2026年苏科版中考数学专项训练：方程与不等式

2026年中考数学专题训练《方程与不等式》

1.如图，用12块形状和大小均相同的小长方形纸片拼成一个宽是40cm的大长方形，若设小长方形的长为

乂宽为、则可列方程组为一.1

41C

第11题

2.若不等式组x:一a>:>1；的解集是—lvx<l,则a+b的值是_____.

Z?-3x>0

3.某次“学宪法，讲宪法”知识竞赛中，共有20道题，规定答对一题得5分，不答得。分，答错一题扣2

分,在这次竞赛中小聪只有1道题没答，竞赛成绩超过80分，那么小聪至多答错了道题；

Dkx

4.已知关于x的分式方程一；+—；=「有增根x=l,贝必=_____.

x-1x-1X+1

5.元旦期间某商场为了吸引顾客，对某种商品连续两次降价，每次降价的百分率相同.已知该商品原来每

件售价为750元，降价两次后每件售价为480元，则每次降价的百分率是.

6.下列一组方程：①x+2=3,②、+9=5,③x+^=7…，小明通过观察，发现了其中蕴含的规律，并顺利

XXX

地求出了前三个方程的解，第①个方程的解为内=1，々=2；第②个方程的解为玉=2,勺=3；第③个方程

的解为％=3,石=4.若加为正整数，且关于x的方程彳+贮"=2川-4的一个解是x=7,则〃?的值等

x+5

于.

7.某市道路改造中，需要铺设一条长为1200米的管道，为了尽量减少施工对交通造成的影响，实际施工

时，工作效率比原计划提高了25%,结果提前8天完成任务.设原计划每天铺设管道x米，根据题意列出

方程为-

8.定义新运算,对于两个不相等的实数4〃，我们规定符号min{a,b}表示a力中较小值,如.min{l,3}=l,

min{-l-3}=-3,按照这样的规定，min{x-x}=x2+x-4,则1的值是

9.（本题8分）解下列方程（组）:

⑴巴-2=1

23

10.（本题8分）解方程

3

(1)-=

X7+T

11.（本题8分）解方程和不等式组

2x-（x-l）＞l

⑵解不等式如也交

（1）解方程：2Mx-2）=1；

3

12.（本题8分）己知用2辆A型车和1辆8型车载满货物一次可运货11吨；用1辆A型车和2辆6型车

载满货物一次可运货13吨.根据以上信息，解答下列问题：

（1）1辆A型车和1辆8型车都载满货物一次可分别运货多少吨？

⑵某物流公司现有货物31吨，计划同时租用4型车。辆，B型车。辆（小〃均为正整数），一次运完，且

恰好每辆车都载满货物，请用含有人的代数式表示〃，并帮该物流公司设计租车方案.

13.（本题8分）2025数字中国创新大赛-中小学生赛道，决赛是用电脑程序控制智能赛车进行30米比赛，

“天元号''和“朝阳号”两辆赛车在第一轮比赛时，两辆赛车从起点同时出发，当“天元号”到达终点时，“朝阳

4

号行驶到全程的二，“天元号”比“朝阳号,,每秒多行0.8米.

⑴求“朝阳号”的行驶速度;

⑵如果将次元号”的行驶路程增加!，“朝阳号”的行驶路程不变，两辆赛车再次重新比赛，两车能同时到达

吗？通过计算说明；

（3）若按照（2）中的路程行驶，请你调整其中一辆赛车的行驶速度，使两车能同时到达终点.

14.(本题8分)随着“绿色出行，低碳生活”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具.新

能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少二氧化碳气体的排放，从而达到保护

环境的目的.在国家积极政策的鼓励下，新能源汽车的市场需求逐年上升.

(I)某品牌新能源汽车1月份销售量为3万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的俏售量逐月

递增，3月份的销售量达到5.07万辆车.求从1月份到3月份该品牌新能源汽车销伐量的月平均增长率；

(2)某汽车销售公司抢占先机，购进一批新能源汽车进行销售，该公司选择一款进价为15万元/辆的新能源

汽车，经销一段时间后发现；当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低0.5万元,

平均每周多售出1辆，若该店计划卜.调售价使平均每周的销售利润为96万元.为了推广新能源汽车，此次

销售尽量让利于顾客，求下调后每辆汽车的售价.

15.(本题10分)类比推理是一种推理方法，即根据两种事物在某些特征上的相似，作出它仅在其他特征

上也可能相似的结论.触类旁通，即用类比的方法提出问题及寻求解决问题中的途径和方法.

观察卜列计算过程：阅读下面一道例题的解答过程：

1111因式分解：V+3X+2

411

1x22x33x44x5解:我们可以将3x拆成工和2x

即原式=d+2x+++2

U2)123){34八45)

=x(x+2)+(x+2)

,14

=1---=—

55=(x+2)(x+l)

这就是解稍复杂的计算中常用到的裂项相消法，即把每项在因式分解中，我们有时需要对多项式的某一项

恰当拆分，使得其中部分分数相互抵消，简化计算.拆成两项或多项，其目的是使多项式能进行因式

分解，像这样的方法称为拆项法.

请用类比的方法，解决以卜.问题：

⑴①己知志,*弓……’则依据此规律就了一；

②请你利用拆项法进行因式分解：Y+5X+6=；

(2)若〃满足a?-2a+1十=0,求

7Tb+(«+1)(/?+1)+(a+2)(〃+2)+(〃+3)(1+3)++(^+2021)(/;+2021)的值;

⑶受此启发’解方程马—+K+而+忌=+忌"

16.(本题10分)如图，在^ABC中，ZB=9O°,AB=6cm,BC=8cm,点P从点A开始沿边AB向点B以lcm/s

的速度移动，点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动.如果点P,Q分别从点A,B出发，

当点Q运动到点C时，两点停止运动.

(1)经过多长时间,APBQ的面积等于5cm2?

(2)APBQ的面积会等于^ABC面积的一半吗？若会,请求出此时的运动时间；若不会，请说明理由.

答案解析

1.如图，用12块形状和大小均相同的小长方形纸片拼成一个宽是40的大长方形，若设小长方形的长为x,

宽为），，则可列方程组为—.1

^

1

X+y=40

【答案】<

3x=2.r+3y

【知识点】根据几何图形列二元一次方程组

【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元•次方程组，根据图示找出数量关系是解题的关键.

设小长方形的长为x,宽为户根据图示可以列出方程组.

【详解】解：根据图示可以列出方程组为：

x+y=40

3x=2x+3y

x+),=40

故答案为：，

3x=2x+3y

x-a>\

2.若不等式组的解集是-1cxvl,则的值足

b-3x>0

【答案】1

【知识点】求不等式组的解集、由一元一次不等式组的解集求参数

【分析】本题考查了解•元•次不等式组，先求出不等式组的解集，再根据解集为T<x<l确定出心〃的

值，代入进行计算即可得到答案.

【详解】解：解不等式大一4>1得X>l+a,

解不等式匕—3x>o得x<1,

二不等式组的解集为l+

,••解集是-1VXV1,

...1+4=-1且净=1,

解得a=-2,6=3,

:'a+b=l,

故答案为：1.

3.某次“学宪法，讲究法”知识竞赛中，共有20道题，规定答对一题得5分，不答得。分，答错一题扣2

分，在这次竞赛中小聪只有I道题没答，竞赛成绩超过80分，那么小聪至多答错了道题；

【答案】2

【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、求一元一次不等式解的最值

【分析】本题主要考查了运用一元一次不等式解积分问题，熟练掌握根据题中数量关系列出不等式是解题

的关键，注意答错一题扣2分，要用减法.

设小聪答错了x道题，则答对了（20-l-x）道题，根据竞赛成绩超过80分列出不等式，求解x的取值范围，

并取最大整数解.

【详解】解：设小聪答错了x道题，则答对了（20-1-幻道题，

依题意，得：5（20-1-X）-2A>80,

化简得：95-7x>80,

移顶得：-74>-15,

两边同除以-7,不等号方向改变：得：x<y«2.142,

•••x为非负整数，

•••%的最大值为2.

故答案为：2.

9kr

4.已知关于x的分式方程」7+白二」；有增根x=l,则左=_____.

x-\x-1X+1

【答案】-2

【知识点】根据分式方程解的情况求值

【分析】本题考查了分式方程的增根，根据分式方程增根的定义，将分式方程转化为整式方程后，再代入

增根到整式方程求解参数攵即可.

【详解】解：-4+-4=-4

x-lx-lX+1

去分母，得2（X+1）+MX+1）=M-1），

整理得：f-（3+&）1-2=0,

代入x=l至IJ方程/—（3+A）x—左一2=0得，1—（3+攵）-2—2=。，

解得k——2,

故答案为：—2.

5.元旦期间某商场为了吸引顾客，对某种商品连续两次降价，每次降价的百分率相同.已知该商品原来每

件售价为750元，降价两次后每件售价为480元，则每次降价的百分率是.

【答案】20%

【知识点】增长率问题（一元二次方程的应用）

【分析】本题考查了一元二次方程的应用.设每次降价的百分率为工，根据连续两次降价后价格的关系列出

方程，解方程得到X的值，并验证合理性.

【详解】解：设每次降价的百分率为X,则第•次降价后价格为750(1-力元，第二次降价后价格为750(1-1)2

元.

根据题意,有750(1)2=480

解得：x=0.2=20%或x=1.8(舍去)

故答案为：20%.

6,下列一组方程：①*+2=3,②x+9=5,③"+上=7…，小明通过观察，发现了其中蕴含的规律，并顺利

XXX

地求出了前三个方程的解，第①个方程的解为*=1，占=2；第②个方程的解为％=2,9=3；第③个方程

的解为％=3,当=4.若机为正整数，且关于x的方程x+尤士丝=2根-4的一个解是x=7,则机的值等

x+5

于.

【答案】11或12

【知识点】根据分式方程解的情况求值

【分析】本题考查已知方程的解求参数的值，通过观察已知方程的解的规律，将给定方程进行变量代换，

转化为标准形式，利用解的特征求解即可.

【详解】解：由已知方程①、②、③的规律，可得第〃个方程为工+如»=2〃+1,

x

其解为/=〃或X=〃+1.

2

对F方程再‘二二=2〃-4,令y=x+5,贝i」x=y-5.

x+5

,、in(m+\)…，?n(w+l)

代入原方程得：+」——^=2加-4,整理得：)，+」一^=2m+1,

yy

此方程形式与已知规律一致，

故其解为y=m或y=m+l.

.,・x+5="?或x+5=〃z+l,

：.x=m-5x=m-4.

•.•有一个解为x=7,

:.a-5=7或"?一4=7,解得m=12或"7=11：

故答案为：11或12.

7.某市道路改造中，需要铺设一条长为120()米的管道，为了尽量减少施工对交通造成的影响，实际施工

时，工作效率比原计划提高了25%,结果提前8天完成任务.设原计划每天铺设管道x米，根据题意列出

方程为.

【答案】

12001200

-----7-------:-=o8

x(1+25%)x

【知识点】分式方程的工程问题、列分式方程

【分析】本题考查了分式方程的应用，根据题意正确找到等量关系是解题的关键.设原计划每天铺设管道x

米，根据工作效率比原计划提高25%,结果提前了8天完成任务，列方程即可.

【详解】解：设原计划每天铺设管道x米，则实际每天铺设管道为(1+25%)工米，原计划完成任务所需时间

12001200

为詈天，实际所需M间为“+25%)；天，根据题意，得

12001200

_一(l+25%)x

12001200

故答案为：――一(1+25%)^-

8.定义新运算,对于两个不相等的实数。仍,我们规定符号min{〃/}表示中较小值，如.min{l,3}=l,

rnin{-L-3)=-3,按照这样的规定，若min{x,-x}+-4,则x的值是

【答案】

-2或-1+6

【知识点】其他问题(一元二次方程的应用)、新定义下的实数运算

【分析】本题考查了定义新运算.根据新运算定义，分x>0和x<()两种情况讨论，分别求解方程

【详解】当x>0时，min{x,-A}=-x,

代入得-x=x2+x-4,

整理得x2+2x-4=0,

解得x=—1±亚，

取x=-\+x[5(舍去x=-l->/5)：

当x<0时，min{x,-x}=x,

代入得X=X2+X-4,

整理得/一4=0,

解得x=±2,

取x=-2(舍去x=2)；

当x=0时，x=

•••不成立.

故答案为：-2或-1+石.

三、解答题(本大题共8小题，满分66分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

9.（本题8分）解下列方程（组）:

x+1213x-2y=\

(1)(2)

232x+3y=-l

11

x=-----

13

【答案】（1）/=一1(2)

23

y=-----

13

【知识点】解一元一次方程（三）——去分母、代入消元法

【分析】本题考查了解一元一次方程和二元一次方程组，解题的关键是掌握解方程（组）的基本步骤：t

分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1（解方程组用消元法）.

（1）通过去分母、去括号等步骤解一元一次方程;

（2）用加减消元法消去•个未知数，求解二元•次方程组.

x+12x-l,

【详解】（1）解:-----------=1

23

3(x+l)-2(2.v-l)=6

3x+3—4x+2=6

一x+5=6

-x=l

x=-l；

3x-2y=l®

（2）解：

2x+3y=-7@

①x3+②x2得：9x-6y+4.r+6j=3-14,

解得：^=--

将％=11代入①得：3xj-ll|-2y=l

1J3\13/

23

解得：尸一言

11

13

故方程组解为；

23,

y=----

13

10.（本题8分）解方程

23

⑴厂77T⑵号+/

【答案】（l）x=2(2)x=0.5

【知识点】解分式方程（化为一元一次）

【分析】本题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解.解

分式方程一定注意要验根.

(I)分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到九一的值，经检验即可得到分式方程的解;

(2)分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解.

23

【详解】⑴解：--

方程两边同乘x(x+l)，得到2(x+l)=3x,

去括号得2x+2=3x,解得x=2.

检验：当x=2时，x(x+l)=2x(2+l)=6^0,

所以x=2是原分式方程的解.

方程两边同乘x-3,得至iJx+(x-3)=—2,

去括号合并得2公3=-2,解得x=0.5.

检验知x=05时,工一3=一2.5工0.

所以x=0.5是原分式方程的解.

11.(本题8分)解方程和不等式组

2x-(x-l)>l

(1)解方程：2Mx-2)=1；(2)解不等式组：回―

【答案】(1"=出色，超=纪色⑵猿"5

2'2

【知识点】公式法解一元二次方程、求不等式组的解集

【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解一元一次不等式组，正确计算是解题的关键.

(1)先把原方程化为一般式，再利用公式法解方程即可；

⑵先求出每个不等式的解集，耳根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到(无解)”

求出不等式组的解集即可.

【详解】(1)解：2x(x-2)=l

化为一般式得2『-4x-1-0,

va=2,b=-4,c=-\,

.­.A=Z?2-467r=(^)2-4x2x(-l)=24>0,

-b±y]b2-4ac4±x/24

：•x--------------=-------，

2a4

解得％=¥，/=三①：

2x-①

(2)解：,1+x台，

——<2②

3

解不等式①得xNO,

解不等式②得x<5,

・•・原不等式组的解集为0<5.

12.(本题8分)已知用2辆4型车和1辆8型车载满货物一次可运货11吨；用1辆A型车和2辆8型车

载满货物一次可运货13吨.根据以上信息，解答下列问题：

(1)1辆4型车和1辆8型车都载满货物一次可分别运货多少吨？

(2)某物流公司现有货物31吨，计划同时租用A型车。辆，8型车〃辆(小〃均为正整数)，一次运完，且

恰好每辆车都载满货物，请用含有匕的代数式表示出并帮该物流公司设计租车方案.

【答案】(1)1辆A型车载满货物一次可运货3吨，1辆B型车载满货物一次可运货5吨

(2)。=与色，租车方案为：A型车2辆和B型车5辆或A型车7辆和8型车2辆

【知识点】其他问题(一元一次方程组的应用)

【分析】本题考查的是二元一次方程的正整数解，二元一次方程组的应用，掌握利用方程组的正整数解解

决应用问题是解题的关键.

(1)设1辆A型车一次运货x吨，1辆B型车一次运货)，吨，再确定好相等关系列方程组，解方程组即可

得到答案；

(2)租用A型车。辆，3型车b辆运输货物31吨，可得初+5b=31,再求解方程的正整数解即可得到答案.

【详解】(1)解：设1辆A型车一次运货x吨，1辆B型车一次运货)，吨，

2x+y=11

根据题意得，；口，

x+2y=13

解得：｛x=3<，

y=5

.•」辆A型车一次运货3吨，1辆6型车一次运货5吨;

(2)解：根据题意，3a+5Z?=3L

31-5Z?

a=-------

3

•.«〃为正整数,

.•.31-5〃〉0且31-5〃是3的倍数,

.•.当6=2时，①三=7,

当b=5时，。=三31-六95=2,

•••方案1为租用4型车7辆，B型车2辆；方案2为租用A型车2辆，B型车5辆.

13.（本题8分）2025数字中国创新大赛-中小学生赛道，决赛是用电脑程序控制智能赛车进行30米比赛，

“天元号''和"朝阳号''两辆赛车在第一轮比赛时，两辆赛车从起点同时出发，当“天元号''到达终点时，“朝阳

号”才行驶到全程的?，“天元号”比“朝阳号”每秒多行（）.8米.

（1）求“朝阳号”的行驶速度;

⑵如果将“天元号”的行驶路程增加2“朝阳号”的行驶路程不变，两辆赛车再次重新比赛，两车能同时到达

吗？通过计算说明；

（3）若按照（2）中的路程行驶，请你调整其中一辆赛车的行驶速度，使两车能同时到达终点.

【答案】（1）“朝阳号”的行驶速度是3.2米/秒；

（2）不能同时到达，理由见解析

⑶调整后“天元号”的平均速度为3.84米/秒可使两车能同时到达终点（答案不唯一）

【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、分式方程的行程问题

【分析】本题主要考查列分式方程解应用题、有理数的混合运算的应用等知识点，根据题意确定等量关系、

列出方程是解题的关键.

4

（1）根据“天元号”行全程的与“朝阳号’’行全程的W所用时间相等作为等量关系列分式方程求解即可；

（2）分别利用“时间=路程+速度”求出二者时间，然后比较时间即可解答；

（3）根据“朝阳号''行3（）米与“天元号”行36米所用时间相等作为等量关系、列分方程求解即可.

【详解】（1）解：设“朝阳号”的平均速度为“米/秒，贝广天元号”的平均速度为（x+0.8）米/秒，

由题意得：“30X-5=30,

xx+0.8

解得：x=3.2,经检验无=3.2是原方程的解.

答：“朝阳号”的行驶速度是3.2米/秒.

（2）解.：不能同时到达，理由如下：

设调整后“天元号”的行驶路程为30X（1+?）=36（米），

“天元号”到达终点所用的时间为/^7=9（秒），

“朝阳号”到达终点所用的时间为普=9.375（秒），

3.2

二•两车不能同时到达.

（3）解：设调整后“天元号”的平均速度为y米/秒.

3630

~7=及，解得：y=3・84.

经检验y=3.84是原方程的解.

答：调整后“天元号”的平均速度为3.84米/秒可使两车能同时到达终点(答案不唯一).

14.(本题8分)随着“绿色出行，低碳生活”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具.新

能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少二氧化碳气体的排放，从而达到保护

环境的目的.在国家积极政策的鼓励下，新能源汽车的市场需求逐年上升.

(1)某品牌新能源汽车1月份销售量为3万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月

递增，3月份的销售量达到5.07万辆车.求从I月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率：

⑵某汽车销售公司抢占先机，购进•批新能源汽车进行销售，该公司选择•款进价为15万元/辆的新能源

汽车，经销一段时间后发现；当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低0.5万元,

平均每周多售出1辆，若该店计划下调售价使平均每周的销售利润为96万元.为了推广新能源汽车，此次

销售尽量让利于顾客，求下调后每辆汽车的售价.

【答案】(1)30%

(2)21万元

【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用)、营销问题(一元二次方程的应用)

【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，理解题意，找出数量关系是解题的关键.

(1)从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为x,由题意易得3(X+1)2=5.07,进而求

解即可；

(2)设下调后每辆汽乍的售价为万元，由题意易得(，-15)(8+4])=96,进而求解即可.

【详解】(1)解：设从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为x,由题意得：

3(x+if=5.07,

解得：月=0.3,再=-2.3(舍去)，

答：从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售吊:的月平均增长率为3乘.

(2)解：设下调后每辆汽车的售价为y万元，由题意得：

)计粉

()T5=96,

整理得：了2-44),+483=0,

解得：)1=21,力=23,

•.•要尽量让利于顾客,

・••)'=21；

答：下调后每辆汽车的售价为21万元.

15.(本题10分)类比推理是一种推理方法，即根据两种事物在某些特征上的相似，作出它仅在其他特征

上也可能相似的结论.触类旁通，即用类比的方法提出问题及寻求解决问题中的途径和方法.

观察下列计算过程：阅读下面一道例题的解答过程：

1111因式分解：f+3x+2

+■T1

1x22x33x44x5解：我们可以将3%拆成x和2工

(\n(\nfinfin即原式=d+2x+x+2

U2jU3八34j(45)=x(x+2)+(x+2)

,14=(x+2)(x+l)

=1—=—

55在因式分解中，我们有时需要对多项式的某一项

这就是解稍复杂的计算中常用到的裂项相消法，即把每项拆成两项或多项，其目的是使多项式能进行因式

恰当拆分，使得其中部分分数相互抵消，简化计算.分解，像这样的方法称为拆项法.

请用类比的方法，解决以下问题:

(1)(D己知一^=i—L,‘=’—……，则依据此规律/।|\二

3fx222x3233x434+

②请你利用拆项法进行因式分解：x2+5x+6=;

(2)若&〃满足/-24+1+|2。-4:0,求

1111

蓊+(4+1)・优+1)+(4+2)3+2)+(4+3)・优+3)++(4+2021)•伍+2021)的值:

⑶受此启发’解方程工+与布I14

4"-:---------F—;--------=—;----

X*123+13X+42X2+\5X+56X2+28

I

【答案】（1）①；②(x+3)(x+2)；

n〃+l

⑵黑

⑶"-二

【知识点】解分式方程（化为一元一次）、有理数四则混合运算的实际应用