新七年级数学专项提升：几何图形（原卷版）

衔接点04几何图形

素养目标

小学阶段主要学习了常见的平面几何图形（三角形、四边形、圆）的周长与面积、立体图形（长、正

方体、圆柱、圆锥）的表面积与体积。培养的核心数学素养是学生的几何直观、空间观念和运算能力。

初中阶段较小学阶段在几何图形方面变化极大：不再是停留在建立图形的直观表象和对性形特征的研

究上，而要转入对其性质较为系统的研究。中学数学还要求进行数学证明，这对从来没有进行过数学证明

的学生来说，要掌握从论据推出结论的方法，来表明论据与结论之间必然的逻辑联系是有一定难度的。培

养的核心数学素养是学生的几何直观、抽象能力、推理能力等。

在初中几何中，随着变量和演绎推理证明等知识的进入，初中学生学习几何就需要提高相应的思维能

力，比如抽象思维，推理能力等等。难度提升，思维的层次也大为不同。如“三角形的内角和等于180。”

这个定理，小学教材中是由实验得出的。初中要强调说明不能满足于实验，而必须从理论上给予严格论证。

目录导航

题型探究

题型1、割补法求面积（一）平移与对称...........................................................3

题型2、割补法求面积（二）旋转..................................................................5

题型3、和差法求面积............................................................................7

题型4、整体代换法.............................................................................10

题型5、等积变换法求面积（体积）..............................................................11

题型6、差不变思想（原理）....................................................................13

题型7、容斥原理（韦恩图）....................................................................14

题型8、平面图形的拼切重组问题（含翻折）......................................................15

题型9、立体图形的拼切重组问题.................................................................16

培优精练

A组（能力提升）...............................................................................19

B组（培优拓展）...............................................................................22

知识梳理

1、基本公式

正方形：C=4。；S=。义a°长方形：C=（tz+/?）x2；S=aho平行四边形：S=aho

三角形：S=ah+20梯形：S=（a+〃）x〃+2。圆：C=7id=2兀丫；S二乃产。

正方体S我=axqx6；V=axaxa长方体S或=（ab-ah+b1i）x2；V=abh

圆柱体、圆锥体（〃:高：S：底面积；r:底面半径）

圆柱侧面积：S=2笈L〃；圆柱表面积：5=2%广/2+24/；圆柱体积：V=Sh；圆锥体积；V=-Sh

3

2、求几何图形面积常见方法及运用：

1）割补法求面积（平移、对称、旋转等）；2）和差法求面积；3）等积变换（化线段比为面积比）；4）

运用整体思想；5）差不变；6）容斥原理（韦恩图）等。

公式法：所求面积的图形是规则图形，如扇形、特殊三角形、特殊四边形等，可直接利用公式计算。

割补法：就是从割和补两种不同角度认识同一个面积。还有的是从不同的角度认识某个长方形面积的一半。

通过对面积问题的训练可以打开思维。特别是结合算两次的思想能让我们的思维理念得到很大提升。最后

我写了算两次解决面积问题，来诠释前面的理论。

和差法：所求面积的图形是不规则图形，可通过转化变成规则图形面枳的和或差，这是求阴影部分面积最

常用的方法。

等积变换法：以线段比为对象运用两个面积比表示同一个面积比，有的是运用整体与局部思想整体由各个

局部合成。有的抓住面积不变，从两个不同的底和高来表示同一个三角形的面积或随便求出直角边的平方。

差不变思想（原理）：即利用等式的性质来求面积,若SwS乙,则S"S空『S乙+S空白，S甲空白二S乙・S空白。

容斥原理：即重叠、分层思路，把图形中不规则的阴影部分看作几个规则图形用不同的方法重叠的结果，

利用分层把重叠部分分出来，组成重叠图形各个规则图形的面积总和减去分掉的那面积，就是剩下所求那

部分面积。

，二▲题型探究

题型1、割补法求面积（一）平移与对称

【解题技巧】常见模型

例I.（23-24六年级•四川・期末）转化思想是解决问题的重要思想，它是将未知问题转化为已知知识和方法

来解决问题的一种策略，割补是解决图形问题的重要方法，我们推导平行四边形、梯形、圆等图形的面积

时都有用到，请用已学知识和方法来解决卜.面的问题吧。

如图1,若AD=8厘米，8。=16厘米，求阴影部分的面积。

先在图2中画一画，涂一涂，再计算。若未使用转化、割补可直接计算。

EE

图1图2

例2.（23-24六年级下•江苏•课后作业）求涂色部分的面积。（单位：厘米）

例3.（2022春•六年级统考期末）下图中阴影部分的面积是（）平方厘米。

变式1.（23-24六年级下•辽宁•课后作业）己知正方形ABCD的面积为16平方厘米，你能结合我们学过的

图形运动求出涂色部分的面积吗？

变式2.（23-24六年级•湖南•期中）求出阴影部分的面积和周长。

-3cm-----

变式3.（2024・浙江•小升初模拟）求下列图形中阴影部分的面积。

题型2、割补法求面积（二）旋转

【解题技巧】常见模型

图形转化后的图形秘籍计算方法

S阴影

S阴影二S扇形BQE

S阴影=S扇形力。/）

S阴影二S扇形4/W?一S扇形

S阴影=S正方形MEQC

S阴影二S长方形Ac。尸

S阴影=SA[80

S阴影=S扇形B0c

例I.（2023・四川成都・小升初真题）求图中阴影部分的面积。（单位：厘米）（万取3.14）

例2.（2024六年级下•江苏•培优）如下图，三个同心圆的半径分别是2、6、10,求图中阴影部分面积占大

圆面积的百分之几？

变式I.（2021•江苏扬州•小升初真题）如图，两个同样大的正方形，把其中一个正方形的顶点固定在另一

个正方形的中心点上。旋转其中一个正方形如图所示，重叠部分的面枳是5平方厘米，正方形的面枳是

）平方厘米。

变式2.（2023•山东•小升初模拟）求阴影部分面积。（单位：cm,兀取3.14）

题型3、和差法求面积

【解题技巧】常见模型

图形转化后的图形秘籍计算方法

后母S阴影=S扇形EA尸—

S阴账一S半圆AC+S半圆3c-

4C

rBFB

S阴影=S扇形+S&OCE-S扇形DOC

A讨C0A国C0

S阴影=S扇形AOC+S^oc

小S阴影=S扇形AQB—SMOA

例1.（2024六年级下•江苏・专题练习）求下面各图涂色部分的面积。

例2.（23-24六年级.浙江•期中）如下图，将直径AB为5a〃的半圆绕A逆时针旋转60。，此时AB到达AC

的位置.，求阴影部分的面积（计算结果保留不）

例3.（23-24六年级上•广东深圳•期中）如图，三角形A8C是等腰直角三角形，/AC8为直角，。是A8的

中点，A8=20厘米，圆弧G。、”。的圆心分别在A、B两点,求图中阴影部分的面积。（单位：厘米）

变式I.（2024六年级・广东•期中）如图，直角扇形的半径为7厘米，正方形的边长为4厘米，则阴影部分

?2

的面积为（）平方厘米。（江取三）

变式2.（2023•四川成都・小升初真题）如图，在长方形ABCQ中，A8=6厘米，8。=4厘米，扇形樨的

半径AE=6厘米，扇形C8F•的半径b=4厘米，则图中阴影部分的面积为（）平方厘米。（结果保

留巴不取近似值）

变式3.（23-24六年级•江苏.期末）数学思考。

如图是一个正方形和半圆所组成的图形，其中P为半圆周的中点，Q为正方形BC边上的中点，求空白部分

的面积。（单位：平方厘米）

题型4、整体代换法

【解题技巧】有些参数（如圆的半径）直接求很困难，但是可以直接求的半径的平方，采用设而不求，整

体代换即可。

例I.（23-24六年级•四川成都・期末）如图所示，。为大小两个圆的圆心，阴影部分的面积是8平方厘米,

圆环的面积是平方厘米。

例2.（2034.浙江•小升初模拟）在三角形ABC中，NC=90。，AC=BC=10厘米，A为扇形AEF的圆心,

且阴影部分①与②面积相等，求扇形所在圆的面积。

例3.（23-24六年级上•河南周口・期末）如图，大正方形的面积比小正方形的面积多10平方厘米，求阴影

部分的面积。

变式1.（2024六年级上•江苏•专题练习）如图，阴影部分的面积是25平方米，求圆环面积。

变式2.（23-24六年级」二•辽宁・期中）如图，如果直角三角形的面积是25平方厘米，那么圆内空白部分的

面积是（）平方厘米。

题型5、等积变换法求面积（体积）

【解题技巧】合理使用边、高的匕求面积的比例，灵活掌握边、高、面积之间的关系。

例I.（2022•安徽黄山♦小升初真题）如图，三角形A8C的面积27cm2,CE=；BC,,三角形A"

的面积是（）cm2o

例2.（2024六年级•山东・培优）如图所示，AB是半圆的直径，。是圆心，=8=M是CD的中点,

H是弦CD的中点，若N是OB上的一点，半圆面积等于12平方厘米，则图中阴影部分的面积是多少？

例3.（23-24六年级下•河南南阳期中）如图，一个果汁瓶，它的瓶身呈圆柱形，容枳为462亳升。当瓶子

正放时，瓶内液面高为12厘米，瓶子倒放时，空余部分高为2厘米。瓶内装有果汁多少亳升?

变式I.（22-23六年级上•浙江温州•期末）如图，已知有一块四边形花圃ABCD,其中E,F分别为AB,

AG上的点，且BE=2AE,G,H分别是DF,BC上的点，且BH=HC,FG=GD,连接EF,BF,BG,HD,

将花圃分成五块，图中阴影部分种兰花，三角形AEF的面积是25平方米，三角形BFG的面积是150平方

米，三角形HCD的面积是90平方米。空白部分种郁金香，那么郁金香的面积为多少平方米？

变式2.（23-24六年级上•湖南怀化•期中）如图：O点是半圆的圆心，半圆的直径AB是4厘米，C、D是

半圆弧上的三等分点，求图中阴影部分的面积。

变式2.（2024六年级上•湖北•培优）一个棱长10cm的正方体容器中装有一些水，将一个高8cm的长方体

铁块竖直着放入水中（铁块底面与容器底面平行），铁块还没有完全浸没时，水就满了（如下图）。这个

铁块的体积是cn?。

题型6、差不变思想（原理）

【解题技巧】差不变思想，即利用等式的性质来求面积，如果S0乙，那么S甲+S空白二S乙+S的，反之亦可。

例I.（23-24六年级•湖北黄冈•期末）如图，半圆的直径是10厘米，阴影部分甲比乙的面积少1.25平方厘

米，求直角三角形ABO的边OA的长。

例2.（2024六年级•广东•培优）如图，平行四边形ABCD的边BC长10厘米，直角三角形ECB的直角边

EC长8厘米.已知阴影部分的总面积比三角形EFG的面积大10平方厘米，求平行四边形ABCD的面积.

变式1.（2024.成都市六年级期中）如下图，ABCD是边长为10厘米的正方形,三角形ABF比三角形CEF

的面积大20平方厘米，阴影部分的面积是多少平方厘米？

变式2.（2023•辽宁沈阳•六年级校考期末）直角三角形ABC中，羽影甲比乙的面积大28平方厘米，8c=40

厘米，AB有多长？

A

甲

BC

题型7、容斥原理（韦恩图）

【解题技巧】容斥原理这个词可能听起来比较陌生，它还有另•个名词，重叠法。如果运用得当，掌握其

精髓，在求解阴影部分面积，以及相关应用题时，能起到事半功倍的作用。本文就来重点讲一下，容斥原

理在求解阴影部分面积时的妙用。

例I.（23-24六年级•河北张家口•期中）如图，两阴影部分的面积分别是Si、S2,SI—Sz=2.44平方厘米。

求图中扇形所在圆的半径。

例2.（2024六年级下.江苏.培优）如图，有三个面积各为20平方厘米的圆纸片放在桌上.三个纸片共同

重叠的面积是8平方厘米，三个纸片盖住桌面的总面积是36平方厘米.图中阴影部分的面积之和是多少平

方厘米?

变式L（23-24六年级•吉林长春•期末）求下图阴影部分的面积。（单位:

变式2.（2024六年级下.广东.培优）如图，三角形ABC是等腰直角三角形，AC-BC-lOcin,分别以A、B

为圆心,以AC、BC为半径在三角形ABC内画弧，求阴影部分的面积.

B

变式3.（2024.广东六年级期中）在桌面上放置3个两两重叠、形状相同的圆形纸片•.它们的面积都是100

平方厘米，盖住桌面的总面积是144平方厘米，3张纸片共同重叠的面积是42平方厘米.那么图中3个

阴影部分的面积的和多少是平方厘米？

O

题型8、平面图形的拼切重组问题（含翻折）

【解题技巧】平面图形的拼接裁剪是小升初比较常考的图形变化问题，从知识综合与难度层次方面来看，

与圆形相关的拼切裁剪问题是主要考察点，其次是特殊四边形的拼接裁剪，一般来讲，拼接裁剪造成的图

形变化，相对容易理解，可以尝试画出示意图再观察变化特点。

例I.（2024六年级•广东・月考）在一-张边长是10厘米的正方形纸中，剪去一个长6厘米、宽4厘米的长方

形。小明想到了三种剪的方法（如下图）。剩余部分的面积各是多少？剩余部分的周长呢？（单位：厘米）

例2.（2024六年级下•浙江.期中）一个等腰三角形其中两条边分别是4cm和9cm,这个三角形周长是（）

cm；用两个这样的三角形拼成一个平行四边形，周长最短是（）cm。

例3.（2024六年级•绵阳市•期中）把一个半径为10厘米的圆平均分成若干份，剪开后可拼成一个近似的长

方形，那么这个长方形的周长是（）厘米。（兀取3.14）

例4.（2024六年级•北京•期末）折叠一张长方形纸ABCD,如图，折叠时，C点和A点重合，产生折痕为

EF。量得AE长22厘米，如果长方形的宽是20厘米，折叠后图形的面积比原来长方形面积少了（）

平方厘米。

D

C/\

AI---------------DA6---------4F

BCBE

变式I.（23-24五年级下•江苏•期中）如下图所示，把平行四边形从左边沿高剪下一个三角形平移到右边，

就成了一个长8厘米，宽6厘米的长方形，原来平行四边形的底是（）厘米，高是（）厘米,

面积是（）平方厘米。

变式2.（23-24六年级•湖北・期末）青青把梯形ABCD按照下图的方法转化成平行四边形EBHG,且面积保

持不变。已知梯形ABCD的面积是40cm2,高是8cm,平行四边形EBHG中BH的长是（）cm0

变式3.（23-24六年级下•浙江♦期末）长方形的长10cm,宽4.8cm,沿对角线对折后，得到如图的

几何图形，阴影部分的周长是（）cnu

变式4.（23-24六年级下•辽宁•月考）做一做，剪一剪。

（1）用剪刀沿着“莫比乌斯带”的中线剪开，你有什么发现?

（2）如果沿着“莫比乌斯带”边缘的一宽度的!地方一直剪下去，你有什么发现?

题型9、立体图形的拼切重组问题

【解题技巧】几何体的表面积增减变化问题主要有三种，一是切片问题，表面积会相应增加，二是是拼接

问题，表面积会相应减少，三是高的变化引起的表面积变化。

例I.（2022•浙江宁波•小升初真题）我市游泳健身中心的室内泳池长5。米，宽25米。最浅处水深1.2米，

最深处水深1.6米。

（1尸泳池的容积是多少立方米？''对这一数学问题以下两位同学展开过论。请据他们的思考过程解决问题。

①小朱同学：“它不是一个长方体，但可以通过割或补的方法（如下图），就可以变成长方体了，所以它的

容积大小范围就在（）立方米和（）立方米之间。”

②小锋同学：“两个完全一样的泳池可以拼成一个大长方体（如下图）。这样就能计算出它的容积啦。”

请根据小锋的方法计算该泳池的容积。

（2）如果在空的泳池内以均匀的注水速度（140立方米/小时）往池内濯水，选一选，下面哪幅图能表示出

泳池最深处水位的变化情况？（）

（3）根据以上信息综合思考。第（2）题图中的。表示的数是（）小时。

例2.（2020.江苏无锡・小升初真题）如图，把一个三角形剪成一个小三角形和一个梯形，且使它们的高相

等，小三角形和原三角形的面积比是（）：（）；从一个圆锥顶部切下一个小圆锥，如果小圆

锥的高是原来圆锥高的小圆锥与剩余部分的体积比是（）：（）。

例3.（2024六年级上.山东.培优）如图8所示，一个棱长10厘米的正方体，分别在它的前后、左右、上

下各需的中心位置挖去•个横截面是边长为3厘米的正方形的正方体（都和对面打通）.求这个立体图形

的体积.

变式1.（23-24六年级下.山东德州.期中）如果把一个圆柱体的木料沿着与底面平行的方向截成两部分，表

面积就增加6.28平方分米；如果沿着直径截成两部分，表面积就增加8平方分米。圆柱的体积是立

方分米。

/CDQ)

'口□

变式2.（2021•江苏苏州・小升初真题）如图，有一卷紧紧缠绕在一起的塑料薄膜，薄膜卷的直径为20厘米,

中间有一直径为8厘米的卷轴，已如薄膜的厚度为0.02厘米，则薄膜展开后的长度是多少米？

变式3.（2023・四川成都・小升初真题）如图，一个长方体的长、宽、高的长度都是质数，且长＞宽＞高。

将这个长方体平切两刀，竖切两刀，得到9个小长方体，这9个小长方体表面积之和比原来长方体表面积

多624平方厘米。求原来长方体的体积。

培优精练

A组（能力提升）

1.（2024.北京•小升初模拟）如图中有一个圆和一个等腰宜角三角形，阴影部分的面积是（）cnK

A.25B.50C.75D.100

2.（2023秋•山东潍坊•六年级校考期末）下面是一种有意思的推导圆的面积的方法，读一读，填一填。

如图所示，将圆形平分16等份，并拼成一个近似的三角形，用7U表示圆周率，用r表示圆的半径，那么：

三角形的底是圆的周长的（），表示为（），三角形的高是圆的半径的（）倍，表示为（），

圆形和三角形的（）相等。请你根据三角形的面积公式推理出圆的面积公式，并写出推导过程。

3.（2023春・江苏无锡•六年级专题练习）芳芳用一张长10厘米的长方形纸如右图进行翻折，折出的平行四

边形面积比原来少了15平方厘米。这张长方形纸的宽是（）厘米，折成的平行四边形的面积是

（）平方厘米。

4.（2023春・重庆六年级月考）如图所示的纸带，（）是莫比乌斯带，图①中的蚂蚁如果不爬过纸

带的边缘，（）（填“能”或'不能”）吃到纸带内的面包屑。

①②

5.（2023春•山东青岛•六年级统考期末）求下面图形中阴影部分的面枳。（单位：cm）

(1)(2)

6.（2024六年级下.山东.专题练习）求阴影部分的面积，如图，正方形ABCD的边长是4厘米，E、F、G、

H是正方形各边上的中点，请计算四个扇形的弧围成的阴影部分面积。

7.（2024・湖北武汉•六年级校考期中）下图中环形的面积是314平方厘米，阴影部分的面积是（）。

8.（2020.江苏.小升初真题）（1）计算图1阴影部分的周长；（必3）

（2）两个正方形相拼，求图2阴影部分的面积。

/\12厘米

9.（2023六年级上•河北•专题练习）如图，一只羊被一根30米的绳子拴在一座长方形建筑的一个墙角（图

中黑点）上，建筑物长是20米，宽是10米，建筑物周围全是草地，这只羊能吃到的草地的面积是多少平

方米？

10.一个高1米的直柱体容器如图1所示，俯视图如图2所示（单位：分米）。容器中有甲、乙两块挡板（挡

板的体积忽略不计）将容器分成A、B、C三个区域，其中甲挡板高6分米，乙挡板高8分米。往C区域匀

速注水，10分钟后，B区域水的高度是3分米。（1）每分钟注水多少升？（2）如果往C区域注水的同时

以同样的速度往A区域注水，多少分钟后，A区域水的高度是B区域的2倍？

11.（23-24六年级上.广东深圳•阶段练习）如图，。为圆心，AB=BC=8厘米，求阴影部分的面积。

12.（23-24六年级上•上海普陀•期中）汽车盲区是造成交通事故的罪魁祸首之一，它是指驾驶员位于正常

驾驶座位置，其视线被车体遮挡和不能直接观察到的那部分区域。有一种汽车盲区叫做内轮差盲区，内轮

差是车辆在转弯时前内轮转弯半径与后内轮转弯半径之差；由于内轮差的存在而形成的这个区域（下图所

示）是司机视线的盲区。卡车，货车等车身较长的大型车在转弯时都会产生这种盲区，为了解决这个问题，

现在许多路口都开始设置“右转危险区“标线。

下图是我区某一路口‘‘右转危险区”的示意图，经过测量后内轮转弯半径。小=«。=10米，前内轮转弯半径

QB=QC=4米，圆心角==求此“右转危险区”的面积和周长。

13.（2023•广东•小升初模拟）下图中，底边和高都是6厘米的等腰三角形，分别以高的长为直径画圆，以

底的一半长为直径画两个半圆，求阴影部分的面积。（几取3.14）

B组（培优拓展）

1.（2024六年级•湖北・培优）把一个棱长为2厘米的正方体在同一平面上的四条棱的中点用线段连接起来

（如图所示），然后再把正方体所有顶点上的三角锥锯掉。那么最后所得的立方体的体积是立方厘米。

2.（23-24六年级下•江苏扬州・期末）如图，一张平行四边形的纸沿AB折叠（点