高二数学期末常考基础题型专练（解析版）

高二期末常考基础题型专练

・题型一:命题的真假判断与应用(共1小题)&

1.下列说法正确的是()

A.直线xcosO+潟丫+2=0的倾斜角的范围是［0吟］U［普，穴)

B.直线(3+m)x+4y-3+3m=O(m6R)恒过定点(—3,—3)

C.曲线G：合+V+2x=0与曲线a：丁+y-4x-Sy+m=0恰有三条公切线，则m=4

D.方程/方+4)2++-34-4)2+3=6表示的曲线是双曲线的右支

【答案】ACD

【解析】对于A,直线的斜率k=一臬.G|"一卒,坐］,

・•・直线的倾斜角的范围是［o,*］u庠■，勾，故A正确;

对于B:直线方程整理为：血式+3)+(3大+4)，-3)=0,

由{寰［，13=0'解得{(二］3，故该直线恒过定点(一3,3),故B错误；

22

对■于C,曲线1c［：/+，+2%一0,曲线Cz：x4-5,-4力—8'+?九一0有三条公切线，

•・•两条曲线均为圆，故20-巾>0,即mV20,

且两圆的位置关系为外切，

22

故圆心距d=|C］C2|=V(2+l)+4=5=V20—+1,解得：M=4,故C正确；

对于D,设P(-y),A(-4,0),8(4,0),

则方程等价为|PA|-|PB|=6<\AB\=8,

则根据双曲线的定义可知，P的轨迹是以A、6为焦点的双曲线的右支，故Q正确；

故选：ACD.

题型二：等差数列的性质(共1小题)；

2.已知等差数列{Q,J的公差为-3,若的>。，。8<0,则首项外的值可能是()

A.18B.19C.20D.21

【答案】3C

【解析】由题意，可得卜=”#6一公，

(a8=a1+7a=a1-21<0

・•・18V为V21.

故选：BC.

题型三:等差数列的概念与判定(共1小题)(

3.若{a；}是等差数列,则下列数列不一定是等差数列的是()

A.{|a„|}B.{an+1-aj

C.{p(in+q}(p,q为常数)D.{%”+〃}

【答案】A

【解析】若{%}是等差数列，设公差为d,

当a“=八一2时，|a“|显然不是等差数列，A符合题意；

,l4=〃为常数列，一定为等苦数列，不符合题意；

因为pa”+i+q—(加“+q)=p(a«+i-Q”)=pd(d为常数)，

所以｛加”+q｝为等差数列，不符合题意；

2an+n—2aLi—(ri-1)=2(an-an_｝)+1=2d+1为常数，即｛2a“+n｝一定为等差数列，不符合

题意.

故选:A.

题型四：等差数列的前〃项和（共4小题》索

4.记公差不为零的等差数列｛an｝的前n项和为S”，若$5=3(如+/+QJ，则仁()

A.13B.12C.11D.10

【答案】C

【解析】设等差数列｛4｝的公差为d,则dW0,

•:S)5=3(©+3ag+ak),

/.15ai+I，.Md=3[囚+d+3囚+24d+%+(A-l)d],

乙

即15a1+105d=154+3(k+24)d,

/.3(fe+24)=105,

解得k=11.

故选：C.

5.已知等差数列｛4｝的前〃项和为S”，S4=1,Sg=4,则勺7+%8+。19+。20=()

A.7B.8C.9D.10

【答案】C

【解析】根据题意，等差数列｛4｝中,SA，S8-S.pS12-S8；S16-S12,S20-S16……也成等差数列，

其首项Sq=l,第二项S8-S4=3,则其公差d=3-l=2,

则S20—S16=1+2(5—1)=9,故Q17+a18+«19+a20=9.

故选：C

6.设等差数列｛a,J的前九项用为S“，若如+。8+%+而+%1=20,则S[7=()

A.150B.120C.75D.68

【答案】D

【解析】因为等差数列｛4｝满足。7+/+的+。1。+。11=20,

所以5a9=20，即&=4,

圻山a(«1+«17)X172a9x1717,A。

所以S17=-----z-----=---5—=17a9=17x4=68.

故选：D.

7.已知等差数列｛%｝的前篦项和为S”,公差(;/0,&>&(，住用),则()

A.aiVOB.d>0C.。4&0D.S9Vo

【答案】ABC

【解析】根据题意，等差数列｛小｝中，

若S”\S4,则有S3>S4，S5>S4，

则有a4=SLS340,O5=S5-S4>0,C正确；

必有d=a5—a4>0,B正确；

则有a1=4-4dV0,A正确；

(ai+ag)x9

恁＞错误.

Sg=2~=90,D

故选：ABC.

题型五:等比数列的性质供1小题乂

8.已知等比数列｛%｝的前八项和为S”，SK>=1,Sao=13,S40=)

A.-51B.-20C.27D.40

【答案】D

【解析】由｛册｝是等比数列，且SioUlXhSsoulSAO'^SzoAO,a0>0,且1<520<13,340>

13

所以Sio,S20-S10,SSO-SQ,S40—S30成等比数列,

即1,So—1,13—S20,S4O-13构成等比数列，

・•・(SR-1)2=1X(13-S20),解得SR=4或S20=—3(舍去)，

2

(13-S20)=(S20—1)(So—13),即V=3x(S40-13)，解得S40=40.

故选：D.

题型六:等比数列的前n项和(共2小题)(

9.已知正项等比数列｛册｝的前〃项和为S"，53=2。2+3。1，且恁=16,则%=1

【答案】1.

【解析】正项等比数列｛4｝中，$3=%+3%,且恁=16,

:以葭>2吁%解得%=］,『(舍负).

所以,

故答案为：L

1().一个乒乓球从1m高的高度自由落下,每次落下后反弹的高度都是原来高度的套，在第3次着地

29

时，乒乓球经过的总路程为方in.

【答案】学.

【解析】由题意得第3次着地时，乒乓球经过的总路程为:

2

S=1+2X|+2X(|)=^rn.

故答案为：寻.

题型七:错位相减法(共2小题)i

11.已如数列｛«„｝的各项均为正数，共前〃项和为&，旦2S”=%®-1).

(1)求｛%｝的通项公式；

(2)记bm为｛%｝在区间⑸,S2m)中的项的个数，求数列加几｝的前n项和

【答案】⑴％=3”

(2)7；=^^"・3"】+弓.

［解析】⑴数列｛%｝的各项均为正数，其前n项和为Sa，且2s，尸内(册—1).

:.2al=勺(。］一1)n4=3,则2S„=3a,,—3,

2a”+1—2(Sn+i—Sj—3(a“+i—an)=>an+1=30n,

/.(a„)是首项为3,公比为3的等比数列，则a„=3".

⑵•・0=得@-1)=吟学

当普=1,区间(S],Sz)=(3,12),则d=1,

当管>2,a”VS„<a„+1,a2„<S2„<a2n+i,

即当m>2,在区间(S„,，S2m)内的项有“计1，am+2，…，&对，则%=m,

n

b„=n,anbu=n,3,

7；=3+2-32+3-33+---+n-3%3T.=32+2-33+3-3,+--4-n-3rt+1,

3(1-3n)

作差得，-22=，

1-3,n3-=(1-n).3--f,

”1・3肝1+率

12.已知数列｛an]的前n项和为S”,满足an+1=2Sn+4(nEN),且囚=4.

(1)求｛a”｝的通项公式；

(2)若b,=(2〃？)a，求数列｛&｝的前n项和Tn.

【答案】⑴册=4x3”7,nGN-;(2)TI=l+(n-l)X3n.

【解析】⑴由4+i=2S”+4可得，当n>2时，％=2S.T+4,

以上两式相减可得4+1-%=2s“-2S1=况，

即a“+i=3a”,

当72=1时，。2=2S]+4=12,满足&2=3。1,

所以数列｛%｝是以4为首项，3为公比的等比数列，

故4=4x3n-1,6N'.

(2)6„=⑵，7即=(2"-l)x31,

。=1x30+3x31+5x率+…+(2加-1)x3'一,

123H

3TI=lx3+3x3+5x3+---+(2n-l)x3,

两式相减，得-27；=1+2x⑶+3?+…+31)-(2n-l)x3"

3X(1_3“T)

=l+2xT^3-\2n-1)x3"

=-2+(2-2n)x3"，所以Tn=l+(n-l)x3".

题型八:数列求和的其他方法(扶1小题)I

13.已知正项数列｛a,J的前”项和为S”,且满足8S”=a：+4a,+4.

⑴求数列｛4｝的通项公式;

2"一]"为奇数

⑵若{>}=<1为偶数，｛r｝的前几项和为T”，求小

团1n

【答案】⑴%=4八-2,n€N*；

(2)6“=十+2/—n-.

【解析】⑴由题意,当n=l时,8ai=8Si=af+4a,+4,

整理，得Q：-4&i+4=0,

解得为=2,

当麓》2时，由8S”=d+4a,(+4,

可得8sLi=忌t+4a1+4,

两式相成,可得8an=a$-+4a,,—4a1>

化简整理，得(%+%—)(%-*-4)=0,

Va„>0,n6N*,

・•・an-a,1—4=0,即a”-4T=4,

/.数列｛4｝是以2为首项，4为公差的等差数列，

/.a”=2+4•(八一1)=4八一2,?iGN*.

⑵由⑴可得，

=/2”一,为奇数=01,〃为奇数

”—1+a”Tn为偶数一12八一3,n为偶数'

:.T2n=5+8+A+“+&+仇H----卜bzn-l+b2n

=2°+l+22+5+24+9+---+22n-2+(4n-3)

=(2°+22+24+-+22"-2)4-[1+54-9+•••+(4n-3)]

1—22n,〃♦(l+4?z—3)

="+2

=-f+2n2-n-i.

题型九：数列递推式（共2小题）1

14.任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数,就将该数除以2反复进行二述两种

运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈I-4T2Tl.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称

“角谷猜想”等）.如取正整数m=6,根据上述运算法则得出6T3-10-5716T8T4T2-1,共

需经过8个步骤变成1（简称8步“雹程”）.数列｛%｝满足冰雹;猜想，其递推关系为：a1=加（E为正

整数），­=丁%当明为偶数时.若处=1,则根所有可能的取值为1和8.

13%+1,当％为奇数时

【答案】1和8.

【解析】当％=1时，a3=2,a2=4,%=8或1,

故W所有可能的取值集合是｛1,8｝.

故答案为：1和&

15.知数｛a„｝满足%=2,0什1=5%+12,则数列｛%｝的通项公式4=5"-3.

【答案】5"-3.

【解析】由。产2,*=5%+12,

可得%+i+3=5（a”+3）,

则数列｛册+3｝是首项和公比均为5的等比数列，

可得a”+3=5",即a„=5n—3.

故答案为：5"—3.

题型十:异面直线及其所成的角（共1小题）（

16.正方体ABCD-A向GQ中，M是AD1中点,则异面直线CM与AB1所成角的余弦值是（）

A.冬B.冬C.冬D.冬

0000

【答案】D

【解析】连接3D,取6D的中点N,连接CN、MN.3。、CI%、AC,

因此，/CMN（或其补角）就是异面直线0M与人5所成角，

设正方体的棱长为2,则等边△AQQ的边长为22，可得CM="八C=/,同理可得（,N」

V6,

在ACAMN中，MN=[AB]=*,可得cosZCMN=J+歹6=牛,

22x76x726

所以异面直线CMmAB所成角的余弦值是,.

0

故选：D.

题型十一：空间向量的数量积运算（共1小题）；

17.如图所示，平行六面体ABCD-AWiGR中，A】Gn5口=（人以顶点A为端点的三条棱长都为

2,且/BAD=NDAAi=NBAA[=60°,则下列结论正确的是)

----»---►Q

A.1130)1=272B.QOI・B|C=-5

乙

C.CO1〃平面A1BDD.AC—BD

【答案】ACD

【解析】设AB=a,AD=S,AA1—c,

则由题意有:\a\=同=|c|=2,

a*5=a*c=5*c=2x2x-1-=2,

乙

选项A,丽=同一标=一才+B+2,

则=y/(—a+b+c)2=V12—4—4+4=2A/2,

即|BD]|=2VZ,故A正确；

选项B,丽=丽+方4=不+)@—而，

乙

l^C=BC-BB1=S-c,

则的.觉=(齐―豪+=).©_2)

=1-1—2+1+2—4=-3)故B错误；

选项C,连接AC,3D交于点O,连接0Al,CO1,

则由=函+箝=兀一砧=2—孑0+。,

CM]=AAi-AO=不-4(2+3),

所以国=5X，即CO"'()A「

又CO]«平面A|BD,。八1u平面A|BD,

所以CO〃平面AiBQ,故C正确；

选项D,AC\—乙十。十九BD—6—u,

则温•说=0+6+2)・©—左)

=2—4+4—2+2—2=。，故八。|，31),故[)正确.

故选：ACD.

题型十二：空间向量基本定理、正交分解及坐标表示(共1小题)1

18.以下四个命题中，正确的是()

A.若3?=春雨+春瓦，则P,A,J3三点共线

B.若｛乙九c｝为空间的一个基底，则一+九—2｝构成空间的另一个基底

C.(a-b)-c=a-(b-c)

D.若才是=4•之，且ZwO,则3=2

【答案】3

【解析】对于A:由于。P=《bA+《说，春+《=三W1,故R八、3三点不共线，故A错

L0403

误；

对于3:若依，丸c]为空间的一个基底，2+，=入(，+2)+"仔+不，不存在实数人和乂使关系式

成立，故依十5,b±c,c+a｝作为向量的另一个基底，故U正确；

对于c由于之和i不共线，故0・W•之助左・(3・1),故c借误;

对于D:若B=3•2,整理得(X—2)=0,故d_L(B—2),故D错误.

故选：3.

题型十三:平面的法向量(共1小题):

19.已知方为直线1的方向向量，荒，江分别为平面。邛的法向量（a邛不重合），那么下列说法中，正确

的有（）

A.兀〃E=a〃BB.兀_LT=Q_LBC.v//n^l//aD.石_!_百0/_1_0：

【答案】AB

【解析】子为直线1的方向向量，亢，n2分别为平面a,|3的法向量（a,B不重合），

对于A,由面面平行的性质和判定定理得：1〃ROQ：〃B，故人正确；

对于B,由面面垂直的性质和判定定理得：亢±荒=a_LB，故B正确；

对于C,由线面垂直的性质和判定定理得v//n^lA.a,故C错误；

对于D,由线面平行的性质和判定定理得力_L兀。2〃a,故D错误.

故选：AB.

题型十四：直线与平面所成的角（共1小题乂

20.如图，四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的菱形，ZABC=等n，PD_L平面ABCD,PD=1,

M为PB的中点.

（1）求证:平面MAC±平面PDB；

（2）求CP与平面MAC所成角的正弦值.

【答案】（1）证明过程见解答；（2）苧.

【解析】⑴证明：•・•//）□"平面ABCD,ACu平面ABCD,

:.PD±AC,

四边形ABCD是菱形一•.AC±BD,

BDnPD=D,/.AC_L平面PDB,

•••ACu平面AMC,.•.平而MAC_L平面PDB;

（2）过点P作PHJL平面AMC,交平面AMC于点H,

连接CH,则NPCH是CP与平面MAC所成角，

连接BD,交AC于O,连接OM,

•••PD〃OM,PD〃平面AMC,PH是点D到平面AMC的高,

•・,PD_L平面ABCD,.-.OM±OD,

可面AMCJ,平面PDB,-f面AMC0邛面尸DU=OM,

・・・OD_L平面AMC,••.PH=OD=4_,PC=&,

设CP与平面MAC所成角为0,

则CP与平面MAC所成角的正弦值为sin0==-y=-=平^.

ic744

啰型十五:二回鱼的受国危及剪去(若64埋)翳

21.如图，四楂锥P-ABCD的底面是边长为2的菱形，NBAD=60°,PA_LPC,PB=PD,R为PC

的中点.

(1)证明：PCJL平面BED：

(2)若PD±Ab,求平面PAB与平面BED夹角的余弦值.

【解析】⑴证明：如图,

连接AC与BD交于点O,则()为AC中点，也为BD中点，

连接OP,OE,因为Pb=PD,

所以BD±OP，又BD_LAC,AC,OP是平面PAC内两条相交线,

所以BD_L平面PAC,PCU平面PAC,

所以BD_LPC,因为O,E分别为AC,PC中点,

所以AP〃()E,因为PA1.PC,

所以PC_LOE,又BD,OE是平面BDE内两条相交线，

所以PCJ.平面BED;

⑵因为BD_L平面PAC：所以平面ABCD平面PAC、作PHJ_AC,交点为H,

则PHJ_平面ABCD,由PD_LAB知DH±AB,

则OH=4-OA=挈,PH2=HA•HC=1•，尸H=琴.

oOO0

如图，以()为原点建立空间直角坐标系，

z

p

贝，IA(0,-V3,0),B(l,0,0),P(0,V3AB=(1,V3,0),A?=(0,乌

3，

设平面PAB的一个法向量m=（久,》,之）,

（m-AR=0f^+V3y=0

由-2V3,2娓n，取才=（24，一2,2）,

bn-AP=01与-升飞―A。

平面BDE的一个法向量配=（0,竽，二^⑥），

设平面PAB与平面BED的夹角为仇

MI_《-PC|_4/_V3

贝4COSO=|COS<7H'一而两一而卮一丁'

所以平面PAB与平面BED夹角的余弦值为尊.

0

22.如图，在平行四边形ABCD中，AB=1,BC=2,NABC=60°,四边形ACEF为正方形,且平面

ABCD±平面ACEF.

（1）证明：AB_LCF；

（2）求平面BEF与平面ADF夹角的余弦值.

【解析】⑴证明：在三角形ABC中，AB=1,BC=2,ZXBC=60°,

由余弦定理有AC2=AB2+BC2-2AB•BCcosZABC,

即AC2=l2+22-2xlx2cos60°=3,即AC=75,

则有AC2+AB2=4=BC2,则ZBAC=90°，即八B_LAC,

又平面ABCD1,平面ACEF,平面ABCDD平面ACEF=AC,ABU平面ABCD,

于是得A3_L平面ACEF,又CFu平面ACEF,

所以ABJLCF;

（2）解：因四边形ACEF为正方形，则AF_LAC,

由（1）知AB,AC,AF两两垂直，

以点A为原点，A3,AC,AF所在直线分别为x,了，之轴，

建立空间直角坐标系，如图所示，

则A(0,0,0),B(1,O,O),C0,V3,0),F(0,0,V3),D(-1,V3,0),E(0,V3,V3),

FE=(0,V3,0),BF=(-l,0,V3),

设平面BEF的一个法向量为n=(xPzj,

则由mux。，令…得

设平面ADF的一个法向量为m=(x2,5,2»Z2)，

AF=(0,0,V3),AD=(-1,V3,0),

则有it喘二令於=1窗用=如，。)，

巡x哼_3

则cos(m,n)=■

巴，-2222―彳

|m||n|V(V3)+1XV(V3)+1

所以平面BEF与平面ADF夹角的余弦值为y.

23.如图所示,在三棱锥P-ABC中，侧棱PA±底面ABC,BC±AB,PA=AB=BC=2,M为棱

PC的中点，N为棱3c上的动点.

⑴求证：AM_LPB.

(2)若二面角C—AM—N1勺余弦值为，求的值.

【解析】⑴证明：取PB中点D,连接AD,DM,

因为PA=A3,所以AD±PB,

因为PA_L底面ABC,所以PA±BC,

因为BC_LAB,PAAA3=A，所以BC_L平面PAB,

因为PBu平面PAB,所以BC±PB,

因为M为楂PC的中,占、，所以MDHBC,所以PB_LMD,

所以PB平面ADM,因为AMU平面ADM,所以PDJLAM.

(2)以A为原点，AB,AP所在直线分别为y,z轴,建立如图所示坐标系,

则A(0,0,0),P(0,0,2),B(0,2,0),C(2,2,0),

M(l,l,l),AM=(1,1,1),AB=(0,2,0),BC=(2,0,0),

设限=入反(0〈人41),得而=通+乐=A3+入记=(2入，2,0),

由题知，平面AMC的法向量成=(-1,1,0),

令3=(x,y,z)是平面AMN的一个法向量，则力_L汨防腐_L诵，

广•守=0卜+〉，+N=0,

U-AN=0l2Aj-+2y=O

令x=1,则y=—Xtz=A-1,n=(1,—X,X—1)»

由cos<n•於=曰曰=>+[==智，

|n|•|ni|A/2,Jl.+X+(入—1)2VA2—A+1乂

解得人=等或入=得(舍).

所以尿•反,，所以弱=2.

3Nu

24.如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为2的正方形，EF//AD,AE=2EF=2,

NEAD=120°,平面ADFE±平面ABCD.

(I)求证：BD1.CF：

(II)求平面ABE与平面BDF所成锐角的余弦值.

【解析】(I)证明：连接AF,

因为EF〃AD,NEAD=120°,

所以NAEF=60°,

因为AE=2EF=2,

所以AF=，AE2+EF2-2AE・EFCOS60°=V3,

因为AI"十+3=AE?,

所以AF_LEF,

因为EF〃AD,

所以AF_LAD,

因为平面ADFE±平面ABCD,平面ADFEA平面ABCD=AD,AFu面ADFE,

所以八p上面ABCD,

因为BDU面ABCD,

所以AF_L8D,

连接AC,在正方形ABCD中，AC_LBD,

因为AFPIAC=A，且AF,ACu面AFC,

所以31)_1面AFC,

因为CFu面AFC,

所以BD_LCF.

(H)由(I)知AB,AD,A尸两两垂直，以A为原点，AB,AD,AF所在直线分别为处3，z轴,

建立空间直角坐标系：

则3(2,0,0),D(0,2,0),E(0,-1,V3),F(0,0,V3),

AB=(2,0,0),AE=(0,-1,V3),BD=(-2,2,0),DF=(0,-2,8),

设平面ABE的一个法向量为m=（4，5'i»勺）,

由［屈•法=2%=0

\AE,/H=—^i+V3zi=9

令M=,则A=1,=0,

所以拓=（0,，5,1）,

设平面BDF的一个法向量为n=（m，义，劭），

由（BD-n=-2X2+2^2=0

,

[DFn=-2^2+A/3Z2—0

令g=&，则及=0，？2=2，

所以方=（，3,，3,2）,

设平面ABE与平面BDF所成的锐角为0,

⑻Vio

即cos。=

2xVI54

所以平面ABE与平面8DF所成的锐角的余弦值为手.

25.如图，在四棱锥P—ABCD中，已知八B〃CD,AD_LCD,BC=BP,CD=2AB=4,AADP是等

边三角形，且E为DP的中点.

（1）证明：AE〃平面PBC；

（2）当PA=6时，试判断在棱BC上是否存在点M，使得二面角M-PA-E的大小为60°.若存

在，请求出罂的值:否则,请说明理由.

【解析】（1）证明：在四棱锥P-ABCD中，已知AB〃CD,AD±CD,BC=BP,CD=ZAB=4,

如图，

取PC的中点F,连接EF,3F,

•・•△AQP是等边三角形，且E为QP的中点.AE±PD,

••,E是棱PD的中点，F为PC的中点，・・.EF〃CD,且EF=^CD,

Lt

•••AB//CD,AB=)CD,・•.EF//AB,JLEF=AB,

/.四边形ABFE是平行四边形，,AE//BF,

•••BFu平面PBC,AE吐平面PBC,

AE〃平面PBC;

(2)解：dADP是等边三角形，E为D尸的中点，

•・,BC=BP,且F为PC的中点，.•.BF±PC,

-AE//BF,:.AE,LPC,

又AE_LPD,且八七_1尸(；，/＜：「以)=「，「。，出)€：平面20),

AE_L平面PCD,CDu平面PCD,

/.人后_1。。，又4£)_1(、1),八。n八七=八，且八。，AEu平面ADP,

/.CD_L平面ADP,AEFJL平面ADP,

以E为坐标原点，EP,直，豆的方向分别为久，》z轴的正方向，

建立如图所示空间近南坐标系E-xyz.

X

则P(3,0,0),A(0,3V3,0),B(0,373,2),C(—3,0,4),

假设存在满足题设的点M,不妨设M(a,b,c),且愣二鼠则入W[0,1],

.*.BM=(a,6-3V3,c-2),且前=(-3,-3V3,2),

又闻=入比，即(a,b-3V5,c-2)=(-3L-3A/3X,2X),

a=-3X,a=—3X,

则有6-3V3=-3V3A,«H6=3V3(1-A),即M(-3A,375(1-A),2(1+A)),

.c=2(l+人)，[c-2=2入，

设平面PAM的一个法向量为n=(攵,y,z),

易知百=(-3,3&,0),由=(-3(1+人),3/(1-a),2(1+人))，

由fn-PA=-3^+3\/33?=0

[小两=_3(1+入)t+375(1-2)丫+2(1+入)？=0'

令b=,则y=1,n=,：.n=(V3,l,彳班，),

不妨取平面PAE的一个法向量为庆=(0,0,1),

3—―

则|cos(周，n>|=nl+A=cos60°=,

u27人2

Mmlx

(1+A)2

3vs入

二----11+^9712~=/，又，*[d1]，解得，=申,

lxV4+(w

:.存在满足题设的点M,此时器=多.

26.如图，在四棱锥S-ABCD中，SA_LCD,AD〃BC,AD_LAb,SB=SD,AB=AD.

⑴求证：SA_L平面ABCD；

(2)若SA=AB=AD=1,BC=2,尿=XSC'(0<X<1),若平面BDN与平面SDC夹角的余弦值

为白，求实数人的值.

0

【答案】⑴证明见解答；⑵卷.

【解析】⑴证明：如图，取BD中点E,连接SE,AE,

又SB=SQ,AB=AD,

BD_LSE,BD±AE,XSEClAE=E,

BD_L平面SAE,又SNu平面SAE,

/.SAJ_BD,又SAJ_CD,BDACD=D，且BD,CDu平面ABCD,

.・.SA_L平面ABCD;

⑵由⑴知SAJ,平面ABCD,且ADJLAB,

.♦.以AD,AB,AS所在直线分别为轴，建系如图、

z

又SA=A3=AQ=LBC=2,

/.B(0,1,0),1)(1,0,0),S(0,0,1),C(2,1,0),

.-.BD=(1,-1,0),DS=(-1,0,1),DC=(l,l,0),SC=(2,l,-1),

vSN=XSC,

.­.DN=DS+SN=DS+ASC=(-1,0,1)+X(2,1,-1)=(2A-1,A,1-A),

设平面BDN与平面SDC的法向量分别为晶=Cr,yz),力=(a,b,c)

则|扇了=0fn-DS=—«4-c=0

-DN=(2入—l)x+入y+(1—入)z=0(ri•DC=a+6=0

取方=(1-XI一入,3人-1),n=(l,-1,1),

/.平面BDN与平面SQC夹角的余弦值为:

13入-1|_=1

|cos<in,n>|=---------

222

|m||n|^/(l-X)+(l-X)+(3X-I)xV3

/.3(3X-I》=2(1—入了+(3A-I)2,

/.(3入-l)2=(1-入)2,3X-1=±(1-A)

解得入=4■或o,又入e(o,i),

Lt

故实数人的值为

J

题型十六:点、线、面间的距离计算(共1小题)G

27.已知平面a的一个法向量为,=(1,一1,2),若点A(-1,0,1),B(2,3,c)均在a内，则|AE|=

3V2.

【答案】32.

【解析】根据题意，点A(T,0,1),8(2,3,c),则屈=(3,3,c-1),

若平面a的一个法向量为方=(1,-1,2),则本初=3-3+2亿-1)=0,

解可得：c=l,则靠=(3,3,0),

故|="91910=3V2.

故答案为：九伤.

题型十七：空间中点到直线的距离及两平行直线间的距离(共1小题)1

28.已知6(1,0,1),皮=(1,一1,1),则点A到直线BC的距离为()

A通B.峙C.卓D.挈

A.3

000

【答案】C

【解析】由题知瓦4=(0,1,0),无=(1,-1,1),

诉、/-才、BA*BC—1

所以cos<BA,BC>=--->—=-r=-=—z—,

IBAHBCIV33

sinV曲瓦>=Jl—（一^J=尊,

所以点A到直线BC的距离d=|BA|•sinV说，发>=乎.

J

故选：c

、题型十八:直线的两点式方程（共1小题乂

29.下面说法中错误的是（）

A.经过定点P（j,y0）的直线都可以用方程y-yo=k（x-&）表示

B.经过定点P（*,y。）的直线都可以用方程工一现=相6-%）表示

C.经过定点A（0,b）的直线都可以用方程丁=丘+b表示

D.经过任意两个不同的点B（U，M），B（巧，山）的直线都可以用方程6—v）（电一5）=目一不）

（及一A）表示

【答案】ABC

【解析】当直线的斜率不存在时，经过定点P（j，》o）的支线不能用方程了一加=可工一工。）表示，

故A项不正确；

当直线的斜率为0时，经过定点P（先，3'0）的直线不能用方程“一与=?九6一%）表示，故8项不正

确；

经过定点A（0,b）的直线为3'轴时，不能用方程丁=酸+b表示，故C项不正确；

对于点川11，了J，R>（Z2,W），当qK为且声32时，可以用方程°―江=--——表示，整理得

32一VX2~~X1

（y~y）（电-为）=（工一xj（y2-3-1），

当为=0或M=及时，直线久一=0与直线了一V=0也包含在（y-%）（©一为）=（工一Xj）（y2

-yi）中，

因此，经过任意两个不同的点,yi）,，及）的直线都可以用方程（y-v）（0-4）=U-

可）（山一）,]）表示，D项正确.

故选：ABC

、题型十九：圆的标准方程（共1小题）1

30.已知圆满足：

①截y轴所得的弦长为2；

②被卫轴分成两段圆弧,其弧长的比为3:1；

@圆心到直线1.x-2丁=0的距离为李.

D

求该圆的方程.

【解析】设所求圆心为P（a,b）,半径为r,则圆心到x轴,3轴的距离分别为\b\Ja|>

因圆P截），轴得弦长为2,由勾股定理得户=/+],又圆被工轴分成两段圆弧的弧长的比为3：i,

劣弧所对的圆心角为

故r=，2b,即r=2〃，

.・.2b2—。2=1①，

又•・•P（a,b）到直线式一23=0的距离为卓,

0

即即=建，

V55

即a-2b=±l.②

解①②组成的方程组得：]厂:或甘=」，于是即r=2护=2,

[6=1{b=-l

・•・所求的圆的方程为(1+1t+6+1)2=2或(大一1)2+6—1)2=2.

题型二十:直线与圆的位置关系(共7小题)(

31.已知圆。苏+丫2=1,直线。=2%+匕相交，那么实数b的取值范围是()

A.(-3,1)B.(-00,-V5)C.(V5,+x)D.(-75,75)

【答案】D

【解析】圆C:x2+y2=1的圆心为(0,0),半径为1,直线!:了=2父+^,

W

由于圆与直线2相交，所以7TVI,解得—VSvbvVS.

故选：D

32.已知圆M：N+：y2+6j：+8N=0,则下列结论正确的为()

A.M的半杼为10

B.M关于直线1一)，-1=0对称

C.直线久一了+3=0被M所截得的弦长为2，17

D.若点P(a,b)在M上,则J(a—3>+(b—4>的最大值为25

【答案】BC

【解析】圆M：T2+y+6J+8?=0可化为(x+3)2+(1+4)2=25,

对于A,圆M的半径r=5,故A错误；

对于3,圆心M(—3,—4),由一3—(一4)-1=0,可得圆心在直线^一了一1=0,所以,“关于直线

①一),-1=0对称，故3正确；

对于C,圆心M到直线的距离为4=上竽1翌=22，所以直线久一〉，+3=0被M所栈得的

V1+1

弦长为2/匚了=2725^=247，故C正确；

对于D,，——3)2+(6-4)2表示圆M上的点(a力)与点(3,4)的距离，又(3,4)在圆M内，

所以，(a—3>+(b—4)，的最大值V(―3—3)2+(―4—4)2+5=15,故D错误.

故选：BC.

33.已知直线”:mi—y+2—4m=0(mWK)与圆口出+夕―2a?—24=0交于A,B两点，则()

A.圆D的面积为257cB.1过定点(4,2)

C.AABD面积的最大值为2A/而D.4V3<|AB|&10

【答案】ABD

【解析】圆Dix2+y2-2x-24=0的圆心D(l,0),半径r=5,圆的面积为兀产=25兀，故A正确；

直线，加7—》+2—4〃2=0(771€口)，即为〃2(7一4)+2—3，=0,由(：’?,解得一:，可得直