘米的正方形，三角形ABF比三角形CEF

的面积大20平方厘米，阴影部分的面积是多少平方厘米？

【分析】因为三角形ABF比三角形CEF的面积大20平方厘米，都加上梯形4DC尸后，根据差不变性质，

所得的两个新图形的面积差不变，即正方形ABCD比直角三角形ADE的面积大20平方厘米，从而求得直

角三角形ADE的面积，再减去豆角三角膨ADC的面积，即得出阴影部分的面积.

解析：10x10—20—10x10+2=100-20-50=30（平方厘米）

答：阴影部分的面积是30平方厘米。

变式2.（2023•辽宁沈阳•六年级校考期末）直角三角形ABC中，羽影甲比乙的面积大28平方厘米，8c=40

厘米，AB有多长？

【答案】32.8厘米

【分析】甲是三角形ABC的一部分，乙是半圆的一部分，甲乙分别加上空白部分，差不变。阴影甲比乙的

面积大28平方厘米，所以三角形ABC比半圆面积多28平方厘米。求出三角形ABC面积，利用三角形面

积公式倒推AB边长度即可。

40

【详解】3.I4X（―）2=%56（平方厘米）1256-2=628（平方厘米）628+28=656（平方厘米）

2

656x2=1312（平方厘米）1312X0=32.8（厘米）答：AB有32.8厘米长。

【点睛】本题的关键是结合同加同减差不变的规律找出规则图形的面积差，把不规则转换成规则。

题型7、容斥原理（韦恩图）

【解题技巧】容斥原理这个词可能听起来比较陌生，它还有另一个名词，重叠法。如果运用得当，掌握其

精髓，在求解阴影部分面积，以及相关应用题时.，能起到事半功倍的作用。本文就来重点讲一下，容斥原

理在求解阴影部分面积时的妙用。

例I.（23-24六年级•河北张家口♦期中）如图，两阴影部分的面积分别是Si、S2,SLS2=2.44平方厘米。

求图中扇形所在圆的半径。

13cm

【答案】4厘米

【分析】根据图形可知，两个阴影部分的面积分别是Si，S2,由于S|—S2=2.44平方厘米；说明上面阴影

部分面积比下面阴影部分面枳多2.44平方厘米，由于空白部分加上S2是扇形的面积，空白部分加吊是长方

形面积，那么可知长方形面积比扇形面积多了2.44平方厘米，根据长方形面积公式：面积=长乂宽；代入数

据，求出长是3厘米，宽是5厘米的长方形的面积；再用长方形的面积减去2.44平方厘米，求出扇形的面

积，再乘4,就是这个扇形所在圆的面积，再根据圆的面积公式：面积="半径2,即可求半径。

【详解】（3x5-2.44）x4-?3.14=（15-2.44）x44-3.14=12.56x44-3.14=50.24^3.14=16（平方厘米）

4x4=16,扇形所在圆的半径是4厘米。

答：图中扇形所在圆的半径是4度米。

【点睛】解答本题的关键明确长方形面积减去两个阴影部分的面枳的差就是扇形的面积，再根据长方形面

积公式和圆的面积公式进行解答。

例2.（2024六年级下.江苏•培优）如图，有三个面积各为20平方厘米的圆纸片放在桌上.三个纸片共同

重叠的面积是8平方厘米，三个纸片盖住桌面的总面积是36平方座米.图中阴影部分的面积之和是多少平

方厘米？

【答案】8平方厘米

【分析】根据本题题意和容斥原理知道，从三个圆片的总面积里去掉盖住桌面的总面枳以及三张纸片重叠

的面积的2倍（因为是两个重叠在一起，所以乘2）,由此即可求出答案.

【详解】解：20x3-36-8x2=60-36-16=8（平方厘米）

答：图中阴影部分的面积和是8平方厘米.

变式1.（23-24六年级•吉林长春・期末）求下图阴影部分的面积。（单位：米。）

【答案】6平方米

【分析】观察图形可知，阴影部分面积=直径是3米的圆的面积一半十直径是4米的圆的面积一半+底是3

米，高是4米的三角形面积一直径是5米的圆的面积一半，根据圆的面积公式：面积="半径2,三角形面

积公式：面积=底、高;2,代入数据，即可解答。

【详解】3.14x（3+2）2・2+3.14X（4:2）2^2+3x4^2-3.14x（5:2）2^2

=3.14x1.5^2+3.14x2^2+12^24-3.14x2.5^2=3.I4X2.25^24-3.14X4-?2+64-3.14X6.25^2

=3.5325+6.28+6—9.8125=6（平方米）阴影部分的面积是6平方米。

变式2.（2024六年级下.广东•培优）如图，三角形ABC是等腰直角三角形，AC=BC=10cm,分别以A、B

为圆心，以AC、BC为半径在三角形ABC内画弧，求阴影部分的面积.

【答案】28.5平方厘米

【详解】如图：阴影部分面积是扇形DBC与扇形EAC的重叠皆分，所以阴影部分面积等于扇形DBC,扇

形EAC面积之和减去三角形ABC的面积3.l4xl（）2xWx2-：xl0xl0=28.5（平方厘米）

3602

变式3.（2024.广东六年级期中）在桌面上放置3个两两重叠、形状相同的圆形纸片.它们的面积都是100

平方厘米，盖住桌面的总面积是144平方厘米，3张纸片共同重叠的面积是42平方厘米.那么图中3个

阴影部分的面积的和多少是平方厘米？

【解析】根据容斥原理得100x3—S困影-2x42=144,所以S阴影=100x3—144—2x42=72（平方厘米）

题型8、平面图形的拼切重组问题（含翻折）

【解题技巧】平面图形的拼接裁剪是小升初比较常考的图形变化问题，从知识综合与难度层次方面来看，

与圆形相关的拼切裁剪问题是主要考察点，其次是特殊四边形的拼接裁剪，一般来讲，拼接裁剪造成的图

形变化，相对容易理解，可以尝试画出示意图再观察变化特点。

例1.（2024六年级•广东•月考）在一张边长是10厘米的正方形线中，剪去一个长6厘米、宽4厘米的长方

形。小明想到了三种剪的方法（如下图）。剩余部分的面积各是多少？剩余部分的周长呢？（单位：厘米）

【答案】76平方厘米；40厘米、48厘米、52厘米

【分析】根据对图中信息的了解，这三个长方形都是减去了一个长为6厘米，宽为4厘米的长方形，计算

面积的时候，用原来的面积减去长为6厘米，宽为4厘米的长方形的面积，得到的就是它们的面积：计算

它们的周长时，利用平移法，将图中的长和宽平移，不难发现，第一个图形的周长不变，第二个图形的周

长多了两条宽，第三个图形多了两条长，据此计算。

【详解】剩余部分的面积：10x10—6x4=100-24=761平方厘米）

剩余部分的周长：10x4=40（厘米）

10x4+4x2=40+8=48（厘米）

10x4+6x2=40+12=52（厘米）

答：剩余部分的面积都是76平方厘米，剩余部分的周长分别是40厘米、48厘米、52厘米。

例2.（2024六年级下•浙江•期中）一个等腰三角形其中两条边分别是4cm和9cm,这个三角形周长是（）

cm；用两个这样的二角形拼成一个平行四边形，周长最短是（）cm。

【答案】2226

【分析】（1）根据三角形的任意两边之和大于第三边，来确定这个三角形的腰是多少厘米，再进行解答；

（2）拼成的平行四边形只有以这两个三角形的最长的两条边重合，这个平行四边形的周长就最短。如下图

所示：

4网米

【详解】（1）因4+4=8（厘米）,8<9,不符合题意。

9+9=18（座米），18>4,符合题意，所以这个等腰三角形的腰是9厘米。

9+9+4=22（厘米）。

答：这个三角形的周长是22厘米。

（2）（4+9）x2=13x2=26（厘米）故答案为：2