甘肃省兰州某中学2025-2026学年高一年级上册期末考试数学试题（解析版）

兰州大学附属中学

2025-2026学年度第一学期期末考试

高一数学试卷

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中,只有一

个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.

（原创）

1.与2。26。角终边相同的角是（）

A.26°B.116°C.134°D.226°

【答案】D

【解析】

【分析】利用终边相同的角表达式夕=a+636U°（攵wZ）,将2026。拆分成360。的整数倍加上一个

0°〜360°之间的角，则这个角就是与2026。角终边相同的角.

【详解】因为2026。=226。+5x360。，

所以与2026°角终边相同的角是226°.

故选：D

（原创）

2.已知集合A={NW<3},集合5={x|y=log2（xT）},则4nB=（）

A.（-3,3）B.[1,3）C.（1,3）D.（h+oo）

【答案】C

【解析】

【分析】解集合A中的不等式，得到集合A,求集合8中函数的定义域，得到集合从再由交集的定义求

AcyB.

详解】不等式凶<3,解得—3<x<3,则集合A=Wk|v3}=（-3,3）,

函数），=log2（x-l）有意义，则”一1>0,解得x>l,

则集合3={[y=log2（x_l）}=（l,+8），

所以4nB=（1,3）.

故选:c

3.己知xwR,则“x>l”是「〈I”的（）

x

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】求出的解集，利用充分条件和必要条件的定义判断即可.

X

【详解】由，<1,解得x>l或工<0,所以‘">1“是‘'<1"的充分不必要条件.

XX

故选：A

4

4.已知角夕的终边经过点夕（一3,），），且tane=：,则>的值是（）

11

A.一一B.-C.-4D.4

44

【答案】C

【解析】

【分析】根据三角函数的定义即可求解.

【详解】由三角函数的定义可得tane={=：,故y=-4,

一33

故选:C

5.函数〃x）=2'+lnx-3的零点所在区间为（）.

A.（OJ）B.（1,2）C.（2,3）D.（3,4）

【答案】B

【解析】

【分析】分析函数/（"的单调性，结合零点存在定理可得出结论.

【详解】因为函数y=2=y=lnx-3在（0,十9）上均为增函数，故函数/（力在（0,十⑹上为增函数,

因为F（）=2+lnl-3=-l,/（2）=22+ln2-3=l+ln2>0,则/⑴/（2）<0,

故函数/（6=2'+山一3的零点所在区间为（1,2）.

故选：B

6.6数/(乃=却n(%+l)+ln(l-x)］的图象大致为()

【解析】

【分析】先根据定义判断D,判断函数/(X)的奇偶性，可排除A选项；进而取特殊值X排除C选项,

进而即可求解.

1—x>0

【详解】由，得一1v入v1,

x+1>0

所以函数/(力的定义域为关于原点对称，D选项错误；

又/(一力=-41n(-x+l)+ln(l+x)]=一/(x),

所以函数/(“为奇函数，图象关于原点对称，故排除A选项；

।1\1Q1

当4=一时，函数f=7ln=+ln；==0,故排除C选项.

22142)242

故选：B.

/、[x2+(4a-3)x+3a,x<0,

7.已知函数/(x)=〈)八(。>0且awl)是R上的单调函数，则实数〃的取值

logrt(A：+l)+2,x>0

范围是()

fol]BEI]fill

A【4」L4)[34jd(34j

【答案】C

【解析】

【分析】根据二次函数可判断分段函数/(x)在R上单调递减，再根据二次函数和对数函数的单调性列不等

式即可.

【详解】因为当x<0时，二次函数图象开口向上，则要使整个函数单调，则函数在(-8,0)上单调递减，

则分段函数/(x)在R上单调递减，

4〃一3

0<

2

23

则有50<(7<1解得；<a—~[,

34

3a>2

故选：C.

（原创）

1（_L}

8.已知函数/（x）=log2（2，十1）一一X,设4=/Ine。，b=/（log32）,c=/（log43）,则（）

2k>

A.a>h>cB.b>c>aC.c>b>aD.c>a>b

【答案】C

【解析】

‘KX

【分析】化简/（"=1鸣2?+2巧可得””为偶函数，判断“X）的单调性，再比较1。843和地32

的大小关系，即可得到答案.

12X+1（--~y

【详解】函数/（x）=log2（2'+l）-5X=10g2（2'+l）-10g222=10g2—^=10g22222,其定义域

222V）

为R,

（_£乙、

由于〃一X）=log222+22=/（X）,所以/（X）为偶函数，

令1（力=2"，（犬）>0），则）'=/+；在（°/）上单调递减，在上单调递增,

由于]同=2、在R上单调递增，入<0时，0<[x）<l;x>0时

根据复合函数单调性可得/（x）在（-8,0）上单调递减，在（0,+2）上单调递增，

'_1、

由于。=fIne2iog32>log3V3=-,log43=-log23>-,

乙乙乙

2

,07lg2lg3lg3?)

Iog32-log43=-^---^--

Igilg41g夕

^Ig2+Ig4j_(lg3)2修):仅3)2

因为lg2?Ig4(1g)(啖-(域二0

lg??Ig4"lg3?Ig4<

lg3?Ig4lg3?Ig4

所以Iog43>log32>5，

由于〃力在（0,40。）上单调递增，

/，、

所以“Iog43）>/（log32）>/-

则c>〃>a,

故选：C

二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分.每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

（原创）

9.下列说法正确的是（）

A.命题“VxwR,3/一2X一1<0”的否定是“*eR，3X2-2X-\>0V

R.若正数%,）'满足x+y=2孙，，则3x+2y的最小值是2"+二

2

C.函数）'=108|（一/一31+4）的单调递增区间为一

2L27

D.已知函数y=log3（加+4x+4）的值域为R,则〃的取值范围是[0,1]

【答案】ACD

【解析】

【分析】由全称量词命题的否定是存在量词命题判断选项A；利用基本不等式判断选项B；求对数型复合函

数的单调区间判断选项C；D选项，由对数型函数的值域为R,可知其真数能取到所有大于0的值，分类讨

论求。的取值范围.

【详解】对于A,由全称量词命题的否定是存在量词命题可知，

命题“VXER,3f—2元一1<0”的否定是“3xeR,3x2-2x-\>0，t»A选项正确;

11c

对于B,正数苍）'满足x+>=2冲两边除以冷得一+—=2,

W+电+外犯+2栏■=16

则3x+2y=g（3x+2y）（L+L=

21yxJ2（\yx）2

3x2y3+Jb»，二212但时等号成立，

当且仅当一二一，即工=士士率.

）'x64

所以3x+2），的最小值是|+而，B选项错误；

对于C,由—/一3工+4>0,解得函数）'=1㈣（一-3X+4；|的定义域为（fl）,

2

令函数〃=_/一3工+4,可知此函数在1-4,一：上单调递增，在一日,1）上单调递减，

又函数y+og/在定义域内单调递减，

2

所以函数'=108|（一/一3了+4）的单倜递增区间为一与，］,C选项正确；

2L27

对于D,已知函数y=log3（〃x2+4x+4）的值域为R,则需要真数g（x）=or2+4x+4能取到所有大于

0的值，

。=0时，g（x）=4x+4,符合题意；

67>0

〃于0时，则需4.」..一，解得owi,

综上可知，。的取值范围是［0,1］,D选项正确.

故选：ACD.

57r3兀

10.已知二<。<彳，则下列说法正确的是（）

42

sina

A.tancr=.B.若tana=3,Mcosa=----

5/1-sin2a10

271兀.

C.右sinacosa=—，则tanc=2D.tan(——a)tan(—+a)=l

544

【答案】BCD

【解析】

【分析】根据商数关系和平方关系计算判断AB；利用齐次式法计算判断C：切化弦，再利用诱导公式化简

判断D.

5兀3nsinasina

【详解】对于A,由「〈。〈工，得cosa<0,则tana=-----=-A错误；

42cosaVl-sin^

对干B,tana=3,当va〈当，得cosa=-J8sa=-J，：=B正确:

42\cos~a+sinavl+tan,-a10

―八一•2/口sinacoscr2皿tana2

对于C,由sinacosa=—,得------------,则——----=一,

5sirra+cos~。5tarra+15

ur>I57c37c

即2lan~a-5lana+2=0，由：-<&<；■，得tana>1,解得tan。=2,C正确;

./兀、•/冗\./兀\/兀\

sin(——a)sin(一+a)sin(——a)cos(——a)

对干D,tan(--«)tan(—+a)=--——-----------=——-----------——=1,D正确.

44/兀、IT7T7T

cos(——a)cos(一+a)cos(——a)sin(——a)

444

故选：BCD

,tInx,x>0,

11.设函数=l'c八，若函数g(x)=/(x)一机有四个零点分别为\，工，，占，匕，且

j-x-2x,x?0

%<工<七<七，则下列结论正确的是()

A.0</?:<1B.%+々=-2

C.X3X4=1D.x+x?(2,e-)

34e

【答案】BCD

【解析】

【分析】先分析分段函数/(力的图像特征，确定y=/(x)与y=〃z有四个交点时机的取值范围，再根据

交点横坐标的关系判断各选项.

【详解】作出/(3)的函数图像如下，

因为函数g(x)=/(x)—加有四人零点，所以函数y=/(x),y=〃z的图像有4个不同的交点，

-1)=1,所以0<加<1,故A错误；

由图可得芭,々关于x=-l对称，所以玉+工2=-2,故B正确；

由图可得Oc^axJl闰llnXalTlnx/，则有一1鹏=1呻，tiplnx3+\nxA=0,所以七*二1，故C正

确，

1

令lnx=l解得/=e,所以l<%<e,由刍・匕=1，得出+%=—+演，

根据对勾函数性质可知>=一十4在区间(l,e)上单调递增,

c111

所以2V---1-x4<e4--,即2Vx3+%<c+—,故D正确.

Zee

故选：BCD.

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分.

(原创)

12.我国古代数学著作《九章算术》中对与圆相关的图形面枳进行了深入研究，现有一块扇形土地，其半

径为10cm,面积为3Chrcm2，则该扇形的圆心角的弧度数为.

3兀

【答案】y.

【解析】

【分析】利用扇形的面积公式s二;求解.

1)1

【详解】设扇形的圆心角的弧度数为8,r=10,则S=-/e=30兀，即一xl00xe=30兀，

22

解得。=里，故扇形的圆心角的弧度数为费.

55

故答案为：y.

13.已知基函数/(N)=(m2-〃Ll)x”用是奇函数，则满足不等式/(。+2)</(4-2。)的实数。的取值

范围为.

【答案】(一8,g)

【解析】

【分析】根据常函数的定义及奇偶性求得,〃，根据函数的性质解不等式即可.

【详解】因为=-〃?一】卜"‘”是暴函数，所以m2-m-\=1，

解得相=2或〃?=一1,

当，〃=2时，/(x)=V是奇函数，符合题意；

当相=一1时，/(x)=x°是偶函数，不符合题意；

所以〃z=2,/(同=/，因为=d在R上单调递增,

2

/(〃+2)v/(4—2a),所以a+2v4—2a,解得

2

即实数。的取值范围为-8，工

故答案为：（一8，］）

14.定义一种运算（a,〃）*（c,d）=ad-bc,若函数/（x）=（l/og^元）*（jan,则使不等式

8/（2〃?-1）+7>0成立的m的取值范围是__________.

【答案】（别

【解析】

【分析】根据新定义，求得/（力二（；）--1。83X，根据不等式8/（2〃?—1）+7>0成立，化简得到即

（；）2"i-log3（2m-l）>-（,设g（/）=（；y-log3/，根据函数的单调性和定义域，即可求解.

［详解］根据定义的一种运算（。力）*（c,d）=ad-be,

可得/(x)=(l/og3x)*(lan孚1.八、134/1、t\

=(z-)r-(logx)tan—=(-)-logx,

23423

八7

又由8/（2加一1）+7>0,即/（2〃z—1）>——，

8

即（5）~'"—log?（2/n—1）>——

设g（。=（gyTog31，可得函数g（1）为单调的递减函数，

177

且g（3）=（5）3_log33=_/所以可得,<3,

即2，〃一1<3,解得机<2,

又由2m—1>0,解得机>4，

综上可得，实数机的取值范围是（g,2

I

故答案为：5,2

【点睛】本题考查了函数的新定义的计算与应用，其中解答中涉及到指数函数，对数函数的图象与性质的

综合应用，着重考查分析问题和解答问题的能力.

四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知是定义在R上的奇函数，当x>0时，/(x)=2x+2025.

(1)求函数/(力的解析式；

(2)求满足不等式/(公一2)+/(%)>0的实数上的取值范围.

2x-2025,x<0

【答案】⑴/(x)=((U=O

2x+2025,x>0

(2)(Y>,-2)U(1,+°°)

【解析】

【分析】(1)利用函数的奇偶性结合已知条件求解；

(2)先确定/(力在R上的单调性，再利用单调性结合奇偶性化简不等式，解不等式求出实数k的取值范

围.

【小问I详解】

­//(X)是定义在R上的奇函数，

"(。)=0，

当x<0时，-x>0,则/(-x)=-2x+2025,是奇函数，

二.f(-五)=-/(x)，故/(戈)=-/(r)=2x-2025,

lx-2025,x<0

/(x)=-0,x=0

2x+2025,x>0

【小问2详解】

・.,当%>0时,〃x)=2x+2025是增函数，J@L/(x)>/(O),

又•••/(X)是定义在R上的奇函数，奇函数在对称区间上单调性一致，

.••/(力在R上是增函数，

・・•f(r—2)+/住)>0,/./仍—2)>-f(k),

•・T仕)=/(/，・・・/•(〃2—2)>/(M),

：,k2-2>-k，即公+，-2=化+2)("1)>0,解得Av—2或我>1,

.\k的取值范围为（一8,-2）。（1,+。）.

（原创）

16.（1）计算卜3]3-21g2-lg25+e,n4-,n2

\8J

（3A<3、

（2）已知tan（兀+a）=求（2J12J的值

sin（a-3兀）+cos（兀-a）

（3）若夕是第三象限角，且cos（0+：）=—|,求cos（e—5）的值

2m—14

【答案】(1)-(2)——(3)一一

3〃z+15

【解析】

【分析】(1)根据指数累及对数的运算性质计算即可得解；

(2)将条件化简得到tana的值，利用诱导公式将原式化简并弦化切，将tana代入化简后的原式即可得

解；

(3)将条件利用和角的余弦公式展开，求出cosO-sin。的值，将其平方并结合角。的范围求出

sinO+cos。的值，将其代入cos展开之后的式子即可得解.

4J

/八一5

【详解】（）,In4-ln2

13?-21g2-lg25IC

\8J

In4

2

-21g2-lg5+-?

c

4

+

2-

（2）由tan（兀=可得tana="?.

因cosf-n-a^-sina,sinj。兀+a]=—cosa,

U）12）

sin（a-3兀）=-sin（3兀-a）=-sin（2兀+TT-2）=-sin（兀-a）=-sina,

COS(7T-a)=-COS«,

gj-r/id-sina-(-cosa)-sina+cosasina-cosa

所以，原式可化为-----------------=--------------=------------

-sinez-cosfz-sina-cosasina+cosa

将分子分母同时除以cosa可得小二1

tana+1

m-i

将tana=代入上式可得——

m+\

m—1

所以，原式的值为——

m+1

（兀、3

（3）因为cos|夕+:=——,所以—cos^-—sin^=--

4225

逑，将其平方可得l-2sin0cos0二竺,

即cos。-sin6=

525

732D

即2sin6cos6二石，所以l+2sinecos9=w=(cose+sin8).

因为。是第三象限角，所以sin〃<0,cos0<0,所以cosO+sinO二—迪

5

Tl

所以cos0--

\4

=^^(cos6+sin。)=4

5

17.为了充分挖掘乡村发展优势，某新农村打造“有机水果基地”.经调研发现：某水果树的单株产量W（单

3(X2+2),()<X<2

位：千克）与施用肥料（单位：千克）满足如下关系：（）・

xWx=36x_,=,肥料成本投入为

------,2<x<5

b+2

I0.V7E,其它成本投入为20x元.已知这种水果的市场售价大约为15元/千克，且销售畅通，记该水果单株

利润为/（力（单位：元）.

（1）求单株利润/（X）（单位：元）关于施用肥料工（单位：千克）的关系式;

（2）当施用肥料为多少千克时，该水果单株利润最大?最大利润是多少?

45x2-30x4-90,0<x<2

【答案】（1）/（-r）=540x.八

------30x,2<x<5

[x+2

（2）当施用肥料为4千克时，该水果单株利润最大，最大利润是240元

【解析】

【分析】（1）利用该水果树单株产量乘以市场售价减投入总成本即可得出利润表达式;

（2）根据定义域求每段函数的利润最大值比较后可得答案.

【小问1详解】

由题意可得/（x）=15W（x）—（10x+20x）=15W（x）—30x,

2

45（X+2）-30X,0<X<245X2-30X+90,0<X<2

即540x〃c「整理得540、一。…

------30x,2<x<5------30x,2<x<5

lx+2/+2

【小问2详解】

当0«x<2时，/（x）=45X2-30X+90是对称轴为九=:且开口向上的抛物线,

所以当0KxK2时，/（x）nxix=/（2）=210；

当2<x«5时，/（x）=丝-30X=-30X（C+X+21+600,

因为心+工+222，仁"乂（尤+2）=12,当且仅当*=汇+2即x=4取等号，

x+2YX+2'7x+2

所以"EU="4）=240；

综上所述，当施用肥料为4千克时，该水果单株利润最大，最大利润是240元.

18.已知函数/（力=厚生是定义在R上的奇函数.

（1）求。、b的值；

（2）判断/（力的单调性并证明；

（3）对任意实数,£（0,2],都有/+1）+/（〃廿）20恒成立，求实数机取值范围.

【答案】（1）。=1,b=\

（2）/（用在R上单调递增，证明见解析

(3)m>-2

【解析】

【分析】（1）结合奇函数的性质可知/（0）=0,/（-1）+/。）=0代入即可求解火〃，

（2）结合函数单调性的定义，结合指数函数的单调性即可判断，

（3）结合（2）的单调性和奇偶性将问题转化为r+12-〃〃对任意实数，e（0,2卜恒成立，分离参数，利

用对勾函数的单调性求解最值即可求解.

【小问1详解】

由于/（幻=3^_1是R上的奇函数，

3'+Z?

/./（0）=0,即纥1=0,解得。=1,

/7+1

_2

又/（-1）+/（1）=0,所以『7+1=。，解得人=1，

3）力。

3

经检验符合题意.

【小问2详解】

/（外在R上单调递增，证明如下：

3’-IV2

由于再不可得/3=亚印

1+3、

不妨令“，

,、22-2(3出-3”)

则/(电)=-------+------=7——T7----，

.I"IJ1+3』1+3叼(l+3r,)(l+3X2)

-2(3&-3』)

由于玉＜占故3号一3%>0,1+3”>0,1+3”>0,因此/(%)一/(/)二<0

(1+3X')(1+3XJ)

“（王）＜/伍），

故/（X）R上单调递增，

【小问3详解】

由于/*）为奇函数，故由/（/一1）+/（m，）20可得/（r+1）之/（一/加）,

又/。）在R上单调递增，因此/+1Nr"对任意实数，£（0,2］恒成立，

../2+11

故—in<-----二f十一，

tt

由于对勾函数），=f+；在（（）4］单调递减，在［1,2］上单调递增，

故当，=1时取最小值1+1=2,

I

因此一〃zK2,故加之一2.

19.已知函数y=/（x）,若在定义域内存在小,使得/（一及）=一/（不）成立，则称/为函数y=〃x）

的局部对称点.

（1）若函数/（工）=丘2+工一左（ZwR且〃00）,求/（X）的局部对称点；

⑵