2025-2026学年行列式题目教学设计

2025-2026学年行列式题目教学设计主备人备课成员教学内容分析1.本节课的主要教学内容为行列式的定义（排列的逆序数、n阶行列式的概念）、行列式的基本性质（如对角线法则、行列式的展开定理、行列式的运算性质）及简单行列式的计算方法。

2.教学内容与学生已有知识的联系：基于学生已掌握的二元、三元一次方程组的解法及排列组合基础知识，行列式作为方程组解的判别工具引入，逆序数概念与排列组合中的排列知识直接关联，行列式的展开性质建立在矩阵初等变换的初步认知上。核心素养目标分析培养学生的数学抽象能力，理解行列式的定义和逆序数概念；发展逻辑推理能力，推导行列式的性质和展开定理；强化数学运算能力，掌握行列式的计算方法；应用数学建模能力，将行列式用于解线性方程组问题；提升直观想象能力，可视化行列式的结构。学习者分析1.学生已掌握二元、三元一次方程组的解法，具备排列组合基础知识，初步理解矩阵概念及运算，为学习行列式定义和性质奠定基础。

2.学生对抽象数学概念兴趣分化明显，逻辑推理能力较强但抽象思维发展不均衡，偏好直观例题和计算训练，部分学生依赖教师引导推导性质。

3.学生可能在逆序数计算、高阶行列式展开及性质应用（如行列式乘法规则）中遇到困难，尤其对符号规则和几何意义的理解易混淆，需强化计算规范性训练。学具准备Xxx课型新授课教法学法讲授法课时第一课时师生互动设计二次备课教学方法与手段教学方法：1.讲授法解析行列式定义与性质。2.讨论法分析计算案例激发兴趣。3.实验法用软件验证行列式展开。

教学手段：1.多媒体投影展示行列式结构。2.教学软件如GeoGebra演示计算过程。3.在线工具进行即时测验反馈。教学过程设计**1.导入新课（5分钟）**

目标：激发学生对行列式实际应用的兴趣，建立学习动机。

过程：

（1）教师提问：“同学们解二元一次方程组时学过克莱姆法则，但知道其背后的数学工具是什么吗？行列式如何帮助我们判断方程组解的存在性？”

（2）展示动态课件：用几何动画演示三阶行列式与平行六面体体积的关联，直观呈现行列式的几何意义。

（3）简述行列式在工程、物理（如电路分析、力学平衡）中的核心作用，强调其作为线性代数基石的地位。

**2.行列式基础知识讲解（10分钟）**

目标：掌握行列式定义、符号规则及基本性质。

过程：

（1）**定义解析**：通过二阶行列式\(\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad-bc\)引入逆序数概念，用排列组合解释符号规则（如对换改变奇偶性）。

（2）**结构拆解**：用彩色标注法展示三阶行列式的对角线法则，强调主对角线与副对角线的加减关系。

（3）**性质速记**：结合实例说明行列式转置、行互换、数乘行、倍加行等性质，如\(\begin{vmatrix}ka&kb\\c&d\end{vmatrix}=k\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}\)。

**3.行列式案例分析（20分钟）**

目标：通过分层案例深化计算技巧与性质应用。

过程：

（1）**基础案例**：计算行列式\(\begin{vmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{vmatrix}\)，引导学生观察行成比例关系，直接得出值为0。

（2）**进阶案例**：含参数行列式\(\begin{vmatrix}x&1&1\\1&x&1\\1&1&x\end{vmatrix}\)，要求学生用性质化简后求解\(x\)（答案：\(x=1\)或\(x=-2\)）。

（3）**几何应用**：分析行列式\(\begin{vmatrix}1&1&1\\x_1&x_2&x_3\\y_1&y_2&y_3\end{vmatrix}\)表示三角形面积，关联解析几何知识。

（4）**小组讨论**：分组探究“行列式在密码学中如何加密矩阵数据？”要求提出至少两种应用场景。

**4.学生小组讨论（10分钟）**

目标：培养协作能力与问题解决能力。

过程：

（1）分组：4人一组，分配主题（主题A：行列式在经济学投入产出模型的应用；主题B：高阶行列式降阶计算策略）。

（2）任务：每组分析主题的数学原理、计算难点及优化方案，记录关键结论。

（3）准备：每组推选代表，整理3分钟发言稿。

**5.课堂展示与点评（15分钟）**

目标：强化表达与批判性思维。

过程：

（1）**主题A展示**：小组说明行列式如何量化经济系统平衡性，提出“用行列式判断产业关联强度”。

（2）**主题B展示**：小组演示按第一行展开四阶行列式的步骤，强调代数余子式的符号规律。

（3）**互动点评**：

-学生提问：“若行列式某行全为0，是否可直接判定值为0？”（教师引导性质验证）

-教师总结：

-亮点：主题B组用颜色标注代数余子式符号，降低计算错误率。

-不足：主题A组未说明行列式非零的经济意义（系统可解）。

**6.课堂小结（5分钟）**

目标：构建知识框架，强调应用价值。

过程：

（1）**内容回顾**：用思维导图梳理行列式定义、性质、计算方法及几何意义。

（2）**价值升华**：强调行列式是线性方程组、矩阵可逆性、特征值等高级内容的基础，鼓励学生课后探索行列式在机器学习（如协方差矩阵）中的角色。

（3）**作业布置**：

-基础层：计算行列式\(\begin{vmatrix}2&-1&0\\1&3&4\\0&1&-2\end{vmatrix}\)

-拓展层：证明行列式\(\begin{vmatrix}a&b&c\\b&c&a\\c&a&b\end{vmatrix}=3abc-a^3-b^3-c^3\)知识点梳理1.行列式的定义

（1）排列的逆序数：在一个排列中，一个数前面比它大的数的个数称为该数的逆序数，所有数逆序数之和称为排列的逆序数。逆序数为奇数的排列称为奇排列，偶数的称为偶排列。

（2）n阶行列式的定义：n²个数排成的n阶方阵，其行列式定义为所有取自不同行不同列的n个元素的乘积的代数和，即\(\sum_{j_1j_2\cdotsj_n}(-1)^{\tau(j_1j_2\cdotsj_n)}a_{1j_1}a_{2j_2}\cdotsa_{nj_n}\)，其中\(\tau(j_1j_2\cdotsj_n)\)为排列\(j_1j_2\cdotsj_n\)的逆序数。

（3）特殊行列式：对角行列式（仅主对角线元素非零）、上（下）三角行列式（主对角线一侧元素全为零）的值均等于主对角线元素的乘积。

2.行列式的基本性质

（1）行列式与它的转置行列式相等，即\(D=D^T\)。

（2）互换行列式的两行（列），行列式变号；若行列式有两行（列）完全相同，则行列式为零。

（3）行列式的某一行（列）中所有元素都乘以同一数k，等于用k乘此行列式；行列式的某一行（列）的各元素都是两数之和，则可拆分为两个行列式之和。

（4）行列式的某一行（列）的各元素乘以同一数后加到另一行（列）对应的元素上，行列式不变。

（5）行列式按行（列）展开定理（拉普拉斯定理）：行列式等于它的任意一行（列）的元素与它们对应的代数余子式的乘积之和，即\(D=a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+\cdots+a_{in}A_{in}\)（按第i行展开）或\(D=a_{1j}A_{1j}+a_{2j}A_{2j}+\cdots+a_{nj}A_{nj}\)（按第j列展开），其中\(A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}\)，\(M_{ij}\)为余子式。

3.行列式的计算方法

（1）对角线法则：仅适用于二阶、三阶行列式，二阶行列式\(\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad-bc\)；三阶行列式为“主对角线元素乘积之和减去副对角线元素乘积之和”。

（2）降阶法：利用行列式展开定理，选择零元素较多的行或列展开，将高阶行列式转化为低阶行列式计算。

（3）化三角法：利用行列式性质将行列式化为上三角或下三角行列式，其值等于主对角线元素的乘积。

（4）特殊行列式计算：

-范德蒙德行列式：\(\begin{vmatrix}1&1&\cdots&1\\x_1&x_2&\cdots&x_n\\\vdots&\vdots&&\vdots\\x_1^{n-1}&x_2^{n-1}&\cdots&x_n^{n-1}\end{vmatrix}=\prod_{1\leqi<j\leqn}(x_j-x_i)\)。

-对称行列式：满足\(a_{ij}=a_{ji}\)，其性质可结合对称性简化计算；反对称行列式：满足\(a_{ij}=-a_{ji}\)且\(a_{ii}=0\)，奇数阶反对称行列式值为零。

-分块行列式：若行列式按行（列）分成若干块，且某些块为零矩阵，可利用分块行列式的性质计算。

4.行列式的应用

（1）线性方程组解的判定：n元线性方程组\(AX=b\)，当系数行列式\(D\neq0\)时，方程组有唯一解，解为\(x_i=\frac{D_i}{D}\)（克莱姆法则），其中\(D_i\)是将\(D\)的第i列换为常数项列所得行列式；当\(D=0\)时，方程组无解或有无穷多解。

（2）矩阵可逆的判定：n阶矩阵A可逆的充要条件是\(|A|\neq0\)，且\(A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^*\)，其中\(A^*\)为伴随矩阵。

（3）几何意义：二阶行列式表示由两个二维向量构成的平行四边形的有向面积；三阶行列式表示由三个三维向量构成的平行六面体的有向体积。

（4）其他应用：在解析几何中求平面方程、直线交点；在物理学中求力矩、功等；在经济学中投入产出模型的平衡分析。

5.行列式与相关知识的联系

（1）与矩阵的关系：行列式是对方阵定义的标量运算，矩阵的初等变换对应行列式的性质变化，矩阵的秩可通过非零子式的最高阶数判定。

（2）与向量空间的关系：行列式非零是向量组线性无关的充要条件，可判断向量组的秩及基的构造。

（3）与多项式的联系：范德蒙德行列式与多项式根的关系，行列式展开后可得到多项式表达式。板书设计①**定义与符号**

逆序数：排列中逆序对总数；

n阶行列式：\(\sum(-1)^{\tau(j_1j_2\cdotsj_n)}a_{1j_1}a_{2j_2}\cdotsa_{nj_n}\)；

代数余子式：\(A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}\)。

②**核心性质**

转置不变：\(D=D^T\)；

行互换变号；

数乘行等于行列式乘该数；

倍加行不变；

拆分行列式；

展开定理：\(D=\sum_{k=1}^na_{ik}A_{ik}\)（按行）。

③**计算与应用**

对角线法则（二、三阶）；

化三角法：上三角行列式=主对角元乘积；

降阶法：按零元素多行/列展开；

克莱姆法则：\(x_i=\frac{D_i}{D}\)（\(D\neq0\)）；

几何意义：平行四边形有向面积/平行六面体有向体积。典型例题讲解例题1：计算二阶行列式\(\begin{vmatrix}3&-1\\2&4\end{vmatrix}\)。

答案：\(3\times4-(-1)\times2=12+2=14\)。

例题2：利用性质化简并计算行列式\(\begin{vmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{vmatrix}\)。

答案：第二行减去第一行的4倍，第三行减去第一行的7倍，得\(\begin{vmatrix}1&2&3\\0&-3&-6\\0&-6&-12\end{vmatrix}\)，第三行减去第二行的2倍，得\(\begin{vmatrix}1&2&3\\0&-3&-6\\0&0&0\end{vmatrix}\)，值为0。

例题3：计算范德蒙德行列式\(\begin{vmatrix}1&1&1\\2&3&5\\4&9&25\end{vmatrix}\)。

答案：\((3-2)(5-2)(5-3)=1\times3\times2=6\)。

例题4：用克莱姆法则解方程组

\(\begin{cases}x+y+z=6\\2x-y+z=3\\x+2y-z=2\end{cases}\)。

答案：\(D=\begin{vmatrix}1&1&1\\2&-1&1\\1&2&-1\end{vmatrix}=9\)，

\(D_x=\begin{vmatrix}6&1&1\\3&-1&1\\2&2&-1\end{vmatrix}=9\)，

\(D_y=\begin{vmatrix}1&6&1\\2&3&1\\1&2&-1\end{vmatrix}=18\)，

\(D_z=\begin{vmatrix}1&1&6\\2&-1&3\\1&2&2\end{vmatrix}=27\)，

解得\(x=\frac{D_x}{D}=1\)，\(y=2\)，\(z=3\)。

例题5：求由向量\(\vec{a}=(1,2)\)和\(\vec{b}=(3,4)\)构成的平行四边形面积。

答案：面积\(=\begin{vmatrix}1&3\\2&4\end{vmatrix}=1\times4-3\times2=-2\)，取绝对