高考数学二轮总复习：概率、统计与其他知识的综合问题

微专题5】

k概率、统计与其他知识的综合问题

概率、统计中的综合问题是考查学生应用意识的重要载体，解决此类问题首先是通过阅读题

意，获取关键信息；然后是搞清各数据、各事件之间的关系，建立适当的数学模型，把实际

问题转化为数学问题；最后是结合已有的数学知识，解决实际问题.

类型一概率、统计与数列的综合问题

(2023•新课标I卷)甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人

继续投篮，若未命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6,

乙每次投篮的命中率均为0.8.由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的

概率各为0.5.

⑴求第2次投篮的人是乙的概率；

(2)求第，•次投篮的人是甲的概率；

(3)已知：若随机变量X］服从两点分布，且P(M=1)=1—P(Xi=0)=%,i=l,2,…，小则

E0X户之@.记前〃次(即从第1次到第"次投篮)中甲投篮的次数为匕求E(Y).

t-1Ll

解：(1)记“第i次投篮的人是甲”为事件4,“第i次投篮的人是乙”为事件以，

所以P(B2)=P(482)+P(8历)

=P(4)P(&同)+P(8i)尸(&田I)

=0.5X(l-0.6)+0.5X0.8=0.6.

(2)设P(A,)=pi，依题可知，P(Bi)=1-pt，则

P(A,+1)=P(A队-।)+8A汁i)

=P(4)P(4+114)+尸彻尸(4+lift),

即Pi+i=0.6p,+(l—0.8)X(1-p,)=0.4p,+0.2,

构造等比数列{prH},

2

设Pi+i+%=5(Pi+a),

解得人=一/

则/¥"一；=

r111

又月=E，0_§=不

所以是首项为1看公比为|2的等比数列,

65

.11

即〃L十

所以Pi='x(|)

⑶因为Pi=3x(&+；,1=1,2,

所以当〃£N,时，E(K)=pi+p2H---Hp”='义+%

十3.

为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物

试验.试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验.对于两只白鼠，随机选一

只施以甲药，另一只施以乙药.一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验.当其中一种药

治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效.为

了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则

甲药得1分，乙药得一1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，

甲药得一1分；若都治愈或都未治愈，则两种药均得。分.甲、乙两种药的治愈率分别记为a

和夕，一轮试验中甲药的得分记为X.

⑴求X的分布列：

(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，p,(/=0,1,…，8)表示“甲药的累计得分为i时，

最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则po=o,P8=l，Pl=Cipi-1+bpi+cpi1(/=I>2,…，

7),其中a=P(X=-l),b=P(X=O),c=P(X=l).假设Q=0.5,B=0.8.

①证明：{“i+i—/〃}«=(),1,2,…,7)是等比数列;

②求〃4,并根据的值解释这种试验方案的合理性.

解：(1)X的所有可能取值为一1,0,1.

P(X=-1)=(1-a)夕，P(X=0)=磔+(1-«)•(1~P),

P(X=l)=a(l一0.

所以X的分布列为

X-101

P口-a)旅侬+(1一幻(1一份«(1-/?)

(2)①证明：由(1)得a=0.4,h=O.5,<?=O.1.

因此Pi=0.4口-]+0.5例+0.Ipf+1(/—1,2,•••,7),

故O13+1—p,)=0.4(/?,—p/-i),

即Pi+1—pi=^(Pi—pi-\).

又PLPo=pirO,

所以1,2,7)是首项为公比为4的等比数列.

-、，-、_,48—1

②由①可得俏=〃8—/?7+〃?一〃6+…+〃|-〃0+/?0=(〃8-0)+(/?7—〃6)+…+(〃1一〃0)=-y~/?1.

因为P8=l，故Pl=不=",

“，，，f44-11

所以〃4=(〃4—〃3)+(P3—〃2)+(P2—0)+(〃I—加)=~~~P\=257•

〃4表示甲药的累计得分为4分时，最终认为甲药比乙药更有效的概率.由计算结果可以看出,

当甲药的治愈率为().5,乙药的治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率〃4=得产0.0039,

此时得出错误结论的概率非常小，说明这种试验方案合理.

方法归纳

概率、统计与数列的交汇问题，多以概率的求解为主线，建立关于概率的递

推关系.解决此类问题的基本步骤为(1)精准定性，即明确所求概率的“事件属性”，这是确

定概率模型的依据，也是建立递推关系的准则；(2)准确建模，即通过概率的求解，建立递推

关系，转化为数列模型问题；(3)解决模型，也就是递推数列的求解，多通过构造的方法转化

为等差、等比数列的问题求解.求解过程应灵活运用数列的性质，准确应用相关公式.

类型二概率、统计与函数的综合问题

某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品做检

验，如检验出不合格品，则更换为合格品.检验时，先从这箱产品中任取20件做检验，再根

据检验结果决定是否对余下的所有产品做检验.设每件产品为不合格品的概率都为〃(0<pV

1),且各件产品是否为不合格品相互独立.

(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为./(〃)，求./Ip)的最大值点po；

⑵现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以(1)中确定的po作为〃的值.已知

每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则JL厂要对每件不合格品支付25

元的赔偿费用.

①若不对该箱余下的产品做检验，这•箱产品的检验费月与赔偿费用的和记为X,求E(X)；

②以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品做检验？

解：(1)20件产品中恰有2件不合格品的概率<p)=C%・,四1一〃严，

因此〃p)=C%［2P(1—〃严一］8PP-〃严］=2©°p(l—p严(1-10/力

令/S)=0，得〃=().1.

当〃£(0,0.1)时，f(/?)>0,

当〃£(().I,1)时，/(p)V0.

所以Ap)的最大值点po=O.1.

(2)由⑴知,po=O.1,所以〃=0.1.

①令y表示余下的180件产品中的不合格品的件数，依题意知y〜8(180,0.I),X=2OX2

+25匕即X=40+25K

所以E(X)=E(40+25y)=40+25E(r)=40+25X18()X().I=490.

②如果对这箱余下的所有产品做检验，

那么这一箱产品所需要的检验费为400元.

由于E(X)>4()0,因此应该对这箱余下的所有产品做检验.

(2021•新高考II卷)一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生

物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……，该微生物每代繁

殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，P(X

=i)=Pi(i=().1,2,3).

(1)已知P0=0.4,pi=o.3,P2=O.2,P3=O.1，求E(X);

(2)设〃表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，〃是关于X的方程：po+p逮

+〃四3=工的一个最小正实根，求证：当E(X)W1时，〃=1,当七(X)>1时，〃<1：

(3)根据你的理解，说明(2)问结论的实际含义.

解：(l)E(X)=0X0.4+1X0.3+2X0.2+3X0.1=1.

(2)证法一：设f(x)=p^+(pi—1)x+po,

因为〃3+p2+〃l+pO=।，

故7U)=P.UJ—0”+刖+〃3)x+po，

若E(X)W1,则pi+2P2+303WL

故〃2+2〃3Wpo.

fU)=3p.d+2piX—(P2+p0+〃3)，

因为八0)=—(P2+po+p3)<O，/(1)=p2+2〃3—P()W0,

易知/(X)在(一8,一端)上单调递减，

一匹+8)上单调递增，且一蓝<0

3P3’

故/(X)有两个不同零点可，如且X1<O<1WX2，且当X£(—8，X1)U(X2，+8)时，f(x)>o；

当x£(xi，X2)时，f(x)<0.

故7U)在(一8,X|),(X2，+8)上单调递增，在(即，X2)上单调递减，

若X2=l，因为人幻在(X2，+8)上单调递增，且次1)=(),

而当x£(0,题)时，

因为y(x)在3，刈)上单调递减，

故人。>穴12)=41)=0，

故1为Po+piX+pl+pw'nX的一个最小正实根；

若X2>1，因为<1)=0且7U)在(0,也)上单调递减，

故1为外+〃d+〃川+〃3=%的一个最小正实根，

综上，若£(X)W1,则p=l.

若E(X)>1,则p\I2/22I3〃3>1，故piI2P3>P°.

此时了(0)=—(P2+〃o+p3)<O,f(I)=P2+2/73—/?()>0,

故/(X)有两个不同零点处工4，且工3<。<14<1，且当X£(—8,X3)U(X4，+8)时，f(X)>O；

当工£。3,g)时，f(x)<0.

故7U)在(一8,刈)，(X|，+8)上单调递增，在(右，XI)上单调递减，

而41)=0,故於|)<0,

又人。)=仅)>。，故/(x)在(0，4)上存在一个零点p,且〃<1・

所以〃为Po+〃lx+〃2F+,初3=x的一个最小正实根，此时P<\,

故当E(X)>\时，p<\.

证法二：由题意得po+pix+p1+psx3—x=0,OWxWl,

设人%)=/%+〃工+〃2«+〃］一x,

则/(X)=PI+2〃M+3pu~—1,

设/?(x)=pi+2Pzr+BpI—1,

则/?'(x)=2〃2+6〃3X20，

所以〃(x)即/(幻单调递增.

当E(X)=pi+2P2+3〃3或1时，

/(x)W/(l)=pi+2P2+3P3—1WO,

所以/U)在［0，I］上单调递减.

因为yu)=。，所以"=i；

当E(X)=p］+2p2+3〃3>l时，

/(0)=pi-l<0,

f(I)=p।+2pi+3p3—1>0,

所以存在唯一的xo£(O，1)使/(沏)=0，

且当(Kr<xo时，/(幻<0,单调递减；

当X04V1时，/"(x)>0,段)单调递增.

因为/(O)=po>O,41)=0,

所以Am)勺(1)=(),

因为yu)在(0,.⑹上有一个零点xi,

所以〃=即<1.

(3)实际含义：若每一个该种微生物繁殖后代的平均数不超过1,则若干代必然灭绝，老繁殖

后代的平均数超过1,则若干代后灭绝的概率小于I.

方法归纳

概率、统计与函数的交汇问题，多以概率问题为解题主线，通过设置变量,

利用随机变量的概率、均值与方差的计算公式构造函数.求解时可借助二次函数的性质、函

数的单调性或导数确定最优解.解决此类问题应注意以下两点：(1)准确构造函数，利用公式

搭建函数模型时，由于随机变量的均值、方差，随机事件概率的计算中涉及变量较多，式子

较为复杂，所以准确运算化简是关键；（2）注意变量的范围，一是题中给出的范围，二是实际

问题中变量自身范围的限制.

专题作业

基础题（占比50%）中档题（占比30%）拔高题（占比20%）

题号123456

难度★★★★★★★★★★

概率、统计与概率、统计概率、统计概率、统计概率、统计概率、统计

对点一元二次不与导数的与函数的与等比数与一般数与数列求

等式的综合综合综合列的综合列的综合和的综合

1.某电台举办有奖知以竞答比赛，选手答题规则相同.日每道题自己有把握独立答对的概率

为若甲自己没有把握答对，则在规定时间内连线亲友团寻求帮助，其亲友团每道题能答对

的概率为〃（OVpVI），假设每道题答对与否互不影响.

⑴当时,

①在甲答对了某道题的条件下，求该题是甲自己答对的概率；

②甲答了4道题，计甲答对题目的个数为随机变量X,求X的数学期望£（X）：

（2）乙答对每道题的概率为永含亲友团），现甲、乙两人各答两道题，若甲答对题目的个数比乙

答对题目的个数多的概率不低于H，求甲的亲友团每道题答对的概率〃的最小值.

解：（1）①记事件A为“甲答对了某道题“，事件B为“该题是甲自己答对的”，

则P（A）=1+|x|=|,P（AB）=^,

所以P（阴4）=镯i=|=去

8

②由题意，X〜<4,|j,E（X）=4x1=1.

（2）记事件4为“甲答对了i道题“，事件©为“乙答对了i道题“，/•=（）,1,2.

其中甲答对某道题的概率为3+%=/l+p），答错某道题的概率为/〃

则P（A|）=C1•2（1+p）2（l-p）=2（l—p2）,

-]q2i

P（A2）=|J（I+P）_|=Z（I+P）2,

2i214

©=§,P(8i)=C[X‘X]=g,

所以甲答对题目的个数比乙多的概率为P（A18。U4囱U&氏）=P（4B（））+P（A2B1）+P（AM=

41

2

-十"+

E(1—〃2>§+不1+〃)29・§=%3P2+10p+7)2毋

解得2太〃VI，即甲的亲友团每道题答对的概率〃的最小值为2余

JJ

2.甲、乙两人进行象棋比赛（没有平局），采用“五局三胜”制.已知在每局比赛中，甲获胜

的概率为p，OVpVl.

⑴设甲以3：1获胜的概率为./（p）,求4〃）的最大值；

（2）记（1）中4p）取得最大值E寸的〃为加，以po作为〃的值，用X表示甲、乙两人比赛的局数,

求X的分布列和均值E（X）.

解：（1）甲以3：1获胜，则前三局中甲要胜两局败一局，第四局甲再获胜，

所以1P）=C3-p2・（I-p）.〃=3p3-3p4,OVpVl,

则/（〃）=9〃2—12〃3=3〃2（3—4〃）.

令f（p）＞0,得ov〃v*

令f（p）〈O,得（v〃vi.

所以y（p）在（o,g上单调递增，在G，I）上单调递减，

3

-

4./Ip）取得最大值，为线.

3

（2）由（1）,知〃=/%=不

由题意，知X的所有可能取值为3,4,5.

17

则-27-

P(X=3)=646416

33

©13819怎

X-+-><©

P(X=4)=dX4466

2525

P(X=5)=Cixg)xg)+Cixg)X({)端+卷备

所以X的分布列为

X345

74527

P16128128

均值E（R=3X£+4X普+5混=骸.

3.（2024•江苏南京高三模拟）为了弘扬中国优秀的传统文化，某校将举办一次剪纸比赛，共进

行5轮比赛，每轮比赛结吴互不影响.比赛规则如下：每一轮比赛中，参赛者在30分钟内完

成规定作品和创意作品各2幅，若有不少于3幅作品入选，将获得“巧手奖5轮比赛中，

至少获得4次“巧手奖”的同学将进入决赛，某同学经历多次模拟训练，指导老师从训练作

品中随机抽取规定作品和创意作品各5幅，其中有4幅规定作品和3幅创意作品符合入选标

准.

⑴从这10幅训练作品中，随机抽取规定作品和创意作品各2幅，试预测该同学在一轮比赛

中获“巧手奖”的概率；

⑵以上述两类作品各自入选的频率作为该同学参赛时每幅作品入选的概率.经指导老师对该

同学进行赛前强化训练，规定作品和创意作品入选的概率共提高了吉，以获得“巧手奖”次

数的期望为参考，试预测该同学能否进入决赛？

解：（1）由题可知，所有可能的情况有

①规定作品入选1幅，创意作品入选2幅的概率尸|=簿=会；

②规定作品入选2幅，创意作品入选1幅的概率02=^^=卷；

③规定作品入选2幅，创意作品入选2幅的概率。3='=弓，

故所求的概率为9+&+*霁

⑵设强化训练后，规定作品入选的概率为m，创意作品入选的概率为〃2，

,4,3,13

则nil“+P2=5+5+而”，

由已知可得，强化训练后该同学某一轮可获得“巧手奖”的概率为P=C办（1—2）♦C弼+G

诉,C'Ml—〃2）+C浙•C弼=2〃|〃2（〃]+/72）—3（PIP2）2=3*/）2—3（〃0）2.

3

43卷4337

-9

叶

・----N

分=52525d-

215*70

4937

故可得5<PIW元，〈而,

•••pejw芯］，

2,r

B327

3G--在--14-

令，+-4525上单调递减,

PiP2=i2J0,,-

•"⑺W]韵~3X隐+为宗

•.•该同学在5轮比赛中获得“巧手奖”的次数X〜B（5,P）,

3

-

4*4,故预测该同学不能进入决赛.

4.（2024•浙江宁波镇海中学高三适应性测试）从甲、乙、内等5人中随机地抽取三个人去做传

球训练.训练规则是确定一-人第一次将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另

外两人中的任何一人，每次必须将球传出.

（1）记甲、乙、丙三人中被抽到的人数为随机变量X,求X的分布列；

⑵若刚好抽到甲、乙、丙三个人做传球训练，且第1次由甲将球传出，记〃次传球后球在甲

手中的概率为p〃，〃=1,2,3,….

①直接写出〃1，〃2，P3的值;

②求P”+1与p“的关系式，并求

解：（1）X的所有可能取值为1,2,3,

C©3CiCj3

个=|）=育=而，P（X=2）=W=5，

所以随机变量X的分布列为

X123

331

PW510

（2）①若刚好抽到甲、乙、丙三个人做传球训练，且〃次传球后球在甲手中的概率为必，〃=1,

2,3,•,,,

2121

则有pi=o,〃2=»=5，P3=JJ=不

②记“经过〃次传球后，球在甲手中“为事件A”，40+1=A,4+1+44+1,所以P”+|=P(A,A,

+i+A”A〃+i)=P(Ai)+P(/U4〃u)=P(A〃)尸A“)+P(A〃)P(4〃闻A〃)=(l-0=

/(1—P〃)，

即Pn+1=—2〃“+],〃£N",

所以p〃+l-q=1

且PL十不

所以数歹M〃“一斗是以一;为首项，一^为公比的等比数列,

所以〃〃一3=

所以〃〃=一

即〃次传球后球在甲手中的概率是:.

5.(2024.浙江宁波高三模拟)某中学在运动会期间，举行了绳子打结计时的趣味性比赛，若现

场有〃(〃£N*)根绳子，共有2〃个绳头，每个绳头只打一次结，且每个结仅含两个绳头，所有

绳头打结完毕视为结束.

(1)当〃=3时，记随机变量X为绳子围成的圈的个数，求X的分布列与数学期望；

(2)求证：这〃根绳子恰好能围成一个圈的概率为-----方出—.

解：(1)由题意知，随机变量X的所有可能取值为I,2,3,

C1C：8

P(X=1)=ClcIcI=l5>

Ag

C!・262

P(X=2)=^p=yy=M，

AS

P(X=3)=£©==.

AS

所以x的分布列为

X123

821

P

15515

所以印O=1X卷+2X强+3X==f1.

(2)证明：不妨令绳头编号为1,2,3,4,…，2〃，可以与绳头1打结形成一个圈的绳头有

2〃一2种可能，假设绳头1与绳头3打结，那么相当于对剩下〃一1根绳子进行打结.令〃SEN')

根绳子打结后可围成一个圈的种数为期，那么经过一次打结后，剩下〃一1根绳子打结后可

围成一个圈的种数为如7,

由此可得斯=(2〃-2)斯“22,

所以；j2,a“一i

Cln-2

所以消=(2〃-2)x(2〃-4)x…x2=2”「・

显然。1=1,故斯=2"।I)!.

另一方面，对2〃个绳头进行任意2个绳头打结，打结种数

..•Ci„-2,Ca4............G

N=----------------------------：---------------------------

2〃x(2〃-1)x(2〃-2)x…＞：2xl

2”X〃!

Q〃)！

2〃・〃！.

所以这〃根绳子恰好能围成一个圈的概率.=上=2"22W-,"n\(/?-1)!

(2〃)！

2”・〃！

6.国学小组有编号为1,2,3,…，〃的〃位同学，现在有两个选择题，每人答对第一题的

21

概率为早答对第二题的概率为与每个同学的答题过程都是相互独立的，比赛规则如F：①

按编号由小到大的顺序依次进行，第1号同学开始第I轮比