2026年高考数学复习热搜题之立体几何初步

2026年高考数学复习热搜题速递之立体几何初步

一,选择题（共8小题）

1.已知球。的半径为1,四棱锥的顶点为O,底面的四个顶点均在球。的球面上，则当该四棱锥的体积

最大时，其高为（）

11V3V2

A.一B.一C.—D.—

3232

2.设a,0是两个不同的平面，是两条不同的直线，且/ua,/〃u0,（）

A.若/_L0,则。_1_0B.若a_L0,则

C.若/〃0,则a〃pD.若a〃仇则/〃机

3.已知机，〃是两条不同直线，a,0是两个不同平面，则下列命题正确的是（）

A.若a,0垂直于同一平面，则a与0平行

B.若小，〃平行于同一平面，则〃?与〃平行

C.若a,0不平行，则在a内不存在与0平行的直线

D.若1,〃不平行,则用与〃不可能垂直于同一平面

4.直三棱柱A8C-A\B\C\中，若/BAC=90°,AB=AC=A4i,则异面直线BAi与ACj所成的角等于（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

5.某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长

为2,俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（）

A.10B.12C.14D.16

6.若某几何体的三视图（单位：。〃）如图所示，则该几何体的体积等于（)

正视图侧视图

俯视图

A.10c/n3B.20。"尸C.30。/D.40c//?

7.三楂锥P-人8c中，氏_L平面ABC,ACLBC,AC=BC=\,PA=®则该三棱锥外接球的表面积为

（）

A.5nB.y[2nC.20nD.4n

8.两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为等，两个圆锥的高之比为1：

3,则这两个圆锥的体积之和为（）

A.3nB.4TTC.9TlD.127T

二.多选题（共4小题）

（多选）9.如图所示，在四个正方体中，/是正方体的一条体对角线，点、M,N,〜分别为其所在楂的中

点，能得出/_!■平面MN尸的图形为（）

（多选）10.如图所示，AB为圆。的直径，点。在圆周上（异于点A,B）,直线办垂直于圆。所在的

平面，点M为线段P8的中点，以下四个命题正确的是（）

C

A.%〃平面M08B.M。〃平面以C

C.OCL平面%CD.平面小CJ_平面PBC

（多选）11.如图，正方体A4CQ-A/ICIQI极长为1/是4。上的一个动点，下列结论中正确的是（）

B.B4+PC的最小值为卜2—应

C.当P在直线4。上运动时，三棱锥A-B|PC的体积不变

D.以点8为球心，牛为半径的球面与面A8iC的交线长为

乙<3

（多选）12.如图，矩形8。仔所在平面与正方形A8CD所在平面互相垂直，AD=DE=2,G为线段AE

上的动点，则（）

A.AEVCF

8

B.多面体ABCDE尸的体积为:

C.若G为线段AE的中点，则G8〃平面

D.BG^+CG?的最小值为11

三,填空题(共4小题)

13.已知正方体A6CZ)・461cl0的棱K为1,除面A68外，该正方体其氽各面的中心分别为点E,F,

G,H,M(如图)，则四棱锥M-EFG”的体积为.

14,已知”是球0的直径A8上一点，AH："8=1：2,48_L平面a,"为垂足，a截球0所得截面的面

枳为TT,则球O的表面积为.

15.已知矩形A8CO的顶点都在半径为4的球。的球面上，且AB=6,BC=2眄,则棱锥0・A8C。的体

积为.

16.已知04为球0的半径，过0A的中点M且垂直于OA的平面截球面得到圆M.若圆M的面积为3m

则球0的表面积等于.

四,解答题(共4小题)

17.如图，三棱锥A-8。中，A8_L平面8C。，CD±BD.

(I)求证：CQ_L平面A3Q：

(II)若/W=/〃)=CO=I,仞为八。中点，求三棱锥A-M8c的体积.

A

18.如图，菱形/WC。的对角线AC与6。交丁点O,点E、下分别在AD,CD±,AE=CF,EF文BD

于点、H,将△£>£：/沿E尸折到A。'EF的位置.

(I)证明：ACLHD'；

(II)若AB=5,AC=6,AE=1,ODf=2或，求五棱锥D'-ABCFE体积.

19.如图，在四棱锥P-48co中，底面A8CO为平行四边形，△PCQ为等边三角形，平面附C_L平面

PCD,PAVCD,CD=2,AD=3.

(I)设G,H分别为PB,AC的中点，求证：G”〃平面用。；

(II)求证：%_L平面PCD；

(III)求直线AO与平面以C所成角的正弦值.

20.图1是由矩形4OE8,RtZSABC和菱形B尸GC组成的一个平面图形，其中AB=1,BE=BF=2,ZFBC

=60°.将其沿AB,8c折起使得8E与B尸重合，连结OG,如图2.

图1图2

(1)证明：图2中的A,C,G,。四点共面，且平面ABUL平面BCGE；

(2)求图2中的四边形ACGD的面积.

2026年高考数学复习热搜题速递之立体几何初步（2025年12月）

参考答案与试题解析

一.选择题（共8小题）

题号1235678

答案CADcBBAB

二,多选题（共4小题）

题号9101112

答案ADBDACDACD

一,选择题（共8小题）

1.已知球。的半径为1,四棱锯的顶点为。，底面的四个顶点均在球。的球面上，则当该四棱锥的体积

最大时，其高为（）

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；球的体积和表面积；基本不等式及其应用.

【专题】计算题：整体思想；综合法；立体几何：运算求解.

【答案】C

【分析】由题意可知，当四棱锥为正四棱锥时，其体积最大，设底面边长为小由勾股定理可知该四棱

锥的高仁J1所以该四棱锥的体枳仁疗小一.,再利用基本不等式即可求出V的最大值，

以及此时。的值，进而求出h的值.

【解答】解：对于圆内接四边形，如图所示，

11

S四边形A5CZ)=之力。•BD-sinB422r•2r♦sin90°=2r9,

当且仅当AC,8。为圆的直径，且AC_L8。时，等号成立，此时四边形A8C。为正方形，

・•・当该四棱锥的体积最大时，底面一定为正方形，设底面边长为。，底面所在圆的半径为，,

则r=孚a,

・•・该四棱锥的高力=Jl-y，

.♦.该四棱锥的体积仁#/J(学上辱=3监=峥，

a2a24、、

当且仅当一=1——,即a?=与时，等号成立，

423

・•・该四棱锥的体积最大时，其高仁m=序

【点评】本题主要考查了四棱锥的结构特征，考杳了基本不等式的应用，属r•中档题.

2.设a,B是两个不同的平面，I,〃?是两条不同的直线，且/ua,"匚0,()

A.若/_L0,HWalpB.若。，d则/_1_阳

C.若/〃仇则。〃0D.若a〃y则/〃山

【考点】平面与平面之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系.

【专题】综合题；空间位置关系与距离.

【答案】A

【分析】A根据线面垂直的判定定理得出人止确；

B根据面面垂直的性质判断B错误；

C根据面面平行的判断定理得出C错误；

D根据面面平行的性质判断。错误.

【解答】解：对于A,V/±p,且/ua,根据线面垂直的判定定理，得aJ_0,・・・A正确:

对于4,当a_LB，/ca,时，/与可能平行，也可能垂直，，吕错误；

对于C,当/〃仇且/ua时，a与0可能平行，也可能相交，・・・C错误；

对于。，当。〃0,且/ua,"匚0时，/与/〃可能平行，也可能异面，错误.

故选：A.

【点评】本题考查J'空间中的平行与垂直关系的应用问题，也考查了数学符号语言的应用问题，是基础

题目.

3.已知机，〃是两条不同直线，a,0是两个不同平面，则下列命题正确的是（）

A.若a,0垂直于同一平面，则a与0平行

B.若〃?，〃平行于同一平面，则〃?与〃平行

C.若a,0不平行，则在a内不存在与p平行的直线

D.若〃?，〃不平行，则用与口不可能垂直于同一平面

【考点】空间中直线与平面之间的位置关系.

【专题】空间位置关系与距离.

【答案】D

【分析】利用面面垂直、线面平行的性质定理和判定定理对选项分别分析解答.

【解答】解：对于A,若a,6垂直于同一平面，则a与B不一定平行，例如墙角的三个平面；故A错

误；

对于B,若，〃，〃平行于同一平面，则m与〃平行.相交或者异面；故B错误：

对于C,若a,0不平行，则在a内存在无数条与0平行的直线：故C错误；

对于。，若〃?，〃不平行，则〃，与〃不可能垂直于同一平面；假设两条直线同时垂直同一个平面，则这

两条在平行；故。正确；

故选：D.

【点评】本题考查了空间线面关系的判断；用到了面面垂直、线面平行的性质定理和判定定理.

4.直三棱柱人8。-4田1。中，若/。40=90°,48=4。=44，则异面直线84|与4。所成的角等于（）

a___________Cx

A.30°B.45°C.60°D.90°

【考点】异面直线及其所成的角.

【专题】常规题型.

【答案】C

【分析】延长C4到D,根据异面直线所成角的定义可知/。4出就是异面直线A4与AC所成的角，

而三角形为等边三角形，可求得此角.

【解答】解：延长CA到。，使得AO=4C,则4D4G为平行四边形，

ZDAsB就是异面直线BAi与ACi所成的角，

又AiD=AiB=DB=6B、

则三角形为等边三角形，・・・ND4|8=60°

故选：C.

【点评】本小题主要考查直三棱柱ABC-的性质、异面直线所成的角、异面直线所成的角的求

法，考查转化思想，属于基础题.

5.某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长

为2,俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为()

A.10B.12C.14D.16

【考点】由三视图求面积、体积.

【专题】计算题；数形结合；数形结合法；立体几何.

【答案】B

【分析】由三视图可得直观图，由图形可知该立体图中只有两个相同的梯形的面，根据梯形的面积公式

计算即可

【解答】解；由三视图可画出直观图，

该立体图中只有两个相同的梯形的面，

S梯形=/x2X(2+4)=6,

・••这些梯形的面积之和为6X2=12,

故选：B.

【点评】本题考查了体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.

6.若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积等于（）

正视图侧视图

俯视图

A.10c，〃3B.20c〃/C.30cm⑶D.40c，“,

【考点】由三视图求面积、体枳.

【专题】计算题；空间位置关系与距离.

【答案】B

【分析】由三视图知几何体为直三棱柱削去一个三棱锥，画出其直观图，根据棱柱的高为5；底面为直

角三角形，直角三角形的直角边长分别为3、4,计算三棱柱与三棱锥的体积，再求差可得答案.

【解答】解：由三视图知几何体为三棱柱削去一个三棱锥如图：

棱柱的高为5：底面为直角三角形，直角三角形的直角边长分别为3、4,

・•・几何体的体积V=1x3X4X5-|x|x3X4X5=20(cm3).

故选：B.

【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积，解题的关援是判断几何体的形状及数据所对应的几何城.

7.三棱锥尸-ABC中，B4_L平面ABC,ACA,BC,AC=BC=\,附=V5,则该三棱锥外接球的表面积为

()

A.51rB.V2nC.20irD.4IT

【考点】球的体积和表面积.

【专题】空间位置关系与距离；球.

【答案】A

【分析】根据题意，证出8C_L平面用C,P8是三棱锥P-A8C的外接球直径.利用勾股定理结合题中

数据算出。8=遍，得外接球半径/?=亨，从而得到所求外接球的表面积

【解答］解：%_L平面ABC,ACLBC,

，8。，平面玄。，户3是三棱维P-A8C的外接球直径；

VRtAPfiA中，AB=V2,PA=V3

:・PB=V5,可得外接球半径R=\PB=竽

外接球的表面积S=4TTR2=5TT

故选:A.

【点评】本题在特殊三棱锥中求外接球的表面积，着重考查了线面垂直的判定与性质、勾股定理和球的

表面积公式等知识，属于中档题.

8.两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为等，两个圆错的高之比为1：

3,则这两个圆锥的体积之和为()

A.3ITB.4KC.9TTD.127T

【考点】圆锥的体积.

【专题】转化思想；数形结合法；立体几何：运算求解•.

【答案】B

【分析】由题意画出图形，由球的体积求出球的半径，再由直角三角形中的射影定理求得截面圆的半径，

代入圆锥体积公式得答案.

【解答】解：如图，设球。的半径为R，由题意，

33

可得R=2,则球。的直径为4,

•・•两个圆锥的富之比为1：3,・・・AOi=l,801=3,

由直角三角形中的射影定理可得：7=1X3,即,=8.

•••这两个圆锥的体积之和为V=/X(V3)2x(1+3)=47r.

故选：B.

【点评】本题考查球内接圆锥体积的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档

二.多选题(共4小题)

(多选)9.如图所示，在四个正方体中，/是正方体的一条体对角线，点M,N,P分别为其所在棱的中

C.D.

【考点】直线与平面垂直.

【专题】数形结合；综合法；空间位置关系与距离；运算求解.

【答案】AD

【分析】根据正方体的性质即可判断出结论.

【解答】解：对于AD.根据正方体的性质可得：LLMN,l_MP,可得/J_平面MNP.

而BC无法得出/_L平面MNP.

故选：AD.

【点评】本题考查了正方体的性质、线面垂直的判定与性质定理，考查了推理能力与计算能力，属于基

础题.

（多选）10.如图所示，/W为圆。的直径，点。在圆周上（异于点A,4）,直线以垂直于圆。所在的

平面，点M为线段P8的中点，以下四个命题正确的是（）

A.以〃平面MOBB.M。〃平面以C

C.OC_L平面附CD.平面B4CL平面P8C

【考点】平而与平面垂直；直线与平面平行.

【专题】数形结合；综合法；空间位置关系与距离.

【答案】BD

【分析】根据OM〃%判断4B，证明BC_L平面布。判断C,D.

【解答】解：＜布u平面MO8,故A错误；

YOM是aBAB的中位线，J.OM//PA,

又OMC平面PAC,%u平面PAC,

・・・OM〃平面布C,故4正确；

；八8是直径，.•・8CJ_AC,

,又布_L平面ABC,8Cu平面A8C,

又必GAC=4,

・・・BC_L平面布C,故C错误；

又8C<=平面PBC,

••・平面%CJ_平面P8C,故Q正确.

故选：BD.

【点评】本题考查了空间线面位置关系的判断，属于中档题.

（多选）11.如图，正方体A3CO-AiB6Z）i棱长为1,P是4。上的一个动点，下列结论中正确的是（）

B.%+PC的最小值为J2-夜

C.当户在直线4。上运动时，三棱锥A・8iPC的体积不变

\p2.\^6

D.以点8为球心，工■为半径的球面与面A81C的交线长为二-71

23

【考点】楂柱、棱锥、楂台的体积.

【专题】转化思想；向量法；空间位置关系与距离；逻辑思维；运算求解.

【答案】ACD

【分析】对于A，求出A$=BD=AiD=&,由此能求出B到直线Ai。的距离；对于&以B为坐

标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法判断；对于C,由4O〃BC，得4Z）〃平面ABC，从而尸

到平面A8c的距离为定值，48/c为定值，则，P-A%C为定值；对于。，由3。4平面A6C，设5D］

V2

与平面ABiC交于M点，设以8为球心，］■为半径的球与面ABiC交线上任一点为P,求出尸为以M

V6

为圆心，二为半径的圆上此圆恰好为△AEC的内切圆，完全落在面A8|C内，由此判断.

6

【解答】解：对于A,・・・正方体48。。-48］。。|棱长为1,・・・48=8。=4£）=&,

到直线Ai。的距离d=*•应=乎，故A正确；

对于8,以8为坐标原点，建立空间直角坐标系,

则A(1,0,0),C(0,1,0),

设&=/L4；D,则P(1,A,1-入),

PA+PC=y/A2+(1-A)2+71+2(A-I)2=V2A2-2A+1+V2A2-4A4-3

=V2(-A+I+JA2-2A+1)=a(JQ-#+*++3，

J(入—q)2+、袤不M(2,0),N(4,》距离，

J(4-1)2+★表不M(4,0),Q(1,—竽)距离»

・•・(PA+PC)min=V2NQ=V2+V2,故B错误；

对于C,A\D//B\C,...AiQ〃平面44|C,

・•・)到平面ABC的距离为定值,SABB】C为定值，则用TBiC为定值，故C正确;

对•于。，由8/力_1_平面A8C，

设BDi与平面A囱C交于M点，

耳

：,BM=^BD1=卓，

设以4为球心，子为半径的球与面人小。交线上任一点为P,

:・BP=号,:.MP=J(g)2_(培)2=塔・•,为以M为圜心，华为半径的圆上

此圆恰好为△ABiC的内切圆，完全落在面内,

・,・交线长为2兀.华=苧兀，故。正确.

故选：ACD.

【点评】本题考查命题真假的判断，考杳点到直线的距离、勾股定理、线面平行的判定与性质、球的性

质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.

(多选)12.如图，矩形"DE尸所在平面与正方形/WCD所在平面互相垂直，AD=DE=2,G为线段AE

上的动点，则()

A.AEVCF

8

B.多面体A3CO灯的体积为］

C.若G为线段AE的中点，则G3〃平面CEb

D.8G2+CG?的最小值为11

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积：直线与平面平行：点、线、面间的距离计算.

【专•题】数形结合；综合法；立体几何；直观想象；运算求解.

【答案】ACD

【分析】将已知图像补全为正方体，然后借助正方体的性质对应各个选项逐个判断即可.

【解答】解：如图所示，将几何体A4CQEF补全成棱长为2的正方体，

在正方体中，因为。尸〃OM,DMLAE,所以AE_LCR故A正确，

41A

因为以CQ£产V正方体=-2%AW£=8・2x^=*,所以8错误，

当G为线段AE的中点时，因为平面GBQ〃CER所以GB//CEF,故C正确，

过G作/I。的垂线，垂足为从连接，8,HC,

则BG2+CG2=AB2+AG2+CD2+DG2=S+AG2+DG2=S+AH2+DH2+2GH2,

因为A〃=GH,所以BG2+CG2=8+DH2+3AH2=S+(2-AH)2+3AH2=4AH2-4AH+\2=4(AH-^)22+\\,

当八〃=2时，8G2+CG2取得最小值为II,故。正确，

【点评】本题考查了空间中的点，线，面的位置关系，涉及到补全图形为正方体的思想，考查了学生的

空间想象能力以及运算能力，属于难题.

三.填空题（共4小题）

13.已知正方体44co的棱长为1,除面A/3co外，该正方体其余各面的中心分别为点E,F,

G,H,M（如图），则四棱锥M-EFG”的体积为三

12~

【考点】棱锥的体积.

【专题】计算题；数形结合：转化思想；综合法：空间位置关系与距离：直观想象.

【答案】见试题解答内容

【分析】求出四棱锥中的底面的面积，求出楂锥的高，然后利用体积公式求解即可.

【解答】解：正方体的棱长为1,的底面是正方形的边长为：y,

四棱锥是正四棱锥，棱锥的高为点

2

四棱锥M-EFGH的体积：-x（―）x-=—.

32212

故答案为：

【点评】本题考查几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力.

14.已知〃是球O的直径A8上一点，AH：HB=\：2,48J_平面a,”为垂足，a截球。所得截面的面

97r

积为TT,则球0的表面积为百.

【考点】球的体积和表面积.

【专题】压轴题；空间位置关系与距离.

【答案】见试题解答内容

【分析】本题考查的知识点是球的表面积公式，设球的半径为R,根据题意知由与球心距离为点？的平

面截球所得的截面圆的面积是7T，我们易求出截面圆的半径为1,根据球心距、截面圆半径、球半径构

成直角三角形，满足勾股定理，我们易求出该球的半径，进而求出球的表面积.

【解答】解：设球的半径为R,・・・4从HB=1：2,・••平面a与球心的距离为点?,

Va截球O所得截面的面积为H,

••"=2〃时，r=l,

9

故由R2=J+/得R2=/+(21R)2,.・.*=8

3

・•・球的表面积S=4TTN=岑.

故答案为：芳.

2

【点评】若球的截面圆半径为，，球心距为d,球半径为R,则球心距、截面圆半径、球半径构成直角

三角形，满足勾股定理，即N=/+/

15.已知矩形ABC。的顶点都在半径为4的球0的球面上，且A8=6,/元=26，则棱锥。-A4co的体

积为」.

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积.

【专题】计算题；压轴题.

【答案】见试题解答内容

【分析】由题意求出矩形的对角线的长，结合球的半径，球心到矩形的距离，满足勾股定理，求出棱锥

的高，即可求出棱锥的体积.

【解答】解：矩形的对角线的长为：卜+(2.=4A/3,所以球心到矩形的距离为：J平-(2.=2,

1

-X6X

所以棱锥O-ABCD的体积为:3

故答案为：8V3

【点评】本题是基础题，考直球内几何体的体积的计算，考查计算能力，空间想象能力，常考题型.

16.已知0A为球。的半径，过0A的中点M且垂直于OA的平面截球面得到圆M.若圆M的面积为3m

则球O的袤面积等于1611

【考点】球的体积和表面积.

【专题】计算题；压釉题.

【答案】见试题解答内容

【分析】由题意求出圆M的半径，设出球的半径，二者与0M构成直角三角形，求出球的半径，然后

可求球的表面积.

【解答】解：.••圆M的面积为3口，・••圆A/的半径,=百，

设球的半径为R，

由图可知，2=3?2+3,.・.：川=3,.・.火2=4

.*.S^=4IT/?2=16TT.

故答案为：I6TT

【点评】本题是基础题，考查球的体积、表面积的计算，理解并能够应用小圆的半径、球的半径、以及

球心与圆心的连线的关系，是本题的突破口，解题重点所在，仔细体会.

四,解答题(共4小题)

17.如图，三棱锥中，A8_L平面8CQ,CD±BD.

(I)求证：CO_L平面48D；

(H)若A4=/3Q=CO=1,“为AO中点，求三棱锥A-朋8c的体积.

【考点】直线与平面垂直；棱柱、棱锥、棱台的体积.

【专题】综合题；空间位置关系与距离.

【答案】见试题解答内容

【分析】(I)证明：。。_1_平面人8。，只需证明A4J_CO；

(II)利用转换底面，VA-MBC=VCABM=即可求出三棱锥A-MBC的体积.

【解答】(I)证明：•・•"_!"平面8C。，CQu平面4C。，

：.AB±CD,

'：CDLBD,ABQBD=B,

平面ABD；

(H)解：・.・A8_L平面8cO,8Qu平面8CQ,

：.AB±BD.

'：AB=BD=\,

.c1

••O/\ABD=21

为AO中点，

•,S^ABM=2s△人8。=4’

平面ABD,

:.VAMBC=VC-ABM=^S,,ABM*CD=

【点评】本题考查线面垂直，考查三棱锥A-M8C的体积，正确运用线面垂直的判定定理是关键.

18.如图，菱形/WCD的对角线AC与4。交于点0,点E、F分别在A。，CO上，AE=CF,EF交BD

于点H,将沿E尸折到△/)'EF的位置.

(I)证明：ACLHD1；

(II)若八B=5,AC=6,0Df=2或，求五棱锥D'-"CPE体积.

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与直线之间的位置关系.

【专题】数形结合；转化思想：空间位置关系与距离：立体几何.

【答案】见试题解答内容

【分析】（1）根据直线平行的性质以菱形对角线垂直的性质进行证明即可.

（2）根据条件求出底面五边形的面积，结合平行线段的性质证明0。'是五棱锥。'-4灰？芭的高，

即可得到结论.

【解答】（1）证明：•・•菱形A3C。的对角线AC与8。交于点。，点E、尸分别在A。，CD上,AE=

CF,

J.EF//AC,EFVBD

将△。所沿砂折到△»Er的位置，

则。'HA.EF,

FEF"AC,

：.AC±HD'；

（II）若A8=5,AC=6,则AO=3,BO=OD=4,

，AD=AB=5

VAE=47t

.*.DE=5-j=^,

44

•:EF"AC,

DEEHDH153

4-

AD7-----=-

。oD54

I9

E公-DH

=22E2OH=4-3=1,

'：HD'=DH=3,0Dr=2V2,

，满足H。'2=0。'2+OH2,

则△OH。为直角三角形，且OD'LOH,

又O。'LAC,Acno”=。，

即。。'_L底面A8CQ,

即。》是五棱锥。’-A3CFE的高.

底面五边形的面积Sjx908+（“+磐。”另x6x4+受警=12+呈=竽,

则五棱锥D'-ABCFE体积V=[s・O。'=1X^X2A/2

«D乙

D'

/」―，一—

/^DH^AJ

户

【点评】本题主要考查空间直线和平面的位置关系的判断，以及空间几何体的体积，根据线面垂直的判

定定理以及五棱锥的体积公式是解决本题的关键.本题的难点在于证明。。'是五棱锥D1-ABCFE

的高.考查学生的运算和推理能力.

19.如图，在四棱锥P-人8c。中，底面ABCO为平行四边形，△PC。为等边三角形，平面出。，平面

PCD,PALCD,CD=2,40=3.

(I)设G,H分别为PB,AC的中点，求证：G“〃平面南。；

(II)求证：附_L平面PCQ：

(III)求直线A。与平面见。所成角的正弦值.

【考点】直线与平面平行；直线与平面垂直；直线与平面所成的角.

【专题】证明题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离；空间角；逻辑思维.

【答案】见试题解答内容

【分析】(1)连结B。，由题意得4Cn8D="，BH=DH,由BG=PG,得G"〃尸。，由此能证明GH

〃平面PAD.

(II)取棱PC中点N,连结DN,推导出DNIPC,从而DN_L平面PAC,进而OALLRl,再上PA1.

CD,能证明%_L平面PCD.

(HI)连结AM由QNJ_平面以C,知ND4/V是直线人。与平面以C所成角，由此能求出直线人。与

平面雨。所成角的正弦值.

【解答】证明：(I)连结8。，由题意得ACG/?O="，BH=DH,

又由BG=PG,得GH//PD,

•・・6〃金平面用。，PQu平面以。，

・・・GH〃平面%O.

（II）取棱PC中点M连结。M

依题意得DNLPC,

又：平面以C_L平面PC。，平面以cn平面PCO=PC,

•••ON_L平面PAC,

又以u平面%C,・・・ONJ_以，

又%_LCO,CDCDN=D,

工附_L平面PCD

解：（HD连结AM由（II）中DML平面BAG

知NQAN是直线A。与平面用C所成角，

•:△PC。是等边三角形，。。=2,且N为PC中点，

：.DN=V3,又DN1AN,

在Rt/^AND中，sinZDAN=翳=孚.

・•・直线AD与平面PAC所成角的正弦值为4.

【点评】本题考查直线与平面平行、直线与平面垂直、平面与平面垂直、直线与平面所成角等基础知识，

考查空间想象能力和运算求解能力.

20.图1是由矩形4。垣9,RtZ\4BC和菱形8FGC组成的一个平面图形，其中A8=l,BE=BF=2,ZFBC

=60。.将其沿AB,8c折起使得8E与8/重合，连结。G,如图2.

图1图2

（1）证明：图2中的A,C,G,。四点共面，且平面A8UL平面8CGE；

（2）求图2中的四边形ACGD的面枳.

【考点】平面与平面垂直.

【专题】转化思想；综合法；空间位置关系与距离；逻辑思维.

【答案】见试题解答内容

【分析】（1）运用空间线线平行的公理和确定平面的条件，以及线面垂直的判断和面面垂直的判定定理，

即可得证；

（2）连接BG,AG,由线面垂直的性质和三角形的余弦定理和勾股定理，结合三角形的面积公式，可

得所求值.

【解答】解：（1）证明：由已知可得CG〃BE,即有AQ〃CG,

则人。，CG确定一个平面，从而A,C,G,。四点共面；

由四边形ABE。为矩形，可得

由△ABC为直角三角形，可得A8_LBC,

又BCCBE=B,可得A8_L平面8CGE,

48u平面ABC,可得平面A8C_L平面BCGE；

（2）连接8G,AG,

由A8_1_平面8CG£,可得ABLBG,

在中，BC=CG=2,NBCG=120。,可得"G=2"Csin60°=273,

可得AG=y]AB2+BG2=V13,

在AACG中，AC=V5,CG=2,AG=g,

可得cosZACG=，+?史=-i,即有sinZACG=刍

2x2xv弓氐v弓

【点评】本题考查空间线线、线面和面面的位置关系，考查平行和垂直的判断和性质，注意运用平面儿

何的性质，考查推理能力，属于中档题.

考点卡片

1.基本不等式及其应用

【知识点的认识】

基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式.其正表述为：两个正实数的几何平均数小于或

等于它们的算术平均数.公式为：-->y[ab（〃20,。20）,变形为abW（——）2或者反常

22

常用于求最值和值域.

实例解析

例1:下列结论中，错用基本不等式做依据的是.

2ab212Aa

4：。,人均为负数，则一+—>2.B：-f===>2.Czsinx+——>4.D：aER+,（3—a）（l—）<0.

b2aVx2+1sinxaJ

解：根据均值不等式解题必须满足三个基本条件：“一正，二定、三相等”可知人、8、/）均满足条件.

对于C选项中sinx#±2,

不满足“相等”的条件，

再者sinx可以取到负值.

故选：C.

A逃项告诉我们正数的要求是整个式子为正数，而不是式子当口的某一个组成元素；4分子其实可以写成

/+1+1，然后除以分母就可换成基本不等式.这个例题告诉我们对于一个式子也是可以用基本不等式的，

而且求最值也很方便.

例2：利用基本不等式求y=/&的最值？当OVxVl时，如何求y=松;;的最大值.

解：当x=0时，y=0,

当田）时，丫=品=奈'

用基本不等式

若.v>0时，0V）Wg,

若x<0时，—?<>,<0,

综上得，可以得出一辛学与?，

'-V=W工的最值是一?与亨.

这是基本不等式在函数中的应用，他的解题思路是首先判断元素是否大于0,没有明确表示的话就需要讨

论；然后把他化成基本不等式的形式，也就是化成两个元索（函数）相加，而他们的特点是相乘后为常数；

最后套用基本不等式定理直接求的结果.

【解题方法点拨】

基本不等式的应用

1、求最值

例1:求下列函数的值域.

(Dy=3x?+*⑵y=x+1

解：⑴y=3x?+击22y3x29二戊.二值域为[加，内)

⑵当x>0时，v=x+1>2\/xJ=2,

AyA

当x<0时，J=x+；=-(-x-^)工-2yxi=-2

・••值域为(-8,-2]U[2,y)

2、利用基本不等式证明不等式

例2：已知a、bsceR~,且a+b+c=l。求证:

分析：不等式右边数字8,使我们联想到左边因式分别使用基本不等式可得三个“2”连乘，又

二1=丘=上之巫,可由此变形入手。

aaaa

解：「人b、ceR\a+d+c=lo同理1一122^,l-i>2^o

aaaabbcc

上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得

-112乎•半_go当且仅当a=6=c=；时取等号。

3、基本不等式与恒成立问题

10

例3：已知x>0,y>0且一+—=1,求使不等式x+>2加恒成立的实数加的取值范围。

%y

2人T八19,x+y9x+9y.10y9x.

解：•$-x+v=/rx>0Av>0—+—=1,/.---+-----=1.—+—+一=1

•ss"sxykxkykkxky

二1普建/.Zc>16>me(-x:16]

4、均值定理在比较大小中的应用

例4：若a>6>La=Jlg=lgb，2=g(lga+lgb),4=lg(g^),则R。,出的大小关系是_____.

分析:'.'a>b>l.*.lga>0,1g2>>0

Q=；(1ga+lgb)>y/lgaIgb=p

R-lg("+J>lg4ab--ilgab=Q:'R>Q>P。

【命题方向】

技巧一：凑项

例1：已知x<2,求函数J,=4X-2+—1—的最大值。

4-4x-5

解：因4x-5<0,所以首先要调整的号，又(4x—2).二一不是常数，所以对4x-2要进行拆、；奏项：

4x-5

5-4x>0,y=4x-2-?—=-|5-4x-----!—[+34-2+3=1

4，4x-5I5-4xJ

当且仅当5-4x=」一,即x=l时，上式等号成立，故当x=l时，vaa=lo

点评：本题需要调整项的符号，乂要配凑项的系数，使其积为定值.

技巧二：凑系数

例2：当0VxV4时，求y=x(8・2x)的最大值.

解析：由0VxV4知，8-2x>0,利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积

的形式，但其和不是定值.注意到2A•+(8-2x)=8为定值，故只需将)，=%(8-2#凑上一个系数即可.

2x482x

)，=x(8-2r)=1[2.V(8-2x)]<|(--)2=8

//2

当2x=8-2x,即x=2时取等号，当x=2时，1y=x(8-12)的最大值为8.

评注：本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值.

技巧三：分离

例3：求)=玲畜”@>一1)的值域.

解：本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有(x+l)的项，再将其分离.

为2+7"10-(X+I)2+5(X+I)+4—4

)—-市--市-5+1)+布+3，

当x>-l,即x+l>0时，y22j(x+l)x嘉+5=9(当且仅当x=l时取"=”号)

技巧四：换元

对于上面例3,可先换元，令f="l,化简原式在分离求最值.

技巧五：结合函数/(x)=X+?的单调性.

例4:求函数)，=宾匚的值域。

々+4

解：令&+4=«£之2),则、，一二y=*2一*_^_=:=r^l(r>2)

y/x：+4Jr+4t

因,>0<；=1,但/=；解得，=±1不在区间［2,+8),故等号不成立，考虑单调性。

因为y=r+l在区间口+⑼单调递增，所以在其子区间［Z+X)为单调递增函数，故产之"

t2

所以，所求函数的值域为|,+oojo

技巧六：整体代换

19

例5：已知x>0,y>0,且±+==1,求x+y的最小值。

xy

量解：丁x>0,y>0,且L2=i,，x+〉=jL2;(x+y)22^^2A故(x+y)ais=12。

错因：解法中两次连用基本不等式，在x+N22历等号成立条件是“=)，，在！+222区等号成立条

xy何

件是41=39即>.=9