2025-2026学年高二数学上学期期末模拟卷01【江苏专用测试范围：人教A版选择性必修第一册+数列】（全解全析）

高二数学上学期期末模拟卷01（江苏专用）

全解全析

（考试时间：120分钟，分值：150分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡

皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4.测试范围：人教A版2019选择性必修第一册+数列。

第一部分（选择题共58分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。

1.已知直线/经过两点"（T1）,'（℃）,则直线/的斜率是（）

11

A.2B.-C.——D.-2

22

1.【答案】C

【解析】因为直线/经过两点4（-4/），5（0,-1）,

所以直线1的斜率是01（二）=-g,

故选：C

2.已知直线/的一个方向向量是£=（-3,2,1）,平面。的一个法向量是】二（1,2,-1）,则/与。的位置关

系是（）

A./JLaB.IliaC.IuaD.///a或/ua

2.【答案】D

【解析】因为直线1的一个方向向量是1=（—3,2,1）,平面a的一个法向量是£二（1,2,-1）,

所以a,〃=—3xl+2x2+lx（—1）=0,所以Q_L〃，

则〃/。或/ua.

故选：D

3.若双曲线〃7犬+〃歹2=1的一条渐近线方程为y=2x,则一二()

n

11

A.---B.-2C.---D.-4

24

3.【答案】I)

【解析】

故选：D

4.设等比数列｛凡｝的前〃项和为S”，若生=2,且%，%，4-2成等差数列，则§4=()

A.7B.12C.15D.31

4.【答案】C

【解析】设公比为q(qwO)，因为。2，4，(一2成等差数列，所以2%=%+为—2,

则2x2夕=2+2夕2-2,解得：q=2或0(舍去).

1.24

因为生=2,所以q=1,故S,=j_^=I5.

故选：C

且两二2m，点为8C中点，见丽用基底

5.已知正四面体CM8C的棱长为1,点〃在N上N

3

，1｝表示为（）

2—]—■1——2—1—1——

A.-OA--OB+-OCB.——OA—OB+-OC

322322

C.-OA+-OB--OCD.--OA--OB+-OC

322322

5.【答案】B

【解析】如下图所示:

o

因为N为〃。的中点，则丽二近，所以，ON-OB=OC-ONy则函=+

因此，=ON-OM=--OA+-OB+-OC.

322

故选：B.

6.在平面直角坐标系xQy中，已知圆C经过（0,0）,（6,0）,（0,8）三点，直线/:歹=依-3%与C交于A,

8两点，则|45|的取值范围是（）

A.(0,10]B.[6,8)C.[6,10)D.[8,10)

6.【答案】C

【解析】设圆C的方程为/+/+Dx+Ey+F=0（。2+E?-4F>0）,

F=0D=-6

则《36+6D+F=0,解得，E=-S,所以/+j?_6x_8y=0,

64+8£+F=0F=0

即圆。：（x—3『+（y-4『=25,则圆心为C（3,4）,半径尸二5；

[x-3=0x=3

又直线/：，二履一34，即（工一3）%—歹=0,令・A，解得〈

H=°j=0

所以直线/过定点0（3,0）,又点。（3,0）与圆心。（3,4）在直线工=3（斜率不存在）上，

又|CQ|=4,所以|4却_=2/2_『.|2=262-42=6,当且仅当直线/的斜率％=0时取得,

又以M无最大值，且|力。无限接近圆的直径io,

所以|/回«6/0）.

7.如图，已知点〃（2,-1）,BCJLx轴于点C,M是线段。8上任意一点，加。_11轴于点。,

ME1BC

于点E.OE与MO相交于点2则。的轨迹方程为（)

A./=x(O<x<2)B.y2=-x(O<x<2)

C.x2=-j(O<x<2)D.x2=-4y(O<x<2)

7.【答案】D

【解析】设P（〃?,〃）（0<加<2,-1<〃<0）,

I/

因为直线08的方程为^二一—x,且点“在直线0B上，所以Mm--

2I2

因为直线。。的方程为y="x,且点£*在直线。。上，所以£2,」，

m\mJ

因为ME/小轴，所以一竺二/，则加2二—4〃（0《〃7《2）,故D正确.

2m

故选:D.

ICC

8.已知数列｛%｝的前〃项和为5“，%一一^二4I—T（〃N2,〃£N*）,且关于〃的不等式

2n~n~''

42"应工〃（3〃-1）有且仅有4个解，则％的取值范围是（）

2155)

352n11921

16，T；

8.【答案】A

cc

【解析】因为a“-T-4।(〃上2,〃eN1，

n~、7

所以n2-3)=S"一%=%,所以凡(/r-l)=〃2al,

所以数歹是常数列，当"1时,4=1,

所以^^4“二1，即4”=—^—,

nw+l

因为42"/«〃(3〃一1),所以/«(〃+?*T),

令b=(〃+1)(3〃一1),

n2〃

所以匕｝-b=(〃+2)(3〃+2)(〃+1)(3〃-1)-3/+4〃+6

2m2”2M

2”+i

当〃>2时，bi+l-bt<0,即4>4>…,

A_0/_15,,_55,21

4-2,b2-,4-4，4-16，々-8

、21

为J'满足不等式丸2"％《〃(3"-1)有且仅有4个解，则4£葭，

“一，15..,55,21

此时有b、=一,力3=4,b.=—,"=—

4168

故选：A.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

22

9.已知圆锥曲线。：」-+上—=1的离心率为;，耳，居分别为曲线C的左，右焦点，P为曲线。上

k-\k-52~

一点，则下列结论正确的是（）

A.k=\7B.号的周长为12

C.△尸£鸟面积的最大值为4D.西所的取值范围是[8,12]

9.【答案】ABD

【解析】对于A,由圆锥曲线。：工+上一二1的离心率为;，则曲线。的轨迹为椭圆,

k-\k-52

可得a=JFA,b=JFM,则c=J("l)_(〃_5)=2,

21

则可得（?=）=五寸=5,解得上=17,,所以A正确:

对于B,由A得椭圆C的方程为二十己=1,可得。=41=20,c=2,

1612

又由椭圆的定义,可得△尸耳玛的周长为|尸耳|+归段+闺闾=2a+2c=12,所以B正确:

对于C,由△巴工面积为S=；忻EIWPI，因为外£[一2行HG],

所以当点尸为短轴的端点时,，APK6面积取得最大值,

可得△班&面积的最大值为S=；忻周》=gx4x2G=4jL所以C错误;

nrn2.口一…—3"/

对于D,设点尸的坐标为（加,〃）,其中加£[-4,4],则——+—=1，所以〃2~=12----

16124

因为E(-2,0),月(2,0),可得尸耳=(2n)yPF2=(2〃?，〃),

22:

则PF{-PF2=(-2-w,-/7)-(2-nz,-n)=m+n-4=—m+8,

因为机£[-4,4],可得;m2+3£[8/2],即可屎取值范围为[8,12],所以D正确.

故选：ABD.

2g+〃-1,〃为奇数

10.已知数列｛〃/满足q=1,%+]=“EN*）,则下列说法中，正确的是（）

%-〃+2,〃为偶数

A.%=8；

B.是等差数列；

C.｛%-2〃+2｝是等比数列；

D.数列｛为｝前2〃项和为3・2”+〃2一〃-3.

1().【答案】ACI)

【解析】对于A,由4=1,且％=.+〃]'〃为奇数

则a=2%+1—1=2,

〃为偶数2

atl-n+2,

a3=a2-2+2=2,a4=2a3+3-1=6,%=%-4+2=4,ah=2牝+5-1=12,

%=4-6+2=8,故A正确;

对于B,由生”+1一二生”-2〃+2一生〃“=2出z+2〃-1-1一2〃+2—a2n,.=，

即生“+1=2%〃一则数列｛%i｝为等比数列，故B错误；

升”,⑸+2-伽+2)+2_2%+1+2〃+1—1—2〃—2+2_2(/“一2〃+2)

河十3[F1———Z

aln-2〃+2aln-2〃+2aln-2/7+2

则数列忆”-2〃+2｝为等比数列，故C正确；

对于I),由4=1,则等比数歹U｛421｝的首项为1，公比为2；

由生-2+2=2,则等比数列•[生〃-2〃+2｝的首项为2,公比为2.

+生+%+..•+=(4+。3+生+...+。2”-1)+(〃2+/+&+.一+42〃)

=-------+(。2-2+2+。4—4+2+。6—6+2+,・・+—2/7+2)

1—2

-[(-2+2)+(-4+2)+(-6+2)+...+(-2〃+2)]

2(1—2〃)「(一2-2〃)〃1/\\

=2"-1+-^--------L----------^-+2〃=2"-1+2(2”-1)+(〃2+〃一2〃)

=3(2"-1)+〃2-〃=3-2"+/-〃-3,故D正确.

故选：ACD.

11.如图，在棱长为1的正方体49co中，瓦口分别是棱8。,。。上的动点，且屈=兄区,

DF=pDC,/le（O,l）,4«0』），则（）

A.当4=〃时，QgJ■平面

B.当%+"=1时，BD〃平面BgF

c.当：.—〃=2时，三棱锥勺-力月产体积的最大值为

D.当〃一力二’时，4E+4尸的最小值为2

11.【答案】AB

【解析】以A为原点建立坐标系，则尸(〃』,0),^(1,1-2,0),

口(0,1,1),Q(o,1,0)田(1,0,1)4(0,0,0),8(1,0,0),4(0,0,1),

赤=(〃」,())，屏二(1,一Z-1),函=(1,0,1),

，=〃时，AF・D]E=4一入=0,故AFLD]E,

万;•麻=1-1=0,故函1年，

[4/^力/二4/片"/匚平面片4/7,故。£1平面8/尸，A正确，

当4+4=1时，而=（〃一1,儿0）,丽=（—1,1,0）,

由于〃-1二一九，故丽//丽，=EF〃BD、

BDU平面B、EF,EFu平•面片石口，故8。〃平面B、EF,B正确;

由S&AEF=SABCD-S&ADF一S.EFC一%比=1-u(।一〃”-1-%)=J

111,1(1Y15fl1Y15

当时，〃方尸正弓三尸记1

2225.杵=——---£---------<----------(---------=7

a-AFF=TS^AFF'BB、<—>—,故C错误；

当〃一见=一时，，则一一,

222

&E+A.F=《2+("前+】2+〃2=^2+(l-/l)2+J2+；+4

可将亦+（1叫2看作是平面内的距离之和,

如图：作出关于直线工=虚的对称点（2后,一；

过（2近,一g）与点（0」）的直线方程为^=一手工+1，令x=0，则歹=；，

故当时取等号，D错误.

4

故选：AB

第二部分(非选择题共92分)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知两条直线(w-l)A-+y+l=O,/2：x-2Wy+2=0,且乙，〃，则〃?=.

12.【答案】-1

【解析】因为

所以1・(加-1)+1.(-2〃?)=0=>加=-1,

故答案为：—1

13.已知边长为2的正方体力中，E,尸分别为4片的中点，则点8到平面[防

的距离为.

13.【答案】逑

5

【解析】以力为原点，AB、AD、分别为工、V、z轴建立空间直角坐标系，正方体边长为2,

则：J(0,0,0),5(2,0,0),E(l,2,2),F(l,0,2).

赤二(1,2,2),万=(1,0,2).

设丫:面AEF的法向量为"二0,y,z),由法向量与平面内向量垂直，

n-AE=0[x+2y4-2z=0

得〈一，〈c，

元AF=U1x+2z=o

收法向最可取力=(-4,0,2).

向量刘二(2,0,0),所以点B到平面AEF的距离为：

同力||2x(-4)+0x0+0x2|8火5

'同J(—4>+()2+22V205

故答案为：士叵.

5

z」

14.已知厂是抛物线C:/=4y的焦点，/是准线，过/作圆/:1+/-6>+6=0的切线，与抛物线

C

交于点M、N两点（/在N的上方），过/作/的垂线，垂足为2，则△A/0的面积为

14.【答案】473

【解析】由题可得抛物线C:xZ=4），的焦点^（O」），准线/方程为：y=-},

过户作圆/:一+/一6丁+6=0的切线，显然切线的斜率存在，不妨设切线方程为：y=kx+\,

由「圆/：/+/—6y+6=0的圆心为（0,3）,半径〃二6，

则=-=J3,解得：k=±—,

Jl+犬3

根据对称性，不妨取切线斜率为左=且，则切线方程为》=且1+1，

33

[,二立.

联立,'3，得：3%2-4Gx-12=0,

x2=4y

解得：入=_半或X=2G，

因为M在N的上方，所以点M（2JJ,3）,

由于过M作/的垂线，垂足为P,则夕（26,-1）,

所以|"尸|=4,点尸到直线MP的距离d=2百，

则““二；”回=4百、

乙

故答案为：473

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.（13分）

已知△48C的顶点力（1,2）,边上的中线所在直线的方程为x+3y=0,AC边上的高8H所在直线的

方程为2x-3y-4=0.

（I）求点B,C的坐标;

（2）求△/AC的面积.

15.（13分）

【解析】（1）设点8（a,b）,因为3在直线3〃上，所以2。-3人-4=0,①

又A,8的中点为。（学，"2],且点。在的中线上，

I22）

_2+b八三

所以----+3x----=0,②

22

a=-\,、

联立①②，得「.，即点8（-1,一2）.

。=-2

3

由题意，得3c・怎”=一1，所以3c=­]，

所以4C所在直线的方程为y-2=—；（某一1）,即3x+2y-7=0,@

因为点C在AB边上的中线上，

所以点C的坐标满足直线方程x+3y=0,④

x—3/、

联立③④，得《「即C3,-l).

[y=-]

（2）由（1）得力C_一岳.

B到直线"的距离为公岩学二喑

所以二；xEx与普二7，

收△力台。的面积为7.

16.（15分）

如图，在四棱锥。—49CQ中，底面48co是正方形，侧棱尸。_1_底面/8。。，PD=DC,E是PC

的中点，作EF上PB交PB于点、F.

（1）求证：PBIDE；

（2）求直线R4与平面P8c所成角的大小：

（3）求平面P/C与平面尸8C夹角的余弦值.

16.（15分）

【解析】（1）因为底面/8CZ）是正方形，侧楂PO_L底面,48C。,

如图以。为原点，。4。。,。。所在直线分别为、轴、^轴「轴，建立空间直角坐标系,

设尸O=QC=1,则0（0,0,1）,40,；,；）,4（1,0,0）,4（1,1,0）,0（0,0,0）,C（0,l,0）.

因为方=（1,1,_1）,瓦:

1/2

^,PBDE=O+---=O,所以081DE.

22

（2）设平面P8c的法向量而=（》,），,z）,因为正二（0,1,-1）,

m-PB=0[x+y-z=0,、

所以《一，所以＜A，令y=l,得行=（0,1,1）；

mPC=0y-z=（）

又苏二（1,0,—1）,

m•PA\]]

设直线PA与平面PBC所成角为。，则sina=,,==-,

|同眼^rxV2r2

7T7T兀

又0＜。＜不，所以a=一，即直线与平面P8C所成角为一；

266

（3）因为定=（0,1,-1）

设平面P/C的法向量方=（5，M，zJ,

开司=0（x,-z.=0/、

所以{_，所以〈।八，令玉=1,得力=（1,1,1）,

nPC=0〔必一马二°

八I玩词2瓜

设平面尸力C与平面P8C的夹角为夕则85夕=占*,厂=三，

\m\-\n\72xy/33

所以平面4c与平面P8C夹角的余弦值为逅.

3

17.（15分）

已知抛物线r：/=2px{p＞0）的焦点F到准线/的距离为2,点D（p,0）,过F的直线交「于4B两

点，过44分别作/的垂线，垂足分别为4,4，直线4。，与直线43分别交于点M,N.

（1）求「的方程；

11।

（2）记〃,N的纵坐标分别为孙"”,，当一+——=1时，求直线49的斜率.

%Xv

17.（15分）

/\

【解析】⑴由题，焦点/为1,oL准线/为一勺

因焦点尸到准线/的距离为2,可得p=2,则「的方程为：y2=4x；

（2）由题，焦点尸为（1,0）,准线/为x=—l,

当直线的斜率为0时，显然不符合题意,

则设直线15方程为：x=my+l,其斜率为一.

将直线方程与抛物线方程联立，消去X得：

「一4叩一4二0,判别式为：16/+16>0，设/（和必），8（々,必）,

则4（-1,必）,3］（-1,必）,又。（2,0）,则%*=-/'%>=-会'

33

从而直线4。方程为：X=——y+2,直线用。方程为：X=一—y+2,

,必

।3,3

将两直线方程分别与直线AB方程联立："9+1=一一y+2,"少+1=一一y+2,

1_1_=2加+也5=1,

从而—+—=2〃?+3+

WZvwyi）

又由韦达定理：必+%=4相，必必二-4

3（必十八）

则2m+—---------=1=2rn-3m=-m=1=>/n=-1

必为

从而直线的斜率为-1

18.（17分）

已知数列｛可｝的前〃项和为S〃，2%=S”+〃（〃EN）设以=%+l.

⑴证明：数列色｝是等比数列：

（2）求数列出晨叫?"｝的前"项和4：

（3）若数列,的前，项和为匕，求证：

O

18.(17分)

【解析】(1)由2%=S〃+〃(*)n2/+i=S.+]+〃+l(**)("wN),

(**)-(*),得%+|=2/+1,

因为b常L.=Cl,+1=26“7+1+1=2,

4%+1凡+1

所以数列也｝是等比数列；

(2)由2。“=Stj+〃n2q=4+lnq=1="=14-1=2,

由(1)可知数列｛〃｝是以2为首项，2为公比的等比数列，

所以“二2・2"T=2",

因为“•k>g24=2”-k)g22"二%-2〃，

所以7；=1・2+2X22+3X23+―+〃.2"(***),

27；=1-22+2x23+3x24+•••+//-2n+,(****),

(***)-(****),得一7；=1-2-22+23+…+2”一〃・2向，

2(1-2")

-T=-^-------^一〃N"1=7；=(〃-1>2向+2；

n1—2

1+2_(川(〃+1)2-3-〃.2-2]]

,(却1-2)(7；+2-2)一〃-2"2.(〃+1).2〃+3—〃.2"+2(〃+1)-2什3，

C111111111

232-242-243-25n-T+2(/?+l)-2M+38(/?+l)-2M+38-

19.(17分)

22

已知双曲线「：二一二二1(。>0/>0)的离心率为2,右焦点F到渐近线的距离为G.

a"b~

（1）求双曲线「的方程;

（2）若双曲线「的右顶点为A,过焦点F的直线与r的右支交于P,Q两点，直线4P,4。分别与直线

x=1交于比N两点，记△4P0的面积为E，的面积为S?.

2

①求证：3/改为定值;

②求得的取值范围.

»2

19.(17分)

「b

【解析】（1）设双曲线的半焦距为C,由题意得］=2,E（c,0）,渐近线方程不妨取y=£X,即

bx-ay=0,

b=也,而c?=2+b2=4a2,/.a2=1,

\!a-+b2a

故双曲线方程为/