概率论与数理统计知识点

概率论与数理统计知识点

第一章随机事件及其概率

1.1随机事件

1.2概率

1.3条件概率与全概公式

1.4事件的独立性与伯努利概型

第二章随机变量及其分布

2.1随机变量与分布函数

2.2离散型随机变量及其分布

2.3连续型随机变量及其分布

2.4二维随机变量

2.5随机变量函数的分布

第三章随机变量的数字特征

3.1数学期望

3.2方差

3.3几种常见分布的数学期望与方差

3.4随机变量矩、协方差与相关系数

第四章大数定律与中心极限定理

4.1切比雪夫不等式

4.2大数定律

4.3中心极限定理

第五章抽样分布

5.1总体与样本

5.2样本函数与样本分布函数

5.3抽样分布

第六章参数估计

G.1点估计

6.2估计量的评价标准

6.3区间估计

6.4正态总体均值与方差的区间估计

6.5非正态总体参数的区间怙计

第七章假设检验

7.1假设检脸的基本概念

7.2单个正态总体参数的假设检验

7.3两个正态总体参数的假设检验

7.4非正态总体参数的假设检卷

7.5总体分布的假设检验

第八童方差分析

8.1问题的提出

8.2单因素试脸方差分析

8.3单因索方差分析举例

第九章回归分析

9.1问题的提出

9.2一元正态线性回归

9.3一元非线性回归简介

9.4多元线性回归

9.5多元回归应用举例

第一章随机事件及其概率知识要点及重要例题

一、知识要点。

①重要公式

lr1

\A+才二。

(r2JX

\Z~A+B=A-B=A+B(德摩根定理)

(z3JX

\/P(A+B)=p(A)+P(B)-F(AB)(加法公式)批注[M01]:特别地,如果A与B互不相容.则

z4

\(

P(A-B)=P(A)-P(AB)(减法公式)P(A+B)=P{A)+P(B)：

l/5IX

\/P(AB)=P(A)P(B|A)或P(AB)=P(A|B)P(B)(乘法公式)

I/6

\P(3)=E?=oP(4)P(8|4)(全概率公式)由因求果

批注[M02]:特别地,如果B包含于A,则P(A-

/

\7

P(4|B)=户「然;窑)(叶贝斯公式)由果索因B)=P(A)-P(B);

②概率定义批注[M03]:特别地，如果A与B相互独立，则

(1)统计定义：频率稳定在一个数附近，这个数称为事件的概率；P(AB)=P(A)P(B);

(2)古典定义：要求样本空间只有有限个基本事件，每个基本事件出现的可

能性相等、则事件A所含基本事件个数与样本空间所含基本事件个数的

比称为事件的古典概率；

(3)几何概率：样本空间中的元素有无穷多个,每个元素出现的可能性相等,

则可以将样本空间看成一个几何图形，事件A看成这个图形的子集，它

的概率通过子集图形的大小与样本空间图形的大小的比来计算；

(4)公理化定义：满足三条公理的任何从样本空间的子集集合到[0,1]

的映射

③随机事件

(1)事件的三种运算：并u(和)、交n(积)、差；注意差A-B可以表示成A

与B的逆的积,，

(2)四种运算律：交换律.结合律、分配律、德莫根律

(3)事件的五种关系:包含、相等、互斥(互不相容)、对立、相互独立。

随机现象具有一定的规律性

必然事件•重复性

■明确性

随机性

聒事件J

基本事件空间/样本空间(C)]n22个随机事件事件C

靠事件不可"

④概率的性质

(1)不可能事件的概率为零。

(2)概率具有可加性。

(3)对任意事件A,有2G=1-外用。

(4)若AnB,gljP(A-B)=P(A)-P(B)o

(5)加法公式。

⑤条件概率

P(B|A)指的是A发生的条件下事件B发生的概率。

⑥事物的独立性

对于事件A、B,若P(AB)=P(A)P(B),则称事件A与B相互独立。

相互独立的充要条件：P(B|A)=P(B),

二、重要例题.

「283,4

3.停车场有10车位排成1行，现在停着7辆车。求恰有3个连接的车位空着的概率。

答：设A=”恰有3个连接的车位空者・.

因为这个实验样本空间共有埒°个样本点，事件A包含8个样本点,这可由

车位号123,234,345,…8910得到.所以

P(A)喘4

4.某产品50件,其中有次品5件。现从中任取3件，求其中恰有1件次品的概率。

答：这是一个古典概型问题.设A=｛其中恰有1件次品｝。

=

n=Cgo»心45

故P（A）=：=^=^

»•L50

第二章随机变量及其分布及第三章随机变量的数字特征知识要点及重要例题

一、知识要点。

①常见的离敢型随机变量及其分布，数学期望及方差。

分布参数分布律或概率密度数学期望(E)方差(D)

0-1分布/伯努利分布

0<p<1P(X=k)=pk(l-p)・k,fc=o,1P(1-P)

X〜B(l,p)P

二项分布P(X=k)=C仙气时卜,

n>1

npnp(l-p)

X〜B(n.p)0<p<1

k=0,1..........n

P(X=k)=k!

泊松分布

>0AA

X〜P")

k=0,1,2........n....

P(X=k)=pqJ

几何分布

11-P

0<p<1fc=1,2,…,M,…/

X〜Gip)P—

q=l-p

超几何分布P(X=k)="尸,kez

M<NLNnNnMMN-n

(1

X〜Hn<NVNN)N-1

max{0fn-N+M}<k<M}

②常见的浮缤掣随机变量及其分布，数学期望及方差。

分布参数分布律或概率密度数学期望(E)方差(D)

1

T-----,aSxgb

PM=b-a

均匀分布懵概率分布0,其他

a+b(b—a)2

a<bA1,x<a

X〜b)r-a212

F(x)=卜-----,a<x<b

?一a

JLx>b

0产，x>0

°(X)=

(0,x<011

指数分布X〜E。)A>Q

(1-ef>0a*

F(x)=x

I0,x<0

p(%)=.w(2d},8VXV+8

正态分布X〜NOM)(T>0〃o2

2

产。)=-7=[e20dt,-oo<x<+oo

(Tv2rrJ-03

③概率密度函数的性质

(1)P(x)>0,-co<X<+co

(2)p(x)dx=P(-8<X<+oo)=P(U)=1(归一性)

(3)对任怠实数&b(avb),有

P(a<X<b)=F(b)-F(a)=Jp(x)dx

(4)对任意实数x,P{X=x)=0.

(5)F(x)是连续函数,且在p(x)的连续点x处有F(3)=p(x)

④正态分布X〜N(〃R2)性质

(1)PQ)的图像关于％=”对称。

(2)P(x)在x=〃处达到最大，最大值为7焉°

(3)P(x)在点岛e4)和点(〃+6恚处有零点。

(4)x离〃越远，pG)值越小，当x趋向无穷大时.p(%)趋于零，即p(x)

以x轴为渐近线。

(5)当〃固定，o愈大,则p(x)最大值愈小,即曲线越平坦；。愈小，则p(x)

最大值愈大，即曲线愈尖。

(6)当o固定而改变〃时，即将p(x)的图形沿x轴平移。

*PS当〃=0,。=1时，称X服从标准正态分布，记作X〜N(0.1)

1X2

其概率密度：9(幻=&^(?-可，-co<%<+co；

其分布函数为：6(x)=7套Je~Tdt,-oo<x<+oo

标准化：只要令S=―就可得：

(5

火冷一小(宁)一一卷【：/公

二维随机变量

批注[M04]:性质：

P{(X,y)=(Myf))=Pij(i,j=1,2....)为《=

(1)Paso；

⑵

=(x,y)的分布率或称为x和丫的联合分布率。(二维禽散型)XEPij=i-

P{(X,X)eD}=jjp(x,y)dxdyD={(x,y)|a<x<b,c<y<d]

D

称p(x,y)为f批注[MO5]:性质.

⑴〃(工y)>)；

(ffP(x.y)dxdy=l.

=(x,丫)的概率密度曳称x和丫的联合概率密度。(二维连续型)2)D

[(p(x)dx]y,a<y<(i

P(y)=J°y

、0，其他

⑥随机变量的独立性

X和丫相互独立的充要条件：p(x,y)=p(x)p(y)

如果X和丫相互独立，则

cov(X,V)=E[[X-E(X)][Y-F(r)]}=0

⑦数学期望(E),方差(D),协方差c。%相关系数p/pxy

£陶々Pi(离散型)

(1)数学期望：E")=E[f(X)]

f^f(x)p(x)dx(连续型)

(2)方差：D(X)=E([X-F(X)]2]=E(X2)-(F(X))2="3产

(3)协方差：cov(XtY)=E(AT)-E(X)E(Y).

cov

(仆4)为相平关玄系勃数•-p-_p八xy_-而希(X丽Y)一一E{(X-7E(X=)][y=-E(—y)])

⑧数学期望(E),方差(D),协方差co%相关系数P/Pxy的重要性质

(1)数学期望：

I.F(C)=C.

II.E{CX}=CZ-(X).

川.E(X+r)=E(X)+E(Y)=E(E%%)=£占E(X)

2.£(*/)=/；0-£(丫)(尤丫相互独立)=£([1?=1；0=[1%£(%).

(2)方差：

I,D(C)=0.

II,D(X+C)=D(X).

III.D(CX)=C2D(X).

iv.D(x+Y)=D(X)+D(n(x,y相互独立)==E%D(X»

V.D(X±y)=D(X)+DOO±2E[(X-E(X))(V-F(V))].

⑶协方差：

I.cov(.X,y)=cov(Y,X).

II.若a,b为常数，^\cov(aX,bY)=abcov(X,X).

\l\.cov(Xr+X2,Y)=cov(Xlty)+COV(X2,Y').

(4)相关系数：

I\PXY\<1.

II.\pXY\=1的充要条件是存在常数。*0,b,使P8=aX+B)=1,即

PXY=1或Pxv=-i的充要条件是随机变量X与丫以概率1存在线性关系。

III.若随机变量X与丫相互独立，则X与丫不相关。

(相互独立=cov(X,V)=0=Pxy=o=不相关)

⑨F(x)=P(X<x)=ExfcsxP(X=Xk)=&目Pk(-co<x<+8)

二、重要例题。

P704,6,10,11,9

P952,4

P704.设X泊松分布,且已知尸3=1)=。(*=2),求产4=4).

答：由题意，先求出参数人.根据

P(X=1)=%"=*"P(X=2),

得到入=2,因此

/24

P(X=4)=—e-A=—e-2a0.0902.

一一kx+1,0<x<2

6.已知连续型随机变量X有概率密度p(x)=八廿八求系数4及分

0,其他

布函数“幻，并计算外1.5<X<2.5).

答：+l)dx=停+x|=2k+2=1,k=心,

fT+巾”卜*+»%

(0,x<0,

所求分布函数：F(x)=]-：/+乙0W%<2,

[1,x>2.

P{1.5<X<2.5}=F(2.5)-“1.5)

=l-[-7-(1.5)2+1.5]=0.0625

10.设随机变量X的分布函数为：

1-(1+x)e-x,x>0

产(%)=

0,x<0

试求相应的概率密度函数.并求P(X<D,P(X>2),P(1<X<2).

分析：分布函数与概率密度函数有如下关系：

F(x)=fpWdu,p(x)=Ff(x).

J—8

答：概率密度函数p(x)=尸'(x)=^e~X+(1+X)e~xx>0

xV0,

2

P(X<1)=F(l)=1——,

e

3

P(X>2]=1-P(X<2]=1-F(2)=1-[1-3e-2]=前,

P(1<X<2)=fp(x)dx=F(2)-F(l)=[1-(14-2)e2]

(1—e~x,x>0.

11.设随机变量X的分布函数光F(x)=八c

mX<Q.

(1)求X的概率密度函数p(x)；

(2)求P{XW2},P{X>3}.

e~x,x>0,

答：⑴p(x)=尸⑺=八八

(2)P{X<2}=F(2)=1-e-2«0.8647,

P{X>3]=1-P(X<3)

=1-F(3)=1-(1-e-3)«0.04979

9.假设随机变量X与丫都服从正态分布N(0,a2),且P{><i,y<-1}=；则「{>>

1,丫>1}=().

123

(力匕(B)-(C)-(D)l

444

答案是：(4).

分析：记4