分式（专项训练）试题版-2026年中考数学一轮复习（全国版）

专题1.3分式（举一反三专项训练）

【全国通用】

目录

第一部分题型专练

【考点一分式的相关概念】......................................................................2

!【题型1分式有（无）意义的条件】..............................................................2

!【题型2分式值为0的条件】.....................................................................2

!【题型3分式的值】.............................................................................3

!【题型4分式的规律探究】.......................................................................3

:【考点二分式的唾】............................................................................4

【题型5分式的基本性质运用】..................................................................4

!【题型6最简公分母与最简分式】................................................................4

!【题型7约分与通分】...........................................................................5

［【考点三分式的运算】...........................................................................6

!【题型8分式的加减运算】........................................................................6

\【题型9分式的乘除（含乘方）运算】............................................................7

\【题型10分式的混合运算】......................................................................7

［【题型11分式的化简求值】......................................................................8

\【题型12分式的大小比较】......................................................................8

!【题型13与分式运算有关的阅读理解类问题】.....................................................8

［【题型14与分式运算有关的新定义问题】.........................................................10

第二部分分层突破

Ii

!A组基础跟踪练

I

B组培优提升练

题型专练

【考点一分式的相关概念】

【题型1分式有（无）意义的条件】

【例1】（2025•云南•模拟预测）若分式露有意义，则x的取值范围是（）

A.¥H0B.%H—1C.%工2D.X—2

【变式1-1】（2025・云南•模拟预测）函数、=且中自变量x的取值范围是（）

/X

A,x>一1且％H0B.32-1C.%>1D.%>0

【变式1-2］（2025•青海西宁•中考真题）当％=1时，下列代数式在实数范围内有意义的是（）

AVx-1Vx-1-Vx-26Vx-2

A.-----DD-------------------C------U.------

x-1Xx-1X

【变式1-3】（2025•江苏南京•中考真题）要使分式也有意义，字母x,y须满足（）

x-y

A.%*yB・x工-yC.x>yD.x>-y

【题型2分式值为0的条件】

【例2】（2025•江苏常州•二模）若代数式三的值为0,则x的值为（）

A.2B.1C.-2D.-1

【变式,2-1］（2025•湖南株洲•模拟预测）已知分式哼‘（〃?，〃为常数）满足表格中的信息，则下列结论中错

x+m•

谡的是（）

%的取值-22a0

分式的值无意义01b

A.m=2B.n=6C.a=-4D.b=-3

【变式2-2】（2025•湖北孝感•二模）若分式更三的值为0,则x=（）

x+l

A.1或一1B.1C.-1D.以上都不对

【变式2-3］（23-24八年级上•湖北武汉•模拟预测）已知当％=-4时，分式f色无意义；当％=2时，此分式

2x+a

2

的值为0,则管）的值是（）

3844

C

----

A.4B.353

【题型3分式的值】

【例3】（2025•云南丽江•一模）若则+的值为（）

m4m+n

A.-B.-C.-D.-

5445

【变式3-1］（2025广西桂林・模拟预测）若不满足/一3%+1=0,则代数式/+或的值是（)

A.5B.7C.9D.11

【变式3-2］（2025•河北唐山•一模）分式二的结果等于一个整数，则x的值不可能是（）

x••♦

A.-1B.1D.2

【变式3-3】要使式子（岩-高黑）+三的值为负整数，则整数Q的取值为（）

A.1或2B.2或3C.a>1D.a>2

【题型4分式的规律探究】

【例4】（2025・重庆•模拟预测）方程4:匕一y+1=0,其中&>0,对X的系数k作变化：得到方程必滋逐一

7+1=0,其中心=乙，称为对方程力进行一次“偏移变化”，再对方程4中工的系数的作变化：得到方程

A2-.k2x-y+1=0,其中心=丁匚，称为对方程4进行二次“偏移变化”……，在变化过程中，记公=^\kn-k\

为偏移距离（九为正整数），Mn=C-+；+…+=，则以下说法中，正确的个数是（）

l-dil-d2l-dn

①当k=2时，是对方程4进行三次“偏移变化”后得到方程4的一组解；

②存在一个k值，使得对方程力进行偏移变化，偏移距离为患：

16

③满足使曹为整数的k的最小值为白

M318

A.0B.1C.2D.3

【变式4-1］（2025•安徽滁州•一模）观察下列各式的规律.

第1个等式：^+l-l=y;

第2个等式：：+2—1=。；

44

第3个等式：1+3-l=y：

⑴根据上述规律，直接写出第4个等式：.

⑵猜想满足上述规律的第九个等式，并证明其成立.

【变式4-2］（2025・广东佛山•模拟预测）已知Si=Q+1不取0和-1）,S2=丁=，53=丁］，S4=丁1,…

1-S］1一$21一§3

按此规律，请用含。的代数式表示$2022=.

【变式4-3］（2025・山东威海•一模）一组数据%,工2，工3,…，加（〃是正整数）有这样的规律：从第二个数切开

始，每一个数都等于1与它前面的数差的倒数.对于下列说法：①若必=5,则与=/②若巧=2,则

工1+工2+X3+…+%202S=笠2；③若（修+1）（%2+1）42=-1，则=±&.正确的个数有（）

A.3个B.2个C.1个D.0个

【考点二分式的性质】

【题型5分式的基本性质运用】

【例5】（2025•江苏南京•模拟预测）下列等式一定成立的是（）

【变式5-1】（2025•四川攀枝花•模拟预测）如果将分式点中的x和），都扩大到原来的3倍，那么分式的值（）

A.不变B.扩大到原来的3倍

C.缩小到原来的:D.缩小到原来的;

JV

【变式5-2】（2025•河北•一模）不改变分式的值，将分式叫誓中的分子、分母的系数化为整数，其结果

x+0.004y

为（）

A5x+125yB20x+500y02x+50yD2x+5y

*250x+y•100x+4>'1000x+4y-x+4y

【变式5-3］（2025•浙江杭州•一模）把电阻值分别为&,k的两电阻并联后接入某电路中，其并联总电阻值

R（单位：H）满足5=；当匕=2%时，3=_________.

R/?2/?2

【题型6最简公分母与最简分式】

【例6】（2025•山西太原•模拟预测）下列各式中最简分式是（）

A4a+1L（a+l）（a-l）、2a

A.Dn.------C.---------U.-

2aa2+2a+la-1a2+l

【变式6-1]（2025•湖北武汉•模拟预测）分式士与上的最简公分母是（）

2x-42-X

A.X-2B.x2-4C.2（%—2）2D.2（x-2）

【变式6-2]已知a>3,代数式：A=2a2—8»B=3a24-6a»C=a3—4a2+4a.

⑴因式分解A；

（2）在A,B,C中任选两个代数式，分别作为分子、分母，组成一个分式，并化简该分式.

【变式6-3]（2025・河北•二模）自一电脑程序：每按一次按键，屏幕的A区就会自动减去m2,同时8区就会

自动加上2m,且均显示化简后的结果.已知4B两区初始显示的分别是4和-8,如图.

例如：第一次按键后，48两区分别显示:

A区B区

4-m2—8+2m

⑴从初始状态按2次后，若4区、B区的代数式的值相等，求m的值；

⑵已知mH1,从初始状态按4次后，若把4区的代数式作分子，8区的代数式作分母得到一个分式，请将

这个分式化简.

【题型7约分与通分】

【例7】（2。25•河北唐山二模）若分式宁化简后可以得到一个整式'则整式人不可能是（：

A.x2B.xC.x-1D.x（x-1）

【变式7-1】（2。25・河北•模拟预测）若将分式^与帚通分，则分式^的分子应变为（）

A.6m2—6mnB.6m-6n

C.2(m-n)D.2(m-n)(m+n)

【变式7-2】（2。25・河北•模拟预测）用公替换分式号中的〃后，经过化简结果是（）

【变式7-3】（2025•河北•模拟预测）下面是佳佳同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务.

/-92x4-1

工2+6%+92%+6

(x+3)Q-3)_2x+l第一步

(X+3)22(X+3)

x-3_2x+l第二步

x+32(x+3)

_2(x_3)_2x+l第三步

-2(x+3)2(X+3)

2x-6-(2x+l)第四步

2(X+3)

2x-6-2^+l第五步

20+3)

熹•…第六步

（1）以上化简步骤中，第三步是进行分式的通分，通分的依据是,

（2）第，步开始出现错误，写出该分式化简后的正确结果

【考点三分式的运算】

【题型8分式的加减运算】

【例8】计算：喜一^

【变式8」】（2025・山东•模拟预测）若-=*+自则小B的值为（）

A.4=3,B=-2B.力=2,8=3

C.4=3,8=20.A=-2,B=3

【变式8-2］（2025•河北邯郸•二模）对于任意实数x,规定/（%）=：,则/（%）+/■（%+1）=（）

X(X+1)・X•x(x-l)•x-1

【变式8-31（2025・贵州•一模）下面是小明同学化简分式的过程,请认真阅读并完成相应任务.计算:工10

4一25

解：原式=」7-10第一步

(x+5)(x-5)

*+5____________10

(r+5)(x-5)-(x+5)(x-S)第二步

=彳-5........第三步

任务一：上述计算过程中，第一步出现错误，发生错用的原因是」

任务二：请写出该分式正确化简过程.

【题型9分式的乘除（含乘方）运算】

【例9】（2025•辽宁•一模）化简：.三

X2+4r+4X-1

【变式9-1]（2025•河北唐山•二模）已知4+?=二七，则整式.4=

【变式9-2】在一块稻田上插秧.若10个人插秧，则要用，〃天完成；若用一台插秧机工作，则要比10个人

插秧提前3天完成.一台插秧机的工作效率是一个人工作效率的倍.（用含机的式子表示）

【变式9-3]某研究人员对分别种植在两块试验田中的“丰收1号”和“丰收2号〃两种小麦进行研究，两块试验

田共产粮1000kg,种植“丰收1号〃小麦的试验田产粮量比种植“丰收2号〃小麦的试验田产粮量的1.2倍少

100kg,其中“丰收1号〃小麦种植在边长为am（a>1）的正方形去掉一个边长为1m的正方形蓄水池后余下的

试验田中，"丰收2号〃小麦种植在边长为（a-l）m的正方形试验田中.

⑴请分别求出种植“丰收1号”小麦和"丰收2号”小麦两块试验田的产粮量；

⑵哪种小麦的单位面积产量高？高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍?

【题型10分式的混合运算】

【例10】（2025•内蒙古・一模）计算y+1+汽.

42y-6

【变式10-1】（2025•内蒙古•一模）计算：（m+2+总）x安.

【变式10-2】（2025•河北唐山•三模）有一道习题的解答过程如图所示，其中A是整式.

习题：计算鬻+（4-第）

解：原式=誓+（筹-箝

⑴求整式4

⑵写出原习题正确的解答过程.

【变式10-3】（2025•广东佛山・三横）化简（W+W）•宁，下面是甲、乙两同学的部分运算过程:

x2-l

甲同学解：原式=x(x-I)xQ+1).

(x+l)(x-l)(x-l)(x+l).

乙同学解:原式二±,三•之…

x+1XX-1X

⑴甲同学解法的依据是;乙同学解法的依据是（填写下列选项字母）

A.不等式的基本性质；B.加法交换律；C.分式的基本性质；D,乘法分配律

（2）请选择一种解法，写出完整的解答过程.

【题型11分式的化简求值】

[Mil]（2025•黑龙江哈尔滨•模拟预测）先化简，再求值：+W4,其中m=2sin30。.

【变式11-1】（2025•青海西宁•中考真题）先化简，再求值：黑会+（高一A）,其中m满足m（m+4）=—4.

【变式11-2】（2025•黑龙江大庆•中考真题）先化简，再求值：（1一止巨品？其中％=3.

【变式11-3】（2025•黑龙江大庆•三模）先化简，再求值：（m+3一日+震鲁,其中/〃满足2m?=l-m.

【题型12分式的大小比较】

【例12】已知小b为实数,且必=1,设M=三+3,则M,N的大小关系是（）

a+lb+1a+1b+l

A.M>NB.M=NC.M<ND.无法确定

【变式12-1】（2025•山东淄博•一模）已知分式P=%，Q=詈，其中n为任意正整数，则P,Q的大小关系

为（）

A.PVQB.P=Q

C.P>QD.P,Q的大小关系与n的取值有关

【变式12-2】已知几>1,M=—,N=—,P=—,则M、N、P的大小关系为

n-1nn+1------------

【变式12-3】（2025•福建龙岩•模拟预测）已知正实数a,b,c,d,使得：=：成立.

ba

⑴求证：等=等；

⑵判断三与老的大小关系，并说明理由.

I）a+n

【题型13与分式运算有关的阅读理解类问题】

【例13】（2025・山东•模拟预测）阅读下列相关的两段材料，根据材料反映的规律完成后面的填空题.

设〃是正整数,

材料1:

Ql=1

121

=l+2=2x3=3

1_2_1

=1+2+3=3x4=6

1_2_1

1+2+3+4—4x5—10

问题：(1)用含〃的代数式表示%=(写最简结果)

材料2：Si=%=1

211111114

52=%+。2=1+双=2(1^+尔)=2(1/二§)=2(1-§)=§

22111

S3=%+。2+=1+Z------7=2(-----+----+-----)

31232x33x4'1x22x33x4，

O,11,11,11、1、3

=2(T--+5--+---)=2(l-;)=-

问题：(2)用含〃的代数式表示％=(写最简结果).

(3)当〃无限增大时，S”接近于一个常数，这个常数是.

【变式13-1】(2025•山西临汾•模拟预测)阅读与理解：阅读下列材料，完成后面的任务.

在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运

用约分化简，以达到计算目的.

例：若岛=%求代数式％：的值.

解：0-^=-,0^=4,0^+-=4,0%+-=4.

A+14xxxx

任务：已知丁三%

X2-3X+12

(1)求0+3的值.

(2)求4的值•

【变式13-2】(2025•山东济南•模拟预测)阅读下列材料：

对于正数x,规定了(%)=—；,例如：/(2)=2=；.

⑴求值：/(3)+fG)=_；/(4)+/(；)=_.

⑵猜想/(x)+/(>=_，并证明你的猜想;

⑶应用：请结合(2)的结论，计算下面式子的值：

“2023)+“2022)+/(2021)+•••+/(2)+f(1)+…+"》+•••+〃盛)+f(表)+f(康)•

【变式13-3】阅读材料：《见微知著》谈到，从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂,

从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新

结论的重要方法.

例如：已知xy=1,求一-+一一的值.

，l+x1+y

解：原式=2+_L=上+」_=空=1.

xy+x1+y1+y1+yy+1

问题解决:

(1)已知xy=1.

①代数式七+品的值为——；

②求证：不七+而需=1；

⑵若不满足(2023-x)2+(2022-x)2=4047,求(2023-《)(2022-%)的值.

【题型14与分式运算有关的新定义问题】

【例14】(2025・山东威海•一模)定义运算：/(xn)="金">2,且九为正整数).若%1=/(%2)=坐=

2n-20

化简：/(x)+

n25-n2)

刀+5

B.D.

n2-25

【变式14-1】(2025・湖南•模拟预测)对于任意两个非零实数八江定义新运算“*”如下：。*力=1一工，例

ba

如：3*4=；—；=一三.若**y=2024,则更丝Z的值为

4312/x-y-----

【变式14-2】(2025♦江苏•一模)定义：若两个分式的和为〃(〃为正整数)，则称这两个分式互为“地分式”.

例如.分式。与当•互为"三用分式

x+l1+X

⑴分式磬与____互为“六色分式〃；

•5•^/X

⑵若分式』与会互为"一(3分式〃(其中小/)为正数)，求时的值;

a+4b，az+2o

⑶若正数X,)，互为倒数，求证：分式壬与'互为"五回分式〃.

区十1yx•y

【变式14-3】（2025•福建福州•模拟预测）我们定义：如果两个分式4与8的差为常数，且这个常数为正数,

则称4是8的“雅中式〃，这个常数称为4关于8的“雅中值”.如分式4=—,8==，4-8==-（三）=

x+1x+1x+1\x+l/

管=幺等=2,则力是B的“雅中式”，A关于B的"雅中值''为2.

X+1X+1

⑴已知分式。=与锣，D=4判断C是否为。的“雅中式”，若不是，请说明理由；若是，请证明并求出

c关于D的“雅中值〃；

⑵已知分式P=点，Q=三，P是Q的“雅中式”，且P关于Q的“雅中值”是2,X为整数，且"雅中式"P的值

也为整数，求E所代表的代数式及所有符合条件的工的值之和；

（3）已知分式M=-22（X-C）,2=（…72）（Q,b,C为整数），M是N的“雅中式〃，且M关于N的“雅中值〃

是1,求a-b+c的值.

'分层突破

2

三础跟

一、单选题

1.（2。25♦江苏常州•中考真题）若分式缶有意义，则实数x的取值范围是（）

A.xH—1B.%=-1C.x>-1D.%>-1

2.（2025•四川乐山•中考真题）计算：三+--的结果为（）

3.(2025・河北・中考真题)若a=-3,则号署=()

A.-3B.-1C.3D.6

4.（2025・四川南充・中考真题）已知£=£=2,则安的值是（）

A.2B.3C.4D.6

5.（2。25•重庆永川•模拟预测）己知两个分式（。黄。且”1）,将这两个分式进行如下运算：第一

次运算：M]=：+三，M=}-三；第二次运算：M2=M1+M，N2=M1-M，第三次运算：M3=

“2+川2，刈=“2-汽2,继续依次运算下去，通过运算，有如下结论：@M3=-2M1；@N2-NS=N4-N6i

（3）（〃为正整数）•以上结论正确的个数有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

二、填空题

6.（2025•山东青岛•模拟预测）己知？=；=♦¥：0,则竺的值为_______.

234C

7.（2025•山东•模拟预测）若一、表示一个整数，则整数m可取直的个数是____个.

m-l

8.（2025・贵州遵义•模拟预测）当％=2时，代数式三等+要_+%的值是.

9.（23-24八年级下•湖南衡阳•模拟预测）分式二三的最简公分母是_____.

m2-4m-2

10.（2025・河南信阳•三模）若M是一个式子，且M•熟的化简结果为整数，请写出一个满足条件的M所

代表的式子：.

二、解答题

11.（2022•安徽•一模）化简：（爪+2-急）+黑.

12.（2025•北京西城•二模）己知第一2丫-3二0,求代数式dg笋包的值.

13.（2025•山东滨州•中考真题）已知4=x+y,B=x2-y2,。二号+值一改/）

⑴若铝以求c的值；

⑵当y=l,且3c为整数时，求x的整数值.

14.（2025・北京•模拟预测）阅读理解：

定义：若分式A和分式8满足力-B=几（九为正整数），则称A是B的"n差分式

例如：笠一2=3,我们称胃是吃的〃3差分式〃，

x-1x-1x-lX-1

解答下列问题：

⑴分式;是分式F•的公差分式〃.

1—X1—X

⑵分式4二三是分式B=#的“2差分式〃.

9-x23-x

①C=_（含％的代数式表示）；

②若A的值为正整数，”为正整数，求A的值.

⑶已知%y=l,分式口是一年的“4差分式”（其中％,y为正数），求％—y的值.

y工

15.（2025•山西•二模）阅读与思考

数学社团组织征文大赛，下面是小颖同学应征文章的部分内容，请你认真阅读，并完成相应的任务.

奇妙的"条件等式"

我们知道，等式是表示两个数（量）相等关系的式子.在等式大家族中，有一类特殊的等式一一只有当等式

中所含有的字母取某些值时，等号两边的值才相等，这样的等式叫做条件等式.如2x=6,只有当工=3时，

等号两边的值才相等，所以它是条件等式，可见，我们学习过的方程大都是条件等式.

下面我们再研究一个特殊的等式：。2+力=。+*其中。工从那么，该等式成立的条件是什么呢？

探究：我们不妨假设该等式成立，移项可得。2一垓=。-6

将等式左边分解因式，得（Q+外3-匕）=Q-b,

移项,得（a+b）（a-b）—（Q-b）=0.

将左边继续分解因式，得袋=0,

因为。不人所以等式小+匕=。+匕2成立的条件应为袋.

运用：根据上面的发现，我们可以轻松地构造出很多这种结构的等式，例如：

©+鸿+"（丁+鸿+（）…

推广：...

任务：

⑴请将文中"探究”部分的三处空缺补充完整；

①：::

（2）仿照文中“运用〃部分的思路补全下面的等式：

⑶小冬根据文中的思路，推广得到如下等式（；丫+F=；+（詈）2其中771,71为任意实数，且九H0,71工

2m）,请证明该等式成立.

B组

一、单选题

1.（2025・四川•模拟预测）若式子f在实数范围内有意义，则x的取值范围为（）

A.x<0B.x<0C.x>0D.x>0

2.（2025♦四川•模拟预测）已知2+l（a+bHO）.则竺?二（）

aba+o

A.-B.1C.2D.3

2

3.（2025•河北•模拟预测）已知A为整式，若计算三-母的结果为则％=（）

xy+y2x2+xyxy

A.xB.yC.x+yD.x-y

4.（2025・湖南•模拟预测）已知分式0（小b,c,d为常数）满足下面表格中的信息：

xffi-2-101

分式值C无意义d0

下列选项错误的是（）

A.a=1B.b=-1C.c=3D.d=1

5.（2025・江苏宿迁•一模）人们把等这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚的优选法中的0.618法就

应用了黄金分割数.设。=亨,b=等,得川=1，侬］=捻+捻,S2=券+嵩SL盘+焉

^0_20_

=……，则9+三一1+-・.+9的值为（

h一i4+1+/)

+a5152、3510

A.1C.-D.10

6.（2。25・重庆万州・模拟预测）已知两个分式：1,士：将这两个分式进行如下操作:

第一次操作：将这两个分式相乘，结果记为Mi；相除，结果记为Ni；

/nn111ar11X+l、

(即M]=-x—=------=-t----------------=—)

1Xx+1x(x+l)1XX+lX

第二次操作：将Mi，M相乘，结果记为A/2:相除，结果记为N2；

(即M2=弧xM,N2=Mi+M)

第三次操作：将“2,M相乘，结果记为“3；相除，结果记为N3；

(即M3=M2xN2,N3=M2^N2)…(依此类推)

将每一次操作的结果再相乘，相除，继续依次操作下去，通过实际操作，有以下结论:

①M3=M12；②若N4=81,则T=3;

③在第2〃（〃为正整数）次操作的结果中：M=^

2na+l)2n

④当％=1时，M2nT•N2rl_1=1一定成立（〃为正整数）.

⑤在第〃（〃为正整数）次和第九+1次操作的结果中：含为定值;

N九+1

以上结论正确的个数有（）个.

A.5B.4C.3D.2

二、填空题

7.（2025•黑龙江齐齐哈尔•模拟预测）在函数丫二焉+点中，自变量工的取值范围是.

8.（2025•四川内江•模拟预测）已知实数〃，力满足必=1,则」+占=_____.

a2+lb2+l-----

9.（2025•四川眉山•模拟预测）已知力=x+1（%。0且%不一1）,a=—^—,a=...,a=—,

x23n

l-Oi°l-a2l-an_i

则a2024的值为.

10.（2025•湖南长沙•模拟预测）如图，A,B,。三个圆柱形杯子完全相同并装有相同高度的液体，旁边放

有若干个大小相同的实心小球.分别向三个杯子内放入若干个小球观察液面的情况：A杯放入2个小球，液

面上升acm,液体未溢出；8杯放入4个小球，液体溢出；C杯放入6个小球，液体溢出.将8杯溢出的液

体用相同的杯子收集，。杯溢出的液体用相同的。杯收集，将。杯的液体倒入4杯，装满A杯后，。杯剩

余的液体高度是B杯溢出液体高度的倍.

11.（2025•重庆沙坪坝•模拟预测）对于一个四位自然数M,设M的千位数字为.，百位数字为b,十位数

字为c,个位数字为d，它的千位数字与个位数字组成的两位数为A=10a+d,十位数字与百位数字组成的

两位数为8=10c+b,若A与B的差等于M的千位数字与百位数字和的相反数，则称M为“开数”.判

断：1029是否为“开数”（填“是”“否”）；若“为“开数”，记G（M）=±三，当G（M）能被7

c-a-a

整除时，则满足条件的M的最大值为一.

三、解答题

12.（2025•江西•中考真题）化简：