新2026年人教版七年级数学下册不等式与不等式组知识点归纳总结

新2026年人教版七年级数学下册不等式与不等式组知识点归纳总结一、不等式的基本概念1.不等式的定义用不等号（大于“>”、小于“<”、大于等于“≥”、小于等于“≤”）连接两个数或代数表达式的式子叫做不等式。例如：3x+52.不等式的解使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解。例如，对于不等式x+3>5，当x=3时，3+3=3.不等式的解集一个不等式的所有解组成的集合叫做这个不等式的解集。例如，不等式x2>0的解集是x>2，它表示所有大于2的实数都是该不等式的解。解集可以用数轴来表示，在数轴上，大于2的部分用空心圆圈表示2这个点（因为24.解不等式求不等式解集的过程叫做解不等式。二、不等式的基本性质1.性质1：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变。如果a>b，那么a±c>b±c。例如，已知2.性质2：不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。如果a>b，c>0，那么ac>bc（或>）。例如，对于不等式2x3.性质3：不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。如果a>b，c<0，那么ac<bc（或<）。例如，对于不等式−3三、一元一次不等式1.一元一次不等式的定义只含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等号两边都是整式的不等式叫做一元一次不等式。其一般形式为ax+b>0或ax+2.一元一次不等式的解法解一元一次不等式的一般步骤与解一元一次方程类似，但要注意在不等式两边乘（或除以）同一个负数时，不等号方向要改变。步骤如下：去分母：在不等式两边同时乘以各分母的最小公倍数，把分母去掉。例如，对于不等式>，两边同时乘以6，得到6×>6去括号：根据去括号法则，把括号去掉。对于3(x+移项：把含有未知数的项移到不等式的一边，常数项移到另一边，移项要变号。由3x+3合并同类项：将同类项进行合并。对于3x4x系数化为1：在不等式两边同时除以未知数的系数，若系数为正数，不等号方向不变；若系数为负数，不等号方向改变。对于−x>−5，两边同时除以3.一元一次不等式的应用一元一次不等式在实际生活中有广泛的应用，常见的问题有方案选择、利润问题、工程问题等。例：某商场为了促销，规定凡购买商品价值满200元者，发奖券一张。奖券2000张发完为止。设一等奖5名，各奖1000元商品；二等奖50名，各奖100元商品；三等奖100名，各奖50元商品。（1）该次活动的中奖率为多少？（2）如果奖券全部发出，那么卖出商品所得销售总额至少为多少元？奖金总额占销售总额的百分比是多少？解：（1）中奖的总人数为5+50+中奖率=×（2）因为购买商品价值满200元发一张奖券，2000张奖券全部发出，所以销售总额至少为200×奖金总额为5==15000奖金总额占销售总额的百分比为×100四、一元一次不等式组1.一元一次不等式组的定义由几个含有同一个未知数的一元一次不等式组成的不等式组叫做一元一次不等式组。例如{x+2.一元一次不等式组的解集几个不等式解集的公共部分叫做这个不等式组的解集。求不等式组解集的过程叫做解不等式组。3.一元一次不等式组的解法解一元一次不等式组的步骤如下：分别求出不等式组中各个不等式的解集。在数轴上表示出各个不等式的解集。找出这些解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集。例：解不等式组{3x解不等式3x1>2x解不等式2x>8，两边同时除以2在数轴上分别表示出x>2和x>4.一元一次不等式组解集的四种情况设a<同大取大：不等式组{x>ax>bx>a同小取小：不等式组{x<ax<bx<a大小小大中间找：不等式组{x>ax<bx>a大大小小找不到：不等式组{x<ax>五、不等式与不等式组的综合题型1.含参数的不等式（组）问题这类问题通常需要根据不等式（组）的解集来确定参数的取值范围。例：已知不等式组{x>ax因为不等式组无解，根据“大大小小找不到”的原则，可得a≥2.不等式（组）与方程的综合问题这类问题往往需要结合方程的解来求解不等式（组）。例：已知关于x的方程2x+a首先解方程2x+a=1x，移项可得因为方程的解为非负数，所以x=≥0，两边同时乘以3，得到13.不等式（组）的实际应用拓展在实际问题中，除了前面提到的方案选择、利润问题等，还有行程问题、浓度问题等。例：某单位计划组织员工到某地旅游，参加旅游的人数估计为10∼25人，甲、乙两家旅行社的服务质量相同，且报价都是每人设该单位参加旅游的人数为x人(10甲旅行社的费用=200乙旅行社的费用=200当=时，150x移项可得160x即10x=160当>时，150x移项可得160x即10x<160当<时，150x移项可得160x即10x>160所以当人数为16人时，两家旅行社费用相同；当人数为10≤x<六、总结不等式与不等式组是七年级数学下册的重要内容，它与方程、函数等知识密切相关。在学习过程中，要理解不等式的基本概念和性质，熟练掌握一元一次不等式和一元一次不等式组的解法，能够运用不等式（组）解决实际问题。通过不断地