高考数学二轮总复习：定点、定线、定值及存在性问题

大题专讲第4讲定点、定线、定值及存在性问题

「考情分析」高考常以直线与圆锥曲线的位置关系为载体，以参数处理为核心，考查定点、

定线、定值、存在性问题，运算量较大，属于难题.定点问题的类型一般为直线过定点与圆

过定点等：定线问题的类型一般是证明或探究动点在定直线上.在解析几何题目中，有些几

何量与参数无关，这类问题被称为定值问题.

题型一定点问题

h核心知识I

动直线过定点问题的两大类型及解法

(1)直线过定点，常令参数的系数等于o.如直线)，=履+力，若〃为常量，则直线恒过点((),

勿；若名为常量，则直线恒过点(一£0).

(2)一般曲线过定点,把曲线方程变形为力(x,y)+3(x,y)=0a为参数).解方程组＞|一：

Ji(x,y)=0,

即得定点坐标.

(1)求椭圆C的方程；

(2)直线/：)=息+m与椭圆C交于A,B两点(4,8均不是左、右顶点)，且以线段/W为直

径的圆过椭圆。的右顶点M，求证直线/怛过定点，并求出该定点的坐标.

解：(1)依题意可得/£=近

c~a~2'

〃=8,

庐=2,

所以椭圆C的方程为1+4=1

O4

(2)设A3，巾)，BQ丁2)，

可得(1+4S)f+8%〃a+452—8=0,

且/=(86)2—4(1+4斤)(4谓一8)>0,即8标+2>〃?2,

8km4m2—8

所以加+必=1+4F'"阳=1+4,，

因为以AB为直径的圆经过点M(24L0),

所以麻•历=0,

所以（X1—2，5）（右一2啦）+力了2=0，

所以（11—2啦）（X2—2由）+（kx\+m）｛kx2+〃?）=0,

所以（F+1）xi%2+（&〃?-2y[2）（x\+处）++8—0,

所以（3+1），；4:+g，L2啦）（一]+/序+8=（）,

化简可得(5加+6「%)(〃7+2也幻=0,

解得用=一邛%或m=一2巾k,

当T时,直线/的方程为y=丘一耳或二乩工一耳习,过定点簪，0)，符合题意;

当m=-2y[2k时，直线/的方程为y=kx—2g=k(x—2g,过点M(2y[2,0),不符合题意.

综上所述，直线/恒过定点殍，0).

W(2024.福建厦门双十中学高三模拟)设抛物线C：)2=2PMp＞。)的焦点为F,已知点F

到圆氏(工+3)2+)，2=1上一点的距离的最大值为6.

(1)求抛物线C的方程;

(2)设。是坐标原点，点尸(2,4),A,8是抛物线C上异于点尸的两点，直线以，P8与)，

轴分别交于点M,M异于点0)，且。是线段MN的中点，试判断直线4/3是否经过定点.若

是，求出该定点坐标；若不是，说明理由.

解：(1)如图，点尸到圆E上一点的最大距离为g+1,即6+3)+1=6,解得〃=4,故抛

物线C的方程为尸=8工

4-in4+tn

(2)设M(0,6)，N(0，—2，则直线附的方程为)，=三一工+机，直线P8的方程为y=——

x-m,

联』:消"得户挥+舞=0，

[y2=Sx,

即。-4）9一；^=0，

因此点A的纵坐标为以=斗，代入抛物线的方程可得点A的横坐标为必=?=;7吟,

4—〃？o（4—in）

,（2/4/72、

则点A的坐标为（许产—j,

同理可得，点8的坐标为牌坊，一舞）

因此直线4B的斜率为女=9型=峪近，

XAXB"i

由直线的点斜式可得，直线AB的方程为丁+篝二不^芦口一不制可,整理，可得丁=噜

x-2,

因此直线经过定点（0,-2）.

方法归纳

圆锥曲线中解决定点问题的两种思路

（1）引进参数法：引进动点日勺坐标或动直线中系数为参数表示变化的量，再研究变化的量与参

数何时没有关系，找到定点.

（2）特殊到一般法：根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.

题型二定线问题

h核心知识I

定直线问题是证明动点在定直线上，其实质是求动点的轨迹方程，所以所用的方法即为求轨

迹方程的方法，如定义法、消参法、交轨法等.

（2024•福建福州延安中学高三第一次模拟）已知椭圆C：=1（4>/»0）的上、下顶

点分别为巴，B2,左、右顶点分别为4,A2,四边形48A2史的面积为6小，若椭圆。上

的点到右焦点的距离的最大值和最小值之和为6.

（1）求椭圆C的方程；

⑵过点（一1,0）且斜率不为。的直线/与C交于P，Q（异于4,4）两点，设直线A2P与直线

4Q交于点M,证明：点M在定直线上.

解：⑴设右焦点的坐标为尸2（c,0）,椭圆。上的一点7（〃?，〃），则一aW/Wa,

wrzr_

且°2+y一】，

则Rm,〃）到右焦点的距离

C）2+〃2

=、y-2cm+c2+万一^^

川42皿+f=愕一］,

因为一aMmWa,

所以一cW詈Wc,-c-aW詈-aWc一小

故a-cW恃-a|Wa+c,

即椭圆C上的点到右焦点的距离的最大值为a+c,最小值为a—c,

故o+c+a—c=2a=6,解得。=3.

又四边形A出4%的面积为累A?|・|3周=：X2aX2〃=2ab=砧，

故川＞=3小，所以〃=小.

故椭圆C的方程为看+9=1.

（2）证明：当过点（一1,0）的直线的斜率不存在时，直线/的方程为x+l=0,

2屈

贝UK线A2P的方程为y=—y—^（x-3）,即南线A2P的方程为），=一呼（工一3）.

同理可得，直线Ai。的方程为)，=—乎(x+3),

卜=一手(厂3)，

联立<K

［尸一邛(%+3)，

解得x=-9,

故点M在定直线x=-9上；

当过点(一1,0)的直线的斜率存在且不为0时，设直线/的方程为汇=/町-1,

工+J,

联立《95'消去工，得(562+9)产一10冲-40=0,

,x=my—1,

设尸(汨，9)，Q(%2,贝)，则)。+)'2=5；黑9,5〃售9,

两式相除，得myiy2=-4yi—4y2，

由题意可得，直线A2P的方程为)，="^^(工一3),直线AQ的方程为)，=甫手"+3),

故而当二券-3)=茄尚不善+3),

整理，得(〃中”+2月)0¥—3)=(〃少1”-4")。+3),

将wyi>f2=—49一4y2代入上式，得。“+2y2)(x+9)=0,

若S+2y2)。+9)=。恒成立，则x=-9,

故点M在定直线x=—9上.

综上所述，点M在定直线x=—9上.

方法归纳

解决定线,句题的核心在于确定动点的轨迹方程，主要方法有:

(1)待定系数法：设出含参数的直线方程，利用条件消去参数，得到系数，确定动点的坐标,

从而确定直线.

(2)设点法：设出动点的坐标，通过动点满足的条件消去参数，得到动点的轨迹方程，从而确

定直线.

题型三定值问题

L核心知识

求解定值问题的两大途径

（1）由特例得出一个值（此值一般就是定值）一证明定值：将问题转化为证明待证式与参数（某些

变量）无关.

（2）先将式子用动点坐标或动直线中的参数表示，再利用其满足的已知条件使其绝对值相等的

正负项抵消或分子、分母约分得定值.

72

（2024・山东荷泽高三模拟）已知椭圆C：，+方=13＞抗＞0）的左、右焦点分别为Fi，

点A（小，1）在椭圆C上，点3与点A关于原点对称，四边形ARAB的面积为4.

（I）求椭圆C的方程；

（2）若直线/：工一,町一〃=0与椭圆C交于P,Q两点，与x轴交于点N.试判断是否存在〃右（一

乖,黄），使得册+矗为定值？若存在，求出〃的值；若不存在，请说明理由.

解：（1）设椭圆。的焦距为2以c＞0）,

O1

依题意，得B（一小,一I）,则京=1，

因为四边形为平行四边形，所以其面积S=2X；X2CX1=4,解得C=2,

即a2—b2=4,

U+/=L解得，a=布,

联立1

力=小,

cr—b2=4,

所以椭圆。的方程为《+W=i.

On

（2）存在.

x—rny—n=0f

联立1消去x,得（"尸+3））2++,/—6=0,

6+2=b

当〃£（一加,加）时，4=4相2/-4（〃尸+3）（/—6）=12（2〃?2+6—1）＞0恒成立,

设P（X|，V），。。2，52），

2mn772—6

则#+”=>?,y2=^+3,

\PN\=yl\-\-nr\yi\,|QM=、/1+用阳,

则网+而r布隶向+制

[M+gl]1凹一同

一、l+〃p-y\y2-[1+北2-yiy2

I.A/(.yi+y2)2~4yiy2

11+浮-yiy2

I4nrrr4n2—24

|\/(用2+3厂用2+3

―、1+加2〃2—6

"F+3

2、荷-3/+]8

-、1+*,6-〃2

2/6，〃2—3〃2+]8

=----7•A/-----：--：---

1+m2

、.6-w2

6一后1+加

6—〃2

1,即〃=±2时，涡j+总同为定值造，所以〃=±2.

方法归纳

(1)求代数式为定值：依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式、化简，即

可得出定值.

(2)求点、到直线的距离为定值：利用点、到直线的距离公式得出距离的表示式，再利用题役条件

化简、变形求得.

(3)求某线段的长度为定值：利用两点间的距离公式求得线段长度的表示式，再依据条件对表

示式进行化简、变形即可求得.

题型四存在性问题

h核心知识/

圆锥曲线中的存在性问题，先假设结论成立，用待定系数法列出含相应参数的方程，若方程

有解，则探索的元素存在(或命题成7),否则不存在(或不成立).要注意的是：

(1)当条件和结论不唯一时要分类讨论；

(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；

(3)当要讨论的量能够确定时，可先确定，再证明结论符合题意.

W

是圆上任意一点，线段P8的垂直平分线与线段氏交于点Q,记点Q的轨迹为曲线C

(I)求曲线C的方程；

⑵点。在直线x=4上运动，过点。的动直线/与曲线C交于M,N两点.

①若线段上一点£满足悔=偿您，求证：当点。的坐标为(4,1)时，点七在定直线

上；

②过点M作x轴的垂线，垂足为G,设直线GN,G。的斜率分别为七，k2,当直线/过点(1,

0)时，是否存在实数九使得将=麻2?若存在，求出入的值；若不存在，请说明理由.

解：(1)由题意，知圆心A(—1，0),半径为4,且|QP|=|Q8|,\AB\=2f则|。川+|。司=|。川

-i\QP\=\PA\=4＞\AB\=2,所以点。的轨迹是以A,8为焦点的椭圆，

3

72

设曲线C的方程为，+*=1(。＞於0),

则2〃=4,2c=2,解得a=2,c=\,

所以炉=足一？=3,

所以曲线C的方程为Y+?=i.

(2)①证明：因为直线/的斜率一定存在，设直线/的方程为)，=丘+〃7,

因为点。(4,1)在直线/上，所以以+〃?=1,

y=kx-^rm.

联立，]消去H得（3+42"+8外心+4（浮-3）=0,

4=（8碗产-16（3+4玲（加-3）=48（4斤一评+3）＞0,

设MQi，yi）,Ng”），E（xo，yo）»

I8km4（/M2—3）

贝IJxi+x尸一立而，即X2=a+4小，

,\ME\_\MD\x\—xo^-x\

由|£N|一|QM'付xo—及一二

即4（»+戈2）-2X1X2=[8-（11+12）匕0，

2

则4义百—8而km—2X4｝（/n由—3r）=（（°8」+半8km或1。，

又4%+用=1,所以后）+加+3W一3=0,

又yo="o+in,所以3xo+加一3=0,

所以点E在定直线33+），-3=0上.

②因为直线过点（1,0）,

所以2+〃?=（）,直线方程为1y=依一匕

从而得0（4,3%,G（xi，0）,

由G%_u8炉4（二一3）

由①知，足十足一3+4产'为必一3+4产，

3M

4—Al

斫以竺.4一即_(4一加)(h2一攵)

’后2X2-X\3k3(X2-X|)2

4x2—4—XIM+XI

3(X2—XI)

4(^-3)8标

_412一4一赤卢+,干后一山

3k一(否f)]

(3+4^)X2-4标1

=2[(3+4^)X2-4Z:2]=2,

所以存在实数4v使得人如

方法归纳<

存在性问题的求解策略

（1）若给出问题的一些特殊关系，要探索一般规律，并能证明所得规律的正确性，通常要对已

知关系进行观察、比较、分析，然后概括出一般规律.

（2）若只给出条件，求用“不存在”“是否存在”等语句表述的问题时，一般先对结论给出肯

定的假设，然后由假设出发，结合已知条件进行推理，从而得出结论.

感悟高考

,7.

1.（2024.天津高考）已知椭圆/+方=l（a>/»0）的离心率e=],左顶点为A,下顶点为B,C

是线段。8的中点（。为坐标原点），S&ABC=..

⑴求椭圆方程：

⑵过点（0，一号的动直线与椭圆有两个交点P，Q.在J轴上是否存在点T,使得力•力W0

恒成立？若存在，求出这个点7纵坐标的取值范围；若不存在，请说明理由.

解：（1）因为椭圆的离心率e=£,

故a=2c,b=y[3c,

其中c为半焦距，

所以4(—2c,()),倒0,一小c),[0,—

故S&A8c=JX2cX3',

故。=小，所以。=25，b=3,故椭圆方程为为+]=1.

［尸质一7

可得(3+必2)f—12日一27=0,

故/=144F+108(3+4Ar)=324+576^>0,

\2k27

为十及=讦而'箝"2=一五而，

而7P=ai，yi—/)»TQ=(X2，1y2一。，

故TPTQ=X\X2+G'I-空~f)

(Xl+X2)+(|+/

=(\+Jc)XiX2—

=(1x(-右)_@+/卜丹T

-27^-27-18^-12Kz+3(|+/)+(3+2t)2lr

3+4-

［(3+2。2—|21—45］公+3©+,-27

3+4F

因为市元WO恒成立,

(3+2)-12/-45W0,

3

所以30+1-27W0,解得一

若过点(0,一施动直线的斜率不存在，

则P(0,3),0(0,一3)或P(0,-3),Q(0,3),

3

此时需一3W1W3,两者结合可得一3W4.

综上,存在〃0,，)(一3W忘|),使得力•历/0恒成立.

2.(2023•新课标II卷)已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为(一2小，0),离心率为小.

(1)求C的方程；

(2)记。的左、右顶点分别为4,A?，过点(一4,0)的直线与C的左支交于M,N两点，M在

第二象限，直线M4与附2交于点P.证明：点。在定直线上.

解：⑴设双曲线。的方程为，一齐=13＞0,沅＞0),由焦点坐标可知c=2小，

则由6=^=小可得a=2,b=yjc1—a2=4,

故C的方程为%《=1.

⑵证法一：由(1)可得4(-2,0),4(2,0),

设M(xi，＞'i),Ng儿)，

显然直线MN的斜率不为0,

所以设直线MN的方程为x=my~4f

二1I

且一5＜机〈于

y2

与，一聆=1联立可得(4〃尸一1))2—326)，+48=0,且/=64(4〃0+3)＞0,

,32m48

则M11”+及=而二？)讨=丽匚T

直线MA1的方程为)，=消卫(工+2),直线的方程为y=~^(x-2)f

联立直线MAi与直线Mb的方程可得,

x+2)，2(xi+2)以町1—2)

x—2yi(X2-2)-yi(〃少2-6)

_-2()，]+)，2)+2)，i

tnyiy2—6yi

48.32〃？「

“4〃f_]_24〃2_]+2力

=L

7_6yi

—16〃？,

--~r+2yi

4/n~-1”|

=48/〃一~=~y

W^7-6＞,1

由它=-g可得x=-1,即内＞=—1,

据此可得，点p在定直线尤=一1上.

证法二：由题意得4(-2,0),4(2,0).

设M(M，＞'i),Ng)空)，直线MN的方程为4=〃?)，一4,

V?\彳

则彳一汽=1，即4x?—＞,?=16.

如图，连接M42，

..W力才4-—16,

公仆,公啊=方工.即_2=后一4=7二"=4①

由"一若=1，得4『一＞2=]6,4[(%—2)+2]2一夕=16,

4(A—2)2+16(x-2)+16-/=16,4(工一2尸+16(工一2)一炉=0.

由x=〃?y—4,得x—2=，世一6,my—(X—2)=6,(x-2)]=1.

1Q8

4(x—2)2+16(x—2)—(x—2)]—y2=0,4(x—2)2+彳(x—2)my—](x—2)2—y2=0,

UJJ

两边同时除以(X—2)2,得

.yi,

kMAfkNAyi

2-Xi-2-X1-r

4

由根与系数的关系得kMA：,•kNA2=-y②

由①②可得或］=-3匕%・

l.MAj：V=kMA,(.r+2)=-3aA2(x+2)，

NA2)•

I47:y=k^4feA-,(x—

y=-3kNA)(x+2),

由《

y=kNA(x—2)f

解得X=-I.

所以点?在定直线”=—1上.

3.(2023•全国乙卷)已知椭圆C9十a=13»>0)的离心率是坐点A(—2,0)在C上.

（1）求C的方程；

（2）过点（一2,3）的直线交。于P,Q两点，直线AP,AQ与y轴的交点分别为M,N,证明:

线段MN的中点为定点.

7=2,4

4=3,

42=〃+C2,

解：（1）由题意可得<解得b=2,

C立

£=小,

1e—a,—32,

所以C的方程为卷+9=1.

（2）证明：由题意可知，直线PQ的斜率存在，设直线P。：y=«v+2）+3,P（xi，川），。（也,

>2），

)，=火。+2)+3,

联立方程卷+和1,

消去,y得(4炉+9)『+8M2A+3)x+16(炉+3^)=0,

则力=64/(2〃+3)2—64(4必+9)(标+3〃)=-172g40,解得R0,

」.看,8火(2攵+3)16(炉+3的

可得■©+.◎=_4M+9，项及=4六+9，

因为4-2,0),则直线AP：)，=尚b工+2),

令x=(),解得)，=焉，即M°，告9，

同理可得标制，

2)32y2

产+2十一+2_-汨+2)+3।&(8+2)+3

32=-xi+2-+~检+2

［匕［+(2攵+3)］。2+2)+［.悦2+(24+3)］(大］+2)

(xi+2)3+2)

2阮IX2+(4Z+3)(11+-2)+4(21+3)

X|X2+2(》I+X2)+4

32MF+34)弘(44+3)(22+3)„,」、

_/+9_4K+9+43+3)

16(—+3A)16M2k+3),

KT?"—KT7"+4

所以线段"N的中点是定点(0,3).

4.(2020・新高考【卷)已知椭圆C：?点=13＞。＞0)的离心率为坐，且过点A(2,1).

(1)求C的方程；

(2)点M,N在。上，且AWJ_AN,ADA.MN,。为垂足.证明：存在定点Q,使得|。。|为定

值.

〃£_立

a~2，

解：(1)由题意可得＜&+6=1,

、/=/+/,

解得“2=6,匕2=(12=3,

故椭圆C的方程为3+3=1.

o3

(2)证明：设点M(xi，a),Ng,＞»2).

因为AM_LAN,所以病•俞=0,

即(由一2)(12—2)+3—1)62—1)=0.①

当直线MN的斜率存在时，设其方程为y=6+/〃，如图1.

代入椭圆方程消去y并整理，得(1+2炉)『+452//一6=0,

4km2mJ6_

为+上=_|+2如'1+2Pz°

根据1yl=&]+〃?，)2=乂2+〃7，代入①整理，可得(3+l)X|X2+(k〃—攵—2)(.叫+汹)+(〃!—1)2

+4=0,

将②代入上式，得(S+1)普(公〃-A—2)(—线，+(6-1)2+4=0,

整埋化筒得(2攵+3〃[+1)(2上十加一1)=0,

因为4(2,1)不在直线MN上，

所以2&+6一1#0,

所以2k+3加+1=。kWL

于是MN的方程为

所以直线过定点册，-1).

当直线MN的斜率不存在时，可得Ng,如图2.

代入(国一2)(刈-2)+8—1)()，2—1)=0，得(内―2)2+1—揖=0,

结德亭L

2

解得内=2(舍去)或X|=y

此时直线MN过点£(|，一

因为4£为定值，且AAOE为直角三角形，4七为斜边，

所以AE的中点Q满足|。。|为定值(AE长度的一半*(2_|)+(l+£f=鸣.

由于4(2,1),£(|，一；)，

故由中点坐标公式可得a*1),

故存在点Q(*使得|DQ|为定值.

专题作业

中档题（占比70%）拔高题（占比30%）

题号123456

难度★★★★★★★★★★★★★★

双曲线的定椭圆的标用代入法求

双曲线的定椭圆的标准抛物线的

义，直线与准方程，椭曲线的凯迹

义、性质、方程,椭圆中标准方

双曲线的位圆中定点、方程，椭圆

对点标准方程与定点、定值、程，抛物

置关系，双定线、存在中定点、存

定点问题的存在性问题线中的定

曲线中的定性问题的在性问题的

综合的综合点问题

值问题综合综合

I.（2024.湖南衡阳第八中学高三模拟预测）已知双曲线£的中心为坐标原点，对称轴为坐标

轴，且过4（1,0）,8（3,4）两点.

⑴若双曲线£的右支上的三个不同的点尸P2,P3关于），轴的对称点分别为尸4,八，PG，

Fi，尸2分别为双曲线E的左、右焦点，试求伊1户||+伊2户||+岛为|一田4尸1|一伊5川一伊6尸1|的值；

（2）设过点7（1,1）的直线/交双曲线石于M,N两点，过“作x轴的垂线与线段AB交于点P,

点Q满足而=2崩一病，证明：直线QN过定点.

解：（1）设双曲线E的方程为a一%=1（〃>。，。>。），

显然。=1,将仅3,4）代入，得9一黄=1,

解得〃=2,即双曲线£的方程为f一弓=1.

因为双曲线£的左、右焦点分别为尸1，尸2,由双曲线的对称性可知|入居|=|。4色|，上2川=|尸5乃I，

IP3a1=1尺BI，

则俨岛|+上2川+俨3川一岛川—RBI—俨6日=0尸2|十岛川+|尸6万2|一『田|一「5尸||一『6尸||

=（『4"2|一|04人|）+（岛&|一|。5人|）+（俨6乃|一「6居|）=2。+24+2"=6.

（2）证明：易知直线/的斜率存在，设直线/的方程为,，一1=收不-1）,M3,》），Ng,力）,

易得直线A6的方程为2x-y~^2.

由恁=2成一而，得2丽=而+俞，即。是线段MQ的中点,

4xi—4—vi-V?

所以尸（即，2x[—2）,2（xi,4xi—4—yi）,于是直线QN的方程为y—yi=----------

X1入2

下证直线QN过定点（1,（））,

即证。一J二:二；一品一⑷,

即证J'2（^2-A|）=（l-八2）（4八1—4—>'11>2），

即证4(xi+X2)—4X1X2—4+y1X2—(y\+”)=0,

又y1X2+)2叫=伙叫+(1一如X2+[kX2+(1—k)]X\=2kXiX2^-(\—女)(X|+x?)，Vl+>'2=©X|+)2)+2

一2k,

故即证(5-2&)。1+也)+(2仁一4)为也+24一6=0,

y—1=A(x-1),

联立{,y2消去y,得(9-2)f+2M1一〃诉+炉-2Z+3=().

AT—"2=I,

,.,2k(k-1)

当/>0时，有M+M='&2_2，

3—2々+3

X\X2=—一，

则(5-24)(笛+X2)+(2&-4*1X2+24—6

故直线QN过定点(1,0).

2.(2024・湖北裂阳第五中学高三第四次适应性测试)已知椭圆E：，+方=1(。>〃>0)的焦距为

4<2,以椭圆E的四个顶点为顶点的四边形的周长为16.

⑴求椭圆E的标准方程；

(2)过点5(0,1)的直线/交椭圆七于P,Q两点，线段P。的中点为M.是否存在定点。，使

得掰=?若存在，求出点。的坐标：若不存在，请说明理由.

4y/a2+"=16,

a2=\2,

2c=4^2,解得

庐=4.

{cr=tr-\-c2,

所以椭圆E的标准方程为号+9=1.

⑵若存在定点。，使得嬲=；,等价于以PQ为直径的圆恒过定点D.

当直线/的斜率不存在时，以PQ为直径的圆的方程为f+产=4,①

当直线/的斜率为。时，令y=l,得x=±3,

因此，以尸Q为直径的圆的方程为『+(),—1)2=9.②

x=0,

联立①②，解得「猜测点。的坐标为(0,-2).

y=.2,

当直线/的斜率存在，且不为0时，

设直线/的方程为_)，=丘+1,

卜=履+1,

联立k+《=i,消去）’，

得（3炉+1）f+6匕-9=0,

显然/＞0.

设尸（汨，yi）,Q（X2，J2），

则片+刈――汨4―一

所以成.破=（为，V+2＞（M，”+2）

=X1X2+G1+2）。2+2）

=X|X2+（M+3）（5+3）

=（炉+1）为工2+34工1+12）+9

=（然+1）（一&）+3{-舟）+9

=0.

综上所述，存在定点0（（）,-2）,使得僧=1

3.（2024.广东广州高三模拟）己知抛物线产=2川。＞。）的焦点和椭圆方+1=1的右焦点相同，

点A,B的坐标分别为（2,-2）,（-2,0）,M是抛物线上的点，设直线AM,与抛物线

的另一交点分别为E，P.

（1）求抛物线的标准方程；

（2）求证当点M在抛物线上变动时（只要点石，P存在，旦点E与点P不重合），直线E尸恒过

定点，并求出定点坐标.

解：（1）由题意，知/=4,乂=3,

则/=/—〃=],所以椭圆的右焦点为（1,0）,

又抛物线产=2〃犬的焦点为g,0）,

所以?=1,即〃=2,

所以抛物线的标准方程为/=4x.

（2）如图所示，设M信，店），《普，》），K，,”），

由M,A,E三点共线可得病〃血L

即传一2)(〃?_yI)=(6+2］义〃」4"

化简，得“+，〃="言，所以川=8+2m

//•I乙-〃?+2.

同理，由M,B,P三点共线可得以=[.

①当》+y2=0，即〃?W±2啦时，直线"的斜率存在,

此时%>=/§=丞%=@4_____2〃?(〃?+2)

2机+8=8—/

44m〃?+2

所以直线EP的方程为厂小爷署(l*)，

2〃2(〃?+2)162/(/〃+2)82m(rn-\-2)8川+32

即尸8—苏L^X8一户+7=8—小文一^^,

，=2〃P+4/〃

整理，得方=8_〃尸(x_2)_4.

所以直线E尸恒过定点，且定点坐标为Q,—4)；

②当》+丁2=0，即〃?=±26时，直线EP的斜率不存在，此时打=孙=2,

所以直线科的方程为x=2,过点(2,-4).

综上所述，直线EP恒过定点，且定点坐标为(2,-4).

4.(2024・湖南长沙雅礼中学高三模拟)已知双曲线£一如1与直线/：)，=6+〃1它±2有唯

一的公共点M.

⑴若点N(2,9)在直线/上，求直线/的方程；

(2)过点M且与直线/垂直的直线交x轴于点A(x\,0),交y轴于点8(0,》)，是否存在定点

G,H,使得当点M在双曲线上运动时，动点P(笛，》)使得||PG|-|PH1|为定值？

2_9=1,

解：（1）因为点N（2,9）在直线/：），=日+加上，则有9=2々+机，联立户9'消去）,，

y=Li+m,

得（9—4炉]—8切?x—4〃产—36=0,

由9-43W0,得1=64好加2一4（9一4斤）（一4〃0-36）=0,

可得/n2=4k2—9,

所以（9-2攵）2=4S一9,解得左=白.

当左=,时，加=4.

所以直线/的方程为），=|v+4.

（2）由（1）可知评=4炉一9,点M的坐标为侨界，这F），即（一£，一V），

于是，过点M且与/垂直的直线为），+'=—疝+§,

可得从-祟0）,<0,-9,KT-丹

即*=-噜，v=T

于是后=曙=翳中=哪+3

"商H+我

即点P的轨迹方程为焉一焉=1。¥0）,

——

由双曲线的定义可知，存在定点G（一岑亘，0）,严!亘，0），使得当点M在双曲线上运

动时，||产GI—IPMI为定值13.

5.（2024.湖北宜荆荆随恩高三5月联考）已知椭圆C：，+\=1（〃>〃>（））的离心率为坐且。2

=4c,Fi，22分别是椭圆C的左、右焦点，直线/：x=4,P是/上的一动点，点Q在C上.

（1）求椭圆C的方程；

（2）若直线OQO为坐标原点），PQ的斜率之积为一盘平面内是否存在定点。使得尸7_1_。7

恒成立？若存在，求出点r的坐标；若不存在，说明理由；

（3）若P（4,2）,过点P的动宜线与椭圆C交「不同的两点M,N,在线段MN上取异于M,N

的点”，满足阖=牖，证明”恒在一条直线上，并求出这条直线的方程.

解：⑴由题意，得卜坐且?"=4,

解得c=2,a=2®

所以/=8,b2=a2—c2=4-,

所以椭圆。的方程般+/L

(2)设Q(xo,yo),P(4,Q

则秘=*，k。。弋，

因为直线OQ,PQ的斜率之积为一/

y（）-tyo_1

所以

即一4xoT

所以2ro，

根据对称性可知定点7存在时一定在x轴L,

设T(m,0),

则尸r=(，〃一4,1/),QT=(m—x()r~yo)>

因为P7_LQT恒成立，

所以(加一4)(〃?一M)+加)=0恒成立，

所以(m—4)(〃?-xo)+M+£高-2xo=0恒成立,

因为普+1=1,所以M+J=4,

所以(m—4)(/??—xo)+4—2xo=0恒成立，

所以加一4〃?+4+(2—m