第16讲 三角形的概念及性质（原卷版）-2024年中考数学一轮复习讲义

第16讲三角形的概念及性质

目录

长或取值范围

一、考情分析

题型02应用二角形的二边关系化简含有

二、知识建构绝对值的式子

考点一三角形的相关概念题型03应用三角形的三边关系解决线段

的和差比较问题

题型01三角形的分类题型04三角形内角和定理的证明

，题型02三角形个数的规律探究问题题型05应用三角形内角和定理求角度

题型06三角形内角和与平行线的综合应

，题型03三角形的稳定性用

考点二三角形的重要线段题型07三角形内角和与角平分线的综合

应用

题型01画三角形的高、中线、角平分线题型08三角形折叠中的角度问题

题型02已知三角形的高、中线、角平分题型09应用三角形内角和定理解决三角

板问题

线，判断式子正误题型10应用三角形内角和定理探究角的

数量关系

题型03等面积法求三角形的高

题型11三角形内角和定理与新定义问题

题型04利用网格求三角形的面积综合

题型05与垂心性质有关的计算题型12应用三角形外角的性质求角度

题型13三角形的外角性质与角平分线

题型06根据三角形的中线求长度的综合

题型07根据三角形的中线求面积题型14三角形的外角性质与平行线的综

合

题型08判断重心位置题型15应用三角形的外角性质解决折叠

题型09与重心性质有关的计算问题

题型16三角形内角和定理与外角和定理

考点三三角形的性质综合

题型01应用三角形的三边关系求第三边

考点要求新课标要求命题预测

在初中几何数学中，三角形的基础

三角形的相关

知识是解决后续很多几何问题的基础.

概念

>理解三角形及其内角、外角、中线、高线、角平分所以，在中考中，与其它几何图形结合

线等概念，了解三角形的稳定性.

三角形的重要考察的几率比较大，特别是全等三角形

线段的性质和判定的综合应用.考生在复习

该考点时，不仅要熟悉掌握其本身的性

>探索并证明三角形的内角和定理.掌握它的推论：质和应用，还要注重转化思想在题目中

三角形的性质三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.的应用，同步联想，其他几何图形在什

>证明三角形的任意两边之和大于第三边.么情况下会转化成该考点的知识考察.

题型01三角形的分类

默型02三/形个数的规律探究问跃

题型03三角形的穰定性

三

跃里01画三角形的高、中线.角平分拨

角题型02已知三角形的高.中战、角平分战，判断式子正误

三角形的商垂心的住所

形的型03等面积法求三角形的高

三角形的、三角形的中线正心的性质题早04利用网格求三角形的面积

的联型05与奉心性质有关的计算

重要线段

概c=mawwa<r)超型06根据三角形的中线求长度

题型07根据二角形的中线求面积

念三角形的中勺线

题型08判断困心位置

及题型09与重心慢质有关的计算

性

质题生01应用三角形的三方关系求第三边长或取值范困

趺型02应用三角形的三边关系化简含有绝对俏的式子

定理形的两边之和大于第三边.联盘03应用三角形的三边关系熟夫我段的和差比较问趺

三建生三角形内用和定选的证明

三角形三边关系04

取与05应用三角形内用和定理求向度

角拴论：三角形的两边之差小于第三边.

m-06三角形内用和与用及谈j综合应月

形:三角形三个内向即等于

三角形的内角和180°.I®型07三角形内的和与角平分蝌综合应用

的音三角形折■中的角度碉

:点角三角形的两个税角互余.08

性J®生09应用三角形内角和定理解决三角板问时

质定理：三角形的外角和等于360，题型10应用三角形内角和定理探究角的数量关系

W条应鬲外自和)题型11三角形内角和定理与新定义问题综合

三角形的一个外角等丁和它不相邻的两个内角的和

题型应用三角形外角的性质求角度

性质12

,、三角的一4^卜角大于任何一个和它不相邻的内角］曜13三角形的外角性质与角平分战的综合

题里14三角形的外角性质与平行我的综合

题型15应用三角形的外角性质解决折■问题

球里16三角形内角和定理与外向和定理综合

考点一三角形的相关概念

.夯基-必备基础知识梳理

三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所构成的图形叫做三角形.

三角形的表示：用符号“A”表示，顶点是A、B、C的三角形记作"ABC”，读作“三角形ABC”.

三角形的分类：

'三边都不相等的三角形

1）三角形按边分类：三角形|*阿（等边三角形

、‘一'I底边和腰不相等的等腰三角形

（直角三角形

2）三角形按角分类：三角形|3一缶e（锐角三角形

斜二角形……

（I钝角三角形

三角形的稳定性：三角形三条边的长度确定之后，三角形的形状就唯一确定了.

易错

1.三角形的表示方法中代表“三角形”，后边的字母为三角形的三个顶点，字母的顺序可以自由安

排.即AABC,AACB等均为同一个三角形.

2.等腰三角形中至少有两边相等,而等边三角形中三边都相等,所以等边三角形是特殊的等腰三角形.

3.四边形及多边形不具有稳定性，要使多边形具有稳定性，方法是将多边形分成多个三角形，这样多

边形就具有稳定性了.

.提升•必考题型归纳

题型01三角形的分类

【例1】（2022•河北石家庄•石家庄市第四十一中学校考模拟预测）如图，一只手盖住了一个三角形的部分图

形，则这个三角形不可能是（）

A.钝角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形

【变式（2020•河北保定・统考一模）如图，一个三角形只剩下一个角，这个三角形为（）

A

A.DE,GH,MIB.GF,EF.MFC.GD,EI,MHD.AD,AG,GD

【变式2-2】阅读下列材料并填空.平面上有〃个点（，心2）且任意三个点不在同一条直线上，过这些点作

直线，一共能作出多少条不同的直线？

（1）分析：当仅有两个点时，可连成1条直线；当有3个点时，可连成3条直线；当有4个点时，可连成

6条直线；当有5个点时，可连成10条直线……

（2）归纳：考察点的个数和可连成直线的条数&发现：如下表

点的个数可作出直线条数

c2X1

2i=s2=—

飞c3x2

33=S3=—

/c4x3

46=S4=—

mc5X4

5io=s5=—

.............

nx(n-l)

n

n2

（3）推理：平面上有〃个点，两点确定一条直线.取第一个点A有n种取法，取第二个点8有（〃-1）种取

法，所以一共可连成〃（小1）条直线，但48与B4是同一条直线，故应除以2；即加=吟3

（4）结论：sn=巴3

试探究以下几个问题：平面上有〃个点（”23）,任意三个点不在同一条直线上，过任意三个点作三角形，

一共能作出多少不同的三角形？

（1）分析：

当仅有3个点时，可作出一个三角形；

当仅有4个点时，可作出一个三角形；

当仅有5个点时，可作出一个三角形；

（2）归纳：考察点的个数〃和可作出的三角形的个数S”，发现：（填下表）

点的个数可连成三角形个数

3

4

5

......

n

（3）推理：（4）结论：

【变式2-3］（2022•吉林长春•校考模拟预测）一个圆周上有12个点：4，々，&，,・・，必1，以它们为

顶点连三角形，使每个点恰好是一个三角形的顶点，且各个三角形的边都不相交.问：有多少种连法？

题型03三角形的稳定性

【例3】（2023•山西运城・统考二模）学校、工厂、企业等单位的大门都是收缩性大门，这种门的门体可以伸

缩自由移动，以此来控制门的大小.这种方法应用的数学知识是（）

A.三角形的稳定形B.四边形的不稳定性

C.勾股定理D.黄金分割

【变式3-1］（2023•广东佛山•校考一模）要使下面的木架不变形，至少需要再钉上几根木条？（）

A.1条B.2条C.3条D.4条

【变式3-2］（2022.河北保定.校考一模）能用三角形的稳定性解释的生活现象是（）

【变式3-3］（2021•浙江台州•一模）如图，升降平台由三个边长为1.2米的菱形和两个腰长为1.2米的等腰

三角形组成，其中平台AM与底座AW平行，长度均为2.4米，B,坳分别在AM和AW上滑动，且始终保

持点坳，C1,A/成一直线.

(1)这种升降平台的设计原理是利用了四边形的一性;

(2)为了安全，该平台在作业时N5,不得超过40。，求平台高度(A4o)的最大值(sin20°=0.34).

考点二三角形的重要线段

夯基-必备基础知识梳理

重要线段概念图形性质

三角形的高从三角形一个顶点向它的对边做垂AVAD是AABC中BC边的高

zh

线，顶点和垂足之间的线段叫做三角

:.ZADB=ZADC=90°

形的高线(简称三角形的高).

BDC

三角形的中在三角形中，连接一个顶点和它对边A

&VAD是AABC中BC边的中线

线的中点的线段叫做三角形的中线

/.BD=CDSAABD-SAADC

BDC

CAACD—CAABD=AC—AB

三角形的角三角形的一个角的平分线与这个角AVAD是AABC中NBAC的角平分线

平分线的对边相交，这个角的顶点和交点间

B—D、CAZBAD=ZDAC=iZBAC

的线段叫做三角形的角平分线.2

三角形的中连接三角形两边中点的线段叫做三A•・•DE是AABC的中位线

位线角形的中位线

/.AD=DBAE=EC

B乙---------

DE二BCDE/7BC

2

概念图形性质

1）重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。

三角形三2）重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。

重心条中线交

点3）重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。

1）锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点

上；钝角三角形的垂心在三角形外；

2）锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆

半径之和的2倍。

三角形三

垂心

条高交点A3）三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6组四点

共圆.

4）锐角三角形的垂心是垂足三角形的内心；锐角三角形的内接三

角形（顶点在原三角形的边上）中，以垂足三角形的周长最短.

易周易错

1.三角形的高、中线、角平分线是三条线段，由三角形的高可得90°的角，由三角形的中线可得线段

之间的关系，由三角形的角平分线可得角之间的关系.

3.当」知三角形两边的中点时，可考虑运用三角形中位线定理，得到相应线段的数量关系与位置关系.

提升•必考题型归纳

题型01画三角形的高、中线、角平分线

【例1】（2023•河北石家庄•校联考二模）如图，在中，边AB上的高是（）

【变式1-1］（2023•河北石家庄•校联考模拟预测）在△/BC中，AB=AC,BC长度不确定，报据尺规作图痕

迹，用直尺不一定能直接画出8C边的高的是（）

【变式1-2］（2023•河北石家庄♦校联考模拟预测）嘉洪剪•个锐角△A8C做折纸游戏，折叠方法如图所示,

折痕与交于点。，连接AD,则线段力。分别是△力8c的（）

A.高，中线，角平分线B.高，角平分线，中线

C.中线，高，角平分线D.高，角平分线，垂直平分线

【变式「3】（2023♦广东深圳♦统考二模）观察下列尺规作图痕迹，其中所作线段AD为△ABC的角平分线的

是（）

【变式『4】（2023・河北石家庄•统考一模）如图，嘉琪任意剪了一张钝角三角形纸片（N力是钝角），他打算

用折叠的方法折出匕C的角平分线、4B边上的中线和高线，能折出的是（）

c

A.AB边上的中线和高线B.4。的角平分线和718边上的高线

C.ZT的角平分线和48边上的中线D.乙C的角平分线、边上的中线和高线

【变式1-5］（2023•河北石家庄•校联考二模）小熊和小猫把一个三角形纸片折一次后，折痕把原三角形分成

A.中线B.中位线C.高线D.角平分线

【变式「6】（2023•吉林松原•统考一模）图①、图②均是6x6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1,

每个小正方形的顶点叫格点.△力BC的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列

要求画图，保留作图痕迹.

（1）在图①中画A/IBC的中位线DE,使点E分别在边A8、BC上;

（2）在图②中画△ABC的高线

题型02已知三角形的高、中线、角平分线，判断式子正误

【例2】（2023•江苏扬州•校考二模）如图，AD,AE,AF分别是A4BC的中线，角平分线，高.则下列各式

中错•误•的是（）

A

C.BC=2CDD./.BAE=-2Z-BAC

【变式2-1］（2020上安徽池州-八年级统考期末）如图，在△ABC中,AD是高,AE是角平分线,AF是

中线，则下列说法中错误的是（）

A.BF=CFB.ZC+ZCAD=90℃.ZBAF=ZCAFD.SAABC=2SAABF

题型03等面积法求三角形的高

CD1AB,AC=5,BC=12,AB=13,则点C到直线力8的距离等于（）

65

C.TiD.

【变式3-1］（2023•河北张家口•统考一模）如图，在点A,B,C,。中选一个点；与点M,N为顶点构成一

个三角形，其面积等于的面积，这个点为（）

A.点AB.点BC.点CD.点。

【变式3-2］（2023•江苏苏州模拟）数学活动课上，小敏、小颖分别画了和△。上人数据如图，如果

把小敏画的三角形面积记作品A8C,小颖画的三角形面积记作凡那么你认为（）

AD

小敏画的三角形小颖画的三角形

A.S^ABC>S^DEFB.S&ABC<S&DEF

C.S&ABC=SADEFD.不能确定

【变式3-3］（2023・陕西西安・西安市曲江第一中学校考二模）如图，小正方形边长为I,连接小正方形的三

个顶点，可得△ABC,则4c边上的高长度为（）

题型04利用网格求三角形的面积

【例4】（2021.辽宁沈阳•统考一模）如图，在3x3的网格中，每个小正方形的边长均为1,点A,B,C都在

格点上，则S“WC的面积为（）

【变式4-1］（2023•北京・统考二模）如图所示的网格是正方形网格，点A,B,C,。均在格点上，则为八8c.

【变式4-2］（2023•陕西西安•校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，网格上的每个小正方形的边长均

为I,△ABC的顶点坐标分别为力（一1,3）,5（2,0）,C（—3,—l）.

（1）在图中画出aABC关于x轴对称的△&BiG（点A、B、C的对应点分别为4、丛、G）；

（2）求△48c的面积.

题型05与垂心性质有关的计算

【例5】（2022•安徽•校联考三模）如图,已知AA82中，"CB=45\F是高BD和CE的交点,AD=3,0=5,

则线段的长度为（）

A.1B.2C.2V2-3D.472-3

【变式5-1］（2021.山东威海・统考模拟预测）【信息阅读】垂心的定义：三角形的三条高（或高所在的直线）

交于一点，该点叫三角形的垂心.

【问题解决】如图，在中，/-ABC=40°,乙4c8=62。，〃为△48C的垂心，则乙8HC的度数为（）

B.115°C.102°D.108°

【变式5-2］（2022.浙江绍兴・统考•模）在学习三角形高线时，发现三角形三条高线交于•点，我们把这个

交点叫做三角形的垂心.课后小明同学继续探究，上网搜索得到了三角形重心的一条性质，制作了如下表

格进行探究.

三角形关型直角三角形锐角三角形钝角三角形

⑴表格中①处应填：

（2）小明先选择了直角三角形来探究重心的性质，写出了已知求证，请完成证明.

已知：如图1,是RtaABC的外接圆，=Rtz.,”是△力BC的垂心，0E1BC,垂足为£.

求证：AH=20E.

（3）如图2,。。是锐角三角形ABC的外接圆，高线A/与高线CG交于点H,0E1BC于点E,为了证明4”=

20E.小明想把锐角三角形的问题转化为直角三角形，为此他过点8作了（DO的直径8D,请继续小明的思

路证明.

【变式5-3］（2021・山西吕梁・统考二模）阅读下列材料，并完成相应的学习任务：

我们知道三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心，三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心.由于三角形的

三条高（或高所在的直线）相交于一点，因此我们把三角形三条高的交点叫做三角形的垂心.卜面我们以

锐角二角形为例，证明二角形的二条岛相交于一点.

如图，在aABC中，AD,BE分别是BC,AC边上的高，且A。与8E相交于点P.连接CP并延长，交48

于点F.

求证：CFVAB.

证明：分别过点4,B,C作它们所对边的平行线，三条平行线两两相交于点M,N,Q.分别连接PM,PN,

PQ.

，：MN“BC,MQ//AB,NQ//AC,

・•・四边形MA/3C,四边形AN8C,四边形/WQC都是平行四边形.

:・BC=AM=AN,AC=BN=BQ,AB=MC=CQ.

VXD1BC,

ZM/1D=ZAD«=9O°,即ADLMN.

:,PM=PN.

学习任务：

N

（1）请将上面剩余的证明过程补充完整：

（2）点、P是AMNQ的（填出字母代号即可）

A.内心B.外心C.垂心D.重心

（3）若NC48=40°,则NMPN三。.

题型06根据三角形的中线求长度

【例6】（2023•陕西西安・交大附中分校校考模拟预测）如图，4。是△力8c的中线，AB=5,AC=4,AACD

的周长为10,则△力8D的周长为（）

【变式6-1］（2023•青海・统考一模）在△4BC中，。是BC边的中点，若48=9,AC=5,则△4BC的中线4。

长的取值范围是（）

A.5<AD<9B.4<AD<9C.2<AD<14D.2<AD<7

【变式6-2］（2022•河南焦作・统考模拟预测）如图，8E是△48C的中线，点尸在BE上，延长4”交BC于

【变式6-3］（2022•江苏泰州•模拟预测）△A8C中，AB：AC=3：2,BC=AC+1,若△ABC的中线8。把

△的周长分成两部分的比是8：7,求边力8,女的长.

题型07根据三角形的中线求面积

【例7】（2023•广东梅州・统考一模）如图，aABC的面枳为30,BD=2CD,E为48的中点，则△ADE的面

积等于（）

A

E

BD

A.15B.12C.10D.9

【变式7-1］（2023•江苏南京•南师附中新城初中校考模拟预测）如图△48C中，点。是BC边的中点，E是4C

边上一点，且AE=2EC,连接力。、BE交于点F,若△8。尸的面积是3,则△A8C的面积为.

【变式7-2］（2023•江苏扬州•校考二模）探究应用：

（1）如图①，在A4BC中，中税4。、BE交于点0.若的面积为6,求四边形OOCE的面积.

小明在求解时，利用“三角形的中线平分此三角形的面积'’的结论，连接。。，设△ODC的面枳为％,△OEC的

二-------，麻以四边形OOCE的面积为x+y=.（请

7=_______

完善本小题的空格，共4个空格）

（2）如图②，在AABC中，AD是中线，AE=EF=FC,AD^BE.分别交于点M、N.若四边形NDC"的

面积为14,求△ABC的面积.

⑶在（2）的条件下，求八的面积.

【变式7-3］（2023•黑龙江哈尔滨・统考二模）己知四边形1（。中,AC,相交于点E,43=CD,乙ABE=

Z.DCE.

⑴如图，求证：乙EBC=2ECB；

⑵如图2,延长84延长CD相交于点F,若点D是CF的中点.在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出

图2中的四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于△ADF面积的2倍.

题型08判断重心位置

【例8】（2023.河北石家庄.统考一模）如图，在4x4的正方形格纸中，△力庆?的顶点均在格点上，BC边与

网格线交于点。，4c边过格点E,连接4D,BE相交于点O,则点。为△48C的（）

A.重心B.外心C.内心D.以上结果均不对

【变式8-1］（2023•江苏无锡・统考一模）已知△ABC在正方形网格中的位置如图所示，点力、B、C、P均在

格点上，有下列结论：①点P在乙4cB的角平分线上；②直线8P可以把△力8c分成面积相等的两部分；③点P

是448。的外心；④点P是△ABC的重心.其中正确的有.（直接填写序号）

题型09与重心性质有关的计算

【例9】（2023•江苏苏州・苏州高新区第二中学校考二模）等腰△4BC中，AB=AC=5,8c=6,则重心G

到底边的距离是.

【变式9-1］（2（）23•上海•一模）如图，G是△4BC的重心，延长BG交4C于点。，延长CG交718于点E,P、Q

分别是ABCE和△BCD的重心，BC长为6,则PQ的长为.

【变式9-2］（2021.河北邢台.二模）如图，ZkABC中，点。、E分别为42、"的中点,连接DE,线段胆CD

相交于点0,若0D=2,则。。=.

【变式9-3］（2023•江苏泰州•校考三模）如图，在平面直角坐标系中，点8（-2,3）,点。在大轴负半轴，

OB=BC,点加为40BC的重心，若将△OBC绕着点。逆时针旋转90。,则旋转后三角形的重心的坐标为

考点三三角形的性质

.交箜:维韭础知识梳理

三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边.

推论：三角形的两边之差小于第三边.

三角形三边关系定理及推论的应用：

1）判断三条已知线段能否组成三角形，只需检验最短的两边之和大于第三边，则可说明能组成三角形.

2）已知三角形两边的长度分别为a,b,求第三边长度的范围：|a-b|VcVa+b

3）所有通过周长相加减求三角形的边，求出两个答案的，要注意检查每个答案能否组成三角形.

三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180。.

推论：直角三角形的两个锐角互余.

三角形的内角和定理的应用：

1）在三角形中，已知两个内角的度数,可以求出第三个内角的度数；

2）在三角形中，己知三个内角的比例关系，可以求出三个内角的度数；

3）在直角三角形中，已知一个锐角的度数，可以求出另一个锐角的度数.

三角形的外角和定理：三角形的外角和等于360°.

三角形的外角和的性质：1）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和;

2）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.

.提升•必考题型归纳

题型01应用三角形的三边关系求第三边长或取值范围

【例1】（2021・福建宁德・统考一模）下列三条线段中，能组成三角形的是（）

A.2,3,4B.2,3,5C.2,2,4D.2,2,5

【变式「1】（2022•山东淄博・统考一模）已知三角形的三边长分别为3,4,人且x为整数，则x的最大值

为（）

A.8B.7C.5D.6

【变式1-2］（2021・湖南娄底•统考中考真题）2,5,m是某三角形三边的长，则-3尸+-7尸等于（）

A.2m-10B.10-2mC.10D.4

【变式1-3］（2018•甘肃武威・中考真题）已知mb,c是△ABC的三边长,a,。满足口-7|+（b-1）2=0,c

为奇数，则c=—.

【变式「4］.（2021.江苏淮安・统考中考真题）一个三角形的两边长分别是1和4,若第三边的长为偶数，

则第三边的长是

【变式1-5］（2021上•四川内江•九年级四川省隆昌市第一中学校考阶段练习）三角形两边的长分别为2和5,

第三边的长是方程/一8x+15=0的根，则该三角形的周长为—.

【变式「6】（2021・四川遂宁•统考中考真题）先化简，再求值：U+m+3）,其中加是已知

T7m2xin-3/

两边分别为2和3的三角形的第三边长,且根是整数.

题型02应用三角形的三边关系化简含有绝对值的式子

【例2】（2019下•山东潍坊・九年级校联考期中）如果一个三角形的三边长分别是2,3,m,则化简

Vn?2-10m+25-|2-2m\-7的结果是.

【变式2-1］（2021•湖南•长沙市长郡双语实验中学校考一模）若a,b,。是△ABC的三边的长，则化简佃-

b-c\+\b—c—a\+\a+b—c\=.

题型03应用三角形的三边关系解决线段的和差比较问题

【例3】（2023•陕西渭南•统考一模）在学习了勾股定理后，数学兴趣小组在李老师的引导F，利用正方形网

格和勾股定理，运用构图法进行了探究活动：如图，在5x5正方形的网格中，每个小正方形的边长为1,

点儿8、C均在格点上，已知△ABC的三边长分别为2石、2鱼、2,李老师在图中已经画出了其中一边48.请

你补全△ABC,并根据图形比较2店与2四+2的大小.

【变式3-1］在△4BC中，AB>AC,40是△48C的角平分线，请比较48-4C与8。一OC的大小，并说明

理由.

【变式3-2】（2023下•安徽蚌埠•八年级统考期末）下面是小明和小亮比较及+6与大小的过程，关

于两人的思路.

小明小亮

「分别将两式平方，得】7乍一个直角三角形,两直角边长分别为戊，月

（四十向2=5+2疯利用勾股定理，得斜边长为：

72+3）2=5,J"2）2+（j3）2=〈,

•••5+24>5,由三角形中两边之和大于第三边，得：

.-,,/2173>7275卢7?>、，⑵3,

A.小明对，小亮错B.小明错，小亮对

C.两人都错D.两人都对

题型04三角形内角和定理的证明

【例4】（2023•陕西西安・西安市航天中学校联考模拟预测）某班学生对三角形内角和为180。展开证明讨论,

以下四个学生的作法中，小能证明△48C的内角和为180。的是（）

过点A作力DII8CB.BCD延长到点过点C作CEII4B

A

A

C.BDC过点4作A。i于点。D.BDG1BC上一点。作DEII4C,

DFIIAB

【变式4-1］（2022.北京・统考中考真题）下面是证明三角形内角和定理的两种添加辅助线的方法，选择其中

题型05应用三角形内角和定理求角度

【例5】（2022•黑龙江哈尔滨•校考模拟预测）如图，将Rt△48。绕直角顶点C顺时针旋转90。，得到△4®。,

连接44',若444'e=20°,则NC夕H的度数是（）.

A.70°B.65°C.60°D.55°

【变式5-1］（2022•河北唐山•校考一模）在△ABC中,己知〃=IB=2/C,则△力BC是（)

A.等腰三角形B.等边三角形

C.直角三角形D.等腰直角三角形

【变式5-2］（2022上•河北唐山•九年级统考期中）在△ABC中，若