2025年广东省深圳市南山区某中学中考数学三模试卷（附答案解析）

2025年广东省深圳市南山区哈工大（深圳）实验学校中考数学三模试卷

一、选择题（本题共有8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的）

1.（3分）下列图形中，是中心对称图形的是（）

A.圆B.等边三角形

c.L______I直角三角形D.\________/正五边形

2.（3分）截至2025年1月31日（上线21天），DeepSeek日活跃用户数达到2215万,这一数字已超过

豆包的FI活跃用户数，粒居我国A/应用活跃度榜首.将2215万用科学记数法表示应为（）

A.2.215X104B.2.215X105C.2.215XI06D.2.215X107

3.（3分）下列各式计算正确的是（）

A.=B.（・/）3=J

C.（-x-y）（-x+y）=J？-D.（a-b）2=a2-h2

4.（3分）如图所示，将一把直尺和一块等腰三角板按如图方式摆放，若N2=75°,则N1的度数为（）

A.5°B.15°C.25°D.30°

5.（3分）如图，园林工人将绿化带上参差不齐的植物修剪平整，在此过程中绿化带上植物高度的平均数

与方差均发生变化.关于这两个统计后的变化情况，描述正确的是（）

A.平均数变小，方差变小

B.平均数变小，方差变人

C.平均数变大，方差变大

D.平均数变大，方差变小

6.（3分）如图，在04以力中，AC,4。为两条对角线.添加下列一个条件，仍不能判定。43C。是菱形,

这个条件是（）

A.ACLBDB.AB^BCC.AB=BCD.NBAC=/DAC

7.（3分）如图，把圆分成〃（〃23）等份，经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形

叫做这个圆的外切正〃边形.如图，。。的半径为R,则它的外切正〃边形的边长是（）

8.（3分）如图①，在口48。。中，AC是对角线，动点尸从点力出发，沿折线A-/?-C-。匀速运动至点

。停止.若点。的运动速度为1aMs,设点P的运动时间为4（s）,△AQP的面积为y（。/），y与工的

函数图象如图②所示.当A尸恰好平分NBAC时，BP的长为（）

A.2cmB.2>/3cznC.（2^3—2）cmD.4cm

二、填空题（本题共有5小题，每小题3分，共15分。）

9.（3分）若2vVS<3,写出一个满足条件的。的值_______________.

10.（3分）黄金分割是汉字结构最基本的规律，借助如图的正方形用字格书写的汉字“蓉”端庄稳重、舒

展美观.已知一条分割线的端点4,3分别在田字格的边MN,PQ上,且AB〃NQ,“蓉”字笔画的第

AC-JS—1

八笔“、”经过AB的黄金分割点C,即而=~2-.若NQ=，则AC的长为

cm.

11.（3分）如图①是小区围墙上的花窗，其形状是扇形的一部分，图②是其几何示意图.通过测量得到扇

形AOB的圆心角为90°,AC=8Q=0.5/〃，点C,D分别为OB的中点，则花窗的面积为

ffi©

12.（3分）如图，矩形/WCO的顶点ZL。在x轴的负半轴上，AD=3,人〃=8,反比例函数y的图象

人

经过。C的中点£交人4于点F,A产=7,则R的值为

13.（3分）如图，在平面直角坐标系中，A（4,3）,与射线04以及），轴的正半轴始终相切，过点4

（6,0）作。。的切线，切点为。，则切线长伏？的最小值为.

三、解答题（本大题共7小题，共61分）

14.（6分）计算：712-（3.14-7T）°-4sin60°+（^）-1.

15.（8分）下面是小星同学进行分式化简的过程：

化简（笔;-1）+若,

解：原式=（留一号）+FT号用第一步

_2--IT-1*。-1）（%+1）…第—步

1X

=（*-2）—+1）…第三步

X

（1）小星同学的化简过程从第步开始出现错误；

（2）请写出正确的化简过程，并从-1,0,1,2中选择合适的数代入求值.

16.（8分）某校在开展“网络安全知识教育周”期间，在九年级随机抽取了20名学生分成甲、乙两组，

每组各10人，进行“网络安全”现场知识竞赛，把甲、乙两组的成绩进行整理分析（满分100分，竞

赛得分用工表示：90WxW100为网络安全意识非常强，80WxV90为网络安全意识强，xV80为网络安

全意识一般），收集整理的数据制成如卜两幅统计图：

图1图2

分析数据:

平均数中位数众数

甲组8380C

乙组ab90

根据以上信息回答下列问题:

（1）a=,b=,c=：

（2）你认为哪组的成绩更好？说明理由.

（3）现在准备从甲乙两组满分的同学中抽取两名同学参加校级比赛，用列表或树形图求抽取的两名同

学恰好一人来自甲组，另一人来自己组的概率.

17.（8分）人工智能被称为世界三大尖端技术之一，近来年得到了迅猛发展.某校积极响应国家“科教兴

国”战略，开设智能机器人编程的校本课程，学校购买了A,3两种型号的机器人模型，A型机器人模

型单价比B型机器人模型单价多2（X）元，用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人

模型的数量相同.

（1）求A型，8型机器人模型的单价分别是多少元？

（2）学校准备再次购买A型和。型机器人模型共40台，购买。型机器人模型不超过A型机器人模型

的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠.问购买A型和8型机器人模型各多少台

时花费最少，最少花费是多少元？

18.（11分）如图，在网格中，4、B、C均为格点，AB是。0的直径，点C在。0上，按下列步骤完成

作图（不能用圆规作图），并回答问题：

①作N8AC的平分线AD交。0于点D；

②过点。作直线AC的垂线，交AC的延长线于点E；

③连接6。，CD.

（1）求证：宜线力E是。。的切线；

（2）若一个小方格的边长为1,求AO的长.（结果保留根号）

19.（9分）在一次设计公园休闲凉亭的数学实践课上，老师提供了两个素材.

25

素材1：某公园计划修建一个如图所示的凉亭，凉亭正中间立柱OA的高为”血，立柱左右两侧是关于

立柱对称的抛物线形凉伞，凉伞的最高点距离地面4.5/〃，且最高点到立柱。人的水平距离为\m.

素材2：为使凉伞更加美观牢固，在凉伞最外侧的C,ECE1两点分别在这两条抛物线上）处，分别

修建了高度均为35〃的支架CO,EF.

小艺同学建立了如图所示的平面直角坐标系，请你帮他解答下列各题：

（1）求在第二象限的抛物线的表达式（不要求写自变量入,的取值范围）.

（2）求C。与切之间的距离.

（3）若P是第二象限的抛物线上一点，P'是点P关于立柱OA的对称点，且PP'在点人的下方，CE

的上方，过点尸，P'分别作PMJ_CE于点M,P'N工CE于点、N.为迎接春节，在尸P',PM,P'N

上悬挂迎新年的主题彩带，求彩带氏CPP'+PM+P'N）的最大值.

y/m

20.（II分）【实践探究】数学实践课上，活动小组的同学将两人正方形纸片按照图1所示的方式放置.如

图1,正方形A4CO的对角线相交于点。，点。又是正方形4加的一个顶点，且这两个正方形的

边长相等，四边形OE8尸为这两个正方形的重叠部分，正方形可绕点。旋转.

【问题发现】

（1）①线段AE,8户之间的数量关系是.

②在①的基础上，连接“则线段AK,CF,£”之间的数量关系是.

【类比迁移】

（2）如图2,矩形A8C。的中心O是矩形A山|。。|的一个顶点，Ai。与边A3相交点E,C1O与边BC

相交于点F,连接£/，延长C1O交A。于点P,连接EP,AC,矩形A/C1O1可绕点。旋转.判断线

段AE,CF,EF之间的数量关系并证明.

【拓展应用】

（3）如图3,在RtZ\AC8中，ZC=90°,AC=6,BC=S,直角N££＞尸的顶点。在边A8的中点处,

它的两条边和。尸分别与直线AC，4c相交于点E,F,NEQ尸可绕点。旋转.当A£=4时，请直

接写出线段的长.

图1图2备用图

2025年广东省深圳市南山区哈工大（深圳）实验学校中考数学三模试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本题共有8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的）

1.（3分）下列图形中，是中心对称图形的是（

A.圆B.等边三角形

C.直角三角形D.正五边形

【解答】解：A是中心对称图形，B,C,。不是中心对称图形,

故选：A.

2.（3分）截至2025年1月31日（上线21天），DeepSeek日活跃用户数达到2215万，这一数字已超过

豆包的日活跃用户数，稳居我国A/应用活跃度榜首.将2215万用科学记数法表示应为（）

A.2.215X104B.2.215X105C.2.215X106D.2.215X107

【解答】解:2215万=2215000()=2.215X1()7.

故选：D.

3.（3分）下列各式计算正确的是（)

A.a2*a5=a]()B.(-a2)3=q6

C.(-x-y)(-x+y)=/-y2D.(a-b)2=a2-b1

【解答】解：a2-a5=a7,故选项A错误,不符合题意;

故选项4错误，不符合题意;

（-x-y）（-x+y）=/-故选项C正确，符合题意;

（〃-b）2=a2-2ab+l,,故选项D错误，不符合题意;

故选：C.

4.（3分）如图所示，将一把直尺和一块等腰三角板按如图方式摆放，若N2=75°,则N1的度数为（)

A

20

B

A.5°B.15°C.25°D.30°

【解答】解：由条件可知NAOB=N2=75°,

AZ1=30°；

故选：D.

5.（3分）如图，园林工人将绿化带上参差不齐的植物修剪平整，在此过程中绿化带上植物高度的平均数

与方差均发生变化.关于这两个统计量的变化情况，描述正确的是（）

A.平均数变小,方差变小

B.平均数变小,方差变大

C.平均数变大,方差变大

D.平均数变大,方差变小

【解答】解：园林工人将绿化带上参差不齐的植物修剪平整，在此过程中绿化带上植物高度的平均数变

小，方差变小.

故选：A.

6.（3分）如图，在oABC。中，AC,为两条对角线.添加下列一个条件，仍不能判定是菱形,

这个条件是（）

A.ACLBDB.AB1BCC.AB=BCD.ZBAC=ZDAC

【解答】解：4、•・•四边形44co是平行四边形，ACVBD,

・・・oABC£＞是菱形，故不符合题意；

仄•・•四边形八AC。是平行四边形，AB1BC,

・・・QA8C。是矩形，故符合题意；

C、•・•四边形A8CD是平行四也形，AB=BC,

"A3CD是菱形,故不符合题意；

。、•・•四边形ABCO是平行四边形，

J.AD//BC,

：.ZDAC=ZACB,

•・・N8AC=NOAC,

：.ZBAC=ZACB,

：.AB=BC,

・"A3CD是菱形,故不符合题意；

故选：B.

7.（3分）如图，把圆分成〃（〃23）等份，经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形

叫做这个圆的外切正〃边形.如图，OO的半径为凡则它的外切正〃边形的边长是（）

2R

A，嬴苏亨

2R

°sE(90。-%

【解答】解：如图，设正〃边形的边A/3与内切圆。。相切于点连接04、OB、OM,则OM=R,

在Rt^AOM中，OM=R,ZAOM=^ZAOB=ix2^22

Lzn=n

180°

.\AM=0M*lan----,

n

AB=2AM

1RO°

=2R・tan------

n

1

=2R・

tan(90°-^-)

2R

tan(9O0-^)

故选：A.

B

8.（3分）如图①，在。ABC。中，AC是对角线，动点P从点力出发，沿折线匀速运动至点

。停止.若点。的运动速度为设点P的运动时间为x（s）,△4。。的面积为y（。/J）,y与工的

函数图象如图②所示.当4P恰好平分N84C时，BP的长为（）

A.2cmB.26cmC.（273—2）cmD.4cin

【解答】解：过点A作4771BC于点，，过点P作尸GJ_AC于点G,连接

当点尸在BC上运动时，△AZ)尸的面积为定值，

由图象可得点P运动到点8时，运动时间为2s,△AOP的面积为26cm2,

：•AB=CD=2cm,

:.BC=4cm9

丁在QA3C。中，S^ABD—^AABC=24H,BC=2y/3cm2,

.\AH=y/3cm,

••.AHv3

・sin^AABC=而=区,

AZABC=60°,

：.ZBAH=30°,

:.BH=^AB=1cm,

:,CH=BC-AH=3cm,

tanz.ACB=罂=冬

.••NAC8=3(T,

・・・N84C=90°,

〈AP恰好平分/BAG

・・・N84P=NC4P=45°，

设PG=x,则CP=2x,

:・PH=3-2x,AP=y[2x,

*：PH2+AH2=AP2,

A（3-2x）2+（V3）2=（V2x）2,即?-6x+6=0,

解得：％=3-g或X=3+曰＞3（舍去），

/.PH=3-64-273=（2V3-3）cm,

・・・8P=BH+PH=1+2百-3=（2V3-2）cm,

故选：C.

二、填空题（本题共有5小题，每小题3分，共15分。）

9.（3分）若2V仿＜3,写出一个满足条件的a的值5（答案不唯一）.

【解答】解：・・・2V口＜3,

・・.4VaV9,

・•・“可以为5（答案不唯一）.

故答案为：5（答案不唯一）.

10.13分）黄金分割是汉字结构最基本的规律，借助如图的正方形田字格书写的汉字“蓉”端庄稳重、舒

展美观.已知一条分割线的端点A,B分别在田字格的边MMPQ上，且4B〃NQ,“蓉”字笔画的第

八笔“、”经过AB的黄金分割点C,即与=与二.若NQ=4cm,则AC的长为（275-2）cm.

【解答】解：:四边形MNQ尸是正方形,

：.4MNQ=4NQP=90°,

又・・・A8〃NQ,

：,ZBAN+ZMNQ=\S0°,

；・/BAN=90>

・•・四边形A8QN是矩形,

:.AB=NQ=4cm,

「ACV5-1

又丁—=----,

AB2

：.AC=^^AB=X4=(2V5-2)(cm),

故答案为:（2V5-2）.

11.（3分）如图①是小区围墙上的花窗，其形状是扇形的一部分，图②是其几何示意图.通过测量得到扇

形A08的圆心角为—=。碗,点C,D分别为OA,0B的中点，则花窗的面积为上）

ffi©ffl®

【解答】解：由题知,

因为点C,。分别为。人，08的中点，RAC=BD=0.5m,

所以OC=OD=0.5/〃，0A=0B=\m.

又因为NO=90°,

Q0-7T-11c11r

所以S增施AB=360=47r（"?），SAOCD=2x0-5x05=8（"广），

所以花窗的面积为（工乃一二）

48

故答案为：（一兀一二）.

48

I2.（3分）如图，矩形人BCO的顶点B,。在x轴的负半轴上，AD=3,人8=8,反比例函数y=。的图象

人

经过。C的中点£交人B于点凡AF=7,则k的值为-4.

【解答】解：•・•四边形A3c。是矩形,

：.BC=AD=3,CD=/W=8,

设OC=〃?，则OB=OC+BC=〃?+3,

VAF=7,反比例函数y=（的图象经过DC的中点E,

1

：.BF=AB~AF=\,CE=^CD=4,

:・E（〃？，4）,F（/n+3,1）,

•・•£、尸两点在反比例函数上，

，4〃?=（〃?+3）XI,

解得：

:.E（-1,4）,

：.k=-1X4=-4,

故答案为：-4.

13.（3分）如图，在平面直角坐标系中，A（4,3）,0P与射线0/1以及y轴的正半轴始终相切，过点B

【解答】解：如图所示，设。户切），轴于点M，连接PM,

・・・0A=V424-32=5.

〈OP与射线0A以及y轴的正半轴始终相切,

・••圆心P在NM0A的角平分线OP上.

作4点关于直线。。的对称点A（0,5）,

则A4的中点坐标为（2,4）,

则OP必经过点(2,4),

・•・直线OP的表达式为y=2x.

设点。坐标为(x,2丫)，

故OP=yjx2+(2x)2=y/5x.

OP的半径PM=PQ=x,

连接尸Q，则NPQB=90°,

则由勾股定理可得：BQ1=PB2-喈,

即BQ2=(A--6)2+(2x)2-?=4?-12v+36=4(A-1)2+27,

故BQ?有最小值27,

此时BQ最小为3Vs.

故答案为：3V3.

三、解答题(本大题共7小题，共61分)

14.(6分)计算：712-(3.14-7T)°-4sin600+(i)-1.

【解答】解：原式=2V5—l—4x亨+4

=3.

15.(8分)下面是小星同学进行分式化简的过程：

化简(左J-1)+至丁

解：原式=(岩—号)+(Al-+l).•第一步

_21:-1*.一1).+1)…第二步

=(%-2)(x+l)第三步

X

(1)小星同学的化简过程从第二步开始出现错误；

(2)请写出正确的化简过程，并从-1,0,1,2中选择合适的数代入求值.

【解答】解：(1)根据题意可得：第二步计算减法时，没有变号，

小星同学的化简过程从第二步开始出现错误，

故答案为：二；

,2x-lx-1..x

=（后T—丁（x-l）（x+l）

2x-l-x+l（--1）0+1）

一4Tx

X（XT）（X+1）

一X-lX

=x+\,

•・3+l#0,x-IWO,xWO,

••・xW0,-1,1,

当x=2时，原式=2+1=3.

16.（8分）某校在开展“网络安全知识教育周”期间，在九年级随机抽取了20名学生分成甲、乙两组，

每组各10人，进行“网络安全”现场知识竞赛，把甲、乙两组的成绩进行整理分析（满分100分，竞

赛得分用x表示：90WxW100为网络安全意识非常强，80CrV90为网络安全意识强，文＜80为网络安

全意识一般），收集整理的数据制成如下两幅统计图：

图1图2

分析数据：

平均数中位数众数

甲组8380C

乙组ab90

根据以上信息【回答下列问题：

（1）4=85,b=90,c=80；

（2）你认为哪组的成绩更好？说明理由.

（3）现在准备从甲乙两组满分的同学中抽取两名同学参加校级比赛，用列表或树形图求抽取的两名同

学恰好一人来自甲组，另一人来自己组的概率.

【解答】解：（1）由图1可知，甲组学生得80分的人数最多，

故甲组的众数为80,即c=80；

70x3+80+90x4+100x2

由图2的数据得，平均数Q=10=85；

图2的数据从小到大排序为70,70,70,80,90,90,90,90,100,100,

位于中间的两个数为90,90,

・•・中位数为〃=90,

故答案为：85；90；80；

(2)乙组的成绩更好；理由如下：

乙组的平均数和中位数都高于甲组，说明乙组的一般水平和中等水平都高于甲组，乙组的网络安全意识

非常强的人数为6人，高于甲组的3人，所以乙组的成绩更好.

(3)从甲乙两组满分的同学中抽取两名同学参加校级比赛，列表如下:

甲乙1乙2

甲-乙1甲乙2甲

乙1甲乙1-乙2乙1

乙2甲乙2乙1乙2-

共有6种等可能出现的结果，其中两名同学恰好一人来自甲组，另一人来自乙组的有4种，

・•・两名同学恰好一人来自甲组，另一人来自乙组的概率为;=

17,(8分)人工智能被称为迎界三大尖端技术之一，近来年得到了迅猛发展.某校枳极响应国家“科教兴

国”战略，开设智能机器人编程的校本课程，学校购买了A,B两种型号的机器人模型，人型机器人模

型单价比B型机器人模型单价多200元，用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人

模型的数量相同.

(1)求A型，B型机器人模型的单价分别是多少元?

(2)学校准备再次购买A型和8型机器人模型共40台，购买8型机器人模型不超过A型机器人模型

的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠.问购买A型和3型机器人模型各多少台

时花费最少，最少花费是多少元?

【解答】解：(1)设B型机器人模型单价为x元，则A型机器人模型单价为(X+200)元.

20001200

根据题意,得台二丁

••・尸300,

经检验，x=300是所列分式方程的解,

300+200=500（元）.

答：A型机器人模型单价为5co元，8型机器人模型单价为300元.

（2）设购买A型机器人机台,则购买3型机器人（40-机）台.

根据题意，得40-〃忘3m,

解得〃?210,

设共花费卬元，则卬=0.8X500〃?+0.8X300（40-m）=160m+9600,

VI60>0,

，卬随的减小而减小，

〈m210,

・••当=10时w值最小，卬量小=160X10+9600=11200,

40-10=30（台）.

答：购买4型机器人10台、4型机器人30台时花费最少，最少花费是11200元.

18.（11分）如图，在网格中，A、B、C均为格点，4B是。。的直径，点C在。0上，按下列步骤完成

作图（不能用圆规作图），并回答问题：

①作N8AC的平分线AD交。0于点D；

②过点D作直线AC的垂线，交AC的延长线于点E；

③连接4Q，CD.

（1）求证：直线是的切线：

（2）若一个小方格的边长为1,求AO的长.（结果保留根号）

【解答】（1）证明：图形如图所示:

・・・NOAQ=NOZM,

YA。平分N84C,

：.ZOAD=ZCAD,

.•.N"A=NCA。，

：.AE//ODy

yAEIDE,

，ODA.DE,

•・・o。是半径，

・••直线。E是。。的切线：

(2)解：如图，过点。作0兀LAC于点T.

*：AE±DE,AE//0D,

；・NOTE=NE=NODE=90°,

••・四边形O7E。是矩形，

：,DE=OT=2,OD=OA=TE=\[5,

：.AE=AT+ET=\+V5,

：,AD=>/AE2+DE2=J(1+V5)2+22=J10+2遥.

19.(9分)在一次设计公园休闲凉亭的数学实践课上，老师提供了两个素材.

素材1：某公园计划修建一个如图所示的凉亭，凉亭正中间立柱04的高为y7九，立柱左右两侧是关于

6

立柱对称的抛物线形凉伞，凉伞的最高点距离地面4.5〃?，且最高点到立柱0A的水平距离为\m.

素材2：为使凉伞更加美观牢固，在凉伞最外侧的C,E(C,E两点分别在这两条抛物线上)处，分别

修建了高度均为3.5m的支架CD,EF.

小艺同学建立「如图所示的平面直角坐标系，请你帮他解答下列各题：

（1）求在第二象限的抛物线的表达式（不要求写自变量X的取值范围）.

（2）求CO与七产之间的距离.

（3）若P是第二象限的抛物线上一点，P'是点P关于立柱OA的对称点，且PP'在点4的下方，CE

的上方，过点P,P'分别作PM_LCE于点M,P'N工CE于点N.为迎接春节，在PP',PM,P'N

上悬挂迎新年的主题彩带，求彩带长（PP'+PM+P'N）的最大值.

・・・A点坐标为（0,令，

•・•最高点距离地面4.5〃?，且最高点到立柱OA的水平距离为1〃?,

・••最高点坐标为（-1，4.5）,

设抛物线的顶点式为（X+1）2+4.5,

oq259

将A（0,彳"）代入，得—二Q+4.5二Q十一，

9

Q=2525-2721

62-—=―

663

••・抛物线的表达式为y=-1(x+I)2+4.5；

•J

(2)•・•支架高度为3.5m,即y=3.5,

当y=3.5时，有3.5=—《。+1)2+4.5,

解得=A/3—1»x2=-1,

ACD与EF之间的距离为:|的一和=I百一1一(-V3-1)|=2V3m；

(3)设PQ,-+1)2+4.5),x<0,PP'与x轴交于点”，

yw=3.5,

：.PM=+l)2+4.5-3.5=+l)2+1,PH=-x,

PM+PH=—x—可(％+I)2+1=-w"—+—+2)2+

..1,J-11r11

.一式％+2)+T-T,

・•・当X=