福建省莆田市2025-2026学年高三年级上册月考（二）数学考试卷

福建省莆田市莆田第一中学2025-2026学年高三上学期月考（二）

数学考试卷

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.命题：“Dx>0,e'>l"的否定是（）

A.Vx>0,eT<IB.V.v<0,eT<1C.Hr>0,cr<1D.3x<0,er<1

2.已知集合4={y|y=sinx},4={x|OW2兀},则（）

A.0B.[-U]C.[0,1]D.[1,2]

3.函数），=（2'-2-小由工在区间一与楙上的图象大致为（）

4.如图所示，一船向正北方向航行，当航行到4点时，看见正西方向有两个相距10海里的

灯塔。和。恰好与船在一条直线上，继续航行1小时到4A点后，看见灯塔。在船的南偏

西60"方向上，灯塔D在船的南偏西75方向上，则这艘船的速度是（）

A.5海里/时B.5上海里/时C.10海里/时D.1（）石海里/时

5.若函数/。）二辰-e'在（1,y）上存在最值，则实数々的取值范围为

A.(%+8)B.(TO,—e]

C.(2^,+oo)D.(-oo,-2el

3

6.己知sin(a+〃)=m，iana=2tan尸，则sin(a-0=()

D.3

A.4cI5

7.已知函数/(x)=cos(@r+°)(fW>O,OK0W7r)是奇函数,x是），=/（力图象的一条对

，且/（丫）在区间（0*）上单调，则。的可能取值有（

称轴

A.1个B.2个C.6个D.无数个

8.定义在R上的函数/（"的图象关于点对称，且有〃x）=2/《），当0。1＜与41

U2

（

时，恒有/（芭）4/（毛），则）院卜)

I

BC.D

-i32-A

二、多选题

9.设小Z2为复数，则下列说法一定正确的是（）

A.4+4wRB.z；=|z/

D.若马,马均为纯虚数，则3为实数

C.z+z=z+z,

l2lZ2

10.设函数/(X)=(X-1)2(X—4),贝lj()

A.x=l是」是）的极小值点

B./(2+X)+/(2-A)=-4

C.不等式-4</(2x-l)<0的解集为{x[l<x<2}

D.当时，/(siiiv)>/(sin2x)

11.在VA8C中，已知4cns8+3sin8+4sin(C-A)=9,AC=6,则()

A.A>BB.C>A

C.AB=2BCD.VA8C的面积为12

三、填空题

试卷第2页，共4页

91

12.若且a+Z?=l,则一+7的最小值为______.

ab

13.写出与曲线y=e*-l和y=lnx+l都相切直线的方程：,.(写出两条

直线的方程)

14.关于x的方程e，+"=2(力>0且人士1)有唯一实数解，其中e为自然对数的底数，则

实数〃的取值范围是.

四、解答题

15.江苏城市足球联赛(俗称“苏超”)火爆出圈，某城市文旅部门推出“看球赛抽奖品”活动，

到该城市观看比赛的球迷可抽奖获得纪念品.规则如下：抽奖3次，每次抽中纪念品的概率

均为g.若前2次未抽中纪念品，则第3次无论抽中与否均获得纪念品.

(I)求某球迷恰好获得1个纪念品的概率：

⑵记大为某球迷获得第1个纪念品时的抽奖次数，求x的数学期望E(x).

16.在VABC中，角4,B,C的对边分别为〃，b,c,且acos4+(〃+2c)cosA=0.

⑴求4

⑵若点。在边8c上，BD=2DC,AO=2,c=2b,求VA8C的面积.

17.已知函数/(x)=x-Hnx-l(aeR).

⑴讨论“X)在区间(1，e)内极值点的个数；

⑵若“X)在区间(1,芹)内有零点f,求证：1<人

18.在平面四边形A8CD中，AB±AD,ZADC=4Z4CD=120,CD=2,VA8C的面积为

3x/J,将△A4O沿8。翻?斤至△P8Z),其中。为动点.

(I)证明：三棱锥尸-68外接球的体积为定值；

(2)当点。到平面04。的距离为亚，求直线总与直线CO所成角的余弦值.

3

19.已知函数/(x)=sin(3+0)3>0，S|<S),满足/(£)=/(如—/(当且/J)在区间

2424

上无极值点.

⑴求了(X)的单调递减区间;

⑵当+时，设1/(%)-/(七)1的最大值为尸⑺，求尸”)的值域；

(3)把曲线y=/(x)向左平移三个单位，再把曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标

O

不变.得到曲线)，=SM.设函数W(x)=(x-A)g(x)(keR),将w(x)在区间(--^,+co)上的极值

点按从小到大的顺序排列成数列｛相｝.若。(X)+M.G)=O,求实数k的值.

试卷第4页，共4页

《福建省莆田市莆田第一中学2025-2026学年高三上学期月考(二)数学考试卷》参考答

案

题号12345678910

答案CCDAABBBACDBD

题号11

答案BCD

1.C

【分析】结合全称量词命题的否定直接得出结果.

【详解】命题“Vx>0,的否定为

“小>0,e”l”.

故选：C

2.C

【分析】根据正弦函数的值域，结合交集的运算法则，即可得答案.

【详解】因为)，=sinxe[-1,1],

所以A=

所以Ac"={XO«xKl}.

故选：C

3.D

【分析】利用函数的奇偶性，排除两个选项，再利用/(())=()得解.

【详解】二+需],令/(%)=(2，-2一》而工

/(t)=(2-x-2)sin(-x1=(2'-2-')•sin.r=f(x),

则/(x)是偶函数，选项A,B是不正确的；

又因为/(0)=0,所以C不正确.

故选：D

4.A

【分析】依题意有8=C4=10,在中，求得48=5,从而求得速度.

【详解】依题意有/34C=60,NBAD=75,NC4。=NC£)A=15，

从而CD=C4=10,在RtZXABC中，求得A8=5,

答案第1页，共15页

二•这艘船的速度是：=5(海里/时).

故选：A

5.A

【分析】首先求得导函数的解析式，然后分类讨论女W0和4>0两种情况即可确定实数k的

取值范围.

【详解】由题可得r(x)=A-e\

当心0时，尸(幻=氏-1<0,函数/J)在(1,2)上单调递减，不存在最值；

当攵>0时，令r(x)=&-e'=(),可得x=lnM

易得函数在(y>/nk)上单调递增，在(Ink,+co)上单调递减,

若函数=在(l,+oo)上存在最值,则Ink>1,即攵,e,

所以实数k的取值范围为［e，+8),

故选A.

【点睛】本题主要考查导函数研究函数的单调性，导函数研究函数的最值等知识，意在考杳

学生的转化能力和计算求解能力.

6.B

【分析】先切化弦，得到sinacos〃=2cosasin〃，再结合两角和与差的正弦公式可求值.

sinasin

［详解］由tana=2tan/?=>----=2------=>sin<2cosp=2coscysinp.

cosacosP

33

由sin（（z+/?）=-=sinacos/y+cosasinp=-.

55

2

.介,3sinacos=—

sinacosp+cosasinPn=~5

sinacos/?=2cosasin，cosasin=-

2ii

所以sin（a-/7）=sincircos/?-cosGfsin/?=.

故选：B

7.B

【分析】结合题意，根据余弦函数的奇偶性、对称性、单调性求解即可.

【详解】因为函数/(X)=COS(3T+0)W>O,OM0K7t)是奇函数,

答案第2页，共15页

所以O=]+eZ,而04。4兀，则>=,

此时.f(x)=cost<yx+yl=-sin69X,

由X=:是y=/(-V)图象的一条对称轴,

所以2&=¥+E,&eZ,则。=2+4&#eZ,

42

又〃刈在区间(06)上单调，则'[=/，即0＜近6,则3=2或6,

当勿=2时，/(x)=-sin2.r,

由xe((哈〉则2xc[()弓)，因为函数)=sinx在(0,：)上单调递增,

所以尸sin2x在(06)上单调递增，

即〃x)=-sin2x在。目上单调递减，满足题意；

当①=6时，/(x)=-sin6x,

由xe(0后)，则6.臼引，因为函数)，=sinx在(0,外上单调递增，

所以)，=sin6x在(0*)上单调递增，

即/(x)=-sin6x在(0*)上单调递减，满足题意.

综上所述，3=2或6.

故选：B.

8.B

【分析1赋值得到"0)=0,由对称性可得〃x)+/(l—x)=l,令x=0得/⑴=L又

川)=2｛｝所以/g)=g,求出吗)!故当*弓时，恒有小)毛，其中

/岛卜M焉｝故/焉=制咕

【详解】〃x)=2f]£|中，令x=0得〃0)=2〃0),故"0)=0,

因为函数“X)的图象关于点(gq)对称，所以/(x)+〃l-x)=l,

令x=0得/(0)+/(1)=1,所以/⑴=1,

答案第3页，共15页

又川『吗),所以也卜？

在/("+/(lr)=l中，令x=g得2/(£|=1,故/(；)=；，

所以唱

当04百＜/41时,恒有故当gwxK；时，恒有/(x)=g.

又八%)=2噌)，故小)十(34

甘।/111/311/3?1

ILt।f-----=—f-----=—f\-----=

1675J2(675J221^675)

其中:《工工!，故/

—~X—=---

3675225264,

故选：B

9.ACD

【分析】利用共辗复数的意义、复数模的意义，结合复数运算逐项判断.

【详解】设马=4+4i，4，NeR,z2=a2+b^fa21b2eR,

对于A,Zj=a}-b]i,则4+4=2«,wR,A正确；

对于B,取马甘，则z；=-l,|zj=l,z：于Z.F,B错误;

对于C,马+z2=(q+,i)+他+b2i)=(a}+生)+(4+4)i=(4+4)-(4+%)i，

Zi+马=(4-卬)+(4-b2i)=(a]+«2)—(伪+H)i,则zl+z2=zl+z2,C正确;

对于D,由z「z,均为纯虚数，得4=如4wR，A工()，z2=/?2i,/?2GR,/?2^O,

A更4

则-E-4-

2

故2

i2t::D

AC

10.BD

【分析】对于A：求导，利用导数判断/(力的单调性和极值；

对于B：根据解析式代入运算即可：对于C：取特值检验即可；

对于D：分析可得0<sin2x<sinx<l,结合/(力的单调性分析判断.

【详解】对于选项A：因为的定义域为R,

答案第4页，共15页

且/(c)=2(x-l)(x-4)+(x-1)=3(x-l)(x-3),

当xe(l,3)时，/z(x)<0；当xe(y,l)或xe(3,田)时，/z(x)>0；

可知/(“在(-8,1),(3,-⑹上单调递增，在(1,3)上单调递减,

所以x=l是函数“X)的极大值点，故A错误；

对于选项B：因为/(2+“+/(2—x)=(x+l)2(x-2)+(1—X)2(T-2)=T,故B正确；

对于选项C：对于不等式T<〃2]-1)<(),

,7、25Qo

因为/-即X为不等式T<f(2x7)<。的解，但x任(1,2),

所以不等式7</(2x-l)<0的解集不为{x|l<x<2},故C错误；

对于选项D：因为0<x<2，则。<sinx<l,

Ksinx-sin2x=sinx(1-sinx)>0,nJWO<sin2x<sinA<H

因为函数/(x)在(0,1)上单调递增，所以/(sinx)>八sin%),故D正确；

故选：BD.

11.BCD

4

【分析】对于A,通过辅助角公式将等式化为5sin(8+8)+4sin(C-A)=9,其中ian°=；,

得sin(8+e)=sin(C-A)=l,故8+8=C-A=]可求UmA」an8,lanC,再根据正切函数的

单调性即可判断A、B；对于C,由正弦定理并结合选项A即可；对于D,由三角形的面积

公式即可求解.

【详解】对于A,因为4cosB+3sinB+4sin(C-A)=9,

34

所以5(qsinB+《cosB)+4sin(C-A)=9,

.344

即5sin(8+Q)+4sin(C-A)=9,其中coso=-,sin0=一,ian0二一,

553

故sin(B+p)=sin(C-A)=l,

因为A8,Cw(0,兀),4+8+。=冗，

所以B+o=C—A=],

所以B+0+C-4=TT,又A+B+C=7t,

答案第5页，共15页

两式相减可得：e=2A,且0<2A<W，

.兀43

所以tanQ=ian(—B)=一,cos24=-,

235

3

即tanB=

4

由cos2A=二，可得1一2©1?4=二，

55

HT为.A后A2不

口」得：sinA=—,cosA=---,

55

“21―/,2tanA+tan2?八

所以tan44=—,tanC=-tan(4+8)=-------------=-2,

21-tan/ttanB

所以7i>C>4,0<A<^,0<B<二,

222

因为f(x)=tanx在(0,1)单调递增,

所以4>A,C>At故A错误，B正确；

对于C,由同角关系得sinA=@,sinBuO.sinCur1^.

555

26

/•sinc

所以由正弦定理得标=一=一==+=2,即A8=28C,故C正确；

BCasinAJ5

5

AC_—in_oi?

对于D,因为AC=6,由正弦定理得而万一3一，

5

由正弦定理得&=2R=10=a=2后，

sinA

所以VABC的面积为SABC=^absinC=；x2后x6x^^=12,故D正确.

故选：BCD.

12.16

【分析】利用基本不等式“1的妙用”即可求解，注意取等条件.

【详解】因为八0/>0,且a+〃=l,

「「E91(91L八9ba”、、c19ba

ab\ab)abvab

当且仅当次=:，即。=［力=!时等号成立，

ab44

故答案为：16.

13.广彳y=ex-\

答案第6页，共15页

【分析】设出切点，利用切点求出切线方程，联立方程求出切点处的值，代入求出切线方程.

【详解】因为y=e'—l,y=hu+l,所以)，'=e，，)，'=，,

x

设直线/与曲线y=ev-1和y=山+1分别切于点(X-1),(9,In9+1),

r,

所以切线方程分别为y=炉(x-x,)+e-1,y=-(x-x2)+\nx2+\f

Bpy=ex'x-=+ex,-1,y=—x+ln^,

・,[2

1

因此Ct'=一,则$=一垢工2，

X2

又一内已"+e**-1=Inx2,

所以一为炉+e*'-1=Inx,•—+--1=Inx,,

一Z

(1、

化简得(1+lnxJ---1=0,

\A2J

解得w=,或±二1，

e

当占=1时，切线方程为y=er-l,

.e

当占=1时，切线方程为)'=二

故答案为：y=x,y=cx-1.

14.或人」

e

【分析】构造/a)=e'+〃，易知x=0是方程e、+//=2的唯一解.，应用分类讨论，利用导

数研究/0)的单调性、最值，结合/(。)=2研究方程根的个数，即可得范围.

【详解】令/(x)=e、+〃，显然八0)=2,易知x=0是方程e、+〃=2的唯一解，

由r(x)=e*+Z/lnb,令g(x)=/'(x),则g<x)=e*Z?>0,

当b>l,即In力>0,贝\，(劝>0,故/(x)在R上单调递增，满足题设；

当0v。v1时f'M=bx[(1)x+lnZ>]K|>e,此时训eR使得八%)=。,

所以xe(-co,x0)上f\x)<0,则f(x)在(-00,%)上单调递减,

xe(%,+<»)上f(x)>0,则/(x)在(小,+8)上单调递增，

所以=/(&),又Xf±PO时f(x)f-KO,

答案第7页，共15页

当天=0时，r（0）=l+ln）=0nA=；,满足题设；

当3＞0时,/U0）＜/（0）=2,则肛£（%+◎使“百）=2,故方程有两个解,不满足题设:

当事＜0时,/（x0）＜/（0）=2,则加w（-oo〃）使f（.）=2,故方程有两个解,不满足题设;

综上，或A=L

e

故答案为：＞1或6=1

e

15.⑴；

可

【分析】（1）记3为“恰好获得1个纪念品”，列出事件8包含的子事件，求出这些子事件

的概率再求和即可；

（2）据题意得到x的可能值并求对应事件的概率，求x的分布列，冉根据期望公式计算

即得.

【详解】（1）设每次抽中纪念品为事件A，未抽中为事件，且P（A）=；,P（A）=1.

记8为“恰好获得1个纪念品”，则有以下可能情况：

第1次中，第2次未中，第3次未中："P（A）P®咿）=9入：=：；

222o

第1次未中，第2次中，第3次未中：E=P（A）P（A）P（A）=lxlxl=l.

222o

第1、2两次均未中，则第3次必得：/＞=P（A）P（A）=lxl=l;

所以尸（8）=R+R+6=:+（+：=；.

co4Z

（2）记x为某球迷获得第1个纪念品时的抽奖次数，则x的可能取值为1,2,3.

P（x=l）=P（A）=1；

P（X=2）=P®P（4）=1X；=；；

人14

尸（A3）=尸（孙尸（力/《

分布列

X123

答案第8页，共15页

\_

P

244

I117

£(x)=lxl+2x-+3x-=-.

'/2444

16.(1号

⑵述

2

【分析】(1)由正弦定理边化角可得，sinAcosB+(sin3+2sinC)cosA=0,然后化简即可

得出8s4=-：.根据A的范围即可得出答案；

(2)设CD=x，则8。=2"，然后在.,4)8和△AOC中，根据余弦定理推得从=/十？.在

VABC中，由余弦定理可得9/=7乩联立可解得〃=3,c=M=6,然后根据面积公式即可

得出答案.

【详解】(1)由正弦定理边化角可得，sinAcos^4-(sin3+2sinC)cosA=0,

整理可得，sin(A+8)+2sinCcosA=0.

因为sin（A+8）=sin（7t-C）=sinC,sinC*0,

所以有2cosA+l=0,

所以cos4=-L

2

9jr

因为0<Av兀，所以4

（2）

设CO=x,贝jlQ=2x,

2

人Ar^nrh十八〜AD+BD--AB-4+4/-/

在jADB中，有cosNADB=----------------------=--------------

2ADxBD8x

2,2

力Ac「k七/AAD+CD*-AC~4+x-b~

在/A\ADC中，有cosZ.ADC=----------------------=-------------

2ADxCD4x

又NADB+NAZX?=兀，所以85/4。8=-0»；/4£）。，

所以有。2=6/-2从+12.

答案第9页，共15页

又c=2b,所以6=V+2.

在NABC中，由余弦定理可得/=b2+c2-2bccosA.

又a=3x,c=2b,A=—f

所以有9X2=/+4//—4〃X一斗7〃.

<2)

联立,c,2»解得卜；g，所以c=2Z，=6,

9x2=lb-Z>=3

LcsinA」x3x6x4迈

所以，S

ABC2222

17.(1)答案见解析

⑵证明见解析

【分析】(1)求导，分。。和a>l两种情况讨论求解即可.

(2)结合(1),当时显然在区间(1,内)内无零点，当a>l时，构造函数

g(x)=V-2xlnx—1(%>I)并研为己其单调，性即可求证.

【详解】(1)由/(x)=x-alru-l,xe(l,+co),

则八幻=1'=土4

XX

若当xe(l,xo)时，/'*)>0恒成立，

则函数/(x)在(1,+8)上单调递增，无极值点；

若a>l,当xw(l,a)时,r(x)<0,函数在(l,a)上单调递减，

当xw(a,+oo)时，./(x)>0,函数/(x)在3”)上单调递增，

因此x=。为fM的极小值点，且fM无极大值点.

综上所述，当。。时，户了)在(l,xo)内的极值点个数为0；

当a>l时，/a)在(1,+8)内的极值点个数为1.

(2)由(1)知当―41时,函数/J)在(I,+8)上单调递增，

因此/(x)>/(1)=0,函数/(%)在(1,+8)内无零点；

当"I时，Ax)的单调递减区间为(La),单调递增区间为3,xo),

则/⑷</(1)=0,

若f(x)在区间(1,+00)内有零点t,fiijre(a,+a>),

ffnf(d2)=a2-2«ln«-1,设/(x)=/-2xlnx-1(x>1),

则$(x)=2x-2(l+Inx)=2(x-1-lnjv),

答案第10页，共15页

设h(x)=2(x-1-lnx)(A>1),

则/«x)=2(l—讣写^>0,

所以函数力(x)在(1,”)上单调递增，

于是〃*)>的)=0,即是刈>0,

则函数冢x)在(1，位)上单调递增，

所以以〃)>/1)=0,即/(")>0,又/。)=0,所以

18.(1)证明见解析

Q)与或B

63

【分析】(1)由题意可得出中点/为外接球的球心，得出球半径即可证明；

(2)根据△A8D向上翻折、向卜翻折分类讨论，建立空间直角坐标系利用向量法求解.

【详解】（1）由题，/CAD=/ADC-/ACD=30.则/。//乂〃一/OV）=60,

CDAC

在.人6内，由正弦定理得解得AC=2月,

sinzfCADsin/ADC

又54比=:八8人以皿/。八8,解得43=26，

故VA8C为正三角形，XACB=60,NDCB=ZACD+ZACB=9。，

解三角形知次＞=2,BC=BA=26,AD=CD=2,

取8。中点尸，由于△A8D和△BCD是以8。为斜边的直角三角形，

故AF=BF=CF=DF,即翻折后在三棱锥尸—8CO中，PF=BF=CF=DF,

根据外接球定义：外接球的球心到多面体各个顶点的距离相等，

所以点F即为三棱锥P-BCZ)外接球球心，

4c32

所以外接球半径R='=8/=b=。尸=2,体积丫=3兀内=5兀为定值.

(2)显然点C在面04。上的投影不在直线40上，

答案第11页，共15页

(/)当△ABD向上翻折

2"

设点C在面尸8。上的投影为点E,则CE

3

且CEL面PBD,又。E,EP,跖u面夕以），则CE_LOE,CELPE,CE1EF,

所以QE=J。。、a=巫，FE=SC2-CE2=空，

33

则cos/。箱二贮金上]_

2DEFE2

又/力石/c(0」80),所以/£＞所=120,

贝1」/石。/=/石尸。=30，所以NPDE=NPDB-NEDF=30，

同理可知NPFE=30，

所以c°sNPFE=上3*=立,解得P£=迈，

2PFFE23

因为PE=DE,CE=CE,NCEP=NCED,

所以.CEPmCED,故CP=CD=2.

所以四面体CFO为正四面体，点P在平面BCD的投影。位于正VC£下的中心.

以。为原点，CD为r轴，C8为丁轴，z轴平行于直线。"建立空间直角位标系，如图,

(n)当△AB。向下翻折，设此时点A翻折至产，

则平面BZ)户所在平面与H)中平面所在平面相同,

答案第12页，共15页

旦点?与点尸关于直线8D对称,

连接尸P',PP与BD的交点H为线段PP中点,

4G_2⑹

所以3P=23H-8P=h,F

,_一|胪.c©c

故cos。,=cos/W,C0=1।j,

~1।8川53

综上所述，直线心与直线CZ）所成角的余弦值为，或巫.

63

。*7

19.(1)［—+—+/nc)(wGZ)；

88

⑵［1-日,应］;

⑶A噎

【分析】（1）根据给定条件，求出函数八刈图象的对祢轴及对称中心，进而确定出函数的

周期，求出函数解析式及单调递减区间.

（2）由（1）的信息,按函数2）图象的对称轴与区间”"系的关系,结合正弦函数图象

特征及和差角的正弦公式求出函数产⑺的值域.

（3）由（1）的信息，求出函数以幻，利用求导分析函数的极值点，进而求出实数小勺值.

【详解】（1）依题设，直知=称是函数八a图象的一条对称轴，点亭0）是函数/（x）图

oO

象的一个对称中心,

则函数/（X）的最小正周期7满足（24+1）7=4浮-期）=兀就讣，解得［白温小，

oo2k+1

由函数/（X）在弓苧上无极值点，得函数在除净上单调，则《吟，即丁吟

冗解得勺=0,T=n,从而&=与=2,

于是2勺+1

,—37tTC)7t..c.7t7t

tzriKHK

由2­—+g)=—+k2n^K2GZ,得尹=——+2.2GZ,乂10|<5，(P=——,

北兀

函数/(x)=sin(2x-Z),由二TT+2〃7rK2x-¥«」3+2〃7t,〃eZ,得3」TL+〃兀《_¥4」77c+〃兀,〃eZ,

424288

所以函数/。)的单调递减区间为［萼+m?+〃兀］(〃eZ).

OO

7T

⑵依题意,函数/⑴的值域是函数人为在上,+/」•,最大值与最小值之差的取值范围,

若函数小）图象的对称轴在山+白内，不妨设对称轴I号在