2025年四川省高起专数学（理科）考试真题及参考答案

2025年四川省高起专数学（理科）考试练习题及参考答案一、选择题（每题5分，共40分）

1.若函数f(x)=2x3在区间（2，+∞）上是增函数，则实数a的取值范围是（）

A.a>2

B.a≥2

C.a<2

D.a≤2

答案：A

解析：由题意知，f(x)=2x3在区间（2，+∞）上是增函数，即当x1<x2时，有f(x1)<f(x2)。所以，对于任意的x1<x2，有2x13<2x23，即2(x1x2)<0。因为x1<x2，所以x1x2<0，故2>0。所以a的取值范围是a>2。

2.已知函数f(x)=x²2x+1，求f(x)的最小值。

A.0

B.1

C.1

D.2

答案：A

解析：函数f(x)=x²2x+1可以写成f(x)=(x1)²。因为平方项总是非负的，所以f(x)的最小值为0，当且仅当x=1时取到。

3.设函数f(x)=x²2ax+a²+1，其中a为实数，则f(x)的顶点坐标为（）

A.(a,a²+1)

B.(a,a²1)

C.(a,a²+1)

D.(a,a²1)

答案：A

解析：函数f(x)=x²2ax+a²+1可以写成f(x)=(xa)²+a²+1。所以顶点坐标为(a,a²+1)。

4.已知等差数列{an}的前n项和为Sn=2n²+n，求首项a1。

A.1

B.2

C.3

D.4

答案：B

解析：由等差数列的前n项和公式Sn=n/2(a1+an)，得an=2Sn/na1。代入Sn=2n²+n，得an=4n1。因为a1=a1，所以a1=2。

5.已知等比数列{an}的首项为2，公比为3，求第5项a5。

A.162

B.486

C.243

D.81

答案：C

解析：由等比数列的通项公式an=a1r^(n1)，得a5=23^(51)=23^4=243。

6.若直线y=kx+b与圆x²+y²=1相切，则满足条件的实数k与b的关系是（）

A.k²+b²=1

B.k²+b²=2

C.k²+b²=3

D.k²+b²=4

答案：A

解析：直线与圆相切，意味着直线到圆心的距离等于圆的半径。圆心到直线的距离公式为d=|k010+b|/√(k²+1²)。因为圆的半径为1，所以有1=|b|/√(k²+1)。两边平方得到1=b²/(k²+1)，即k²+b²=1。

7.已知三角形ABC的三个内角分别为A、B、C，且A、B、C成等差数列，求角C的度数。

A.30°

B.45°

C.60°

D.90°

答案：C

解析：因为A、B、C成等差数列，所以有2B=A+C。又因为三角形内角和为180°，所以A+B+C=180°。联立这两个方程，得到2B=180°B，解得B=60°。因为A、B、C成等差数列，所以A=Bd，C=B+d。所以C=60°+d=60°。

8.已知函数f(x)=|x2||x+1|，求f(x)的单调区间。

A.(2,+∞)

B.(∞,1)

C.(1,2)

D.(∞,2]

答案：C

解析：当x<1时，f(x)=(x2)(x+1)=2x1，f(x)单调递减；当1≤x<2时，f(x)=(x2)+(x+1)=3，f(x)为常数；当x≥2时，f(x)=(x2)(x+1)=3，f(x)单调递减。所以f(x)的单调区间为(1,2)。

9.已知函数f(x)=x²2x+1在区间（1，+∞）上是减函数，则实数a的取值范围是（）

A.a<1

B.a≥1

C.a>1

D.a≤1

答案：D

解析：由题意知，f(x)=x²2x+1在区间（1，+∞）上是减函数，即当x1<x2时，有f(x1)>f(x2)。所以，对于任意的x1<x2，有2x13>2x23，即2(x1x2)>0。因为x1<x2，所以x1x2<0，故2<0。所以a的取值范围是a≤1。

10.已知函数f(x)=2x3在区间（2，+∞）上是减函数，则实数a的取值范围是（）

A.a>2

B.a≥2

C.a<2

D.a≤2

答案：C

解析：由题意知，f(x)=2x3在区间（2，+∞）上是减函数，即当x1<x2时，有f(x1)>f(x2)。所以，对于任意的x1<x2，有2x13>2x23，即2(x1x2)>0。因为x1<x2，所以x1x2<0，故2>0。所以a的取值范围是a<2。

二、填空题（每题5分，共20分）

11.已知函数f(x)=x²4x+3，求f(x)的单调区间。

答案：单调递增区间为（2，+∞），单调递减区间为（∞，2）。

12.已知等差数列{an}的前n项和为Sn=3n²+2n，求第10项a10。

答案：a10=29。

13.已知等比数列{an}的首项为3，公比为2，求第6项a6。

答案：a6=192。

14.若直线y=kx+b与圆x²+y²=1相切，则满足条件的实数k与b的关系是______。

答案：k²+b²=1。

三、解答题（共40分）

15.（本题10分）已知函数f(x)=x²4x+3，求f(x)的顶点坐标及对称轴。

解：函数f(x)=x²4x+3可以写成f(x)=(x2)²1。所以顶点坐标为(2,1)，对称轴为x=2。

16.（本题10分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn=3n²+2n，求首项a1和公差d。

解：由等差数列的前n项和公式Sn=n/2(a1+an)，得an=2Sn/na1。代入Sn=3n²+2n，得an=6n1。因为a1=a1，所以a1=3。又因为an=a1+(n1)d，得d=ana1/(n1)=(6n13)/(n1)=3。所以首项a1=3，公差d=3。

17.（本题20分