北京市顺义区2025-2026学年上学期九年级期末数学试题（解析版）

九年级练习

数学试卷

考生须知

1.本试卷共8页，共三道大题，28道小题.满分100分.考试时间120分钟.

2.在答题卡上准确填写学校、班级、姓名和准考证号.

3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.

4.在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答.

5.考试结束，将答题卡交回.

一、选择题（共16分，每题2分）第1・8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.

—a=—2

1.如果。3,那么下列结论中正确的是（）

A.—=—B.—=—C.2〃=36D.ab=6

3223

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查比例性质，熟记比例性质恒等变形验证选项是解决问题的关键.

通过比例性质，恒等变形逐一验证选项即可得到答案.

12G

【详解】解：A：由比例性质，交换选项式子二二大中匕和3的位置得到f二二工二，选项结论错误，不符

32b23

合题意；

B：由比例性质，交换选项式子二二二中〃和2的位置得到f二大，选项结论正确，符合题意；

23b3

C：由比例性质，题FI中式子：=7交叉相乘得到3。二2力，与选项中的式子2。=38不一致，选项结论错

b3

误，不符合题意；

D：由比例性质，题中式子。不一定等于2、〃不一定等于3,比如取a=4/=6,也满足f=二,

b3b3

但“〃=4x6=24工6,选项中的结论不一定正确，不符合题意；

故选：B.

2.将抛物线y二V-1向右平移1个单位后得到新抛物线的表达式为（）

A.y=（x+l）2-1B.y=（x-l）2-1C.y=x2D.y=x2-2

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查了二次函数图象的平移.根据二次函数平移时“左加右减”即可得到答案.

【详解】解：•.,将抛物线y=f_］向右平移1个单位,

，抛物线的解析式为y=,

故选：B.

ZC=90°,AC=3,8c=4,则cos8的值为（）

443

A.-B.-C.一D.-

4355

【答案】C

【解析】

【分析】本题考查了勾股定理，余弦函数；由勾股定理得AB=JAC2+4C2,由余弦函数的定义得

cosB=^1,即可求解：理解余弦函数的定义是解题的关键.

【详解】解：vZC=90°,AC=3,BC=4,

AB=ylAC2+BC2

=732+42

=5，

BC4

cosB=

~AB5

故选：C.

4.物理课上，同学们观察了小球的摆动，如图所示，小球的运动路线为人4（小球的大小不计），若绳长

OB=3dm,ZAOB=60。，则斗鸟的长是（）

A.7rdmB.—^dmC.2^dmD.3〃dm

2

【答案】A

【解析】

njrr

【分析】本题考查弧长公式，解题的关键是记住弧长公式/二一片.利用弧长公式求解.

180

607rx3

【详解】解：A3的长=[QC=乃（力〃），

18（）

故选：A.

2

5.如图，在VA8c中，A8=5,ZACB=135°,sinB=-,过点A作交8C的延长线于

点。，则AC的长是（）

A.72B.2C.2及D.4

【答案】C

【解析】

【分析】本题考杳解直角三角形，包括锐角三角函数的定义与等腰直角三角形的判定及性质.先在

中利用正弦函数求出AO的尺度，再由NAC8=135'推出NACO=45'，判定△ACZ）为等腰直角三角形,

最终求出AC的长度.

【详解】解：•••在M△A8Z）中，A8=5，sinB=——=-,

AB5

2

AD=ABsinB=5x—=2.

5

・.•/ACB=135°，

/.ZACD=\^-135°=453.

在心△ACQ中，NACO=45、20=90，

.NACO为等腰直角三角形，

AC=ADxyf2=2y/2-

故选:C.

6.如图，AB是。。直径，C，。是0。上的点，NbOD=62。，则—C的大小为（)

A.58°B.59°C.60°D.61°

【答案】B

【解析】

【分析】本题主要考查圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键；由题意易得NAOD=I18。，然后

根据圆周角定理可进行求解.

【详解】解：・・・/BOD=62。，

・•・ZA（9£>=180°-ZBOD=118°,

，ZC=-ZA6）D=59°；

2

故选B.

7.在平面直角坐标系40v中，二次函数），=依2+法+4〃工0）的部分图象如图所示，下列结论中正确的

C.4〃+2b+c<0D.3a+cv0

【答案】D

【解析】

【分析】本题主要考查根据二次函数图象判断各项系数和式子的符号.根据抛物线的开口方向和对称轴的

位置确定。、。的符号，由抛物线与x轴的交点个数确定△的符号，由抛物线与y轴的交点位置确定c的符

号，即可得出答案.

【详解】解：A、•・•抛物线与），轴的交点在正半轴上，

/.c>0,故本选项不符合题意；

R、•.•抛物线的对称轴为直线工=1.

A-A=l,

la

.•.加+〃=（）,故本选项不符合题意;

C、,抛物线的对称轴为直线x=l,当x=0时，，y>0,

••・当x=2时，y>0,

4czI2Z?I<?>0,故本选项不符合题意；

D、,抛物线的对称轴为直线x=l,

**---—=1,W!1b=—2a,

2a

•・•当X=—1时，y<0,

a-b+c<0^则。一（一2a）+cv0,

•••3a+cyO,故本选项符合题意；

故选：D.

28

8.在平面直角坐标系xQy中，函数x=-（x>0）,%=一（1>°）的图象如图所示，过点

XX

作x轴的垂线，分别交y,必的图象于点A,C,过点N（0,〃）（〃〉0）作了轴的垂线,

分别交乂，%的图象于点8D（点。在点。上方，点8在点A上方），过点C作）'轴的垂线，过点。作

x轴的垂线，垂足分别为F,G,两条垂线交于点E.给出下面四个结论:

①当，"=1,〃=4时，四边形A8C。是菱形;

②四边形ABC。可能是正方形;

③S四边形A8CZ）：S矩形。GF/=9:32；

④如果四边形A8C。为菱形，那么S四边形A88=V.

上述结论中，所有正确结论的序号是（)

A.①@R.①④C.②③D.②④

【答案】C

【解析】

【分析】本题考杳了反比例函数与几何综合，熟练掌握菱形的性质与判定，正方形的判定，反比例函数图象

的点坐标特征是解题的关键.

①根据题意表示出所有关键点的坐标，把m=1,"=4代入求出点4,B,C,。的坐标，再求出四边形

人8。的四边长度结合菱形的判定即可判断；

②根据点A,B,C,。的坐标可得AC180,结合正方形的判定还需对角线相等且互相平分，利用点

AB,C,。的坐标表示出对角线线段长度列式求解即可；

③利用坐标得出两图形面积后求出比即可；

④利用菱形的性质求出〃2，〃的值，求出四边形A3C。的面积即可.

【详解】解：由题意得:

f8

G-,0,

n

①当，"=1,〃=4时，M(1,0),N(0,4),

・・・A（1,2）,C（l,8）,呜,4）,0（2,4）,

+（8-4『=

22

CZ）=A/（1-2）+（8-4）=717，A£>=J（l—2）2十（2—4）2=逐，

ABHBCHCDHAD,

・•・四边形ABC力不是菱形，故①错误，不符合题意；

/.AC-LBD,AC与BD交热H(m,n],AC=-=—,BD=—,

mmmnnn

2Q28

AAH=n一一,CH=——n,BH=m一一,DH=一一m,

tnmnn

若四边形ABCD是正方形，还需AC=8D,AC与B力互相平分，

6=—6

mn

28

，'〃---=----〃，解得：m=n=加，

mm

28

m——=—m

nn

・•・当〃?=〃=不时•，四边形A3C3是正方形,

・•・四边形八"8可能是正方形，坟②正确，符合题意;

*,*$四边形BACD=-^CBD=--------=——

22mnmn

・c后一8nr_8

mn

・enr8_钠

mnmn

**»四边形。.力矩形尸一•，一故③正确，符合题意:

A8COGEAZ7〃〃!〃

④I•四边形ABCD为菱形,

・•・AC与互相平分，即AH=CH,BH=DH,

28

n----=-----n

.mm皿俎<

・・<,解得：mn=5»

2o

m——=——in

、nn

・・・S四边形48。二曳=号工乎，故④错误，不符合题意;

mn55

故正确结论的序号是②③.

故选：C.

二、填空题（共16分，每题2分）

9.若代数式」一有意义，则实数K的取值范围是_________.

x-3

【答案】XW3

【解析】

【分析】本题考查分式有意义的条件•，即分母不能为零，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键；因此此

题可根据分式有意义的条件进行求解即可.

【详解】解：因为代数式」二有意义，所以分母工一3工0,解得xw3；

故答案为工工3.

10.抛物线y=x2-4x+l的顶点坐标为.

【答案】⑵-3）.

【解析】

【分析】用配方法将抛物线的一般式转化为顶点式，可求顶点坐标.

【详解】Vy=x2-4x+l=（x-2）23

,抛物线顶点坐标为（2,-3）.

【点睛】此题考查了抛物线的顶点式，将解析式化为顶点式y=a（x-h）2+匕顶点坐标是（h,k）,对称轴

是x=h.

11.在平面直角坐标系屹y中，若函数y="（kw0）的图象经过点（-2,3）和（3,m）,则加的值为

【答案】-2

【解析】

【分析】本题考查反比例函数图象与性质.

根据题意，将点（—2,3）和（3,〃。弋入反比例函数表达式，得至U-2x3=3m,解方程即可得到答案.

【详解】解：•.•函数女#0）的图象经过点（一2,3）和（3,m），

.1

-2x3=3m,

解得加二一2,

故答案为：—2.

12.如图，直线4〃/2〃4,直线，4，4分别与这三条直线交于点A，c，七和点B,D,F.若

AC_2则gg的值为

=

CE3BF

2

【答案】1##0.4

【解析】

【分析】本题考查平行线分线段成比例定理.根据平行线分线段成比例定理和比例性质求解即可.

【详解】解：・・“〃/2〃/3，

BD

:.-A-C=---，

CEDF

..AC2

•--------——，

CE3

BD2

：.——=-,

DF3

:.一BD=一2，

BF5

故答案为：

5

13.数学实践课上，小明用一块平面镜测量旗杆的高度.如图，镜子平放在地面C处（镜子的大小不计）,

旗杆底端到镜子的距离AC=16m,小明竖直站在距镜子2m的E处，眼睛到地面的距离EF=1.5m,且

点A,C,石在同一条直线上，此时小明在镜子中恰好看到旗杆顶端4的像.CO_LAE,根据光的反射

定律，光线的反射角等于入射角，即=则旗杆AB的高为m.

【解析】

【分析】本题考查了相似三角形的应用，热练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键.根据相似三

角形的判定和性质定理即可得到结论.

【详解】解：・・・/OCE=/OC4=90。，Z.FCD=ABCD,

••・ZFCE=ZBCA,

又；NFEC=N84C=90。，

ACEFs^CAB，

EFCE

/.一=——,

ABAC

1.52

——=一，

AB16

A3=12,

答:旗杆AB的高为12〃?，

故答案为：12.

14.已知二次函数），二f-2—当xv2时，丁随］的增大而减小，则。的值可以是.（写出

一个即可）

【答案】2

【解析】

【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，根据题意可妇二次函数开口向匕对称轴为直线x=〃,

在对称轴左侧函数递减：由题意/<2时函数递减，故。22,取a=2即可.

【洋解】解：由二次函数了=X2-2利，二次项系数为1>（）,故抛物线开口向上；

对称轴为工=一一—=a；

2x1

由于开口向匕当xva时，y随x的增大而减小：

由题意，当x<2时，）随工的增大而减小，

故需x<2时均有xva,即。之2；

因此。的值可以是2（答案不唯一）.

故答案为：2.

15.《周耨算经》中记载的“圆出于方，方出于矩”是我国古代几何思想的重要体现.图I是一枚中国古

代圆形铜钱，中间有一个正方形孔，象征着“天圆地方”.图2是铜钱的平面结构图，已知圆心和正方形

的中心都是点。，正方形的边长AB=7及mm,。是圆上的动点，若废的最小值为6mm,则。。的面

积为-----------mm2

图1图2

【答案】169万

【解析】

【分析】本题考查正方形的性质、利用三角形三边关系求最值问题.如图，当点B在线段0P时，M取得

最小值，据此即可求解.

【详解】解：如图，取正方形对角线交点，则交点为0,点/，为0。上一点，连接PBOP,

由三角形三边关系可得，OP-OB<PB,

〈OB是圆的半径，为定值，当点B在线段。尸时，/>8取得最小值,

,•*AB=7&mm，

OA=OB=7mm,

•・•阳的最小值为6mm,

・•・QO的半径OP=7+6=13mm,

则00的面积为13?)=1697(mm2),

故答案为：169〃.

16.某科学研究所近日有4，B,C,。四个小组申请同一个实验室的使用权限，一个小组实验完毕，下

一个小组第二天立即开始实验.每个小组申报的实验人数和实验时长(单位：天)如下：

小组4BCD

实验人数103104

实验时长9363

已知每位研究员只参与一个小组的实验，一位研究员的等待时间是指从第一个实验开始到本组实验开始的

时间间隔（不考虑更换设备时间等其他因素）.

（1）若按“4-8-C-。”的先后顺序实验，则。组的研究员需要等待天；

（2）若使这27位研究员的等待时间之和最小，则这四个小组应按的先后顺序实蛤.

【答案】①.18②.C-D—A—4

【解析】

【分析】本题考查逻辑推理能力，正确推理是解题的关键.

（1）计算前三组实验时间之和即可；

（2）为使总等待时间最小，应按人均实验时长（实验时长/实验人数）从小到大的顺序安排实验.

【详解】解：⑴9+3+6=18天，

故答案为：18天；

（2）9・10=0.9天,3+3=1夭,6+10=0.6天，3+4=0.75天，

,:0.6<0.75<0.9<1,

・•・若使这27位研究员的等待时间之和最小，则这四个小组应按C-D-A-6的先后顺序实验.

故答案为：C—D—A—B.

三、解答题（共68分，第17・22题每题5分，第23・26题每题6分，第27・28题每题7分）

解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.

17,计算：4sin30°-2cos45°+1-72|+（^-2）°.

【答案】3

【解析】

【分析】本题主:要考查了特殊角的三角函数值、绝对值的性质、零指数塞的运算，熟练掌握这些知识点的相

关公式是解题的关键.

先回忆特殊角的三角函数值、绝对值的性质、零指数鼎的定义，再将各部分代入原式进行计算.

【详解】解：4sin30。-2cos45。+卜闽+（4-2）。

=4x-!--2x—+V2+1

22

=2—>/2+\/2+1

=2+1

2（x-l）<x+2

18.解不等式组：L+5

-——<2x

3

【答案】l<x<4

【解析】

【分析】本题主要考查一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键：因此此

题可根据一元一次不等式组的解法进行求解即可.

2（x-l）<x+2@

【详解】解：『逸）

由①可得：x<4,

由②可得：x>l,

・•・原不等式组的解集为l<x<4.

19.已知2/2—4—3=0，求代数式++一的值.

【？：案】4

【解析】

【分析】本题考查整式乘法与代数式求值，先化简忖标代数式，再结合已知条件进行整体代入求解.

【详解】解：4（〃+1）+（。-1）2

=a2+a+a2-2a+\

=2a2—67+1•

已知2/—。―3=0,得2a2—。=3；

将2/-。=3代入化简后的式子，得3+1=4,

「.〃（a+l）+3-if=4.

20.如图，在VA8C中，AB=2,BC=4,。是BC上一点，且30=1.

（1）求证：AABCS^DBA；

（2）若AC=3,求AD的长.

【答案】（1）见解析（2）AD=1.5

【解析】

【分析】本题考有相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质.

（1）根据两边成比例夹角相等两三角形相似证明即可；

（2）利用相似三角形的性质求解.

【小问1详解】

证明：•「AB=2,8C=4,80=1,

;.AB2=BDBC，

ABBC

：.一=一,

BDAB

•;/B=NB，

'ABCS^DBA,

【小问2详解】

解：

,ACBC

~DA~~AB'

34

..---=一，

AD2

AD=1.5.

21.己知抛物线y=f+/顼+。与x轴的一个交点为A（—l,0）,且经过点40,-3）.

（1）求a。的值；

（2）若该抛物线与X轴的另一个交点为C,求VABC的面积.

【答案】⑴b=-2,c、=-3

（2）6

【解析】

【分析】本题主要考查了二次函数的解析式求法、二次函数与一元二次方程的关系、三角形面积公式，熟练

掌握待定系数法求二次函数解析式以及利用函数与方程的关系求交点坐标是解题的关键.

（1）将己知点A（-l,0）和8（0,-3）的坐标代入抛物线解析式）=丁+灰+。，得到关于〃、c的方程组,

解方程组即可求出/?、。的值.

（2）先由（1）得到抛物线的解析式;，再令）=0解一元二次方程，求出抛物线与x轴的另一个交点C的坐

标；然后根据A、C坐标求出AC的K度，结合点3到x轴的距高（即os的K度），利用三角形面积公式

计算VAAC的面积即可.

【小问1详解】

解：将月（一1,0）代入y=/+瓜+C得（—ly+8xi—D+cuO,

I-Z?+c=O©

将8（0,-3）代入），=/+法+。得。2+“0+0=-3，

解得c=-3②，

将②代入①得1一〃一3二0,

解得〃=-2；

【小问2详解】

解：由（1）得抛物线解析式为）=/一21-3,

令y=0,则无2-2X-3=0，

解得X]=—1，=3,

AAC=3-（-l）=4,

•・•8（0,-3）,

・••点8到X轴的距离为3（即高为3）,

•••Sfc=gx4x3=6-

22.下面是小智设计的“作一个锐角的角平分线”的尺规作图过程.

求作：射线AP,使得AP平分NM4N.

作法：如图，

①在NMAN内部任取一点。；

②以点。为圆心，Q4长为半径画圆，分别交射线AM,AN于点、B,C：

③连接BC,分别以点BC为圆心，大于一8。的同样长为半径画弧，两弧交于点。（点QD在BC

2

两侧）；

④作射线OO,交。。于点尸，作射线笛.

所以射线AP就是所求作的射线.

根据小智设计的尺规作图过程，

（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）

（2）完成下面的证明.

证明：连接08,OC,BD,CD.

•;OB=OC,BD=CD,

「•点。，。在3c的垂直平分线上.

；.0D上BC，即OP_LBC.

：.BP=___________（）（填推理的依据）.

/.ZBAP=•

.•.AP是/M4N的角平分线.

【答案】（1）见解析（2）CP，垂径定理，NC4P.

【解析】

【分析】本题是考杳了作图-基本作图，线段垂直平分线的性质，垂径定理一角平分线的定义，正确地作出

辅助线是解题的关键.

（1）根据题意作出图形即可；

（2）连接03,OC,BD，CO.根据线段垂直平分线的判定定理得到点。，。在3C的垂直平分线上.求

得。D_L8C,即OP_L8C.根据垂径定理得到8P二CP，再由同弧或等弧所对圆周角相等得出

ZBAP=ZCAP,最后根据角平分线的定义即可得到结论.

【小问1详解】

解：如图所示；射线"即为所求；

A

V

8仁【小问2详解】

MN

、D

CD.

...点。，。在8C的垂直平分线上.

:.OD.LBC,即OP_L4C.

・•.BP=CP（垂径定理）（填推理的依据）.

:.^BAP=ZCAP.

AP是/M4N的角平分线,

故答案为：CP，垂径定理，ZCAP.

23.古代农民用脚踏碓舂捣谷物，如图1所示，脚踏碓由碓头、碓杆、碓架、碓尾和碓H构成，用脚不断

踩踏碓尾，就可以舂捣谷物.图2是踩踏到最低点时，脚踏碓侧面结构示意图，已知碓杆AA长为

200cm,48与地面的夹角/84。=30。，碓头8C•长为40cm,求碓头下端。到地面的距

离CD的长（结果精确到1cm）.（参考数据:夜”1.41,石。1.73,6*2.24）

【答案】碓头下端C到地面的距离CD的长约为65cm.

【解析】

【分析】本题考查了解直角二角形的应用.延长RC交4。的延长线于E.根据垂直的定义得到？B90?.

根据三角函数的定义得到BE=ABtan/BAD=迎史cm,得到CE=BE-BC=（变叵-40）cm,过

33

C作COJ_AE于。，根据CD=CEsinNAEC即可求解.

【详解】解：延长交AO的延长线于E，过C作CD_LAE于。,

・.・BC1AB,

Zfi=90°,

vAB=200cm,NAW=30。，

/.BE=ABtanZBAD=200x—2°°^(cm)

ZAEB=60°,

33

BC=40cm，

:.CE=BE-BC=(20；G40)cm,

../4厂厂2OO5/3.么八02005/3y/3（

••CD=CEsinZ.AEC=（-------40）-sin60°=（-------40）x——=1100-20V3Icm

33

CD=100-20^^100-20x1.73=65.4^65（cm）,

答：碓头下端C到地面的距离CO的长约为65cm.

24.洒水车是城市绿化的生力军.某辆洒水车喷出水的上、下边缘分别可以看作是抛物线的一部分.建立

如图所示的平面直角坐标系，喷物水的上、下边缘的竖直高度分别为y，匕（单位；加），且M，为分别

与水平距离”（单位：m）近似满足二次函数关系.

木竖直高度Wm

O水平距离4/m

（1）在次洒水作业中，水平距离K与喷出水的上边缘的竖直高度M的几组数据如下:

水平距离

012345

x/m

竖直高度

2.1242.52.42.11.6

m

①直接写出喷出水的上边缘竖直高度的最大值；

②根据以上信息，求出X与X满足的函数关系式，并求出喷出水的上边缘落地点的水平距离：

（2）在（1）的条件下，喷出水的下边缘的竖直高度必与水平距离X近似满足函数关系

2

y2=ax-0Ax+2A.记喷出水的落地区域的宽度为d（单位：m）,当4<dK5时，直接写出。的取

值范闱.

【答案】（1）①2.5m：②y=-0.1（工一2『+2.5,7m

（2）-0.475<^<-0.2

【解析】

【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，二次函数的图象与性质，待定系数法求二次函数解析式，二

次函数与不等式，熟练掌握待定系数法和二次函数的图象与性质是解题关键.

（1）①根据抛物线的对称性求得对称轴，进而结合表格，即可求解：

②待定系数法求得抛物线解析式，然后令）1=0即可求解；

（2）由上边缘落地点的水平距离和喷出水的落地区域的宽度范围求出下边缘落地点的水平距离范围，代入

临界值列不等式即可解答.

【小问1详解】

解：①:当x=l和x=3时，>=2.4,

・•・上边缘抛物线对称轴为直线x=—=2,

2

由表格知，当x=2时，>=2.5,即喷出水的上边缘啜直高度的最大值2.5m；

故答案为：2.5m；

②由表可知，抛物线的顶点坐标为（2,2.5）,

•・.设上边缘抛物线的解析式为％=a（x—2）2+2.5,

•・•抛物线过点(0,2.1),

4。+2.5=2.1,

解得。=-0.1,

・•・H与x的函数关系式为：x=-0.1(X-2)2+2.5,

令》［=0,-0.1(无一2『+2.5=(),

解得；%=7或%=3<0(不符合题意，舍去)，

・••喷出水的上边缘落地点的水平距离为7m:

【小问2详解】

解：••・喷出水的下边缘的竖直高度为与水平距离x近似满足%二a+2.1,

令丫2二°，得0?_0.反+2.1=0，

设其正根为J，则喷出水的下边缘落地点的水平距离为v2m,

•••喷出水的上边缘落地点的水平距离为7m,喷出水的落地区域的宽度4W1W5,

二4W7—x,工5,

解得：2<X2<3,

.•.当々:2时，«.22-0.1X2+2,1>0.解得：42-0.475,

当々=3时，6/.32-0.1X3+2.1<0,解得：。k-0.2，

.-.-0.475<tz<-0.2.

25.如图，A8是OO的直径，C。是。。的一条弦，AB,CD交于点E，且CE=DE,连接CO,过

点、B作BF〃CD,交CO的延长线于点歹.

(1)求证：8尸是。。的切线；

(2)连接AC.若AC二石，tanZACD=-,求所的长.

【答案】(1)见解析<2)—

3

【解析】

【分析】本题考查了切线的判定，相似三角形的判定和性质，勾股定理，垂径定理，解直角三角形，熟练

掌握各知识点是解题的关键.

(1)根据垂径定理得到43_LCD,根据平行线的性质得到根据切线的判定定理得到防是

O。的切线；

(2)设=CE=2A.根据勾股定理得到4C=JA£；2+CE2=石工=石,求得

53

OB=OC=~,0E=~,根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论.

22

【小问1详解】

证明：・.,AB是。0的直径，CE=DE,

AB1CD,WZCEO=90°,

\CD//BF,

;"OBF=NCEO=90。,

.•.8月是。。的切线；

【小问2详解】

解：<AB上CD,

.\ZAEC=90°,

..AE1

•/tanZ.ACD=----=—,

CE2

・,・设AE=x,CE=2x,

：,AC=ylAE2+CE2=A/5X=>/5»

x-1>

AE=\>CE=2,

\*CE2+OE2=OC2>

22+(OC-\)2=OC2,

oc=~,

2

53

：.OB=OC=~,OE=~,

22

-CD//BF,

:.&COEs八FOB.

CE州

..---="

BF

3

-

22

/.—=1

-

BF2

...BF=—.

3

26.在平面直角坐标系xOy中，点（如〃）在抛物线），=加-2右_1（00）上.

（1）求抛物线的对称轴（用含。的式子表示）：

（2）若对于。-1<〃7<。+,，都有〃V—1,求。的取值范围.

2

【答案】（1）x=a

（2）a>\

【解析】

【分析】本题主要考查了二次函数的对称轴公式、二次函数图象上点的坐标特征、不等式的解法以及区间的

包含关系，熟练掌握二次函数的性质、不等式的转化方法以及区间包含关系的条件是解题的关键.

（1）直接运用二次函数的对称轴公式工=-2,代入抛物线表达式中的系数即可求出对称轴.

2a

（2）先将点（〃?,〃）代入抛物线解析式，结合〃V-1化简不等式，得到关于〃，的取值范围；再根据题意，将

区间包含关系转化为不等式组，进而求解。的取值范围.

【小问1详解】

解：•.,抛物线为y=or2-2a2x—l（a>0）,

h=—2a2»

对称轴x=----=—=a,

2a2a

【小问2详解】

解：•・•点（孙〃）在抛物线丁=江-2a上,

n=am2-2a2m-\»

•//?<-1.

anr—2a?m-1<—1

**•am2-2a2m<0

/.nr-2am<0，

0<m<2a,

;对于a—\<m<ci—，都有ti<—1>

2

'"120

:.<1,

。+—W2。

、2

由〃一1之0得。之1,

由〃+,工24得

22

:.a>\.

27.如图，在VA8C中，AB=AC,ZBAC=a,。是8C上一点，（CD>BD）,连接4）,将线段

AD绕点A逆时针旋转a得到线段4E，连接CE,过点E作EG_LAC于点G,延长EG,交BC于点

F.

（2）在/为上截取切=/。（点〃在点。右侧），连接£■”交AC于点〃，依题意补全图形.用等式

表示线段£70与A7H的数量关系，并证明.

【答案】（1）见解析（2）EM=-MH

2

【解析】

【分析】（1）根据等腰三角形性质得N3=NAC8,由旋转性质得AD=AE,/DAE=/BAC=a,进

而得/加。=NC4E,由此依据“SAS”判定△BAD和△C4E全等得N8=NACE，据此即可得出结论;

(2)依题意补全图形即可：过点广作FN〃4C交于点N,由切=EC结合平行线分线段成比例定

理可得HN=MN=LMH,证明^CGE和全等得r二尸6,同理可得EM=MV,据此即可得

2

出线段£70与例”的数量关系.

此题主:要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，理解等腰三角形

的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键.

【小问1详解】

证明：在VABC中，AB=AC,

・•・/B=ZACB,

由旋转性质得：AD=AE,ZDAE=a,

ABAC=a,

：•ABAC=ZDAE=a,

..ABAC-ZDAC=ZDAE-ZDAC,

:.ABAD=ZCAE,

在和△C4E中，

AB=AC

<ZBAD=NCAE,

AD=AE

LRAD^CAE(SAC,

・•・ZB=ZACE,

・•・ZACE=ZACB：

小问2详解】

解：依题意补全图形如图1所示：

图1

线段与例〃的数量关系是：EM、MH,证明如下:

2

过点、F作FN〃AC交MH于点N,如图2所示:

A

E

aDHFC

图2

HFHN

**~FC~~NM

,:FH=FC,

・•・HN=MN==MH,

2

•••EGJL4c于点G,延长EG,交BC于点、F，

・•・ZCGE=ZCGF=90°,

由（1）可知：ZACE=ZACB,

・•・4GCE=/GCF,

在^CGE和△CGb中，

zCGE=ZCGF=90°

CG=CG

/GCE=ZGCF

：・KGEqACGFIASA）,

・•・EG=FG,

XVRV〃AC',

MEEG

•・诉一而‘

・•・EM=MN,