广东省深圳市某中学2024-2025学年高二年级上册10月月考数学试题

广东省深圳市新安中学（集团）燕川中学2024-2025学年高二

上学期10月月考数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.直线的方向向量坐标为则直线的倾斜角为（）

B.四

2.向量AC=(夜,0,1),AO=，一3,2,则40404=

A.(0,-12,7)B.(0,12,—7)C.(2夜,-12,9)D.(-2国2,-9)

3.A={(x,y)|x+y+2=0},B={(x,y)|x-y=0},则AilB=

A.XH-1B.(―1,—i)

C.{(xo')|x=-l,y=-l)D.{(x,y)|x+y+2=0,xw-l}

4.以下说法正确的个数是（）

①平行于同一向量的向量共线.

②空间中，不以原点为起点的AB关于原点对称的向量是8A.

③正四面体任意以顶点为起点和终点构成的向量之间夹足为5

④直线/的方向向量是平面a的一个法向景〃=（0,1,0）,那么直线/与平面a所

成角为手

4

A.0B.1C.2D.3

5.圆（1-3）-+（），-4）-=25上到点1“。距离最小的点的坐标为（）

A.（0,0）B,（3,4）C.（6,8）D.+个+二

X/

6.曲线|江+（|），|-4『=1所表达的图形是（）

A.以（0以）为圆为、1为半径的圆

B.以(0,4)为圆心1为半径的圆面

C.以(0,4)为圆心1为半径的圆和以(0.4)为圆心，3为半径的圆构成的同心圆

D.以(0,4)为圆心1为半径的圆和以(0,-4)为圆心，1为半径的圆

7.直线6：5x-12y+4=0与直线/2：10X一24¥-18=0上各有一动点2、Q,那么|PQ|最小

值为()

522

A.0B.1C.—D.—

1313

8.直三棱柱ABC-AeG，底面人8c为直角三角形且=AC=A41,用。用且

可-求二面角P—48的平面角的余弦值的取值范围()

A.[0,#

二、多选题

9.(多选)若圆上的点(21)关于直线x+y=O的对称点仍在圆上，且圆的半径为石，则圆

的标准方程可能是()

A.x2+y2=5B.(x-l)2+y2=5C.x2+(y+l)2=5D.(.t-1)2+(y+1)1=5

10.空间中，已知“与〃不共线，那么“c与♦、〃共面”的充分不必要条件是()

A.存在唯----组实数4、N,使得c=+B.c=a+b

C.不存在实数丸、〃，使得。=而+〃8D.c=()

11.已知直线4：e+l)x+ay+2=0,/2：av+(l-6/)y-l=0,则()

A.乙的斜率可为任意值B.若《〃和则/二g

C.若…,则/=|D.当时，不经过第三象限

三、填空题

12.向量a=(l,0«),〃=(—l,2J),若kaLb，贝iJ〃=.

13.与直线/：6)，-3八+6=0相交于(2,0)且与直线/夹狗为夕的直线方程为_____

6

试卷第2页，共4页

14.设M(M，y),N(X2，M)为不同的两点，直线/：Ar+5y+C=。，记义=今三黑当

/LX>2+15y2+。

4=时，直线/经过A/N的中点.

四、解答题

15.在平行六面体/WC。-AB|C]£>]中，设A8=a,AD=b»AAi=c>E»尸分别是AR,

8。的中点.

⑴用向量a,b,c表示RB,EF;

(2)若DiF=xa+yb+zc,求〃尸在基｛么/“｝下的坐标.

16.在空间直角坐标系中,已知向量〃=3力,c)("cwO),点65,%*0),点P(x,y,z).

(1)若直线/经过点外，且以〃为方向向量，P是直线/上的任意一点，求证：

A--A-0_y-y()_z-zc>

abc

(2)若平面。经过点外，且以“为法向量，P是平面。内的任意一点，求证：

«(x-^)+Z>(y-y0)+42-20)=0.

17.已知VA8C的顶点43,2),边48上的中线所在直线方程为4-3>，+8=0,边4c上的高

所在直线方程为2工一丁一9二。.

⑴求顶点。的坐标；

(2)求直线3c的方程.

18.已知一条动直线3(〃7+1)X+(〃L1))，-6〃L2=0,直线/过动直线的定点P,且直线/

与x轴、)，轴的正半轴分别交于A,B两点,0为坐标原点.

⑴是否存在直线/满足下列条件：①“03的周长为12；②“0/3的面积为6.若存在，求

出直线/的方程；若不存在，请说明理由.

(2)当|24|+5依|取得最小值时，求直线/的方程.

19.如图，在三棱锥A-8C。中，平面A4O_L平面BC。，AH=AD,。为8。的中点，.OC。

是边长为1的等边三角形，且匕_伙.0=正.

A

(1)求直线C。和平面ABC所成角的正弦值；

(2)在棱人上是否存在点石，使二面角E-AC-D的大小为45。？若存在，并求出n勺值.

试卷第4页，共4页

《广东省深圳市新安中学:集团）燕川中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题》

参考答案

题号12345678910

答案ACCBADBDADBD

题号11

答案BD

1.A

【分析】先得到直线的斜率，进而得到直线的倾斜角.

【详解】直线的方向向量坐标为故直线的斜率为乎=1,

-v2

所以直线的倾斜角为。

4

故选：A

2.C

【分析】根据题意，结合空间向量坐标运算法则，准确计算，即可求解.

【详解】由向量4c=（血,OJ）,AO=生一32,

则AC—4D4=AC+4A。

故选：C.

3.C

x+y+2=0八

【分析】联立[kt。，解出即可.

【详解】联立'，八=,解得「二，故Ac3={（.3）|x=-1,），=-1},

x-y=O=（

故选：C.

4.B

【分析】①由平行向量的定义可判断；②设出坐标，分别求出其向量即可；③举反例，正四

面体的对棱垂直；④求出线面角即可.

【详解】如果两向量都与零向量平行，这两个向量不一定共线，故①错误；

设4（不丁]，4）,8（W,％/2）,则其分别关于原点对称的点为A'（F，-y,-马卜/-孙一%，一）,

答案第1页，共12页

则AB=（七一x,%一小Z2-zJ,4ZT=（一9+X，-％+y,-22+ZJ,则An=-AB=BA'

故不以原点为起点的AB关于原点对称的向量是BA，故②正确;

因正四面体的对棱垂直，故③错误；

,n-1V2B

cos/f，〃=『j“=E3=-空-,故直线/与平面。所成角的正弦值为竽，

因线面角的取值范围为［。,卦故直线/与平面。所成角町，故④错误.

故选：B

5.A

【分析】先判断点与圆的位置关系，再根据圆的几何性质即可求得.

【详解】由圆"-3『+()，-4)2=25,可得圆的圆心为。(3,4),半径15,记P，g)，

则圆心C(3,4)到点P(11)的距离|PCJ(3-/+(4-；)2_率

43V131.

显然IPCI<〃，所以点p(!，3在圆c的内部，如图：

43

根据圆的性质，圆内一点P到圆上一点最小距离对应的点在圆心C与该点夕的连线上，且

距离的最小值为半径减去该点到圆心的距离.

a44-04

又&-=7，k0c==r所以后P=koc，所以。，p，C三点共线，且

A-033-U3

4

|OC|=A/32+42=5>所以原点。在圆上.

所以圆上点。到点尸片)的距离最小.

故选：A.

答案第2页，共12页

6.D

【分析】分y之。和)Y()讨论，由圆的标准方程即可求解.

【详解】由题意有：当)■。时，=表示以(0,4)为圆心，半径为|的圆;

当)，＜0时，/+()，+4『=1,表示以(0,-4)为圆心，半径为1的圆，

故选：D.

7.B

【分析】根据两直线方程得出两直线的斜率相等，从而得出两宜线平行，则|尸。|的最小值即

为两直线间的距离，再利,用两平行直线间的距离公式计算求解.

【详解】

•・,直线/2：10x-24y-18=0,g|J/2:5x-12y-9=0,:.k2=—t

-总显然两直线不重合.

••・〃〃2,即|PQ|最小值即为两直线间的距离,

|4~(~9)|

由两平行直线间的距离公式可得”二即|PQ|最小值为1.

6+(-12『

故选：B.

8.D

【分析】建立空间直角坐标系，根据4尸=/lG与可得户(1+4-4,1),运用二面角夹角向量

法列式可得2，再根据其单调性计算即可求解.

+(1+2)-

【详解】在直三棱柱ABC-A内G中，底面A8C为直角三角形且A8=AC=A41,

所以44,1平面ABC,ABJ.AC,

以A为坐标原点，A8为X轴，4c为丁轴，AA为z轴建立如图所示空间直角坐标系,

答案第3页，共12页

设A8=AC=e=1,则A(O,O,O),C((UO)，A(O,O,1),4(1,O,1)，G(O,1』)，

因为刀尸=4G片,所以设P(x，y,l),

则4P=(X,-1,y,0),CM=(1,-1,0),

所以。一1,%0)=(儿一丸,0),解得内=1+九,=々，即*1+4—41),

AP=(l+4-/U),4c=(0,1,0),M=(0,0,1),

因为",_L平面ABC,所以平面ABC的法向量可以为M=（0,0,I），

设平面ACP的法向量为〃!=（%,%，z?），

m-AP=(l+2)x,-+z,=0

'

则'_,令々=-1，则为=0，Z2=\+Af

m-AC=>'2=0

所以根=（一1,0,1+为，

1+2

Jl+(+2)

因为—U——1>令7=1+4W(0,5

则H刈砌=店=市,

令""百’"（畤，

因为y=J6在（（J,；）上单调递减，所以/（/）在（0,；）单调递增,

t]正

当（了时，当'时，~n=5,

标26+1

所以cos(4A'〃?)

e°'T,即二面角P-AC-8的平面角的余弦值的取值范围

答案第4页，共12页

故选：D

9.AD

【分析】由题意可知圆心在直线X+），=O上，设圆心坐标为但「，，），由（2—。）2+（1+耳2=5

求得4=0或。=1,再根据圆的标准方程即可求解.

【详解】•・•圆上的点（2,1）关于直线x+y=。的对称点仍在圆上，・•・圆心在直线K+y=0上.

设圆心坐标为（〃,一。），则由（2-社+（1+〃）~=5,解得4=0或4=1,

・••圆的标准方程为（1一1）?+"+】）2=5或/+9=5.

故选：AD.

10.BD

【分析】根据充分不必要条件的概念，以及向量共面的相关知识，然后依次分析每个选项与

“c与〃、〃共面”之间的条件关系.

【详解】根据向量基本定理，如果存在唯一一组实数几、4，使得。=及1+〃〃，那么可以直

接得出c与〃、/,共面；

反之，若c与〃、〃共面，也一定存在唯一一组实数4、4,使得C=〃+W，

所以“存在唯一一组实数2、〃，使得。=2〃+池”是“c与〃、人共面”的充要条件，而不是充

分不必要条件，故A选项不符合要求；

当c=a+〃时，显然c可以由a和/）线性表示，即8与〃、人共面，所以“c=a+/?”能推出“

与〃、〃共面”；

但是当。与〃、〃共面时，c不一定就等于a+人还可能有其他的线性组合形式，

所以“c=«+ZT是与〃、方共面”的充分不必要条件，放B选项符合要求；

“不存在实数4、〃，使得。=〃+"）"，这与“c与a、b共面”是相互矛盾的关系，

即“不存在实数力、〃，使得c=M+W”能推出“c与外〃不共面”，而不是气与“、〃共面”，

所以C选项不符合要求；

因为零向量与任意向量都共面，所以c=0时，c与〃、〃共面，即"c=0''能推出"c与a、力共

面”：

反之，当c与〃、。共面时，c不一定为零向量，所以％=0”是"与。、。共面”的充分不必

要条件，故D选项符合要求.

故选：BD.

答案第5页，共12页

II.BD

【分析】由直线的斜率判断A,根据直线方程，结合直线的位置关系判断BCD.

【详解】当。工0时，直线乙的斜率为4=一且里=-1-,工-1,A错；

aa

若/|〃4，贝1"1+4)(1-4)-/=0,即/=；,经检验符合题意，B正确；

若则。3+1)+。(1一。)=0,解得4=0,C错;

易得直线〃过定点(1/)，。=0时直线方程为)=1，4=1时直线方程为X=l,

直线4不经过第三象限，斜率存在且不为。时，则有斜率左=六＜。，解得

因此有DIE确，

故选：BD.

12.0或1

【分析】由Aa_L。，根据向量垂直的坐标表示，列出方程，即可求解.

【详解】由向量。=(1。修力=(-1,2,1),可得版=化0对)，

因为可得=-1)+0X2+1X42=0,

即公一人=0,解得2=0或&=1.

故答案为：。或1.

13.x=2或%-益-2=0

【分析】先求得直线/的倾斜角，根据条件，可得所求直线的倾斜角，代入公式，即可得答

案.

【详解】由题意：直线/整理可得)，="L2G，

所以直线的斜率Z=tana=G，a为直线/的倾斜角，且。40,九)，

所以a=(,

因为所求直线与直线/夹角为g,

所以所求直线的倾斜角为£+[=[或

302366

因为所求直线过点(2,0),

答案第6页，共12页

所以所求直线的方程为x=2或＞，一0=亭（工一2）,即x=2或X—G），-2=0.

故答案为：x=2或x-6y-2=0

14.-1

【分析】将线段的中点代入直线/方程中化简即可.

【详解】线段MN的中点土守,入产），

若直线/经过MN的中点，则力・怎+巧+g.匕+几十0=0,

22

即+孙+C+Ax2+By,+C=O,

,,,Ax；+Bv,+Ci

则仅+叫+C=f故旌一「

故答案为：—1

・11

15.(l)D'B-G-b-e,EF=-a--c

(2)(^,-l-1)

【分析】(1)根据给定的平行六面体,利用空间向量的线性运算求解即得.

（2）利用给定的基底表示/）尸，再利用空间向量基本定理求出坐标.

【详解】（1）在平行六面体44CO—A4GA中，连接AC,EF,】F,BD、,如图,

EF=EA+AF=-D.A+-AC=--(AA.+AD)+-(AB+AD)

2222

22'22

1--1--i.

(2)DiF=^(D}D+DJ3)=^(-AAy+DiB)=-(-c+d-b-c)

1.1,

=—a—bf-c=xa+yb+zc,

22-

因止匕x=g,y=-^,z=-l,

答案第7页，共12页

所以£)|尸在基伯,c｝下的坐标为(；,-(-1).

16.(1)证明见解析；(2)证明见解析.

【分析】(1)根据空间向量平行的坐标表示即可证出；

(2)根据空间向量垂直的坐标表示即可证出.

【详解】(1)因为〃//4尸，^P=(x-^,y-y0fz-z0),所以凡「=力,，

gpx-xu=A^,>'->'0=2/>,2-z0=2c,因为abo/O,所以工入。二—=2.

abc

(2)因为〃_L<)P,Z=(a,b,c),4P=(x-$,)，-)，0,z-Z0),

所以。(x-3)+b(y-%)+c(z-Zo)=O.

17.(1)(1,3)

(2)4A—7y+17=0.

【分析】(1)由边AC上的高所在直线的斜率可求直线AC的斜率，已知点43,2),由点斜

式方程可得AC直线方程，乂点C也在A3边的中线上，联立方程组求解交点C的坐标即可；

(2)设点以。力)，则A8中点(等，等)在已知中线上，又点3在己知AC边的高线上,

则联立方程组可得B，再由两点式可得直线的方程.

【详解】(1)因为边4c上的面所在直线方程为24-)，-9=0,

设线AC的斜率为3则象=-1,解得攵=-

又因为直线AC过点4(3,2),

则直线AC的方程为)，-2=-；(x-3),x+2y-7=。，

乂边A8上的中线所在直线方程为x-3.y+8=O,且该直线过点C,

工一3），+8=0

所以联立〈

x+2y-7=0

解得。的坐标为(1,3).

(2)设6(岫),因为边AB上的中线所在直线方程为x-3y+8=0,

所以AB的中点(空，程)在直线工-3)，+8=0上，

且边AC上的高所在直线2x-y-9=0过顶点8,

答案第8页，共12页

2a-人-9=0＜_g

所以〃+3,b+2。z解得I：二，即B的坐标为（8,7）.

3x+8=0b=l

2------2

由（1）知。（L3）,由两点式方程得三二1二二，

7—30—1

化简得4”-7），+17=。.

即直线BC的方程为4X-7J+I7=0.

18.（1）存在，3x+4y-12=0

⑵3x+3y—10=0

【分析】（1）将直线方程化为（3x+y-6）/〃+3x-），-2=0,再根据定点满足条件列式，再设

直线/的截距式方程2+?=1（。＞0,力＞。），代入定点P,再分别表示的周长和面积,

ab

求解参数〃即可；

（2）由（1）直线/的倾斜角ae仔,小,再根据三角国数表达出|尸川+4尸同=2xC°sa—sma,

\272sinacosa

令/=cosa-sina=3cos（a+。再根据三角函数的范围与函数的单调性求解即可.

【详解】（1）3（/z7+l）x+（/z7-l）y-6//z-2=O,即（3x+y-6）/〃+3工一），-2=0,

3x+y—6=0j=—（4A

由，cc，解得3,故动直线过定点尸不2.

[3x-y-2=0\=213）

设直线/的方程为二+：=1（〃＞0,力＞0）,

ab

将P住,2）代入得;+4=1.①

\373ab

a+b+\Ja2+b2=12

由A（小0）,B（0,b）,zkAOB的周长为12,面积为6,得八，

-ab=6

[2

令。+。=八则〃2+。2=尸-24,所以/+J/-24=12,即12=〃_24，化简得24/=168,

答案第9页，共12页

解得f=7,

a+b=l4=3。=4

所以有,解得i或

ab=\2b=3

a=3。=4

其中一不满足①，〃=3满足①•

所以存在宜级/的方程为:+1=1,即3\+4），-12=0满足条件.

（2）由（1）可知直线/过定点尸［$2）,直线/与x轴、），轴的正半轴分别交于A,B两点,

所以直线/的倾斜角a乃，

所以|幺|二二一,|盟二-,

sina3cosa

所以照+3明=二-x^—=—--------=2xcosa-sina,②

2sina23cosasinacosasinacosa

令，=cosa-sina=0cosa+?）,

「（乃、”,,乃（3乃57rl（乃1,0、

因为aw1］，/，所以。-7€（彳，彳）所以cos（a+ije-1,---J,

所以/=&cos（a+?

则陷+T网=2X占=/㈣一£矶

-------------1

2t

4

因为），=、/在［-拉,-1）上为减函数，所以，一工二在卜&,-1）上为增函数，

t

4rr

故当r=-&，即。=手时，|P4|十1|P用取得最小值1+万一'.

42F7

此时直线/的方程为）—2=tan*1-g）,即3x+3y-IO=O.

19.⑴平

⑵存在，

【分析】（1）首先求得。,4C,0A,然后建立空间直角坐标系，利用向量法求得直线CO和

平面A8C所成角的止弦值.

⑵设4七二30（0«/141）,利用二面角E-BC-。的大小列方程，求得4,进而求得喘.

答案第10页，共12页

【详解】(1)分别取CB、C。的中点为八G,连结。尸、0G,

•；。为的中点，06是边长为1的等边三角形，JABC。是直角三角形，BD=2OD=2,

22

CD=1,BC=A/(«D)-(CD)=73,

•；CB、C。的中点为八G,OF//CD,OGI/BC,OFLOG,

AB=AD,。为8。的中点，：.OA1BD,

又丁平面A8DJL平面SC7),平面