湖北省武汉市某中学2025-2026学年高一年级上册十二月月考数学试卷（含答案）

湖北省武昌实验中学高一年级十二月月考

数学试卷

命题教师：高一数学组

考试时间：2025年12月22日14:00—16:00

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分,在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1.已知点（见8）在基函数〃x）=（根T）x"的图像上，则〃"二（）

A.-B.-C.8D.9

98

I1

2.化简[（一百）-2]3+陛25-10821（）的值得（）

A.-10B.-8C.10D.8

3.在n=log（m3乂6—m）中，实数m的取值范围是

A.m>6或m<3B.3<m<6

C3<m<4或4vm<6D.4<m<5

4.不数y=log2（d-〃x+2a）在（l,+8）上单调递增，则实数。的取值范围（）

A.[-1,2]B.（-1,2]C.（一吗2]D.⑵y）

5.若函数〃柒）=14+（2，—1）2有最小值，则/的取值范围是（）

A.B.

6.函数〃加符j的图象大致为（）

c.»D.__,

77知函数/(x)=唾之("J+1-2x),若〃=((),/?=log812,c=lg15.则()

A.f(a)v/(c)</(〃)B./(/?)</(c)</(«)

C./(〃)</(〃)v/(c)D./(c)</(0)</(a)

8.设孙电分别是函数f(x)=x-1和g(x)=Hog/T的零点，其中〃>1，则X+81/的取值范围

是()

A.(81,+e)B.(82,+8)C.[18,+<x>)D.(18,+8)

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，有选错的得。分，部分选对的得部分分.

9.下列运算中正确的是()

lOg8——13

A-43？二啕5B.晤.右第

11(\丫*7

c若a+aT=14,则〃夏+〃W=3D-I-I+ln(lne)=7

10.已知函数〃X)=X+log25J1，下列选项正确的有()

A/(x)=/(-x)+x

B./(2025)>/(2026)

C函数〃力有唯一零点

D.不等式/(x)<-3的解集为(-8,一嗅27)

11.已知函数/(x)=|一'+以,"°,函数g(X)=/(/(M)—〃7,则下列结论正确的是()

ln(-x+l)4-3,x<0

A.若加=4,则g(x)有3个零点

B.若m=3,则g(力有6个零点

c.若g(x)有5个零点，则机的取值范围为(0,3)

D.存在mER,使得g(x)没有零点

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.设fllog34=2,则的值为.

13.已知函数/(x)=1g(的人+1-3x)+1,正实数。涉满足+-4)=2,则［的最小值

为.

14.对任意的x«0,y),不等式卜一〃+1。；)(-2/+办+10)«()恒成立，则实数〃=.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

(1)2］

15.已知Ay=ln^------,B=<xlog|x>-2-

x+3j

/X

(1)用区间表示A和8：

(2)已知函数"x)=log2-log2-,XEB,求/(x)的最大值，并写出此时x的值.

\J\x)

16.设函数/(1)=优一，'(4>0,4W1),

(1)若&二；,求使不等式/(幺一〃)+/(1-”<0恒成立的，的取值范围；

⑵若〃1)=|,g(x)=a2x+a2x-mf(xy且g(x)在［1,也)上的最小值为—2,求，〃的值.

17.我们一般使用分贝(符号是dB)来表示声音强度(瓦/平方米，符号是W/mD的等级，强度为

xW/m?的声音对应的等级为/(x)dB,科学研究表明，它们湎足关系：/(工)=0g一,其中左为修正

%

系数(常数)，与为普通人能听到的声音的最小强度(常数)，清晨时风吹落叶的沙沙声其强度为

lO^'W/m2,上学高峰时汽车川流不息声音强度达到I()7w/m2,经某科技爱好者用分贝测试仪测得声

音等级分别为10dB和90dB.

(1)求攵与•％的值，并求当测得同学们早读声音等级为75dB时，早读的声音强度；

(2)某天上午体育课进行了测试，同学们非常疲倦，午间教室非常安静，比平常降低了20dB,求平常中

午的声音强度是这天中午声音强度的多少倍？

r—1

18.已知函数/(xWlog":一(。>0且。Hl).

JV+1

(1)求/。)的定义域；

(2)若当。=g时，函数g(x)=/*)-〃在(1,+8)有且只有一个零点，求实数人的范围；

(3)是否存在实数”，使得当/(X)的定义域为[〃2,川时，值域为[1+log/,1+log/?],若存在，求出

实数〃的取值范围；若不存在，请说明理由.

19.设常数a>O,awl,/(x)=(k)g“x-l)(k)g2X-2).

(1)已知了=/(工)的图象过点(8,2),求实数。的值;

(2)当〃=2时，对任意N[1,8],都有恒成立，求实数"，的取值范围；

(3)若方程〃x)=l有两个实数根4当，且上£[4,4夜],求实数。的取值范围.

X2

湖北省武昌实验中学高一年级十二月月考

数学试卷

命题教师：高一数学组

考试时间：2025年12月22日14:00—16:00

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1.已知点(狐8)在哥函数/(x)=(mT*的图像上，则〃-'"=()

A.-B.-C.8D.9

98

【答案】A

【解析】

【分析】

根据幕函数的系数为1可求得，〃的值，再将点(〃?,8)的坐标代入函数/(x)的解析式，求出〃的值，进而可

求得〃的值.

【详解】由于函数/(力=(〃2—1)亡为幕函数，则〃7—1=1,解得6=2,则/(x)=x",

由已知条件可得/（2）=2"=8,得〃=3,因此，〃-桁=3-2=—.

9

故选:A.

11

2.化简[（——）-2]3+]0825-10821。的值得（）

A.-10B.-8C.10D.8

【答案】D

【解析】

【分析】直接利用指数与对数的运算法则求解即可.

、（71丫2下

【详解】由----+log25-log2l（）

=3^+10§,—=9-1=8，故选D.

-10

【点睛】本题考查了对数的运算法则、指数的运算法则，考查了推理能力与计算能力以及应用所学知识解

答问题的能力，属于基础题.

3.在n=k）g（m-3乂6—m）中,实数m的取值范围是

A.m>6或m<3B.3<m<6

C.3<m<4或4<m<6D.4<m<5

【答案】C

【解析】

,6-m>0,

【详解】由题意得、由一3>0.・•・3<m<6且m件

考点：对数的定义.

4.函数>=1鸣位一办+2〃）在（1,+8）上单调递增，则实数。的取值范围（）

A.[-1,2]B.(-1,2]C.(-oo,2]D.12,-KO)

【答案】A

【解析】

【分析】结合复合函数单调性、对数函数的定义域求得。的取值范围.

【详解】由复合函数单调性遵循“同增异减”可知，因为y=log2”在(0,+8)上单调递增，且

2

y=log2(x-ar+2。)在(1,+8)上单调递增，

故y=d-ar+2a在(Lxo)上也单调递增，且>=/一G;+2。>0在恒成立，

心

由此可得：2，解得一1M442,

「2??旬a2

故选:A.

5.若函数/(月=/4+(2-1)2有最小值，则，的取值范围是()

A.(0，!]B.(0，!C.D.!，+8

II2」U)L2)

【答案】A

【解析】

【分析】设根=23将/(“转化为关于g(，〃)的函数，讨论开口方向与对称轴判断即可.

【详解】设用=2、，则加>0，f(x)=g(m)=>M+⑵-1)",(〃?>0)有最小值.

当[<()时，二次函数g(，〃)开口向下，无最小值；

当1=0时，g(m)=一机无最小值；

9/_11

当空。时，若g(〃z)在(0,+8)上有最小值，则对称轴一号一>0,解得0<f<5.

故选:A

【答案】A

【解析】

【分析1分析函数的奇偶性，由此可排除两个选项，再取特值计算所对函数值正负即可判断作答.

/、/、-r（l-2、）x（2v-l）,、

【详解】显然/（X）的定义域为R,且，（川=2（2二+］）=2（1+2，）=护肃

于是得/（%）为偶函数，其图象关于），轴对称，选项B和C不满足；

而f（l）=,＞（）'显然选项D不满足,

6

/、GT

所以函数/（1）=右1力的图象大致为A.

故选：A

7.已知函数/(7=1/3(-1—2q,若。=g)^=log812,

c=lg15，则()

A./(。)<B./(/?)</(<?)</(«)

C./(a)</(〃)</(c)D./(c)</(〃)</(a)

【答案】A

【解析】

【分析】先判断函数”X）为奇函数，然后对函数“X）表达式进行有理化化简，再用“同增异减”法则结

合奇偶性判断复合函数单调性，以及利用指数，对数函数的单调性，进而可得解.

【详解】函数/（戈）的定义域为R,

/(x)+/(-x)=log?("W+1-2x)(+1+2x卜(),所以函数/(x)为奇函数,

4

(+1-2x)p4x2+l+2x)

又73=log,

44A2+1+2A

二］咤3I—---------------------

44x+1+2x

在［0,+oc）单调递增，可以得到函数/（X）在R上单调递增,

a=(()；因为),=侍单调潴减，所以Ov图<仁)=1,即Ova<l；

b=log812：因为Iog88=l,Iog/2>1og88=l,即〃>1：

c=lgl5：因为lglO=l,Igl5>lg1O=l,且log/2=H5，Igl5=鲁，，

lg8IglO

要证lgl5<logJ2,等价于证黑〈臂：

IglOlg8

lai2

因lgio=l,则等价于证lgl5<三,

lg8

因为Ig8=lg23=31g2>(),不等式两边同乘lg8(不等号方向不变)，

只需证：Igl51g8vlgl2

因为怆8=3怆2：电12=lg(3x4)=怆3+2怆2：Ig15=lg(3x5)=怆3+怆5,

结合lgl0=lg2+lg5=l,得Ig5=l-lg2,故Igl5=lg3+l-lg2,

将上述式子代入Igl54g8,展开得：

Igl5-lg8=(lg3+l-lg2).31g2=31g2-lg3+31g2-3(lg2)2,

则Igl51g8-lgl2=31g2lg3+31g2-3(lg2)2-(lg3+21g2)

=lg3(31g2-l)+lg2(l-31g2)=(31g2-l)(lg3-lg2),

因31g2=lg8vl,即31g2-IvO,

因lgx是单调递增函数，故Ig3>lg2,即怆3-lg2>0,

因此(31g2-l)(lg3—lg2)<0,即Igl51g8<lgl2,原不等式］gl5<logJ2成立，

因lglO=l,且IgA单调递增，故怆15>怛1()=1,综上

所以：a<c<b

因为/(x)单调递增，所以/'(。)</(。)</(0).

故选:A.

8.设不々分别是函数=■和8(力=狄电/一1的零点，其中。>1，则玉+8%的取值范围

是（）

A.(81,+oo)B.(82,+<x?)C.[18,-HX?)D.(18,+3)

【答案】B

【解析】

【分析】先根据零点的定义得到孙公的关系，再利用函数的单调性求出X+819的取值范围.

[详解】因为X],工2分别是函数/（X）=X--?和g（X）=xlog,产一1的零点，

1..1

所以有不一节=。,占log“占-1=0，分别化简可得logaA1--N，log“々=F.

因为a>l,所以0<x“w〉L

因为y=优与y=log“x互为反函数，其图像关于直线对称，且y二，的图像也关于直线），="对

X

称，

,111

由bg"X2二一，令卷二可得log「=z,即-log/="logut=-t

x?It

1

又因log。％=一%，所以，二西，因此/二一，即XW=1.

x\

因此$+81々='+8民2，令〃（x）=」+81x,x>1,

x?X

设七>z>1，则

〃（工3）一〃«）=」+8比，一8民4=冗一工3+814/-81¥：=（七一刍

七七X3X4^X4

所以/z（x）在（l,y）上单调递增，所以〃（力>力⑴=82,BP—+81X2>82

所以玉+8用的取值范围是（82,+co）.

故选：B.

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，有选错的得。分，部分选对的得部分分.

9.下列运算中正确的是（）

A-器=WB.晤

1,（\Y唾27

C.若〃+“7=14，则D+ln（lnc）=7

【答案】BD

【解析】

【分析】运用换底公式，结合根式与分数指数凝的互化公式、指数第的运算公式、指数式与对数式的互化公

式逐一判断即可.

【详解】A：根据对数的换底公式，可知臂§一】Qg58,所以本选项运算不正确；

log,5

B：因为=所以本选项运算正确；

C：因为a+ci|=14，所以。＞0,

\_」1/\_________

因此a2-\-a2=\la+a1+2=y/16=4»所以本选项运算不正确；

/1x-iog：7/1\k＞gi?

D：因为L+ln（lne）=（*+lnl=7+0=7,所以本选项运算正确，

故选：BD

io.已知函数〃x）=x+iog2m,下列选项正确的有（）

A./（X）=/（-X）4-X

B./（2025）＞/（2026）

C.函数/（另有唯一零点

D.不等式/（五）＜-3的解集为（-8,-1（g7）

【答案】AD

【解析】

【分析】对于A选项，将一工代入解析式，化简整理即可判断A正确；

对干B选项，通过代入作差，计算可得/（2025）-/（2026）＜0,故B错误；

对于C选项，令〃x）=0,化简可得x=log2（2'+l），即2、=2'+1，方程无解，故C错误；

对于D选项，化简不等式，可得工+3vlog2（2、l）,即2"3＜2、+1，解不等式即可，故D正确.

【详解】对于A,因为/（x）=x+bg2s

12'11

所以/__尢十log--x+log----------x+log,2'+log---------log-,-------

22'15272r+l526272r+l52T+1

1

所以4—x)+x=log2+x=/(x)，故A选项正确;

2V+1

对于B,根据解析式，»f(2025)-f(2026)=2025+log2-2026-log2+,

220264-]72026+2-1(^77)<0，

=-l+lOg2^77=—l+lOg21,20254|=T+10g22

4T"1乙"i1\

MlU/(2025)-/(2026)<0,所以/(2025)</(2026),故B选项错误：

对于C,令/(x)=x+log2J广°，即x+logj—log2(2'+l)=0,

则x=log2(2'+l),即Iog22'=log2(2、l),所以2、=2*+1，方程无解，故C选项错误；

对于D,不等式3,BpJ+log2——<—3,化简得火―log?Q'+1)<—3,

乙•"1

即x+3<log2(2'+l).所以1。8227vlogz(2'+l),所以2"3<2'+l.

所以8・2'<2'+1，即7・2'<1，所以2，<；,解不等式得x<log2即xv-log2：,故D选项正

确.

故选：AD

一x2+4x>()

11.已知函数/。)=《，，函数g(x)=/(/(x))—〃Z，则下列结论正确的是()

ln(-x+l)+3,x<0

A.若利=4,则g(x)有3个零点

B若〃7=3,则g(x)有6个零点

C.若g(x)有5个零点，则，〃的取值范围为(0,3)

D.存在mER,使得g(x)没有零点

【答案】AB

【解析】

【分析】作出函数/(X)的图象，利用函数与方程的思想并由换元法令/(x)=f,将函数零点个数问题转

化为函数图象交点个数的问题，讨论参数机的取值与零点个数的关系即可得出结论.

【洋解】作出函数“X)的图象如下：

令f(x)=r,则由g(x)=/(/(力)一相二o可得/⑺一〃7=0,

①当团＞4时，则方程/«)=，〃有I个根，且/〈1-e,此时方程/(2二，只有1解，所以乃(月只有1

个零点；

②当m=4,则方程/(/)=4有两个根/=l-e或1=2,

由图知〃x)=l-e仅有一解，/(x)=2有2解，所以可知g(x)有3个零点；

③当机«3,4)时，则方程/0=M有三个根不当山，且4£岭,0)冉«1,2)/342,3),

当乙w(l-e,。)时，此时方程/(工)=%只有1解，当芍«1,2)机此时方程〃x)=Z2有2解，

当“«2,3)时，此时方程/(工)二，3有2解，所以此时g(x)有5个零点；

④当机=3时，则方程/(，)=3有三个根分别为0,1,3,

易知方程〃力=0有1解，方程〃x)=l有2解，方程〃力=3有3解,所以此时g(x)有6个零点;

⑤当〃?£(0,3)时，方程人有两个根〃出，且，4w(°，l)，g£(3,4),

当乙£(0,1)时，此时方程=G有2解，当g«3,4)时，此时方程=g有3解,所以g(力有5

个零点，

⑥当m=0时，则方程/⑺=0有1个根为4,此时方程〃x)=4有2解，所以g(x)有2个零点，

⑦当初＜0时，方程/(7)=加有I个根且,＞4,由n4可得方程〃x)=，仅有1解,，所以g(x)有1

个零点，

综上所述，若m=4,则g(x)有3个零点，即A正确；

若m=3,则g(x)有6个零点，可知B正确；

若g(x)有5个零点,则实数〃?的取值范围为(0,3)53,4),因此C错误；

结合已有分析可知，对任意实数加wR,g(戈)都有零点，因此D错误.

故选：AB

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.设Hog34=2,则的值为.

【答案】|

【解析】

【分析】根据对数运算性质化简求值即可.

【详解】a=-^—=2\og43=}og49f4一“=4-哂9=4"叼=1.

log?49

故答案为：

13.已知函数/（x）=lg（历二7-3，+1,正实数出〃满足/（2〃）+"〃-4）=2,则）+：的最小值

为.

［答案］3+2.

4

【解析】

【分析】由已知得到函数/（戈）的图象关于点（0,1）对称，类二匕奇偶性，得到函数的单调性、进而求得

2。+〃=4,再利用基本不等式求解即得.

【详解】/（力+/（-力=怆（屈+1-3x）+lg（+1+3x）+2=1g（9/+1-）+2=2,

这说明/（x）的图象关于点（。,1）对称，类似奇函数，在原点两侧单调性相同，

由干x>0时/（刈=1g/」——+1,y=的上+1+3%（0,+8）上单调递增且函数值恒正,

，9.d+l+3x

可推出在（0,+00）上单调递减,因此“力是减函数.

/(2rz)+/(Z?-4)=2<=>/(2«]=2-/(Z?-4)=/(4-Z?)<=>2^=4-/?,即2。+/=4,

/

因此，+—='(2〃+/?)b2a即卜3+2加

—+——+一>-13+2.

ah4abab44

。=4-2夜

当且仅当2=口=〃=血。时，即，

l取得•

abZ?=4V2-4

故答案为：¥

14.对任意的XW(O,M),不等式|尤-4+皿5)(-2/+办+10)工0恒成立，则实数〃=.

【答案】V10

【解析】

【分析】由对数有意义可得:。>0,将不等式+av+l0)<0等价转化为

[(x+Inx)-(a+Intz)](-2x2+or+10)W0在(0,+8)上恒成立，构造函数

/(x)=x+lnx,^(x)=-2x24-ar+lO,由函数/(x)=x+lnx在(0,+e)上单调递增，故0<x<。时

(x+lnx)—(a+lna)<(),则一2/+以+1020,当工>。时,

(x+lnx)—(a+lna)>。，则一2/+◎+1()40，再根据二次函数的图象和性质即可求出实数。的值，最

后取交集即可求解.

【详解】由题意可知：工£(0,茁)且1112成立，则。〉0,

a

因为对任意的x£(。,+8)，不等式x-白+ln二)(一21+〃x+l。)4。恒成立，

也即[(x+InX)-(62+Ina)](-2d+av+10)V0在(0,+8)上恒成立，

记f(x)=x+Inx,g(x)=-2x24-ar+10,则/(x)=x+Inx在(0,+8)上单调递增,

当0cx<4时，/(X)</(。)，即0+1。幻一(4+111。)〈。恒成立，则一2/+0¥+1()之()，所以

p(o)=io>o

[g(a)=-2/+/+ioN(),解得：Ovowjfi；

当x=a时，不等式显然成立;

当工>。时，/(x)>f(a),即0+1。工)一(。+111”)>0在(0,-8)恒成立,

2

则一2工2+ax+10<()»因为g(x)=-2x2+纵+1()=-2(x-/产+]_+1。在(«,-KC)上单调递减，所以

工>。时，g(x)<g(a)=-/+10W0,解得：aN回,

因为对仃一意的xe（0,18）,不等式+双十10）W0恒成立,

则综上可知：实数。的值为JiU.

故答案为：-x/io.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

（x-1）

15已知A=〈xyuln:-----,,Bxlog)x>-2>

x+32

（1）用区间表示A和9

（2）已知函数f（x）=log2T-log,-,XG求/（久）的最大值，并写出此时X的值.

【答案】（1）A=（-3,1）L（1,+8）,B=（0A]

⑵X=2>/2，"丫）max=

【解析】

【分析】（1）根据对数型复合函数的定义域及单调性求解即可;

1

（2）根据对数的运算化简可得〃力=-H—»进而结合x的取值范围求解即可.

4

【小问1详解】

由!”1〉0,得｛，解得x>—3且戈wl,即A=(-3,1)U(1,+8),

x+3(x+3>0

由bg'N-2=log；4,得0c”,即8=(0,4].

【小问2详解】

2

由〃X)=10g2x-l)(2-log2x)=-(log2x)+31og2x-2

(3、21

=-^2X~~+一，

4

因为xw(0,4]，则log?xe(-oo,2],

则噫X=|,即工=2==亚=2正时，“X）取得最大值;•

16.设函数/=(。>0,awl),

(1)若4求使不等式/(幺-㈤+/(1—x)<o恒成立的1的取值范围；

乙

⑵若"1)=(屋制=诡+,2、一坷〈力，且g(x)在［1,+co)上的最小值为一2,求〃?的值.

【答案】(1){/|-3</<1}

(2)4

【解析】

【分析】(I)先得函数/(x)是R上的奇函数，且函数“X)是减函数，进而转化问题为不等式

丁—(f+Dx+l〉。恒成立，进而结合Ac。求解即可；

33

(2)先由41)=〃一〃-|=耳求得。=2,再令2、一2一"=/，则根据其单调性可得，2］,

+2-霍，进而根据二次函数的性质讨论即可求解.

【小问1详解】

11\一月

当〃时，=R，

2){21

则一口］=_/(x),所以是奇函数,

<2/\2>

T

因为y=(g(1

为减函数,y=7=2'为增函数,

=仔)_仔)是减函数,

所以“X)

由不等式」(炉一戊)+/(1-力<0,可得等(炉-戊)〈_/(1_力=/(%-1),

则/一比>工一1,即/-(f+Dx+l〉。恒成立，

所以△=(，+1『一4<(),即(/+3)(r—l)vO,解得一3<zvl,

故/的取值范围是“卜3</vl}.

【小问2详解】

31

由/(1)=。一°/=/，得2a2一3〃一2=0，解得。=2或。=一耳(舍),

所以g(x)=22X+rlx-m(2x-2-r)=(2r-2f『一机(2、一2一”)+2,

3

令2'—2一”=，当x之1时，t=2x-2-x>2-2-'=-

2

所以/?（，）=〃+2-—,开口向上，对称轴为/='

42

17375

①当台•!即小3时，g（＜L=后----w=-2,解得机=丁（舍去）

426

②当即〃?>3时，8（1）.=h—=2-乂一二一2,解得〃z=4,符合题意.

22'/m,rI2J4

综上所述，加=4.

17.我们一般使用分贝（符号是dB）来表示声音强度（瓦/平方米，符号是W/m?）的等级，强度为

xW/m?的声音对应的等级为了（R）dB,科学研究表明，它们湎足关系：/（x）=Alg一,其中女为修正

%

系数（常数），X。为普通人能听到的声音的最小强度（常数），清晨时风吹落叶的沙沙声其强度为

10』W/n?,上学高峰时汽车川流不息声音强度达到lOTW/n?,经某科技爱好者用分贝测试仪测得声

音等级分别为10dB和90dB.

（1）求及与演）的值，并求当测得同学们早读声音等级为75dB时，早读的声音强度；

（2）某天上午体育课进行了测试，同学们非常疲倦，午间教室非常安静，比平常降低了20dB,求平常中

午的声音强度是这天中午声音强度的多少倍？

快=10

2

【答案】⑴in-r，lO^W/m:

（2）100®.

【解析】

【分析】（1）利用给定条件求解出/（"=101g而五，再分别代入求值即可.

（2）利用给定条件建立方程得到klg三-％lg受■=20,利用对数的运算性质求解出匹=100,得到答案

%%占

即可.

【小问1详解】

当“IO-”时，/W=10,当工=10-3,〃x）=90,

in-iIin-3

3

.•.f(10T)=Alg=M111g/)=10,/(10-)=Z:Ig=&(3lgxo)=9O,

=10(k=10

两式解得।Q即m*，

［lgx0=-12Ho=1。

・•43=1。但金••/(xl)=101giA?=75,

即1g%+12=7.5n1g$=-4.5nx=1O-4,5,

所以早读声音强度为ICT1；W/nr；

【小问2详解】

设平时中午的声音强度为公，今天中午的声音强度为七，

/\

・・・〃可一)(七)=20,•.•Mg五一Mg受=2。,即Mg上以=20,

“0X。(〜)X3>

/.101g-=20,解得强=100,

所以平时中午的声音强度是今天的100倍.

18.已知函数/(x)=log“E」(〃>0且。工1).

x+1

(1)求/(%)的定义域；

(2)若当4=3时，函数g(x)-/(x)一力在(1,+8)有且只有一个零点，求实数人的范围；

(3)是否存在实数m使得当/(X)的定义域为［〃2,川时，值域为［l+log“〃,l+log/T，若存在，求出

实数〃的取值范围；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)(-oo,T)J(l,+8)

(2)(0,”)

(3)存在，0vav3—2/

【解析】

【分析】(1)根据对数的真数大于0结合分析不等式运算求解；

(2)根据题意分析可知在(1,+8)上有且只有一个解，进而结合函数单调性运算求解；

(3)根据定义域和值域可得Ovavl,且结合单调性分析可知/?(©=«?+(〃-l)x+1=0有

两个大于1相异实数根，结合二次函数零点分布运算求解.

【小问1详解】

由^―-＞0,得x＞l或不＜—1.

x+1

所以/（X）的定义域为（YO,—l）U（l，+8）.

【小问2详解】

Y_12

令t（X）=——=1-----,可知在（1,+8）上为增函数，

X+1X+1

可得=且（耳＜1,可知《X）的值域为（0,1）,

因为〃则）Flog/在定义域内为减函数，可得/（x）＞log/=°,

222

所以函数/（X）在（l,y）上的值域为（O,y）,

又因为函数冢＜）=/。）一人在（1,+力）有且只有一个零点，

即/（幻=〃在（1,+8）上有且只有一个解，

所以〃的范围是（0,”）.

【小问3详解】

存在，理由如下：

假设存在这样的实数。，使得当了。）的定义域为［加,用时，值域为［l+log/7,l+log”〃小

由加＜"且l+loga〃vl+log/〃，可得Ovavl,且

r-12

令仆）=——=1------，可知，（X）在（1,收）上为增函数，

X+1X+1

因为Ovavl,则y=log”工在定义域内为减函数，

所以/（幻在（1,+8）上为减函数,

/(，〃)=bg,^-4=电(w〃)

tn+1

可得《

〃一］

/(〃)=】oga-7=log,(an)

〃+I

可知二」=以在（1,卡）。）上有两个互异实根，可得+（。-1）工+1=0,

X+1

即力（x）=ax2+（a-l）x+l=O有两个大于1相异实数根.

△二（〃-1）2-4〃>0

Q-]

则<一二^>1，解得0<〃<3-2夜，

2a

//（1）>0

所以实数。的取值范围（0,3-2近）.

【点睛】方法点睛：