2024年高考数学试卷（全国甲卷文）解析卷

绝密*启用前

2024年普通高等学校招生全国统一考试

全国甲卷文科数学

使用范围：陕西、宁夏、青海、内蒙古、四川

注意事项：

1.答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上.

2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮

擦擦干净后，再选涂其它答案标号.

3.答非选择题时，必须使用05毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上.

4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.

5.考试结束后，只将答题卡交回.

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

［集合力二{123,4,5,9},8=《卜+1£/},则力nB二()

A.{1,2,3,4}B.{1,2,3}C.{3,4}D.{1,2,9}

【答案】A

【解析】

【分析】根据集合8的定义先算由具体含有的元素，然后根据交集的定义计算.

【详解】依题意得，对于集合4中的元素x,满足x+1=1,2,3,45,9,

则x可能的取值为0,1,2,3,4,8,即8={0,1,2,3,4,8},

于是{1,2,3,4}.

故选：A

2.设二二血「贝ijz.z=()

A.-iB.1C.-1D.2

【答案】D

【解析】

【分析】先根据共扼复数的定义写出W，然后根据复数的乘法计算.

【详解】依题意得，；=_瓜故Z2■=-2i2=2.

故选：D

4x-3y-3>0

3.若实数满足约束条件工一2»-2«°，贝收二x-5y的最小值为（）

2x+6y-9W0

17

A.5B.-C.-2D.一一

）?

【答案】D

【解析】

【分析】画出可行域后，利用z的几何意义计算即可得.

4x-3y-3N0

【详解】实数满足《x-2y-2W0作出可行域如图:

2x+6y-9<0

由z=x-5y可得y=-x--2f

即z的几何意义为y=Jx-J二的截距的一!,

则该直线截距取最大值时，z有最小值，

此时直线y二1二过点A,

x-3(3、

4x-3y-3=0x=——,J.

联立c/八八，解得2即4-J，

2x+6y-9=01'J

37

贝|Jzmin=—5x1=—

故选：D.

4.等差数列｛q｝的前〃项和为£，若$9=1,%+%=（）

A.-2B.|C..葭

【答案】D

【解析】

【分析】可以根据等差数列的基本量，即将题目条件全转化成0和a来处理，亦可用等差数列的性质进行

处理，或者特殊值法处理.

【详解】方法一：利用等差数列的基本量

9x8

由59=1,根据等差数列的求和公式，Sq=9a1+—d=109^+36^=1.

22

又出+%=卬+2d+q+6d=2a]+8c/=—（9^）+36t/）=—.

故选：D

方法二：利用等差数列的性质

根据等差数列的性质，目+用=4+乌，由&=1,根据等差数列的求和公式，

S产组誓=也普=1,故％+%]

故选:D

方法三：特殊值法

12

不妨取等差数列公差d-0,则S,=1=9q=>q=§,则为+%=2q=—,

故选：D

5.甲、乙、丙、丁四人排成一列，丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是（）

1112

A.-B.-C.-D.-

43）?

【答案】B

【解析】

【分析】分类讨论甲乙的位置，得到符合条件的情况，然后根据古典概型计算公式进行求解.

【详解】当甲排在排尾，乙排第一位，丙有2种排法，丁就1种，共2种；

当甲排在排尾，乙排第二位或第三位，丙有1种排法，丁就1种，共2种：

于是甲排在排尾共4种方法，同理乙排在排尾共4种方法，于是共8种排法符合题意；

基本事件总数显然是A：=24,

Q1

根据古典概型的计算公式，丙不在排头，甲或乙在排尾的概率为9=」.

74?

故选：B

6.己知双曲线C：与一==l（Q>0/>0）的上、下焦点分别为P（0,4）,F,（0,-4）,点尸（-6,4）在该双曲

a~匕

线上，则该双曲线的离心率为（）

A.4B.3C.2D.72

【答案】C

【解析】

【分析】由焦点坐标可得焦距2c,结合双曲线定义计算可得2a,即可■得离心率.

【详解】由题意,F,（0,-4）、B（0,4）、。（-6,4）,

则卜八二勿=8,阀"62+（4+4/=10,附卜心+（4-4）2=6,

则为二=10・6=4,则u=^=）=2.

故选：C.

7.曲线/6）=》6+3》-1在（0,・1）处的切线与坐标轴围成的面积为（）

A1RV3c1DV3

A227

【答案】A

【解析】

【分析】先求出切线方程，再求出切线的截距，从而可求面积.

【详解】/CG）=6x5+3,所以/（t（0）=3,故切线方程为歹=3（x-0）-l=3x-l,

故切线的横截距为,，纵截距为-1,故切线与坐标轴围成的面积为1xlx1=l

?236

故选：A.

8.函数/'（x）=-?+（/・已东加在区间［-2.8,2.8］的大致图像为（）

【答案】B

【解析】

【分析】利用函数的奇偶性可排除A、C,代入X=1可得/'(1)>0,可排除D.

2x2v

【详解】/(-X)=-x+(e-e»)sin(-x)=-x+(e-e.x)sinx=/(x),

又函数定义域为卜2.8,2.8],故该函数为偶函数，可排除A、C,

1

又/(1)=-1士--」>0

22e42c

故可排除D.

故选：B.

「一COS6ZA…(兀、、

9.己知--------——=>/3.则tana+—=()

cos<7—s:in//I4)

A.2\l3+1B.2\/3—1C.D.]一G

7

【答案】B

【解析】

COSot

【分析】先将-------:—弦化切求得tana,再根据两角和的正切公式即可求解.

m<;(7-winn

【详解】因为皿.

cosdr-sin67

所以■；----=6,=>tana=1-—>

I-tana3

mri,(兀、tana+lrr

所以tana+—=-------=2V3-1,

V4J1-tana

故选：B.

原10题略

io.设a、。是两个平面，加、〃是两条直线，且an6=〃?.下列四个命题：

①若〃"/〃，则〃//a或〃//。②若小_L〃，则〃

③若〃//a,且〃/加，则〃7〃〃④若〃与a和。所成的角相等，则机」_〃

其中所有真命题的编号是()

A.①③B.②④C.①②③D.①③④

【答案】A

【解析】

【分析】根据线面平行的判定定理即可判断①；举反例即可判断②④；根据线面平行的性质即可判断③.

(详解】对①，当〃ta,因为〃?〃〃，小i8，则〃//,

当〃i。，因为〃?〃〃，ni1a,则〃//a,

当〃既不在a也不在。内，因为〃"/〃，。，则〃//a且〃/小，故①正确；

对②，若阳_L〃，贝妨与a,£不一定垂直，故②错误；

对③,过直线〃分别作两平面与a,B分别相交于直线$和直线，，

因为〃//a,过直线n的平面与平面a的交线为直线$,则根据线面平行的性质定理知〃//$,

同理可得〃/〃，则”〃，因为s丈平面。，力平面0,则$//平面。，

因为si平面a,an6=加，则§//〃?，又因为〃//s,则机〃〃，故③正确；

对④，若an6二见〃与a和。所成的角相等，如果〃/⑶〃//仇则〃?〃〃，故④错误；

综上只有①③正确，

故选:A.

7T,9

11.在33。中内角儿氏。所对边分别为4也C，若8=:，b'=—ac,MsinJ+sinC=()

aa

3口用V3

AA.B.、/2C.Dn.

222

【答案】C

【解析】

【分析】利用正弦定理得sin/sinC二」再利用余弦定理有/+c?=巨m,再利用正弦定理得到

34

sin2A+sin2C的值，最后代入计算即可.

【详解】因为8:工,则由正弦定理得sin4sinC=9sin28=l.

240a

,9

由余弦定理可得:b2=a2+c2-ac=-ac,

4

2

即:/+c=—ac;根据正弦定理得sin?4+sin?C=—sin^sinC=—;

4417

,,,7

所以(sinA+sinC)2=sin2A+sin2C+2sin/sinC=—,

因为4。为三角形内角，则sin力+sinC>0,则sin%+sinC=^.

故选：C.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

原13题略

12.函数/(x)=sinx-VJcosx在兀］上的最大值是.

【答案】2

【解析】

【分析】结合辅助角公式化简成正弦型函数，再求给定区间最值即可.

(兀、itit2TC

【详解】f(^)=sinx-73cosA=2sinx——,当x«0,可时，x——G——,一

当了一工二2时，即工二次时，f(x)=2.

326v/max

故答案为：2

11_5

11已知八L有一国二一?则”——.

【答案】64

【解析】

【分析】将logx。/。及4利用换底公式转化成log2。来表示即可求解.

1131,5,

【详解】由题1----------；-7=；-----------logt7=--整理得(log2，)--5bg2夕・6=0,

2v627

log8alog,4log,。22

Plog2a=-\或log?a=6,又a>1,

6

所以log2a=6=log22,故Q二十二64

故答案为：64.

14.曲线y=x3-3x与y=-(x-1)-+。在(0,+8)上有两个不同的交点，则〃的取值范围为

【答案】(-21)

【解析】

【分析】将函数转化为方程，令/-3x=-(x-l『+a,分离参数a,构造新函数

g(v)=?+f-5x+1,结合导数求得g(x)单调区间，画出大致图形数形结合即可求解.

32

【详解】令V・3x=・(xT)+a,即〃=炉+/-5、+],令g(x)=x+x-5.r+1(x>U),

则g<t(x)=3f+2x-5=(3x+5)(r-l),令g<t(x)=0(x>0)得x=1,

当x£(0,1)时，g阳<0,g("单调递减，

为£(l,+8)时，g(t(A)>0,g&)单调递增，g(0)=l,g(l)=-2,

因为曲线》二x3-3x与歹二-(x-l)2+a在(0,+00)上有两个不同的交点，

故答案为：(-2,1)

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17题第21题为必

考题，每个考题考生必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

(一)必考题：共60分.

15.已知等比数列｛〃“｝的前〃项和为£,且2S”=3%+|-3.

(1)求｛为｝的通项公式；

(2)求数列｛S〃｝的通项公式.

/八"-1

【答案】(1)a=-

213j2

【解析】

【分析】（1）利用退位法可求公比，再求出首项后可求通项;

（2）利用等比数列的求和公式可求S”.

【小问1详解】

因为2S”=3，故2sz=3您・3，

所以2%=3。e・3%（〃>2）即54=3a„+1故等比数列的公比为q二:,

故2q=3q_3=3qxq_3=5q_3,故为

【小问2详解】

，5丫

lx

（丫

由等比数列求和公式得s“二353

-7T-2

16.如图，在以力，B,C,D,E,尸为顶点的五面体中，四边形与四边形4OE厂均为等腰梯形,

BC//AD.EF//AD,4D=4,AB=BC=EF=2,ED=MFB=26M为/0的中点.

（1）证明：平面CDE；

（2）求点区到力跖的距离.

【答案】（1）证明见详解；

I?

【解析】

【分析】（1）结合已知易证四边形为平行四边形，可证4M〃CO,进而得证;

（2）作连接04,易证。9,0。,。月三垂直，结合等体积法匕人此二匕5M即可求解.

【小问1详解】

因为BC/AD,BC=2,4。=4,M为4。的中点，所以BCHMD,BC=MD,

四边形8coM为平行四边形，所以BM//CD,

又因为BM丈平面CDE,CDI平面CDE,所以BMH平面CDE；

【小问2详解】

如图所示，作8。JL/。交力。于O,连接。/，因为四边形49CQ为等腰梯形，BC//AD.AD=4,

AB=BC=2,所以CO=2,

结合（1）BCDM为平行四边形，可得=CD=2,

又/例=2,所以△/氏0为等边三角形，0为4M中点,所以08=6，

又因为四边形力为等腰梯形，M为力。中点，所以EF=MD,EF〃MD,

四边形£足必。为平行四边形，FM=ED=AF,所以为等腰三角形，

“8M与△力底边上中点。重合，。b」_4初，OF=>JAF2-AO2=3：

因为OB2+0产=B产,所以。B_|_。/，所以OB,0D,0F互相垂直，

2

由等体积法可得VM_ABF=VF,ABM,VF_ABM=1S"F0=；•与2・3=5

FA2+AB2-FB2(如「+22-(2/『IV39

cusNFAB=-------------=--------7=-^----=-7=,sinZ.FAB=-=

0CA.APn/in-»c/i八/in

c1a•/CAPI/779,39,39

S/\cA=-FA-AB-s\nZ.FAB=—T==-------,

222x/102

设点用到凡4B的距离为d，则匕/FAB=VFABKf=-'^FAB'd=-'—'d=^'

Af-r/fDr-Ao\I3^rAb?)

解得4=变叵，即点M到4?厂的距离为必A.

H13

17.已知函数/Q)=o(x・l)・lnx+l.

(1)求/(%)的单调区间；

(2)若时，证明：当*>1时，/(x)<e'T恒成立.

【答案】(1)见解析(2)见解析

【解析】

【分析】(I)求导，含参分类讨论得出导函数的符号，从而得出原函数的单调性;

(2)先根据题设条件将问题可转化成证明当x>1时，-Zx+l+lnx>0即可.

【小问1详解】

/lx)定义域为(0,+8),f'(x)=a--=^-

XX

QX—]

当a40时，f\x)=--------<0.故小在(0,+8)上单调递减；

Y

当a>0时，X£(，,+81时，.八(/)>0,/G)单调递增，

当xw时，/<t(x)<0，危)单调递减.

a)

综上所述，当aW0时，.危)在(0,+8)上单调递减；

a>0时，.心在仕,上单调递增，在m上单调递减.

)Ia)

【小问2详解】

ad且x>1时，ev-1-J[x)=e"1+lnx-l>e'"-2x+1+Inx,

令或t)=e-1-2r+1+ln.x(x>1),下证g(x)>0即可.

gV)=ev-1-2+-,再令(x)=g1x),则/f(x)=e'T--V，

rx

显然〃(x)在(1,+8)上递增,则/河(x)>M(l)=e0-1=0,

即g<t(X)=/7(X)在(1,+8)上递增,

^(tW>g(t(l)=e0-2+l=0,即聚外在(1,+8)上单调递增，

故对x)>g(1)=e°-2+1+In1=()，问题得证

x2v2(3、

18.设椭圆C：r+A=im>b>0)的右焦点为/，点"1，7在。上，旦轴.

a~b~v2>

(1)求。的方程；

(2)过点夕(4,0)的直线与。交于48两点，N为线段抨的中点，直线NB爻直线MF于点Q,证

明：/Q_Ly轴.

22

【答案】⑴—+^-=1

4彳

(2)证明见解析

【解析】

【分析】(1)设尸(c,0),根据M的坐标及“/_Lx轴可求基本量，故可求椭圆方程.

(2)设力=人x・4),/(»,必)，3(工2,乃)，联立直线方程和椭圆方程，用力*的坐标表示

弘-珪，结合韦达定理化简前者可得乃-为=0,故可证40JLy轴.

【小问1详解】

设尸(c,0),由题设有c=l且之=3,故之1=3故0=2,故b=j3,

a2a7

/V2

故椭圆方程为土+乙二1

43

【小问2详解】

直线44的斜率必定存在，设8(x2,乃)，

x2-32k2x+64IC-12=0,

故A二1024〃・4(3+4炉)(64*・12)>0,故一:<〃<；,

,32kz64F-12

又…=罚5=万奇~

而唱°）故直线如=吉卜万

3%弘乂⑵，-5)+3以

所以乂w=y+L^=|\2I几

2x?-52X7-5

Mx-4)x(29-5)+3〃(七-4)

2无一5

64.72432k2

_卜2"I，2-5(%+=2)+8_卜'3+4-'+必？

2x,-52x>-5

128炉-24-160*+24+32F

让-----------

--------------3+二0'

2X2-5

故y二歹0，即4。JLy轴.

【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：

（1）设直线方程，设交点坐标为（无,凹）,（工2,g）；

（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于X（或y）的一元二次方程，注意△的判断；

（3）列出韦达定理：

（4）将所求问题或题中的关系转化为2+%、工占（或乂+必、NM）的形式；

（5）代入韦达定理求解.

（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，并用2B铅笔将所选题号

涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分，如果多做，则按所做的第一题计分.

19.在平面直角坐标系xQy中，以坐标原点。为极点，X轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐

标方程为r=rcos0+1.

（1）写出C的直角坐标方程;

（2）设直线，：\一。为参数），若C与/相交于月、6两点，若卜目二，求a的值.

y=t+a

【答案】（l）/=2t+l

（2）a=-

4

【解析】

【分析】（1：根据=可得。的直角方程

0COS。=x

（2）将直线的新的参数方程代入C的直角方程，

法I：结合参数S的几何意义可得关于。的方程，从而可求参数a的值；

法2：将直线的直角方程与曲线的直角方程联立，结合弦长公式可求。的值.

【小问1详解】

FHr=rcos0+1,将]'-J”：+.