2025-2026学年高二数学上学期期末模拟卷（北师大版选择性必修第一册）（全解全析）

高二数学上学期期末模拟卷（北师大版

全解全析

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4.测试范围：北师大版2019必修第一册第一章〜第七章。

第一部分（选择题共58分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要

求的。

1.若直线li：3x—4y+10=0与直线—10=0平行，则，i与5之间的距离是（）

A.3B.1C.1D.4

【答案】A

【分析】先利用平行直线的判定可求出m,再利用平行直线间的距离公式可得答案.

【详解】对于Zi：斜率自=一三=*

对于，2：，斜率忆2=—3=与，

因为21〃％，所以*=£，

即：m=：x8=6,

因此，12的方程为：6x-8y-10=0,BP3x-4y-5=0,

两条平行直线AG之间的距离为：

_110-（-5）|_|10+5|1515?

"=丁32+（-4）2=V9TT6=病=1"='

故选：A

2.如图，在四面体。48c中，OA=afOB=b,瓦=二点”在04上，且OM=2MA,N为BC中点、,则而

等于（）

o

B.-|a+|S+|c

-1-..ir1一

a+bCD.|a+

C.22~2DD，

【答案】B

【分析】由空间向量的线性运算结合空间向量的基本定理运算求解即可.

【详解】如图，连接ON,

•••ON是8C的中点，ON=^B+^OC,

二

vOM=2MA,~OM=^OAf

~MN=~ON-~OM=^OB+=-|a+步+吴

故选:B.

3.已知双曲线噂一:=l(a>b>0)的两条渐近线的夹角为6。。，则C的离心率为()

A.3B.2C.V3D.宇

【答案】D

【分析】根据已知条件可得?=tan30o=冬进而求出双曲线的离心率.

【详解】因为双曲线看一后=1的渐近线方程为'=土>

由两条渐近线的夹角为60。，且Q>b>0,

所以2=tan3()o=半，

a3

所以双曲线C的离心率0=Jl+|==

故选：D.

4.某高中举行益智闯关团队赛，共4个关卡.现有包含甲、乙、丙在内的5名选手组团参赛，若甲负责第一

关，最后一关由2名选手共同完成，且乙、丙不在同一关卡，则不同的参赛方案有()

A.8种B.10种C.12种D,14种

【答案】B

【分析】根据分步乘法计数原理，先排最后一关，然后再排第二、三关即可.

【详解】因为甲负责第一关，且最后一关由2名选手共同完成，且乙、丙不在同一关卡，

所以先从除甲之外的4人中选两人负责最后一关，共有鬃-1=5种，

然后再将剩余2人分配到第二、三关，共有2种，

所以，满足条件的参赛方案有5x2=10种.

故选:B

5.在空间直角坐标系。无yz中，已知力(3,4,0),“0,4,1),则点P到直线。4的距离为()

3仁4八9~13

A.-B.-C.-D.—

【答案】D

【分析】由点坐标得到向量坐标，利用数量积求出向量而在瓦福•.的投影，再利用勾股定理求得点到线的距

离.

【详解】已知4(3,4,0),P(0,4,l),0(0,0,0),

则初=(3,4,0),而=(0,4,1),

设向量瓦?与市夹角为。，

则而在瓦?上的投影为|而|cos。，

|函='32+42+02=5,亚而=3x0+4x4+0x1=16.

所以|而|««9=鬻=蔡，

点P到宜线。4的距离d,\OP\=近2+42+12=V17,

则d=J研2_(|而COS8)2=J(g)2一(£)2=川一*=肾今

故选：D.

6.已知/+丫2一2%—2、+1=0,则蜉的最小值为()

A.—B.吉^C.0D.g

【答案】A

【分析】设等=k，利用直线与圆有公共点列式求解.

【详解】方程/+产一2%-2y+1=0,即(％-I)2+。-I)2=1表示以点(1,1)为圆心,以1为半径的圆，

设号=k,即kr-y+k+2=0,依题意，直线kx—y+k+2=0与圆有公共点，

则圆心(1,1)到kx-y+k+2=0的距离小于或等于半径，由辞工1,解得一gwAWO,

所以舒的最小值为一*

故选:A

7.箱子中有6个大小、材质都相问的小球，其中4个红球，2个白球，每次从箱子中随机地摸出一个球，

摸出的球不放回.设事件人表示"第1次摸球，摸到红球〃，事件8表示“第2次摸球，摸到红球"，则下列结论

正确的是()

A.P(AB)=-B.P(B)=:C.P(BIA)=D.P(BIA)=

JD33

【答案】D

【分析】根据古典概型、条件概率概念、全概率公式分别计算即可判断各选项.

【详解】对于A,PQ4B)表示“第一次摸到红球且第二次摸到红球〃，因事件力表示“第1次摸球，摸到红球”,

易得P(/)=3=a

事件8表示“第2次摸球，摸到红球〃，因摸出的球不放回，此时箱子里还剩3个红球，2个白球，

所以在第1次摸到红球的条件下，第2次摸到红球的概率是P(8|A)=|,

由概率的乘法公式可得P(4B)=2(4)P(B|4)=|x|=|,故A错误.

A>D

对于B,第i次摸球，摸到白球的概率p(m=i-PG4)=i*=*

同理在第1次摸到白球的条件下，第2次摸到红球的概率是P(B|Z)=[

由概率的乘法公式可得P(而)=P@)P(8|田=：xg=总

由全概率公式可得P(8)=P(48)+P(沏)="得=舄故B错误.

对于C,由A项分析，已得P(8b4)=*故C错误.

对「D,由B项分析，已得P(8⑷=：,故DM确.

故选：D.

8.已知椭圆C：襦+卷=1的左、右焦点分别为Fi，尸2,P是椭圆上第一象限的一点，△。％尸2的重心和内

心分别为M，M且MNLY轴.又点Q(m,n)是该椭圆上任一点，则£+5的最大值为()

A.2B.V3C.V2D.1

【答案】B

【分析】设△2％出的内切圆N(s,t)与PF1,PF2/分别切于点儿8刀，利用切线长定理可得|P%|一|P七|

_C1c

=2s,结合椭圆的的定义可得［PF/=3V7+s,进而求得s=^?o，结合已知可得/°=其祥。，可求得c,

进而求得椭圆的方程，利用三角代换可求得T+：的最大值.

【详解】设△PF/2的内切圆N(s,t)与尸尸1,尸七产/2分别切于点儿50，如图所示：

则IPFil-|P&I=MFi|-\BF2\=|DFi|-\DF2\=2s.

又因为|P%|+|P尸2l=2Q=6近，联立|P%|一|PF2l=2s,可得|P尸i|=3五+s,

又因为|P%|=Ja°+c)2+%=J(%o+c)2+b2(i_')

=J管+2刖+18=J媪XO+3&Y=品。+3V2,

所以3\^+s=*尹()+3口，所以$=忘曲,

因为△P%出的重心是三边中线的交点，所以M在P。上，

由重心性质可得时(枭0,—0),因为MNlx,所以夕0=5尹0，解得c=VL

所以〃=a2—c2=i6,所以椭圆的方程为我+弓=1,

io1O

因为Q(m,n)在椭圆器+卷=1上，所以m=3>/2cos6,n=4sin6,

所以5+!=V2cos0+sin9=V3sin(0+<p),其中sin==涂osp=专,

当sin(e+(p)=l,£+?取最大值，最大值为A/5.

故选：B.

【点睛】关键点点睛：关键在广得至咕祀二,。，从而求得c,进而求得反

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.下列说法正确的是()

A.若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则样本相关系数r的值越接近Pl

B.回归分析中，决定系数产越大，说明残差平方和越小，拟合效果越好

C.若随机变量W〜N(1Q2),且尸G<2)=08则户(0<wV2)=0.6

D.若两个随机变量f司满足〃=26+1,且。(打=2,则D(q)=8

【答案】BCD

【分析】根据相关系数八决定系数产的意义、正态分布的对称性和性质、方差的公式等知识对选项逐一判

断.

【详解】对于A,对于两个具有线性相关关系的变量，样本相关系数r的取值范围是[一1,1].

当r>0时，变量正相关：当r<0时，变量负相关：

相关性越强，任|越接近于1,而不只是接近于1,也可能是一1,所以A错误；

对于B,在回归分析中，决定系数R2=1一:产越大，意味着残差平方和越小，

说明模型对数据的拟合效果越好，所以B正确；

对于C,因为随机变量服从正态分布且P(f<2)=0.8,

所以P(1<f<2)=0.8-0.5=0.3,

根据对称即可得到P(0Vf<2)=66,所以C正确；

对干D,0(??)=0(2<4-1)=4D(f)=8,所以D正确.

故选：BCD.

8

10.已知(1一企无)=。0+Q1%+。2X2+…+。8X8，则()

A.劭=1

B.V2<ii+2。24~2^203+…+16c1a=2

C.a3=-H2V2

27

D.ai+2>/2a2+3(企)a3+-+8(V2)a8=8近

【答案】ACD

【分析】对于A和B,通过赋值法，即可求解；对于C,利用二项展开式的通项公式，即可求解；对于D,

时展开式两边求导，再赋值，即可求解.

【详解】对「A,令尤=0,得a。=1,所以A正确；

对〕B,令x=VL得立%+2效+2企。3+…+16即=(1-2)2一劭=0,所以B错误，

对于C,因为的/=C«(-V2X)3=-112位炉，所以Q3=-H2V2,所以C正确，

对于D,对(1—VLf)=4)+Q1X++…+。8那两边同时求导，

7

得—872(1—V2x)=5+2a2x+…+8a8x,

令%=近，得。1+2&。2+-+8(或)&=-8近(1-2)7=8应，所以D正确.

故选:ACD.

11.三支不同的曲线4|y—2|=x(at->0,1=1,2,3)交抛物线炉=8y于点4，B&=1,2,3),0为坐标原点,

F为抛物线的焦点，下列说法正确的是()

A.若S^oFAj=2s△OFB1,则|必4=6(i=1,2,3)

B.若的=1,顺相i|+尸8i|=12

C.记△4FB,的面积为若Si$2=S专，则由。2=屏

D.记△4尸片的面积为Sj,若SI+S2=2S3,则%+。2=3。3

【答案】AC

【分析】设直线4。-2)="%>0,1=1,2,3)与抛物线炉=87的交于点。出,则4•与［关于y轴对称，联

立方程，利用韦达定理求得打+上户62,进而可求得力+,2)42,结合焦半径公式即可判断AB；利用倾

斜角以及二倍角公式求出S］,即可判断CD.

【详解】如图,设直线-2)=x(a(>0,i=1,2,3)与抛物线M=8y的交于点G，8»,则4与G关于y轴对

称，

设4(-%1，'1)，瓦(%2沙2)，则的(孙力)，

联立｛'［次?©"，消y得/一%—16=0,则％1+外=—16,

XiX28丫2"2

乂x=《(y_2),则月+丫2=了+2+f+2=石+4,月及=q=4，

对于A,寄吟=2s△。也，故;|。川|孙卜2x^OF\\xBt\^\xAl\=2%J,

8

故x4=2他=2%结合勺+%2=0*1*2=-16,则氏］|=4五，故|力|=4,

因此|尸4|=yi+2=6,故A正确,

对于B,F(0,2)»«i=1时，

8

\FAi\4-\FBt\=yi+24-y2+2=力+y2+4=d+4+4=16,故B错误；

对于C,设直线x=af(y-2)的倾斜角为&,则tand=看，

—2sin——2tan=—2二

则Sin//-8s2a+sin2*-i+tan28,-1+瞰

所以S,=施制用F|sin2d=知1+2)5+2)湍

Ia((p-21-1xi\16

=式y/2+2yl+2%+4)诲=蠲一^+4+4)=7?

因为S152=S专，所以广谭二号，所以aid2=Q］，故c正确.

对于D,因SI+S2=2S3，所以5+合=5所以2(Q1+Q2)=o3，故D错误；

故选:AC

【点睛】方法点睛：解决直线和抛物线的位置关系类问题时，一般方法是设出直线方程并联立抛物线方程,

得到根与系数的关系式，要结合题中条件进行化简，但要注意的是计算量一般都较大而复杂，要十分细心.

第二部分(非选择题共92分)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知PJ2>6,635)=0.01,PG>10.828)=0.001.在检验喜欢某种甜品与性别是否有关的过程中,

某研究员搜集数据并计算得到才2=7.235,则我们至少有%把握认为喜欢某种甜品与性别有关.

【答案】99

【分析】根据6.635V7.235V10.828,再利用题设条件，即可求出结果.

【详解】因为6.635<7.235<10.828,又P(j2>6.635)=0.01,P(x2>10.828)=0.001,

所以我们至少有99%把握认为喜欢某种甜品与性别有关，

故答案为：99.

13.一个盒子中有4个球，分别标记为1〜4号，若每次取1个，有放回地取4次，记至少取出2次的球的

个数为X,则E(X)=.

【答案】I

t分析】由题可知X的可能取值为0,1,2,分别计算其概率，进而可得X的分布列，进而求E(X)

【详解】由题可知

X的可能取值为0,1,2,总的选取可能数为4x4x4x4=256种，

X=0表示四次都取到不同的球，有A：=24种，・•.P(X=0)=W；

/DO

X=1表示有1个球至少取出了2次，包含三种情况：

①该球取出了2次.先从4次中选出2次取出该球，再从剩下的3个球中选出2个球，使其在剩下的2次中

排列，故有CjA马=36种；

②该球取出了3次.先从4次中选出3次取出该球，再从剩卜的3个球中选出1个球，使其放在剩下的1次,

故有第己=12种;

③该球取出了4次，有1种；

又因为从4个球中选出1个球有Q=4种，故P(X=1)="<~

X=2表示有2个球各自出现了2次，

先从4个球中选出2个球，有鬣=6种，再从4次中选出2次取出同一个球，有鬣=6种，剩下一个球的位

置会随之确定，因此共有6X6=36种，故P(X=2)=短，

所以X的分布列为

X012

2419636

P

256256256

所以E(X)=0x急+1X装+2'急=篙

故答案为:今

14.如图，长方体4BCD-4aQD1中，AB=2,AD=1,AA}=2,。为底面4BCD的中心，点P为必治

上的动点(包括端点)，则当△P，4i。的面积最小时，线段0P的长为.

Dx

41----------------------

【答案】享

4

【分析】如图以D4DCQD】所在的直线分别为％y,z轴建立空间直角坐标系，根据题意设P(a,2a,2),然后利用

空间向量求出点P到公。的最小距离，从而可求出点P的坐标，进而可求出0P的长

【详解】如图以D4D&DD1所在的直线分别为％y,z轴建立空间直角坐标系，则

。(0,0,0)/1(1,0,2),。6,1,0),(0,0,2),4(1,2,2)，

则<10=—^,1,——(1,2,0)»

设P(a,b,2),则不=(她0),

因为。止他出，所以;=*得b=2a,

所以P(a,2a,2)(0<a<1),则布二(a-l,2a,0),

设点P到4。的距离为d,则

12

01-*|2(~MP~A^o\,।4口2[-蛆-1)+20

d=M丽|197

1+1+4

2(如+/

=5a2-2a+1一一乙乙

乙JL

T

(3a+l)2

=5铲―2Q+1--------------

4JL

96a2-48a+20

21'

所以当。=一^=；时，d取得最小值,此时△P&O的面积取得最小值,

所以P彭2),

所以〃=〔表+/4=9

故答案为：孥

4

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.(13分)已知△48C的顶点力的坐标为(0,0),边BC所在的直线方程为x-y—2=0,边4C上的中线BM

所在的直线方程为x+y-2=0.

⑴求边AC所在的直线方程；

⑵求点8关于直线4C的对称点&的坐标.

【答案】⑴x—3y=0

(2闭(式).

【分析】⑴联立直线8c与8M方程可得8(2,0),设点C(m,n),则时修勺，根据点&M分别在直线上

列方程组可得结果.

(2)设/(a,b),根据8々_1_力。及线段中点在力。上列方程组可得结果.

2-ofX-2

-得d-

【详解】(1)由｛二仁2OyO・••8(2,0).

设点C(m,n),则

心)二：〉解瞰彗，即c(3，D

・••kAc=言=g故直线AC的方程为y=%，即无-3y=0.

(2)设々(a,b),则8Bi的中点坐标为序,?，kBBl=-3,

16.(15分)某田径协会组织开展竞走的步长和步频之间关系的课题研究，得到相应的试验数据:

步频X(单位：步/s)0.280.290.300310.32

步长y(单位：cm)909599m115

SiS

蜡二0.451,>xtyt=150.56,根据表中数

Zi=lJi=l

据，求出y关于x的回归直线方程.

附：回归直线方程夕="+&中b=——,a=y-bx

〉X?一疝2

⑵记否=%—%=%—3勺一4,其中％为观测值，次为预测值，否为对应(勺,%)的残差，根据表中数据，若

得出y关于戈的经验回归方程为夕=600%+&,且计算出在样本点(0.30,99)处的残差为一1.8,求实数〃?的

值.

【答案】⑴夕=560%—68

(2)105

【分析】(1)根据题意，分别求得1=0.3,y=100,且5=560,得到a二-68,即可求得回归直线方程;

(2)根据题意，列出方程，求得a=-79.2,结合元=0.3,?=二学，列出方程，即可求解.

【详解】(1)解：根据统计表格中的数据，可得了=》：/‘=0.3,7=12^=100,

T，.V159cV15tlcl,-rzRfZ-I々"-S对150.56-5X0.3X100一八

乂由2rj'二045L2^产以=150・56,可得b=/F=o,5irx。？二560,

则a=100-560x0.3=-68,所以回归直线方程为夕=560x-68.

(2)解：由回归方程为夕=60UX+4,且计算出在样本点(0.30,99)处的残差为一18

可得99一岁=99一(600x0.3+谕=-1.8,解得Q=-79.2,

因为元=/=03,7=9。+9“〉+，"+"二等^

可得以辔=600x3-79.2,解得m=105.

17.(15分)如图，四边形43CD与四边形4DE厂均为等腰梯形，BC//AD,EF//AD,AD=4,AB=反,

BC=EF=2,AF=41i,平面/BCD,M为力。上一点，且FML4D,连接

BC

(1)证明:3cL平面B/7M；

⑵求平面力与平面ME的夹角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

。喑

【分析】(1)由线面垂直得到又尸M_LAD,从而得到线面垂直，根据8c〃力。得到答案；

(2)作出辅助线，求出各边长，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出两平面的法向量，利用法向量

夹角余弦公式进行求解.

【详解】(1)因为皿平面A8CD,AOu平面4BCZ),

所以FB14D又FM1A。，且F5ClFM=F,F3,FMu平面8FM,

所以力01平面BFM.

因为BC〃40,所以8cl平面8rM：

(2)作EN_L4D,垂足为N.则FM//EN,又EF〃力D,

所以四边形FMNE是平行四边形，又EN_LA。，

所以四边形FMNE是矩形，乂四边形为等腰梯形，

且4。=4,EF=2,所以4M=*=l.

由(1)知L4D1平面8万M,乂8Mu平面BFM,所以8M1AD.

乂AB=®所以8M=1,在RtAAFM中，FM=y/AF2-AM2=V10.

在Rt△尸MB中，FB=、FM2一BM2=3.

以3为原点,BM,8C,8F所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，

建立如图所示空间直角坐标系.

则/(-1,-1,0)以0,0,0),。(0,0,3),。(一1,3,0)夙0,2,3),

所以前=(1],0)，而=(0,0,3),~BD=(-1,3,0),诟=(0,2,3),

设平面力8尸的法向量为沆=(右,月/1),

由，记•亚=(右,力*1)(1,1,0)=0少俨1+力=。

I访•8尸=(;q,yi，zD•(0,0,3)=0寸I3z1=°

解得Zi=0,令％1=1,则y[=一1,故沆=(1,一1,0),

设平面的法向吊;为元=(%2，、2,2)，

,ijn-丸=3，、2,22).(T,3,0)=0狎(一％2+3y2=0

[n-BE=(x2fy2fz2)-(0,2,3)=0'伸12y2+3z?=0'

令q=9得=3,z2=-2,

可得元=(9,3,—2),

闵叶COS,记一3一°-f°）（93，-2）______9-3__3V47

因此cos<m，2一|网宿—-近乂回-47.

故平面,与平面DBE的夹角的余弦值为甯.

18.（17分）为缓解学生的压力，某中学组织学生开展了一项有趣的比赛.甲，乙两人参加比赛，比赛规则

为：共进行奇数局比赛，全部比完后，所赢局数多者获胜.假设每局比赛甲扁的概率都是"（0<pVI）,各

局比赛之间的结果互不影响且没有平局.

⑴若两人共进行5局比赛且p=g,设两人所赢局数之差的绝对值为X.求”的分布列和数学期望；

（2）若两人共进行2〃+1（"GN;n>2）局比赛且p=:，记事件4表示“在前2九-1局比赛中甲赢了A

（〃=0,1,2,[2〃-1）局”.事件8表示“甲最终获胜〃，请写出P（B|W1：4），P（8|4I），P（B\An）,P

卜£：：*）的值（直接写出结果即可）；

⑶若两人共进行了271—1（"£底）局比赛，甲获胜的概率记为Pn.证明：当gvpvl时，Pn2-Pnl<Pl

«5++n+

—Pn・

【答案】（）分布列见解析，言

1oi

（2）「卜W：，）=0,P（8|4T）="，P（B|4）=*咐W»）=L

⑶证明见解析

【分析】（1）由题意可知X的可能取值为1，3,5,分别计算其概率，求出X的分布列和数学期望;

（2）根据给定信息直接写出结果；

（3）利用全概率公式求出P"i和七+1—/\，再利用作商法结合不等式推理证明.

【详解】（1）X的可能取值为1,3,5

P（x=1）=c!Xg）3X（I）2+Clx（I）2X（A）3=d

P（"3）=C"（」x©+Cgx（，x目4

P("5)=ax(J+《x(J二缸

所以X的分布列为

X135

401011

P

812781

尸,，，、t40,10,_11185

FO)=lxH+o3x^+5xiT=-

匕(柩二

(2)户\k=0,P(BM1)=P(B\An)=lP/J=L

(3)由题意可得

n1

Pn+l=C„1-p)n.p2+瑞"(1_p)n-l.[1_(1_p)2]+[?„-C?n_1P(l-p)^]

=Pn+CK\pA】(l-p尸•p2—Gipnq-p)n-l•(i_2)2

=Pn+C5n-lPn+1(l-PV-C%_"(1-P)”】

=Pn+C“iP”(l—P)n(2p—1).

nn

所以Pn+1—Pn=C?n_1P(l-p)(2p-1).

2

当彳