2026年高考数学复习热搜题之圆与方程

2026年高考数学复习热搜题速递之圆与方程

一,选择题(共8小题)

I.若圆/+)，2-4「4)，70=0上至少有三个不同的点到直线/：or+勿，=0的距离为2VL则直线/的倾斜

角的取值范围是()

A.比,勺B.[各招]C・吟,学D.[0,刍

2.若圆『+(讨2)2=/(=>0)上到直线产V3.r+2的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是()

A.(0,I)B.(1,3)C.(3,+8)D.(0,+8)

3.设4(2,-I),B(4,I),则以线段/W为直径的圆的方程是()

A.(x-3)2+)?=2B.(x-3)2+)2=8

C.(x+3)2+/=2D.(x+3)2+/=8

4.直线x-)，+3=0被圆(x+2)2+(厂2)2=2截得的弦长等于()

V6「/—

A.—B.V3C.2V3D.V6

2

5.若直线y=x+Z?与曲线y=3-，4%-/有公共点,则〃的取值范围是()

A.[1-2V2,1+2V2]B.[1-V2,3]

C.[-1,1+2@D.[1-2V2,3]

6.。为原点，。在圆C(x-2)2+(>--1)2=1上，。。与圆C相切，则|OP|=()

A.2B.20C.A/13D.V14

7.直线x+冲-1=0(6/GR)与圆/+)2-以=0的交点个数是()

A.0B.1C.2D.无数个

8.圆心在宜线)，=x上，经过原点，且在入轴上截得弦长为2的圆的方程为()

A.(x-i)2+(y-1)2=2

B.(x-I)2+()，+1)2=2

C.(%-1)2+(y-1)2=2或(声1)2十(),十1)2=2

D.(x-1)2+()叶1)2=2或(x+1)2+(y-1)2=2

二.多选题(共4小题)

(多选)9.已知点A(-I,0),B(I,0),点P为圆C：/+,-6%-8)，+17=0上的动点，则()

A.面积的最小值为8-4或

B.A尸的最小值为2a

C.的最大值为77

12

D.而片的最大值为8+4/

(多选)10.已知点夕在。0：»+『=4上，点A(3,0),B((),4),则()

22

A.点P到直线4B的距离最大值是w

B.满足4P_LB尸的点P有2个

C.过直线AB上任意一点作0。的两条切线，切点分别为M,N,则直线MN过定点(12.1)

D.2|以I+IP8I的最小值为2依

(多选)11.下列说法错误的是()

A.%=-1”是“直线工-卬+3=0与直线数-户4=0互相垂直”的充分必要条件

B.直线xcosa-n3=0的倾斜角0的取值范围是［0,勺U百，加)

C.若圆Ci：x2-6x+4y+12=。与圆C2：/+丁-14x-2)叶。=。有且只有一个公共点，则。=34

D.若直线y=x+。与曲线y=3-V4x-/有公共点,则实数〃的取值范围是［1一2或，3］

(多选)12.己知圆。：/+>2-法-3=0和圆。2：/+9-2y-1=0交点为A,8,则()

A.圆。1和圆。2有两条公切线

B.直线4B的方程为x・y+l=0

C.圆3上存在两点P和Q使得|PQ|>|AB|

D.圆0\上的点到直线AB的最大距离为2+V2

三.填空题(共4小题)

13.已知。为坐标原点，点P在圆(x+1)2+)2=9上，则|OP|的最小值为.

14.已知AC、3。为圆。：/+『=4的两条相互垂直的弦，垂足为M(l,V2),则四边形人8CO的面积

的最大值为.

15.设圆C：(X-3)2+2=5,过圆心。作直线/交圆于A,B两点,与y轴交于点P,若A恰好

为线段BP的中点，则直线I的方程为.

16.圆C的方程为(x-2)2+),2=4,圆M的方程为(x-2-5cos0)2+(j-5sin0)2=1(0eR),过圆M

上任意一点尸作圆。的两条切线产质PF,切点分别为E、F,则而•丽的最小值为.

四.解答题(共4小题)

17.已知以点。为圆心的圆经过点A(-I,1)和8(2,0),线段48的垂直平分线交该圆于C、。两点，

旦|CQ|=10

(I)求直线CQ的方程；

(II)求圆尸的方程.

18.已知圆。：/+/-4%-3=0和C2：『+)?-4}，-3=0.

(1)求两圆Ci和C2的公共弦方程：

(2)若圆。的圆心在直线x-)，・4=0上，并且通过圆。和C2的交点，求圆C的方程.

19.已知点M(3,i),直线ax-y+4=0及圆(x-1)2+(y-2)2=4.

(1)求过M点的圆的切线方程；

(2)若直线ax-.y+4=0与圆相切，求4的值；

(3)若直线"-y+4=0与圆相交于A,8两点，旦弦A3的长为2百，求。的值.

20.平面直角坐标系％0},中，直线x-rH=0截以原点。为圆心的圆所得的弦长为述.

(I)求圆。的方程；

(2)若直线/与圆。切于第一象限，且与坐标轴交于。，E,当。E长最小时，求直线/的方程；

(3)设M,P是圆。上任意两点，点M关于x轴的对称点为N,若直线MP、N尸分别交于x轴于点(〃?,

0)和(〃，0),问是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.

2026年高考数学复习热搜题速递之圆与方程（2025年12月）

参考答案与试题解析

一.选择题（共8小题）

题号12345678

答案BBADDACC

二.多选题（共4小题）

题号9101112

答案BCDABDACABD

一.选择题（共8小题）

I.若圆f+），2-4x-4），-10=0上至少有三个不同的点到直线/：仆+⑥=0的距离为2vL则直线/的倾斜

角的取值范围是（）

A•［各勺B.［各普C.吟,j]D.[0,刍

【考点】直线与圆的位置关系.

【专题】压轴题.

【答案】B

【分析】先求出圆心和半径，比较半径和2或：要求圆上至少有三个不同的点到直线/：OT+外=0的距

离为2注,则圆心到直线的距离应小于等于加，用圆心到直线的距离公式，可求得结果.

【解答】解：圆/+），2-公-4.厂10=0整理为（％-2）2+（丫-2）2=（3企/，

・•・圆心坐标为（2,2）,半径为3或，

要求圆上至少有三个不同的点到直线/：ai+〃），=0的距离为2注,

则圆心到直线的距离应小于等于V2,

.\2a+2b\

<V2,

(^)2+4(》+1W0,

/.-2-V3<H<-2+V3,k=-1,

.,.2-V3</c<2+V3,

直线/的倾斜角的取值范围是［旨，碧］,

故选：B.

【点评】本题考查直线和圆的位置关系，圆心到直线的距离等知识，是中档题.

2.若圆/+(讨2)2=/(r>0)上到直线)，=75.计2的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是()

A.(0,I)B.(1,3)C.(3,+8)D.(0,+8)

【考点】直线与圆的位置关系.

【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；运算求解.

【答案】B

【分析】求解圆的圆心到直线的距离，与圆的半径比较，即可得到r的范围.

【解答】解：圆/+(j+2)2=r(r>0)的圆心(0,-2),半径为r,

圆心到直线>-=V3A-+2的距离d=警驾=2,

v1+3

圆/+(y+2)2=r(r>0)上到直线)=岳+2的距离为1的点有且仅有2个，

可得d-IVrVd+l,即隹(1,3).

故选:B.

【点评】本题考查直线与圆的位置关系的应用，是中档题.

3.设4(2,-1),B(4,1),则以线段为直径的圆的方程是()

A.(x-3)2+/=2B.(x-3)2+/=8

C.(x+3)2+/=2D.(x+3)2+/=8

【考点】根据圆的几何属性求圆的标准方程.

【专题】整体思想；综合法；直线与圆.

【答案】A

【分析】由题意求出直径，进而求出半径，再求中点坐标，进而求出圆的标准方程.

【解答】解：弦长A8=’(4-2尸+(1+=2或,所以半径为企，中点坐标(3,0),

所以圆的方程(工-3)2+/=2,

故选：A.

【点评】本题考查求圆的方程，属于基础题.

4.直线%-)，+3=0被圆(x+2)2+(厂2)2=2截得的弦长等于()

V6「r~/—

A.—B.V3C.2V3D.yjb

2

【考点】直线及坐标轴被圆截得的弦及弦长.

【专题】计算题.

【答案】D

【分析】先根据点到直线的距离公式求出圆心到弦的距离即弦心距OD,然后根据垂径定理得到垂足为

弦长的中点£>,根据勾股定理求出弦长的一半BO,乘以2艮］可求出弦长4瓦

【解答】解：连接04,过。作根据垂径定理得：。为AB的中点，

根据(户2)2+(厂2)2=2得到圆心坐标为(-2,2),半径为企.

圆心。到直线AB的距离。。=」2-2+31=4，而半径08=企，

/+(-1)2

则在直角三角形0BD中根据勾股定理得BD=y/OB2-OD2=乎，所以AB=2BD=限

故选：D.

【点评】考查学生灵活运用点到直线的距离公式解决数学问题，以及理解直线和圆相交所截取的弦的一

半、圆的半径、弦心距构成直角三角形.灵活运用垂径定理解决数学问题.

5.若直线y=x+b与曲线)，=3-<4x-千2有公共点，则〃的取值范围是()

A.11-2V2,1+2伪B.[1-V2,3]

C.I-1,1+2回D.[1-2V2,3]

【考点】其他形式的圆和圆弧的方程.

【专题】计算题：压轴题；数形结合.

【答案】D

【分析】本题要借助图形来求参数〃的取值范围，曲线方程可化简为(x-2)2+(y-3)2=4(1W)，W

3),即表示圆心为(2,3)半径为2的半圆，画出图形即可得出参数〃的范围.

【解答】解：曲线方程可化简为G-2)2+(y-3)2=4(1W)W3),

即表示圆心为(2,3)半径为2的半圆，如图

依据数形结合，当直线)，=/匕与此半圆相切时须满足圆心(2,3)到直线)，=x+8距离等于2,即胃坦=

2解得b=1+2&或b=1-2V2,

因为是下半圆故可知b=1+2迎(舍)，故b=\-2a

当直线过(0,3)时，解得6=3,

故1-2企工匕W3,

【点评】考查方程转化为标准形式的能力，及借助图形解决问题的能力.本题是线与圆的位置关系中求

参数的一类常见题型.

6.。为原点，尸在圆C(x・2)2+(>--1)2=1上，OP与圆C相切，则|OP|=()

A.2B.2A/3C.A/13D.714

【考点】直线与圆的位置关系；圆与圆的位置关系及其判定.

【专题】计算题：整体思想；综合法：直线与圆；运算求解.

【答案】A

【分析】由题意利用勾股定理即可求解.

【解答】解：。为原点，P在圆C(「2)2+(y・1)2=］二，O尸与圆。相切，

则|OP|=J|OC|2一|PC『=75^1=2.

故选：A.

【点评】本题考查了圆的切线长问题，属于基础题.

7.直线x+qy-1=0(t/GR)与圆/+)?-4x=0的交点个数是()

A.0B.1C.2D.无数个

【考点】直线与圆的位置关系.

【专题】计算题.

【答案】C

【分析】判断直线与圆的位置关系经常利用圆的几何性质来解决，即当圆心到国线的距离小于半径时，

直线与圆相交，故本题应先求圆心(2,0)到直线x+ay-1=0的距离，再证明此距离小于半径，即可

判断交点个数

【解答】解：圆/+)2-4工=0的圆心O(2,0),半径为2

圆心O到直线/少-1=0的距离为d=J1L

即

・・・。2十121,・・・4W1C2

即圆心到直线的距离小于半径，

・••直线x+ay-1=0(t/GR)与圆/+y-4x=0的交点个数是2

故选：C.

【点评】本题考查了圆的标准方程，直线与圆的位置关系的判断，点到直线的距离公式，利用圆的几何

性质解决问题是解决本题的关键

8.圆心在直线y=.r上，经过原点，且在工轴上截得弦长为2的圆的方程为()

A.(x-1)2+(y-1)2=2

B.(x-1)2+()，+1)2=2

C.(X-I)2+()，-1)2=2或(X+1)2+(>H-1)2=2

D.(X-I)2+()，+1)2=2或(x+I)2+(y-\)2=2

【考点】圆的标准方程.

【专题】计算题；数形结合；分类讨论.

【答案】C

【分析】根据题意画出圆的方程，使圆A满足题意中的条件，分两种情况考虑，当点A在第一象限时，

根据垂径定理即可得到OC的长度，根据直线)，=不上点的横纵坐标相等，得到圆心4的坐标，根据勾

股定理求出OA的长度即为圆A的半径，根据求出的圆心坐标和半径写出圆的标准方程；当点A'在第

三象限时，同理可得圆心坐标和半径，根据圆心坐标和半径写出圆的标准方程即可.

【解答】解：画出圆A满足题中的条件，有两个位置，

当圆心A在第一象限时，过力作AC_Lx轴，又|。口=2,

根据垂径定理得到点C为弦08的中点，则|OC|=I,由点人在直线y=工上，

得到圆心4的坐标为(1,1),且半径|。4|二或，

则圆A的标准方程为：(x-1)2+(y-]#=2；

当圆心4在第三象限时，过A'作4'C_Lx轴，又|。夕|=2,

根据垂径定理得到点C'为弦OB'的中点，则QC'|=1,由点A'在直线y=x上,

得到圆心4'的坐标为(-1,-1),旦半径Q4'|=立，

则圆A'的标准方程为：(x+1)2+(丹1)三2,

综上，满足题意的圆的方程为：(x-1)2+(y-1)2=2或(x+1)2+(y+\)2=2.

【点评】此题考查学生灵活运用垂径定理化简求值，考查了数形结合及分类讨论的数学思想，是一道中

档题.需注意的事项是应注意此题有两解，不要遗漏.

二.多选题(共4小题)

(多选)9.已知点A(-1,0),B(1,0),点P为圆C：/+尸-65-8尹17=0上的动点，则()

A.△雨8面积的最小值为8-4a

B.AP的最小值为2企

57r

C.的最大值为行

JL乙

D.n.6的最大值为8+4收

【考点】直线与圆的位置关系；平面向量数量积的性质及其运算.

【专题】转化思想；综合法；平面向最及应用；运算求解.

【答案】BCD

【分析】对于4,点P动到圆。的最低点M时，△%8面积的最小值，利用三角形面积公式；对于B,

当点尸动到R点时，4尸取到最小值，通过两点间距离公式即可求解；对于C,当A尸运动到与圆C相

切时，N办8取得最大值，利用正弦值，求知即可求解；对于。，利用平面向量数量积的几何意义进行

求解.

【解答】解：•・•圆C方程可化为：(x-3)2+(y4)2=8,

工圆心C(3,4),半径r=2以，

对于入选项，•••△布8面积的最小值时，点P为圆C的最低点M,

此时y”=4-2V2,S^PAB=I-=Ix2x(4-272)=4-2a,工选项A错误;

对于B选项，连接A,C交圆于R点，易知当点P动到R点时，

AP取到最小值为AC-RC=J(3+1)2+42-2V2=2鱼，・•・选项B正确；

对于C,当AP运动到与圆C相切时，NF8取得最大值，设切点为Q,

则sin/SQ=器=翳另一/C4Q建，

又sin/CAN=瑞=.=1，**•/CAN=1

・•・ZPAB=NCAQ+NCAN=居，J选项C正确；

对于£>选项,VAS-AP=\AB\•\AP\-cosZ-PAB,

当点P动到S点时，I6|•COSNPAB取得最大值，

又力8•/IP=\AB\•\AP\•CUSZLPAB=\AB\•\AN\=2x(1+3+2^2)=8+4<2,二选项D正确.

故选：BCD.

【点评】本题考查圆的几何性质，向量数量积的运算，化归转化思想，属中档题.

(多选)10.已知点P在O。：，+)2=4上，点A(3,0),B(0,4),则()

22

A.点P到直线A/3的距离最大值是三

B.满足AP_L3P的点。有2个

C.过直线A/3上任意一点作OO的两条切线，切点分别为M,N,则直线过定点(12.1)

D.2|%|+|P用的最小值为2用

【考点】直线与圆的位置关系；点到直线的距离公式.

【专题】转化思想；转化法；直线与圆；运算求解.

【答案】ABD

【分析】对A，求出直线A3的方程，算出圆心到该直线的距离，进而通过圆的性质判断答案:

对6,设点产(工，>'),根据得到点尸的轨迹方程，进而判断该轨迹与圆的交点个数即可；

对C,举反例判断即可;

对。，设尸(x,y),设存在定点C(0,f),使得点尸在圆。上任意移动时均有|PC|=&PB|,进而求

出点P的轨迹方程，然后结合点〃在圆。上求得答案.

【解答】解：对A,lAB；*£=l=4x+3y-12=0,则圆心到直线的距离d=4丝1==?所以

#+32

1222

点P到该直线距揶的最大值为w+2=—,A正确；

对8,设点尸(弟)，)，

则/+)2=4,目前=。-3,y),BP=(x,y-4),

故6-BP=?+>2-3x-4y=0,即Q-1)2+(y-2)2=竽,

两圆的圆心距为J(0-今2+(o-2尸=1,半径和与半径差分别为9+2=|51

--2=-,

22

于是:＞：＞；，即两圆相交，满足这样条件的点"有2个，0正确；

222

对C,如图，过A作切线时，直线MN显然不经过(12,1),故C错误；

设存在定点C(0,

使得点P在圆。上任意移动时均有|PC|=/|PB|,

设P(X,5)，

则有42+(y-1)2=]+(y_4尸,化简得3』+3/+8(1-r)y=16-4r2,

•；/+)2=4,

则有2(1-r)y=\-r,即(1-/)(2y-1-r)=0,

/./=1,C(0,1),

所以21PAi+\PB\=2(\PA\+\PC[)>2\AC\=2^10,所以D正确.

故选：ABD.

【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系，考查转化能力，属于难题.

（多选）11.下列说法错误的是（）

A.“a=-1”是“直线工-。a3=0与直线仪-尹1=0互相垂直”的充分必要条件

B.直线xcosa-y+3=0的倾斜角9的取值范围是［0,gU［手，TT）

C.若圆Ci：/十），2・6计4”12=0与圆。2：『十）2・1曲・2尸〃=0有且只有个公共点，贝J”=34

D.若直线y=x+3与曲线y=3--/有公共点,则实数。的取值范围是“一2/，3|

【考点】直线与圆的位置关系；圆与圆的位置关系及其判定；命题的真假判断与应用；直线的一般式方

程与直线的垂直关系.

【专题】计算题：数形结合；综合法：直线与圆；运算求解.

【答案】AC

【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合直线垂直的等价条件可判断A.利用已知直线方程求得斜

率可得直线的倾斜角的范围判断B；利用两圆相内切或外切可求得小可判断C；曲线方程变形为（X

-2）2+（〉，-3）2=4,表示惘心A为（2,2）,半径为2的下半圆，数形结合可求人判断D.

【解答】解：对于4当。=1时，两方程可化为x+），+3=0,-X-^1=0,斜率分别为-1和-1,工

两直线平行，，充分性不成立，

当直线x・。）叶3=0与直线）斗1=0垂直时，则IXa-aX（-1）=0,.*.^=0,，必要性不成立，

・•・〃=-1是直线x-。户3=0与直线at-打1=0垂直既不充分也不必要条件，故A错误；

7T37r

对于B：直线xcosa-y+3=0的倾斜角。，可得tan0=cosaG［-1,1］,所以。的取值范围为［0,二］］U|一,

1T）,所以3正确：

对于C：圆Ci：/+y2・6x+4y+12=0的圆心为（3,-2）,半径，=1,

圆C2：/+/-14x-2），+a=0的圆心为（7,I）,半径C=V50-a,（a<50）,

两圆有且只有一个公共点，则两圆外切和内切，

则，（3—77+（-2—1尸=5=1+V50-a,或J（3-7尸+（-2-1尸=5=|1-V50-a\,

解得。=34或。=14,故C错误；

曲线方程变形为（x-2）2+（y-3）2=4,表示圆心A为（2,2）,半径为2的下半圆，

根据题意画出图形，如图所示：

直线.y=x+Z?与曲线y=3-、4x-=有公共点,则直线y=x+b与圆相切或过点（0,3）,

当直线），=X+8与半圆相切时,|2一？0=2,解得匕=]-2企,

当直线过点（0,3）时，8=3,则数。的取值范围为[1-2或，31.故。正确.

故选：AC.

【点评】本题考查直线与直线的位置，圆与圆的位置，以及直线与圆的位置关系，属中档邀.

（多选）12.已知圆。：/+〉2-213=0和圆02：/+）2-2），・1=0交点为4B,则（）

A.圆01和圆。2有两条公切线

B.直线4B的方程为x-.y+l=0

C.圆02上存在两点P和Q使得|PQ|>|A阴

D.圆。1上的点到直线48的最大距离为2+遮

【考点】圆方程的综合应用.

【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；直线与圆；运算求解.

【答案】ABD

【分析】根据题意，由两个圆的方程求出圆心的坐标和半径，据此依次分析选项，综合可得答案.

【解答】解：根据题意，圆。I：?+/-2r-3=0,即（工-1）2+），2=4,其圆心为（I,0）,半径R=2,

圆3：?+y2-2.v-1=0,即/+（厂1）2=2,其圆心为（0,1）,半径r=VL

依次分析选项：

对于人，两圆的圆心距仁或：有2-&<V^<2+企,则两圆相交，则圆O1和圆Q有两条公切线，A

止确；

对于B,圆Oi：f+y2-2r-3=0和圆。2：f+V-2y-1=0.联立两个圆的方程可得x-）41=0,即直

AB的方程为x-），+1=0,8正确；

对于C,宜人8的方程为x-）M=0,经过圆5的圆心，则线段人8为圆S的直径，故上QIH八用，C

错误;

对于。，圆01的圆心为（1,0）,到直线48的距离d=且点i=圆。|上的点到直线A8的最大距

v2

离为d+R=2+a,。正确；

故选：ABD.

【点评】本题考查圆的方程的综合应用，涉及圆与圆的位置关系，属于中档题.

三.填空题（共4小题）

13.己知。为坐标原点，点P在圆（x+1）2+/=9上，则IOPI的最小值为2.

【考点】直线与圆的位置关系.

【专题】函数思想：转化法；直线与圆；坐标系和参数方程；运算求解.

【答案】2.

【分析】由圆的参数方程可得尸的坐标，再由两点间的距离公式写出|OP|,结合三角函数求最值.

令x+l=3cos。，y=3sinG,得x=3cos6-l,y=3sin0,即。（3cos6-l,3sinG）,

：.\OP\=J（3cos。-I/+（3si，J）2=VlO-6cos0,

则当cose=l时，|。尸|有最小值为2.

故答案为：2.

【点评】本题考查圆的应用，考查圆的参数方程，考查运算求解能力，是基础题.

14.已知4C、8。为圆O：/+/=4的两条相互垂直的弦，垂足为M（l,V2）,则四边形A8CO的面积

的最大值为5.

【考点】直线与圆的位置关系.

【专题】计算题.

【答案】见试题解答内容

【分析】设圆心到AC、〃。的距离分别为力、di,则42+疗=3,代入面积公式s=%CXB。，使用基

本不等式求出四边形ABCD的面积的最大值.

【解答】解：如图

连接04、作O£_L4co垂足分别为七、F

*：ACA-BD

，四边形0EMF为矩形

已知CM=OC=20M=V3,

设圆心0到AC、BD的距离分别为d\、d2,

则d\2+d?2=OM2=3.

四边形ABC。的面积为：s=/|ACl(由M+IMDI)，

从而：

s\AC\•\BD\=2〃4-的(4一或)<8-(df+d分=5,

当且仅当小2=g2时取等号，

【点评】此题考查学生掌握垂径定理及勾股定理的应用，灵活运用两点间的距离公式化简求值，是一道

中档题.解答关键是四边形面积可用互相垂直的2条对角线长度之积的一半来计算.

15.设圆C：(K-3)2+2=5,过圆心。作直线/交圆于A,B两点，与y轴交于点P,若人恰好

为线段BP的中点，则直线1的方程为y=2v-1或y=・2计11.

【考点】直线与圆相交的性质：直线的一般式方程与直线的性质.

【专题】计算题；压轴题.

【答案】见试题解答内容

【分析】由题意可设直线L的方程为y-5=4(x-3),P(0,5-3攵)，设A(xi,>,i),B(,V2»”)，联

..(y-5=/c(x-3)

'/l(.r-3)2+(y-5)2=5,然后由方程的根与系数关系可得，KI+X2,MX2,由4为。8的中点可得也

=2x1,联立可求xi,进而可求匕即可求解直线方程

【解答】解：由题意可得，C(3,5),直线L的斜率存在

可设直线L的方程为y-5=A(x-3)

令x=0可得y=5-3k即尸(0,5-3k),设A(xi,户)，8(x2,”)

联立t一S：货一3?消去可得(]+3)/.6(1+必)X+9F+4=0

由方程的根与系数关系可得，X|+r=6,.L=/①

〈A为PB的中点

=%]即X2=1x\®

2

2

把②代入①可得X2=4,XI=2,X\X2=9k8

l+kVz=

仁士2

；・直线/的力程为y-5=±2(x-3)即y=2x-1或y=-2x+l1

故答案为：y=2.x-1或)，=-2x4-11

【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系，方程的根与系数关系的应用，体现了方程的数学思想，属

于中档题.

16.圆C的方程为(x-2)2+/=4,圆M的方程为(X-2-5COS0)2+(y-5sin0)2=1(0GR),过圆历

上任意一点P作圆。的两条切线PE、PF,切点分别为E、F,则赤•诉的最小值为6.

【考点】直线和圆的方程的应用.

【专题】计算题；综合题；压轴题；数形结合.

【答案】见试题解答内容

【分析】由两圆的圆心距|CM|=5大于两圆的半径之和可得两圆相离，如图所示，则尼•丽的最小值

是应・加，利用两个向量的数量积的定义求出讥1•后的值，即为所求.

【解答】解：(x-2)2+y2=4的圆心C(2,0),半径等于2,圆M(x-2-5cos9)2+(y-5sin0)2

=1,

圆心M(2+5cos0,5sin0),半径等于1.

•・・|CM=J(5sine)2+(Seos。)？=5>2+1,故两圆相向.

•・•而〉=|而而|・cosNEP尸，要使PEPF最小，需\PE\fn\PF\最小，且cosNEP尸最小,

如图所示，设直线CM和圆M交于〃、G两点，则的最小值是HEHF.

\HC\=\CM]-1=5-1=4,\HE\=y/\HC\2-\CE\2=V16-4=2V3,sinZCHE=圈=

：.cosZEHF=cos2ZMHE=\-2sin2ZM/7E=L

：.HEHF=|WEl*|HE]*cosZEWF=2V3x2V3x1=6,

故答案为：6.

-5k

【点评】本题考查两圆的位置关系，两圆的切线，两个向量f勺数量积的定义，二倍角的余弦公式，体现

了数形结合的数学思想，判断而•赤的最小值是HE-HF,是解题的关键.考查分析解决问题的能力

和运算能力，属难题.

四,解答题（共4小题）

17.已知以点。为圆心的圆经过点A（-1,1）和8（2,0）,线段A4的垂直平分线交该圆于C、。两点，

且|CD|=10

（I）求直线CO的方程；

（II）求圆P的方程.

【考点】圆的一般方程.

【专题】直线与圆.

【答案】见试题解答内容

【分析】（1）直接用点斜式求出直线。。的方程；

（2）根据条件得知|以|为圆的半径，点夕在直线C。上，列方程求得圆心P坐标，从而求出圆。的方

程

【解答】解：（1）直线AB的斜率仁一看中点坐标为（士与，…（3分）

322

・•・直线CO的斜率为3,

11

方程为），一亍=3（x--^）即3x-y-1=0；

（2）设圆心尸（出方），则由点P在直线C。上得：3。-8-1=0①…（8分）

又直径|CQ|=10,：.\PA\=5

：.（a+1）2+（/?-!）2=25②…（10分）

由①②解得黑：脚：：二:

J圆心尸（2,5）或尸（・1,-4）…（12分）

・••圆P的方程为（x-2）2+（y-5）2=25或（x+1）2+（＞+4）2=25-（14分

【点评】此题考查直线方程的点斜式、圆的标准方程的求法.

18.已知圆Ci：f+y2-41-3=0和。2：x2+y2-4y-3=0.

（1）求两圆。和C2的公共弦方程；

（2）若圆C的圆心在直线x-），-4=0上，并且通过圆C1和C2的交点，求圆C的方程.

【考点】圆系方程；两圆的公切线条数及方程的确定.

【专题】计算题；综合法；直线与圆.

【答案】（1）x-y=0.

（2）f+）2・6x+2）'-3=0.

【分析】⑴将圆。和C2的方程相减得公共弦的方程.

224

（2）设此圆的方程为：/+y2-4.r-3+入C^+y2-4y-3）=0,求出圆心坐标（—----7）,代入直线

1+A1+A

X-），-4=0上，求解;1二一看可得圆的方程.

【解答】解：（1）将圆。和C2的方程相减得：x・），=0,此即为公共弦的方程.

（2）因为所求的圆过两已知圆的交点，故设此圆的方程为：/-），2-4x-3+入（»+），2-4），-3）=0,即（1+人）

(了+)，2)-44-4入｝，-3入-3=0,

4x

即x2+y2-岩-3=0,圆心为岛,

1+入备

由于圆心在直线x-y-4=0上,

22a1

,有一市一4=°，解得1=-3

所求圆的方程为：/+）?-6/2厂3=（）.

【点评】本题考查圆系方程的应用，两个圆的位置关系以及同的方程的求法，考查计算能力.

19.已知点M(3,I),直线or-)，+4=0及圆(x-1)2+(y-2)2=4.

（1）求过用点的圆的切线方程:

（2）若直线ax-.v+4=0与圆相切，求a的值；

（3）若直线ax-），+4=0与圆相交于A,B两点，且弦AB的长为2百，求。的值.

【考点】直线与圆相交的性质.

【专题】综合题；直线与圆.

【答案】见试题解答内容

【分析】（1）点M（3,1）在圆（x-1）2+（），-2）2=4外，故当x=3时满足与〃相切，由此能求出

切线方程.

\a-2+4\

（2）由ar-y+4=0与圆相切知=2,由此能求出a.

Vl+a2

（3）圆心到直线的距离〃=平坦，/=2V3,r=2,由J=/+（：）2,能求出Z

而2

【解答】解：（1）•・•点M（3,1）到圆心（I,2）的距离gVT不1=花>2=圆半径

・•・点何化圆(x-1)2+(y-2)2=4外,

・••当x=3时满足与M相切,

当斜率存在时设为y-1=2（/-3）,即丘-y-3-l=0,

匹二萨码=2,

以2+14

・•・所求的切线方程为x=3或3x-4y-5=0.（5分）

（2）由ai->'+4=0与圆相切,

|Q—2+4|

知)~~^=2,(7分)

Vl+a2

解得。=0或*（9分）

°

（3）圆心到直线的距离1=芈坦，（10分）

3

又/=2V3,r=2,

，由J".’）2,解得⑴分）

【点评】本题考查圆的切线方程的求法和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意点到直线的距离、

两点间距离等知识点的合理运用.

20.平面直角坐标系xOy中，直线x-y+l=0截以原点。为圆心的圆所得的弦长为伤.

（1）求圆。的方程；

（2）若直线/与圆O切于第一象限，且与坐标轴交于。，E,当。£长最小时，求直线/的方程：

（3）设2是圆O上任意两点，点M关于工轴的对称点为N,若直线MP、NP分别交于x轴于点（机,

0）和（〃，0）,问加〃是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.

【考点】直线与圆的位置关系.

【专题】综合题.

【答案】（1）圆。的方程为f+）2=2；

（2）直线/的方程为x+y-2=0；

22

（3）是定值，设M（xi,yi）,P（X2,”），则N（xi,-yi）,xj+y/=2,x2+y2=2，

直线MP与x轴交点（哈必，。），皿=警孕，

为一，1乃一力

直线NP与“轴交点,（嘴P，。），.喘普，

.曾_打、2一又2%乂_%/y22T22yl2_-/1一合一及%/_9

m”y?一力及+力一yz?-，/一声1~2,

故rnn为定值2.

【分析】（1）求出。点到直线x-.Nl=0的距离，进而可求圆。的半径，即可得到圆。的方程；

（2）设直线/的方程，利用直线/与圆O相切，及基本不等式，可求。E长最小时，直线/的方程；

222、

（3）设M（xi,y\）,P（X2,y2）,则N（川，-y\）,xr+=2,x2+y2=2,求出直线MP

NP分别与x轴的交点，进而可求〃"?的值.

【解答】解：（1）因为。点到直线的距离为心，（2分）

所以圆O的半径为］（强2+（蛤2=V2,

故圆。的方程为『+/=2.（4分）

（2）设直线/的方程为一+—=l（a>0,b>0）,即/zr+ay-R?=0,

ab

由直线/与圆。相切，得/Hz=V2,即=+三="16分）

Vo百万2a2b22

DE2=a2+b2=2（cz2+炉）0+/）N8,

当且仅当。=b=2时取等号，此时直线/的方程为x+y・2=0.（10分）

2222

（3）设M（xi,yi）,P（x2»>2）,则N（xi»-y\）,xx+yx=2,x2+y2=2,

直线MP与x轴交点（笔孕，。），皿=笔铲，

直线NP与x轴交点四铲，。），n=端/，”分）

及十及十力

_%。2一"2力*勺及+冷旷1_x/y22r22y［2_（2-yj）］-（2-yz2），/

222-2

旷2一力丫2+为y2-yiy2yi

故〃?〃为定值2.（16分）

【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查基本不等式的运用，考查学生的运算能力，属于中档题.

考点卡片

1.命题的真假判断与应用

【知识点的认识】

判断含有“或”、“且“、“非”的复合命题的真假，首先要明确p、g及非〃的真假，然后由真值表判断复

合命题的真假.

注意：“北〃”的正确写法，本题不应将“非〃”写成“方程入2-2vH=0的两根都不是实根”，因为“都

是”的反面是“不都是”，而不是“都不是”，要认真区分.

【辞题方法点拨】

1.判断复合命题的真假，常分三步：先确定复合命题的构成形式，再指出其中简单命题的真假，最后由

真值表得出复合命题的真假.

2.判断一个“若〃则q”形式的更合命题的真假，不能用真值表时，可用下列方法：若“pq”,则“若〃

则为真；而要确定“若〃则q”为假，只需举出一个反例说明即可.

3.判断逆命题、否命题、逆否命题的真假，有时可利用原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同

真司假这一关系进行转化判断.

【命题方向】该部分内容是《课程标准》新增加的内容，几乎怎年都考，涉及知识点多而且全，多以小题

形式出现.

2.平面向量数量积的性质及其运算

【知识点的认识】

I、平面向量数量积的重要性质：

设Z，，都是非零向量，"是与6方向相同的单位向量，3与，和夹角为8,则：

TT—♦—>—♦

（I）a-e=e-a=|a|cos0：

（2）盂_11=31=0；（判定两向量垂直的充要条件）

（3）当Z,力方向相同时，a-b=|a||b|；当展，匕方向相反时，a•/）=-|a||fe|;

特别地：a-a=而2或而=y/a.a（用于计算向量的模）

TT

（4）cosG=（用于计算向量的夹角，以及判断三角形的形状）