2024人教版八年级数学下册《二次根式的加法与减法》每课时教学设计汇编（含两个教案）

19.3二次根式的加法与减法（第1课时）教学设计

一、内容和内容解析

i.内容

本节课是在学习二次根式乘除运算及化简的基础上，研究二次根式的加减运算。二次根式的运算方法

与数的运算方法本质上是一致的，实数的运算律对二次根式的运算仍然适用。

2.内容分析

本节课是二次根式运算的核心内容之一，承接二次根式的乘除运算与化简，是实数运算体系在根式领

域的延伸。其核心逻辑是类比数的加减运算本质，将二次根式的加减转化为“同类二次根式的合并”，这

与整式加减中“同类项的合并”的思想一脉相承。同时，实数的运算律（交换律、结合律、分配律）是二

次根式加减运算的依据，既巩固了“运算律通用于实数系”的认知，也为后续更复杂的根式混合运算奠定

基础，在初中代数运算教学中起到承上启下的关键作用。

基于以上分析，确定本节课的教学重点为：在化简二次根式的基础上，应用分配律进行二次根式的加

减运算。

二、目标和目标解析

1.目标

（1）探索二次根式加减运算的方法和步骤，发展推理能力。

（2）会进行二次根式的加减运算，发展运算能力。

2.目标解析

（1）聚焦过程性学习，强调学生不是被动接受“先化简，再合并”的步骤，而是通过自主探究、类比

迁移，理解二次根式加减运算的本质。引导学生类比整式加减中同类项的概念，自主归纳同类二次根式的

定义，实现从“数的加减"到''式的加减”的迁移推理；通过具体例子的计算，让学生提炼出“先化简二

次根式，再合并同类二次根式”的运算步骤，培养逻辑推理与归纳概括能力。

（2）聚焦技能掌握，要求学生能熟练运用运算步骤解决具体问题，同时深化运算能力的培养。能准确

判断同类二次根式，熟练完成二次根式的化简；能处理含括号的二次根式加减运算，合理运用运算律简化

计算，同时通过运算过程培养严谨的数学思维习惯。

三、教学问题诊断分析

具体表现：一是误将不同类二次根式直接合并：二是对同类二次根式的判断存在局限，认为只要根号

下的数字不同就不是同类二次根式，无法识别需要化简后才能判断的同类二次根式。

诊断分析：学生对同类二次杈式的本质内涵理解不到位，混淆了二次根式的加减运算与被开方数的加

减运算，同时二次根式化简技能不熟练，不能将非最简二次根式转化为最简形式，进而无法准确判断同类

二次根式。

应对策略：教学中可采用类比教学法，将同类二次根式与整式中的同类项概念进行对比，明确二者“本

质属性一致才能合并”的共性，帮助学生建立知识关联；总结“先化简，再看被开方数；被开方数相同，

才能合并”的口诀，强化学生的判断逻辑；设计对比辨析练习题，选取典型题目，让学生分组判断并阐述

理由，加深对概念的理解。

基于以上分析，确定本节课的教学难点为：准确判断同类二次根式。

四、教学过程设计

（一）复习引入

前面我们学习了二次根式的乘法与除法运算，接下来研究怎样进行二次根式的加法与减法运算.

设计意图：明确学习脉络：济晰呈现二次根式的学习框架（概念T性质T运算T应用），帮学生梳理

已有知识（乘法、除法），同时引出本节课重点——二次根式的加减运算。启发学习方法：渗透“类比

学习”的思路，让学生意识到可以将已有知识的学习方法迂移到新内容的探究中，培养知识迁移能力。

（二）合作探究

思考如何计算旧+03?

追问1如何化简历和YTT?

答：V27+X4T2=3V34-2V3.

追问2化简后的两个二次根式有什么特征？

这两个二次根式的被开方数相同，我们称它们为同类二次根式.

追问3类比整式运算中的合并同类项，你能计算36+26吗？

=375+273化成最简二次根式

=（3+2）逐禾IJ用分配律合并

=5V5.

二次根式的加减：一-般地，二次根式加减时，先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的

二次根式合并.

简记为：“一化简、二判断、三合并“

设计意图：从具体问题切入：以具体的计算为载体，让学生在实际运算需求中自然进入二次根式加减

的学习，避免抽象概念的生硬灌揄。分层拆解难点：通过3个追问，逐步拆解二次根式加减的核心步骤；

渗透数学思想：通过“类比整式的合并同类项”，强化知识迁移的学习方法，同时借助“分配律”体现代

数运算的共性逻辑。

(三)典例分析

概念辨析下列各组二次根式中，化简后是同类二次根式的是(D)

A.VI与B.V5与61c.V5与6D.V75与何

例1计算：

(1)V80-V45；(2)V9^+V25a；⑶2712-683质

解：⑴府-q=46-36=0.

(2)y/9a+y/25a=3y/a+5\/a=Sy/a.

(3)2/12-64+3A/48=4X/3-2V3+1273=(4-2+12)75=14VI

追问比较二次根式的加减与整式的加减，你能得出什么结沦？

二次根式的加减一爵一整式的加减

转化

例2计算：

(I)(XAT2+V20)+2(V3-V5)；(2)(卷-何).

解：(I)(m+^)+2(V5-V5)=2VJ+2V5+2V5-26=475.

(2)|(V3-V2)-；(T2-V27)=；存；后沾+那=20.

24224444

例3有一块长为7.5dm、宽为5dm的木板，能否采用如图的方式，在这块木板上截出两个面积分别是

8dm2和18dm2的正方形木板？

分析由图可以看出，只要木板的宽大于大正方形木板的边长，木板的长大于两个正方形木板的边长的

和，就能截出所要求的两个正方形木板.

解：大正方形木板的边长为厂dm.因为「＜5,所以这块木板够宽.

1818

两个正方形木板的边长的和为（«+厂）dm,而

818

由厂＜1.5可知5—V7.5,即两个正方形木板的边长的和小于这块木板的长，所以这块木板够长.

22

因此，可以用这块木板按要求裁出两个面积分别是8dm2和18dm2的正方形木板.

设计意图：概念巩固：通过“概念辨析”题，让学生快速检验对“同类二次根式”的理解，强化“先化简再

判断”的核心逻辑。方法落地：例1聚焦基础运算，分不同形式练习“化简一合并”的步骤，帮学生熟练掌握

二次根式加减的基本操作：例2拓展到含括号的运算，类比整式的去括号法则，让学生迁移运算经脸，掌

握更复杂的二次根式加减运算。联系实除应用：例3将二次根式加减与实际问题结合，既巩固运算技能，

又让学生体会教学的实用价值，提升应用意识。

（四）巩固练习

1.下列计算是否正确?为什么?

(l)V4+V9=V4+9；错误：V4-h/9=2+3=5

⑵“-75=限5；错误：V8-x/3=2V2-V3

(3)3V2-V2=2V2.正确

2.计算：

(1)277-6近；(2)^4-727-3&(3)AA8+(V98-V27)：

解：(1)2V7-6V7=-4V7.

(2)/12+727-3卜2百+3存3乂?=4Q.

⑶依+(须-何)=3夜+(7&-3遍)=3a+7vL36=1072-375.

(4)(V24+VCL5)-(^-V6)=(2V6+/)-(J-V6)=2>/6+[-y+瓜=3瓜+-苧=3述+苧.

3如图,两个圆的圆心相同,它们的面积分别是62.8和141.3.求圆环的宽度明取3.14）.

解：设大圆的半径为R,小圆的半径为广,

由题意得:7t/?2=141.3,）=62.8,

解得：R=3V5,『26，

d=R-r=3y/5-2V5=yj5.

答：圆环的宽度d为6.

设计意图：学完新知识后及时进行课堂巩固练习，不仅可以强化学生对新知的记忆，加深学生对新知

的理解，还可以及时反馈学习情况，帮助学生查漏补缺，帮助教师及时调整教学策略。

（五）归纳总结

二次根式的加减

同类

被开方数相同的二次根式.叫作同类二次根式.

二次根式

一般地，二次根式加减时，

二次根式

先将二次根式化成最简二次根式.

的加减

再将被开方数相同的二次根式合并.

（六）感受中考

1.（2023年山东烟台）下列二次根式中，与仁是同类二次根式的是（C）

A.V4B.V6C.V8D.y]n

2.（2023年山东青岛）下列计算正确的是（C）

A.&+V5=V5B.2V3-V3=2C.V2xV3=V6D.712-3=2

3.（2025年广东广州）下列运算正确的是（D）

A.『匚〃3=〃5B.（-2"）3=8/好

C.\l7i-y[b=y[cTb[a>b>^）D.2a+5a=7加色0）

4.（2023年山东临沂）设m=5/，-而，则实数机所在的范围是（B）

A.m<-5B.-5<w<-4C.-4<ZM<-3D.〃?>-3

5.（2025年四川自贡）计算：g-3&=0.

6.（2023年江苏南京）计算gx%-惟的结果是_3V5_.

7.（2024年山东淄博）计算：V27-2V3=逐

8.（2024年山东威海）计算：AH2-V8：：V6=—-273.

设计意图：在学习完新知识后加入中考真题练习，不仅可以帮助学生明确考试方向，熟悉考试题型,

检验学习成果，提升应考能力，还可以提升学生的学习兴趣和动力。

（七）小结梳理

二次板式的概念

乘法\axvb=Vab(a>0,b>0)

除法-(a^0,b>0)

加减“一化简、二判断、三合并”

（八）布置作业

1.必做题：习题19.3第I,2题.

2.探究性作业：习题19.3第4,7题.

五、教学反思

19.3二次根式的加法与减法（第2课时）教学设计

一、内容和内容解析

1.内容

本节课是在上一节课的基础上，结合二次根式的化简、乘除和加减运算，利用交换律、结合律、分配

律及多项式乘法公式进行二次根式的混合运算。

2.内容分析

本节课承接二次根式的化简、加减、乘除运算，核心是将实数运算律（交换律、结合律、分配律）和

多项式乘法公式迁移应用到二次程式的混合运算中。其本质是让学生体会“二次根式运算与整式运算的一

致性”一一二次根式的混合运算顺序与整式混合运算完全相同，即先乘方、再乘除、最后加减，有括号先

算括号内的；多项式乘法公式（平方差公式、完全平方公式）乜可直接用于含二次根式的代数式运算。这

一内容不仅是对前序知识的整合与巩固，更是培养学生代数运算素养的关键环节，为后续解戾实际问题和

更复杂的代数运算奠定基础。

基于以上分析，确定本节课的教学重点为：综合运用运算法则和运算律进行二次根式的运算。

二、目标和目标解析

1.目标

（1）能根据运算律和相关法则进行二次根式的四则运算，发展运算能力。

（2）会说出二次根式四则运算的依据并用这些依据评估运算的正确性。

2.目标解析

（1）聚焦技能的综合运用，要求学生将二次根式的化简、加减、乘除运算融合，按照正确的运算顺序，

借助运算律简化计算过程。能熟练完成二次根式的化简，准确判断同类二次根式，在混合运算中避免“漏

乘”“符号错误”“化简不彻底”等问题：能合理运用交换律、结合律整合同类二次根式，利用分配律简

化展开运算，针对能用乘法公式的题型，选择简便方法计算；能处理含多层括号、多种运算的复杂题型，

实现二次根式与整式运算方法的互通，提升综合运算素养。

（2）聚焦算理的理解，强调学生不仅要“会算”，更要“知其所以然”，从“操作层面"上升到''逻

辑层面”，培养严谨的数学思维。能准确说出每一步运算的依据，进一步理解“实数运算律和公式对二次

根式同样适用”的核心思想，构建完整的代数运算知识体系。

三、教学问题诊断分析

1.运算顺序混乱

学生对二次根式混合运算顺序的认知模糊，未将整式混合运算顺序迁移过来，同时存在运算粗心、步

骤跳跃的问题，缺乏“分步运算”的习惯。

应对策略：教学中强调“二次根式混合运算顺序与整式一致”，帮助学生建立知识关联；要求学生在

解题时标注运算顺序，如用箭头标出“先算乘除”的部分，养成分步书写的习惯；设计含易精运算顺序的

对比题，让学生辨析不同解法的正误，强化顺序意识。

2.乘法公式误用

学生对乘法公式的结构特征理解不透彻，仅机械记忆公式形式，未掌握“公式适用的前提是两项和与

两项差相乘、两项和或差的平方”，同时对二次根式参与公式运算的形式不熟悉。

应对策略：帮助学生理解公式结构，整理“公式结构对比表”，明确平方差公式和完全平方公式的特

征，标注公式中的“〃”可代表二次根式；设计“公式匹配题”，让学生判断哪些题型能使用乘法公

式，强化公式适用条件的认知。

基于以上分析，确定本节课的教学难点为：根据运算律和相关法则进行二次根式的四则运算。

四、教学过程设计

（一）复习引入

1.同类二次根式：被开方数相同的二次根式，叫作同类二次根式.

2.二次根式的加减：一般地，二次根式加减时，先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的

二次根式合并.

前面我们学习了二次根式的乘除与加减运算，接下来研究怎样进行二次根式的混合运算.

设计意图：直接梳理“同类二次根式”的概念和“二次根式加减”的步骤，快速唤醒学生的已有知识，

为新内容（混合运算）铺垫必要的基础技能。

（二）合作探究

例4计算：

(1)(V8-h/3)xV6；(2)(4\/2-3x/6)-r2V2.

思考（1）中，先计算什么？后计算什么，最后的FI标是什么？（2）呢？

与有理数、实数运算一样，在混合运算中先乘除，后加减；对于（1）：先算乘，再化简，若有相同的

二次根式进行合并，最后的目标是二次根式是最简二次根式；这于（2）：先算除，再化洵，若有相同的二

次根式进行合并，把所有的二次根式化成最简二次根式.

解：(1)(“+V5)x气

=V8xx/6+V3xV6乘法分配律或多项式乘单项式

=748+718二次根式的乘法法则

=4V3+3A/2.二次根式的化简

解：

(2)(4V2-3V6)4-2V2.

=4V2-2V2-3V6-2V2多项式除以单项式

=2-1V3.二次根式的除法法则

例5计算：

(1)(任3)乂(叵5)：（2）（V5+V3）（V5-V3）.

解：⑴(应+3)x(播・5)

2

=(V2)+3V2-5V2-15多项式乘以多项式

=2-272-15二次根式的性质和运算

=-13-2&.合并同类项

(2)(N/5+V3)(V5-V3)

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=(V5)-(A/3)平方差公式

=5-3二次根式的性质

=2.合并同类项

设计意图：迁移运算逻辑：通过类比实数的运算顺序（先乘除后加减），让学生快速掌握二次根式混

合运算的基本顺序，降低新知的恒生感。强化法则应用：每一步标注对应的法则（如乘法分配律、平方差

公式），帮学生建立“操作T依据”6勺美联，理解运笄的合理性。

(三)典例分析

例1计算：

(1)V2(V3+V5)；(2)(V80+V40)-V5；

(3)(V5+3)(V5+2)；(4)(V6+V2)(V6-V2).

解：⑴夜(代+逐)=&x6+6xV5=在+g.

(2)(府+同产庠疯+6+闻+庠筛+唇4+2«

(3)(V5+3)(V5+2)=(V5)2+2V5+3V5+6=5+5A/5+6=II+5>/5.

(4)(V6+V2)(V6-V2)=(V6)2-(V2)2=6-2=4.

例2计算：

(1)(4+V7)(4-V7)；(2)(五+〃)(迎-代)；

一)一L2

(3)(V3+2)-；(4)(2\/5-V2).

解：(1)(4+V7)(4-V7)=42-(V7)i=16-7=9.

(2)(y/a+->/b)(Va-^b)==(y/ay-(yfb/=a-b.

(3)(V3+2)2=(V3)2+2XV3X2+22=3+4V3+4=7+4A/3.

(4)(2V5-x/2)2=(2V5)2-2x2>/5xV2+(V2)2=20-4x/70+2=22-47i(j.

设计意图：全面覆盖运算类型：通过例1、例2涵盖二次根式混合运算的核心形式，让学生系统练习不

同场景下的运算方法。强化公式正移：重点突出平方差公式、完全平方公式在二次根式运算中的应用，让

学生明确整式运算公式可直接迁移到二次根式中，降低复杂运算的难度。

(四)巩固练习

1.下列计算正确的是(B)

A.3+V3=3V3B.V8-V2=2

C.6x正=瓜D.3V5-V5=3

2.计算：(0+l)(V5-l)=(A)

A.1B.2C.-1D.3

3.计算(6-if的结果是_6-26.

4.计算：(V3+V2)(V3-V2)2=—V3-V2

5.计算：V2（V2-V3）+V6=-2—.

设计意图：学完新知识后及时进行课堂巩固练习，不仅可以强化学生对新知的记忆，加深学生对新知

的理解，还可以及时反馈学习情况，帮助学生查漏补缺，帮助教师及时调整教学策略。

（六）归纳总结

二次根式的混合运算

运算顺序先乘除，后加减

（类比）整式的运算法则一乘法公式

依据

二次根式的运算法则

（六）感受中考

1.（2025年河北）计算：（50+述）（50-巫尸（B）

A.2B.4C.6D.8

2.（2023年辽宁大连）下列计算正确的是（D）

A.（V2