第2章 一元二次函数、方程和不等式-人教A版必修第一册练习（学生版）

一元二次函数、方程和不等式

知识剖析

1不等式关系与不等式

①不等式的性质

(I)传递性：a>b,b>c=>a>c；

(2)加法法则：a>b=a+c>b+c,a>b,c>d=a+c>b+d；

(3)乘法法则：a>b,c>0=>ac>be,a>b,c<0=>ac<bc：

(4)倒数法则：Q>b,Qb>0=>-a<7b；

(5)乘方法则：a>b>0=an>bn(n6N*且n>1)；

②比较Q净大小

⑴作差法("b与。的比较)

a—/?>0—»a>b;a—/?=0—>a=b;a—b<0—>a<b

(2)作商法(三与1比较)

D

a.a

-r>1>0-»a>b;-r>1,b<0a<b

bb

2一元二次不等式及其解法

①二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系：

(以下均以Q>0为例)

函数、方程、表达式△>0△=0△<0

二次函数

y=ax2+bx+c

的图象

有两个相异实数根

一元二次方程有两个相等实数根

2

ax2+bx+c=0—b±V/?—4ac没有实数根

2=2ab

…2=一而

的根

（/<小）

一元二次不等式

2(木工-办

ax+bx+c>0{x|x<或%>x2）R

的解集

一元二次不等式

2

ax+bx+c<0{x|%i<x<x2]00

的解集

②二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系，可充分利用二

次函数图像去理解•：

③求解一元二次不等式时，利用二次函数图像思考，需要确定二次函数的开口方向，判别

式，两根的大小与不等式的解集有关，而对称轴是不会影响解集的.

3一元二次不等式的应用

(1)分式不等式的解法

解分式不等式可等价为有理整式不等式(组)求解.

由于蓝>0与ab>0均意味同号，故1>0与>0等价的；

I<0与劭<0均意味a,6异号，故?<0与必<0等价的；

可得①篇>。=>0,彩工。今f«)g(x)>。且g(x)*0.

比如E>0=(%—1)(%-2)>0;WN0=>(%-l)(x-2)>0且％-2*0.

②弟V°=f(x)g(x)v0,会式0=fMgM<°且9(幻*0.

比如E<0=>(x-1)(%-2)<0;<0=>(x-1)(/-2)<0且％—2工0.

(2)•元高次不等式的解法

①一元高次不等式通常先进行因式分解，化为(无-%1)汉-%2)...a-xn)>0(或V0)的形

式，然后用穿针引线法求解.首先保证每个因式中％的系数为正，然后从右侧画起，右他第一

个区间为正，从右向左依次正负出现，特别要注意“奇穿偶切”，“奇”(“偶”)指的是某个因式

的次数.

经典例题

【题型一】不等式性质的运用

【典题1］实数%ac满足a>b>c,则下列不等式正确的是（）

分ab2,a2b

A.a+b>cB.—<—C.a\c\>b\c\

a-cb-c

【典题2］己知Q>0,试比较?与史4的值的大小.

【典题3】已知c>l,a=Vc+1-Vc»b=\!c-Vc-1,则正确的结论是()

A.a<bB.a>bC.a=bD.a与b的大小不确定

巩固练习

1（★）已知一1VbV0,Q<0,那么下列不等式成立的是（）

A.a>ab>ab2B.ab2>ab>aC.ab>a>ab2D.ab>ab2>a

2(**)设5<L<0,则下列不等式恒成立的是()

ba

A.o,bB.<a-bC.-7+^7>2D.777<7-7

ba3b3网|a|

?(★★)已知Q,b€R,且尸=?，Q=长孚，则P、Q的关系是()

A.P>Q8.P>QC.P<QD.P<Q

4(★★)若P=+Q=VaTl+VnT7(«0),则P,Q的大小关系是()

A.P=QB.P>QC.P<QD.由Q的取值确定

§(★★★)设5=,a,b,c,dER+,则下列判断中正确的是

a+b+cb^-c+dc+d+ad+a+b

()

A.0<S<1B.1<S<2C.2<S<3D.3<S<4

【题型二】二次函数、一元二次方程与一元二次不等式的关系

【典题1】如果关于“的不等式Q/+匕x+c>0的解集为一1VXV2,则关于x的不等式

bx2-ax-c>0的解集为.

【典题2】解关于%的不等式：三二2

巩固练习

!(★)若不等式2A/+丘一1vo对一切实数》都成立，则k的取值范围为()

O

A.-3<k<0B.-3<k<0C.-3<k<0D.-3<k<Q

2(★★)若关于％的不等式/-3ax+2>0的解集为(一8,1)U(m,+8),则a+m等于()

A.-1B.1C.2D.3

?(★★)若不等式a/+2x+cV0的解集是(一8,-1)U(1,4-oo),则不等式cM—

。工0的解集是()

[一；g]&AC.[―2,3]D.[—3,2]

4(★★)【多选题】关于x的一元二次不等式/—6X+QWO(a€Z)的解集中有且仅有3个整

数，则a的取值可以是()

A.68.7C.8D.9

5(**)不等式手>一1的解集是_______.

3-X

6(**)已知不等式a/+bx+c>0的解集是｛x[a<x<6｝，a>0,则不等式c/+bx+

Q>。的解集是.

7(★★)不等式三<1的解集为"以<1或%>2],则a值是.

【题型三】求含参一元二次不等式

角度1：按二次项的系数a的符号分类，即a>0,Q=0,a<0;

解不等式a%2+(0+2)x+1>0.

角度2：按判别式的符号分类

解不等式％2+QX+4>0.

角度3：按方程的根大小分类

解不等式：x2-(a+^)x+l<0(QH0).

巩固练习

1(★★)关于“的不等式>2-(0+1)%+。<0的解集中恰有1个整数，则实数Q的取值范围

是()

A.(-1,0]U[2,3)B.[-2,-1)U(3,4]

C.[-1,0)U(2,3]D.(-2,-l)U(3,4)

2(★★)解关于％的不等式+2x+a>0.

3(★★)解关于％的不等式：2x2+ax+2>0(a6R).

4(★★★)若QeR,解关于3的不等式a/+(a+i)x+1>0.

5（★★★）关于“的不等式[ax-I）2</恰有2个整数解,求实数a的取值范围.

基本不等式

N知识剖析

1基本不等式

若a>0，匕>0,则a+b>2>fab（当且仅当Q=b时，等号成立）.

①竽叫做正数。力的算术平均数，质叫做正数。力的几何平均数.

②基本不等式的几何证明

------------b-------（（当点D、。重合，即a=b时，取到等号）

③运用基本不等式求解最值时，牢记：一正，二定，三等.

-正指的是">0；二定指的是。匕是个定值，三等指的是不等式中取到等号.

2基本不等式及其变形

_2_<。（当且仅当a=b时等号成立）

（调和均值三几何均值式算术均值4平方均值）

以上不等式把常见的二元关系（倒数和，乘积，和，平方和）联系起来，我们要清楚它们在

求最值中的作用.

®a+b>2\[ab,积定求和；

②abW（苫^），和定求积：

③小+炉之誓1（联系了a+b与平方和小+产）

2

@ab<a（联系了Q力与平方和Q2+b）

3对勾函数

①概念形如、=%+?（。）0）的函数.

②图像

③性质

函数图像关于原点对称，

在第一象限中，当OvxvVH时，函数递减，当工AVH时，函数递增.

®与基本不等式的关系

由图很明显得知当X>0时，X=时取到最小值%nin=26，

其与基本不等式％+^>2lx=2>Ja(%=时取到最小值)是一致的.

经典例题

【题型一】对基本不等式“一正，二定，三等”的理解

情况1一正：a>0,b>0

求函数y=%+：(%<0)的最值.

情况2二定：ab定值

求函数y=x+^-(x>1)的最值.

情况3三等：取到等号

求函数y=焉的最值.

【题型二】基本不等式运用的常见方法

方法1直接法

【典题1】设%>U、y>l).z>U,则三个数;+4y、j+4z、+4x()

人都大于4B.至少有一个大于4

C.至少有一个不小于4D.至少有一个不大于4

【典题2］设％>0,y>0,下列不等式中等号能成立的有()

①(x+;)(y+;)>4：②(x+7)(;+;)>4；

③送“：④、+y+焉"；

A.1个B.2个C.3个D.4个

【典题3］已知实数a,b满足立>。，则六一岛的最大值为——,

方法2凑项法

【典题1】若%>1,则函数y=4x+£的最小值为,

【典题2】若%>1,则"+工+工的最小值是.

【典题3］设a>b>0,则ab+/+舟&的最小值是

方法3凑系数

【典题I】若0<aV(则以1—2。)的最大值是

【典题2】已知Q/为正数，4a2+〃=7,贝bar9的最大值为.

方法4巧“1”法

【典题1】已知%>0,y>0,x+y=2,则近+近的最大值是,

【典题2】已知%>0,y>0,且=+；=2,则x+2y的最小值是,

【典题3】设a>2,b>0,若a+b=3,则为+加最小值为

方法5换元法

【典题。若”>1,则>=品的最大值为

【典题1】若a,b£R*,a+b=l,则Ja+[+Jb+：的最大值

【典题2】设a、b是正实数，且a+26=2,则=+黑的最小值是

a+12b4-1

方法6不等式法

【典题1】已知Q/£(0,+8),且1+=二2，贝必+b的取值范围是.

【典题2］已知2a+b+2ab=3,a>0,b>0,则2a+b的取值范围是

巩固练习

1(★★)已知a+b+c=2,则ab+be+ca与2的比较.

2(★★)已知x,yER+,若％+y+xy=8,则无y的最大值为.

3(**)若x,yeR+,且:+：=5,则3x+4y的最小值是.

4(★★)函数y=弓学。>2)的最小值为.

5(**)已知实数a、bfab>0,则Ze%/：的最大值为.

6(★★)［多选题］下列说法正确的是()

力.x+；Q>0)的最小值是2B.的最小值是近

C.芸的最小值是2D,2-3%-?的最大值是2-4百

7(★★★)［多选题］设a>0,b>0,且a+2b=4,则下列结论正确的是()

A.的最小值为&B.2+：的最小值为2

abab

C.的最小值为：D.3+公〉张成立

ab4a+1b+17

若实数m,n>0.满足2m+?i=l,以卜,选项中正确的有()

A.mn的最小值为:B.工+工的最小值为4a

C.-J+白的