2026高考物理总复习讲义含答案解析-重难突破5 平抛运动的综合问题

重难突破5=平抛运动的综合问题

着眼四翼•探考点,»»规律力德

WBB

突破点一与斜面有关的平抛运动问题

与斜面有关的平抛运动的三种情境分析

模型方法基本规律

水平：V.r=V0

竖更：Vy=^t

,1分解速度，构建速度三角形，找到斜合速度：

囹*1M面倾角。与速度方向的关系

22

v=Jvx+vy

方向：tan0=—

Vy

水平：Vx=Vo

竖直：Vy=gt

二“人中7分解速度，构建速度的矢量三角形合速度：

22

v=Jvx+vy

方向：tan6，=上

Vx

模型方法基本规律

水平：x=n0/

；从一而厦！竖直.y=L

:点水平Itj分解位移，构建位移三角形，隐含条V2娟

:出且落在！人侍稔.

i斜・上件：斜面倾角。等于位移与水平方向口位楼.

的夹角s=Jx2+y：

方向：tan6）=y

X

顺着斜面的平抛运动

【例1】（2025•贵州遵义三模）可视为质点的运动员从P点以no的速度水平飞出,若不计空气阻力，运动员在空中

飞行3s后落在斜面上。点。简化示意图如图所示，已知sin37°=0.6,cos37°=0.8,g取10m/s一则运动员

由。到Q的过程中（）

PK

________________

A.水平初速度大小为30nVs

B.水平初速度大小为2（）m/s

C.P到。的位移大小为45m

D.P到。的位移大小为60m

答案：B

解析：运动员由P到。的过程中，有tan37°="=詈,可得水平初速度大小为网^=20m/s,故A错

2VQNtan37

误，B2E确；运动员由P到Q的过程中，水平位移为x=W=60m,则。到。的位移大小为s=”*声=75m,故

C、D错误。

如图所示，从倾角为0的足够长的斜面顶端尸以速度处抛出一个小球，落在斜面上某处。点，小球落在斜面上的

速度与斜面的夹角为以若把初速度变为3%小球仍落在斜面上。下列说法中正确的是（）

A.小球在空中的运动时间不变

B.P、。间距是原来的9倍

C.夹角。与初速度大小有关

D.夹角a将变小

解析：B位移与水平方向夹角的正切值tan0="=誓，则小球在空中运动的时间/=空3,若初速度变为原

来的3倍，则小球在空中运动的时间变为原来的3倍，这样竖直位移或水平位移都变为原来的9倍，P、Q间距变

为原来的9倍，A错误，B正确；速度方向与水平方向夹角的正切值tan/?="，可知速度方向与水平方向夹角口的

po

正切值是位移与水平方向夹角。正切值的2倍，小球落在斜面上，位移方向相同，则速度方向相同，可知夹角a

与初速度大小无关，C、D错误。

对着斜面的平抛运动

-lidS--i-S--一2..»一■.

【例2】如图所示，斜面倾角为。=30°,在斜面上方某点处，先让小球（可视为质点）自由下落，从释放到落到斜

面上所用时间为小再让小球在该点水平抛出，小球刚好能垂直打在斜面上，运动的时间为5不计空气阻力，则

9为（）

A型C芝

答案：D

解析：设小球水平抛出的初速度为M则打到斜面上时，沿竖直方向的分速度yy=£=g5水平位移X=V"2,抛

tan。0

出点到斜面的竖直高度仁华十xtan6=—万+吧=空，又仁上丫，解得72=叵纥力=叵，则D正

2g2gtan/0g2g20ggt2v3

确。

突破点二与曲面有关的平抛运动问题

与曲面有关的平抛运动的三种情境分析

运动情景物理量分析

在半圆内的平抛运动,

运动情景物理量分析

小球恰好从圆柱体的。点沿切线飞过，此时半径0Q垂直于速度方向，圆心角

，与速度的偏向角相等

【例3】如图所示，在竖直放置的半球形容器的中心0点分别以水平初速度也、V2沿相反方向抛出两个小球1和2

（可视为质点），最终它们分别落在圆弧上的A点和8点，已知0A与。8互相垂直，且。4与竖直方向成。角,

则两小球的初速度之比”为（）

v2

A.tanaB.cosa

C.tan«VtanaD.cos«vcosa

答案：C

解析：两小球被抛出后都做平抛运动，设容器的半径为R,两小球运动的时间分别为九、则对小球1有Rsina

=v\t\,Reosa二gtf,对小球2,有Rcosaf*，Rsin仁二与丫，解得两小球的初速度之比为“^匕11a疝而，故

C正确。

〔多选〕（2025•广西南宁模拟）如图所示，四分之一圆弧面的半径R与斜面的竖直高度相等，斜面的倾角为

60°,圆弧面的圆心为图中。点，在斜面的顶端4点将多个小球以不同的水平速度抛出，设小球碰到接触面后均

不再反弹，已知重力加速度为g,则以下说法正确的是（）

A.小球有可能垂直打到圆弧面上

B.小球抛出的初速度越大，则运动时间越短

C.小球抛出的速度等于J昔时，运动时间最长

D.若小球抛出的速度小于后，则落到接触面时速度偏角均相同

解析：AD如图所示，根据平抛运动的推论，速度方向延长线交于水平位移的中点，当圆心。为图中水平位移

AV的中点时，小球垂直打在圆孤面8点，故A正确；根据〃=/产，当小球打在斜面上时，小球抛出的初速度越

大，小球下落高度越大，小球运动的时间越长；当小球打在圆弧面上时，小球抛出的初速度越大，小球下落高度

越小，小球运动的时间越短，故B错误；当小球刚好落在0点正下方时，下落高度最大，运动时间最长，则有R

=为产，焉;联立解得血=悟故C错误；由以上可知，若小球抛出的速度小于聆，小球均落在斜面

上，根据平抛运动推论可知，落到斜面上时速度偏角均满足tan0=2tan60°=2百，即落到接触面上时速度偏角

均相同，故D正确。

4%OAr

W

突破点三平抛运动中的临界极值问题

L常见的“临界术语”

（1）题目中有“刚好”“恰好”“正好”“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语，表明题述的过程中存

在临界点。

（2）题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼，表明题述的过程中存在着极值。

2.平抛运动临界、极值问题的分析方法

（I）确定研究对象的运动性质：

（2）根据题意确定临界状态；

（3）确定临界轨迹，画出轨迹示意图：

（4）应用平抛运动的规律结合临界条件列方程求解。

平抛运动的临界问题

［例4］如图所示，窗子上、下沿间的高度H=l.6m,竖直墙的厚度d=0.4m,某人在距离墙壁L=1.4m、距窗子

上沿/?=0.2m处的P点，将可视为质点的小物件以垂直于墙壁的速度卜，水平抛出，要求小物件能直接穿过窗口并

落在水平地面上，不计空气阻力，重力加速度取g=10m6,则可以实现上述要求的速度大小是（）

A.2m/sB.4m/s

C.8m/sD.10m/s

答案：B

解析：小物件做平抛运动，恰好擦着穿子11沿右侧搞劲缘穿过时速度U最大c此时有〃=；gt】2,代入数

2

据解得Umax=7m/s,小物件恰好擦着窗口下沿左侧墙边缘穿过时速度V最小，则有L+d=%1】i“2，//+/7=|gt2,代

入数据解得M】iin=3m/s,故v的取值范围是3m/sWm/s,故B正确，A、C、D错误。

平抛运动的极值问题

--------..

【僧5】某科技比赛中，参赛者设计了一个轨道模型，如图所示。模型放到0.8m高的水平桌子上，最高点距离水

平地面2m,右端出II水平。现让小球在最高点由静止释放，忽略阻力作用，为使小球飞得最远，右端出U距离泉

面的高度应设计为（）

A.0B.0.1m

C.0.2mD.0.3m

答案：C

解析：设最高点距离水平地面的高度为“，右端出口距离地面距离为人小球从最高点到右端出口，根据机械能守

恒定律，有〃2g（”一/?）=〃加，从右端出口飞出后小球做平抛运或，有X=W,卜=*心，联立解得工=

2^（H-h）h,根据数学知识知，当"一力=人时，x最大，即力=lm时，小球飞得最远，此时右湍出口距离桌面

高度为M=1m—0.8m=0.2m,故C正确。

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1.（2025.安徽蚌埠三模）如图为某运动员自由式滑雪训练场景示意组，运动员从跳台。处沿水平方向飞出，在斜

坡b处着陆，如果其在空中运动过程中与斜面间的最大距离为岁m,斜坡与水平方向的夹角为30°,重力加速度

g取10m&,则其从。处飞出时的速度大小为（）

A.l(h/3m/sB.5V3m/s

解析：A将运动员在a处的速度及重力加速度g分解为垂直于斜面方向和沿斜面方向，则沿垂直于斜面方向，当

运动员到达距离斜面最大高度时，有品产解得w=10V5m/s,故选A。

2gcos302

2.（2025♦福建福州期末）如图所示，以水平初速度叩=10m/s抛出的物体，飞行一段时间后，垂直地撞在倾角为

60°的斜面上。不计空气阻力，重力加速度取g=10m/s2,则物体完成这段飞行的时间是（）

£

A.ySB.1sC.V3sD.2s

解析：A物体撞在斜面上的速度与斜面方向垂直，将该速度分解，如图所示。由于不计空气阻力，因此物体水平

方向的速度仍为％,设物体竖直方向的速度为内，则tan600=%=』，此外，由于物体竖直方向只受到重力，

VyUy

因此竖直方向的加速度为重力加速度g，且物体竖直方向的初速度为零，则有力=gl，联立两式解得7=^S,故选

Ao

3.（2025・四川德阳一模）如图所示，在竖直直角坐标系内有一高度为8m、倾角为37°的斜面，将小球从+.v轴

上位置（0,8m）处沿+x方向水平抛出，初速度为4m/s,8取10mg,则小球第一次在斜面上的落点位置为

A.（3m,4m）B.（3m,5m）

C.（4m,5m）D.（4m,3m）

解析：D设小球第一次在斜面上的落点位置为（x,），），小球在空中做平抛运动，水平方向有竖直方向

有和一尸夫尸，其中柄o=4m/s,yo=8m,又由几何关系可得tan37'=（,联立解得x=4m,y=3m,故选D。

4.（2025•黑龙江哈尔滨期中）如图所示，圆环竖直放置，从圆心。点正上方的。点，以速度w水平抛出的小球恰

能从圆环上的Q点沿切线方向飞过，若OQ与OP间夹角为以不计空气阻力，重力加速度为g,则（）

圆环的半径为

A.gcosO

B.小球从P点运动到Q点的时间

C.小球从P点运动到Q点的速度变化最焉

D.小球运动到。点时的速度大小为《=磊

解析：A以速度vo水平抛出的小球恰能从圆环上的。点沿切线方向飞过，小球运动到。点时的速度大小为也=

篇故D错误；小球在。点的竖直方向的速度为i，Q,=i，Zan〃，小球从。点运动到。点的时间，=等=«詈.故

B错误；小球水平方向做匀速直线运动，有Rsin9=w/,联立可得圆环的半径为R=工，故A正确；小球从P

gcosff

点运动到。点的速度变化量△u=gf=wtan仇故C错误。

5.（2025•江西赣州期末）如图所示，在竖直平面内有一曲面，曲面方程为y=f,在），轴上有一点P,坐标为

（0,6）o从P点将一可以看成质点的小球水平抛出，初速度为lm/s。不计空气阻力，g取lOmC,则小球打在

曲面上所用时间为（）

B苫

,2

解析：A小球做平抛运动，则打在曲面上时，竖直方向位移为〃落水平位移x=i，o/,则小球的坐标为

（vot,6m一亭），小球打在曲面上，满足曲面方程y=f,将小球坐标代入曲面方程，解得f=ls,故A正确，

B、C、D错误。

6.如图所示，乒乓球的发球器安装在水平桌面上，竖直转轴。。'距桌面的高度为力，发射器。‘4部分长度也为人

打开开关后，可将乒乓球从4点以初冤度卬水平发射出去，其中师WvoW2演瓦设发射出的所有乒乓球都能

落到桌面上，乒乓球自身尺寸及空气阻力不计。若使该发球器绕转轴00,在90。角的范围内来回缓慢水平转动，

持续发射足够长时间后，乒乓球第一次与桌面相碰区域的最大面积S是（）

A.2nh2B.3冗力

C.4n/rD.8nh2

解析：C根据平抛运动规律力=）凡解得，=J称，以最小速度也=用[发射的乒乓球，水平位移最小，为勿=

V）t=y/2ghX=2h,对应的与桌面相碰区域的;圆半径为〃=/?+/|=3〃，以最大速度i，2=2j2g/i发射的乒乓球,

水平位移最大，为X2=9=2j2ghX后=4h,对应的与桌面相碰区域的[圆半径为/■2=〃+x2=5〃.乒乓球第一次

与桌面相碰区域的最大面积S=%[（5/:）2-（3/力2]=4血2,故C正确。

7.〔多达〕（2025•山东荷泽期中）如图所示为固定的半圆形竖直轨道，A8为水平直径，。为圆心，同时从A点水

平抛出甲、乙两个小球，初速度分别为也、也，落在轨道上的C、。两点，OC、0。连线与竖直方向的夹角均为

30°,忽略空气阻力，两小球均可视为质点，则（）

A.甲、乙两球同时落到轨道上

B.vi:V2=I：3

C.乙球的速度变化量比甲球的大

D.乙球在。点速度的反向延长线一定过。点

解析：AB两个小球下落的高度是相等的，根据力=2汽又△□=处,可知甲、乙两球下落到轨道的时间相等，速

度变化相等，故A正确，C错误；设圆形轨道的半径为R,则甲水平位移为k=R—Rsin300=0.5/e,乙水平位移

为X2=R+Rsin30°=1.5/?,可得及=3为，水平方向做匀速直线运动，则有也：也=1：3,故B正确；。点速度

反向延长线过水平位移中点，所以乙球在。点速度的反向延长线不过。点，故D错误。

套题提升练

8.（2025・云南昆明模拟）如图所示，从高"=5m处的A点先后水平抛出两个小球1和2。球1与地面碰撞一次

后，恰好越过位于水平地面上的竖直挡板落在水平地面上的£点，已知碰撞前后的水平分速度不变、竖直分速度

等大反向。球2的初速度no=3m/s,也恰好越过挡板落在E点，忽略空气阻力，取重力加速度g=IOm/s2。下列

说法正确的是（）

A.小球2的水平射程为5m

B.小球1平抛运动的初速度为1.5m/s

C.抛出点A与竖直挡板顶端。点的高度差h=\m

D.抛出点A与竖直挡板顶端D点的高度差力=1.25m

解析：D根据“=全洛小跳2的水平射程为x=3m,A错误；两球均落到E点，根据定称性可知，小

球1和2运动总时间之比为fi:匕=3：I，小球I落至C点的水平位移为由=：=1m,小球1平抛运动的初速度为

口=£，得片=lm/s,B错误；球2运动至挡板顶端。与球1从挡板顶端。运动至最高点的时间相同，则对应的

水平方向位移之和为1，04+口后=21»得抛出点A与竖直挡板顶端。点的高度差为/?=1.25m,故C错误，D

正确。

9.（2025・湖北荆州期末）如图所示，斜面倾角为以位于斜面底端A正上方的小球以初速度i，o正对斜面顶点3水

平抛出，小球到达斜而经过的时间为人重力加速度为g,B到斜而底边的竖百高度为，.则下列说法中正确的是

A.若小球以最小位移到达斜面，则/=史蚂”

B.若小球以最小位移到达斜面，则v0="sin0

c・若小球能击中斜面中点，则尸葛

D.若小球垂直击中斜面，则,=如”

9

解析：B过抛出点作斜面的垂线CQ,如图所示，当小球落在斜面上的。点时，位移最小，设运动的时间为,,

则水平方向，有工=巾3竖直方向，有yW",根据几何关系有±=ian仇则有苦=lan。，解得，=」三，故A错

误；由A选项可知知=\品，由几何关系可得此时竖直方向位移y=Hcosacos〃=Hcos20,水平方向位移x=

"cos/in优由以上可知w=J^sin。，故B正确；若小球能击中斜面中点，小球下落的高度设％/?,水平位移设

为X”则由几何关系可得tan0=2=4=^，解得，|=2世"，故C错误；小球垂直击中斜面时速度与竖直方向

M2v09

的夹角为仇则tan0=4解得/=』，故D错误。

gtgtane

10.（2025・湖北武汉模拟）如图所示，倾角为37°的斜面固定在水平面上，小球从斜面上M点的正上方0.2m处

由静止下落，在M点与斜面碰撞，之后落到斜面上的N点。已知小球在碰撞前、后瞬间，速度沿斜面方向的分量

不变，沿垂直丁斜面方向的分量大小不变，方向相反，sin37。=0.6,uos37°=0.8,重力加速度大小取g—10

mH,忽略空气阻力，则小球从M点溶动至N点所用的时间为（）

A.0.2sB.0.3s

C.0.4sD.0.5s

解析：C由自由落体运动公式，=2洗，得小球到M点的速度大小为u=2m/s,以沿斜面方向为x轴，以垂直于

斜面方向为y轴建立坐标系，如图所示。则