福建省泉州市某中学2025-2026学年高一年级上册第二次测试数学试题

福建省泉州市第五中学2025-2026学年高一上学期第二次测试

数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.设“，〃是实数，贝1]“4+8>0''是，曲>0、'的

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

2.下列集合中，与集合｛-1/｝相等的是（）

A.[—lj]B.N*|x2=1|

1

C.tvcZly=-,ycZD.{(x,y)lx=Ly=l}

x

3.函数），=J-x2+5x-4的单调递减区间是（）

5

A.一,B.c.1.4D.

2

则函数等u的定义域为(

4.已知函数1）的定义域为[-2川,

\]2x+1

A.,11B.C.——JD.

2’2-42.

5.如图1是惠州市风景优美的金山湖片区地图，其形状如一颗爱心.图2是由此抽象出来

的一个“心形”图形，这个图形可看作由两个函数的图象构成，贝「心形''在x轴上方部分对应

的函数解析式可能为（）

C.+2忖D.y=V-X2+2x

6.已知正数力满足。+%=2,则以*的最小值为（）

ab

-37

A.6+2上B.9C.8+2V2D.—

3

7.已知函数/（x）=f+2r,若对于任意的A、七«2收）,且王〈公，都有

占/（耳）一耳）（X2）＞（西X2（后一天；）成立,则。的取值范围是（）

A.B.,0C.-00'-"D.一7，+8

4

8.已知函数〃力=2-国，若关于x的不等式/（刈2/-2工-"的解集中有且仅有2个整

数，则实数〃?的取值范围为（）

A.[-2,-1)B.(-2,-1)C.[-2,0)D.(-2,0)

二、多选题

9.己知。＜/?＜（）,则下列不等式一定成立的有（）

A.a2＜b2B.—＞-C.D.a+-＜b+-

aba~abba

10.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米

德，牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：对于实数x，符号国表

示不超过x的最大整数，则y=[可称为高斯困数，例如同=2,[-1.8]=-2,定义函数

〃x）=x-[可，则下列说法正确的是（）

A.函数/（x）的最大值为1B.函数外力的最小值为1

C.函数/（力在（-2,-1）上递增D./（x+l）=/（x）

11.已知函数/“）的定义域是R,对任意的实数4、＞满足/（x+y）=/（6+/（），）+2025,

且/（1）=0,当X＞1时，/（A-）＞0,则下列结论正确的是（）

A./(0)=-2025B./(-2)=6075

C.函数/（x）为R上的增函数D.函数/（刈+2025为奇函数

三、填空题

试卷第2页，共4页

12.已知函数g（6+l）=2.r+3,则g（3）=.

13.已知定义在［T4］上的偶函数/（"在区间［0,4］上单调递减，则满足/（厂1）</但的x

的取值范围是.

/、cix-2,x<a,、

14.已知函数/（%）=,2、，若人可存在最大值，则”的取值范围是—•

四、解答题

15.已知集合A=，X一^<工<2卜8={x|3〃?-2<x<〃?+l}.

⑴若加=一1,求AUB；

（2）若人口4=0,求实数机的取值范围.

16.“绿水青山就是金山银山”，将生态治理和发展特色产业有机结合起来，就可走出一条生

态和经济协调发展、人与自然和谐共生之路.若今年市财政预下拨专款100百万元，分别用

于生态治理和发展特殊产业两个项目，生态治理项目五年内带来的生态收益X（单位：百

万元）与其投放资金x（包位：百万元）呈正比例函数关系，且投放资金8百万元时可收益

0.8百万元，发展特色产业项目五年内带来的产业收益为（单位：百万元）与其投放资金x

（单位：百万元）的函数关系是为=等.

（I）设分配给发展特色产业项目的资金为x（单位：百万元），两个项目五年内带来的收益总

和为y（单位：百万元），试将y表示成关于x的函数.

（2）对两个项目的投放资金如何分配，可使收益总和达到最大？最大值是多少？

17.已知函数/。）=々泻是定义在［-：,三上的奇函数，且八3二-。.

（1）求。山的值;

⑵判断/3）的单调性，并用单调性定义给出证明；

⑶设80）=-+5-2左，若对任意的王总存在々e［0』］,使得/（耳）女（修）成立，

求实数出的取值范围.

18.已知函数/（1）=（仙+1）。一（m-l）x+m-L

⑴若不等式的解集为凡求〃?的取值范围；

⑵解关于x的不等式/(X|>(777+l)x;

⑶若不等式/(6之0对一切恒成立，求机的取值范围.

■乙乙■

19.对于定义域。的函数y=/(x),若存在区间上几〃仁。，使得当时，函数/(x)

的值域恰为切］(2>0),则称函数/(x)是［科句上的“倍值函数”,区间女儿〃］叫做“〃倍

值区间

(1)已知函数〃力二炉是［0,同上的“2倍值函数”,求a的值；

⑵若函数g(x)=gf-3x+4是“倍值函数”且在气倍值区间”单调，求k的取值范围；

⑶设函数力(工)=-/+，〃是“3倍值函数”，且存在唯一的“3倍值区间'［〃［,〃］,求〃?的值.

试卷第4页，共4页

《福建省泉州市第五中学2025-2026学年高一上学期第二次测试数学试题》参考答案

题号1234567891()

答案DCCACACCBCDCD

题号11

答案ACD

1.D

【详解】本题采用特殊值决：当4=3⑦=-1时,a+〃>0,仰•<0.故是不充分条件：当

a=-3,b=-l时,而>0,但〃+〃〈()，故是不必要条件.所以“。十20”是“必>0”的既不充

分也不必要条件.故选D.

考点：1.充分条件、必要条件；2.不等式的性质.

2.C

【分析】根据集合的概念和性质逐项判断即可.

【详解】A选项，[一1[]={+1JKl}w{Tl},A错误；

B选项，{xcN[x2=]}={i}工{-I1},B错误；

C选项，只有当x=1和工=一1时，y=--eZ,Ai-xeZ|y=—,yeZ={1,-1},C正确;

Xx

D选项，{(x,.y)k=Ty=l}={(fl)}"Tl},D错误.

故选：C

3.C

【分析】求出函数的定义域，再根据复合函数的单调性求出单调递减区间即可.

【详解】由一f+5x-4N0，解得1W4,

所以函数y=J_f+5x_4的定义域为[1,4],

令a--x1+5x-4»贝Iy=4，

〃=_f+5x_4在殍4上单调递减，在1,胃上单调递增，y=&在[0,内)上单调递增，

所以函数y=hx2+5.1-4的单调递减区间是(，4.

故选：C.

4.A

答案第1页，共13页

/、I一3W2x-1K0

【分析】由的定义域得了（"的定义域，进而得，2x+i>0，解出即可求解.

【详解】由函数/（X—D的定义域为［-2,“，所以一24x41=—3Wx—140,

一［V

/、r-3<2x-l<0l-x-V—211

所以的定义域为［-3,0］,所以2x+i>o=i^~2<X-2f

x>—

2

则的定义域为：，故A正确.

,\J片2x+1？\22_

故选：A.

5.C

【分析】利用函数图象的对称性排除B，D两项；根据A,C项中函数的结构，利用基本不

等式和二次函数的性质判断其最值情况结合图象即可判断.

【详解】由图可知，"心形'’图形关于半轴对称,则“心形”在x轴上方部分对应的函数为偶函

数，

则函数y=—f（y>0）为奇函数,故B不正确；

函数y=J-x2+2%的定义域为（。，2）,关于原点不对称，故D不正确：

），=国”二丁的图象过点®0）,（—2,0）,（2,0）,

且0<x<2时，y=凶Ji，二42（43）=2,当且仅当工=夜时，等号成立，

即函数），=国”^7的最大值为2,乂“心形”在“轴上方部分对应的函数的最大值为1,故A

不正确；

由），=J—J+2区的图象过点（（）,（））,（—2,0）,（2,0）,

且0vxv2时，y=小--+2忖=J-f+Zx={-（工-1丫+1，当x=l时，等号成立，

即函数），=M+2区的最大值为1,满足题意，故C正确.

故选：C.

6.A

【分析1根据已知条件对目标表达式进行化简，再通过构造乘积形式利用基本不等式求最小

值.

【详解】•・•a+*=2,。>0力>0,

答案第2页，共13页

.吐…+」+丝W+'+6之2、庐+6=6一2应，

ababababNab

当且仅当2=学，即“=逑匚，人=必2巨时取等号，

ab1717

的最小值为6+2及.

ah

故选：A.

7.C

【分析】构造函数g(x)=ad+犯=以2+工+2,可得函数g(x)在［2,+x)上单调递减，分

X

4=0、两种情况讨论，在4=0时，直接验证即可；在〃。0时，根据二次函数的单调

性可得出关于实数〃的不等式组，综合可得出实数〃的取值范围.

【详解】因为对于任意的小玉e［2,w),且不<x2,都有占/(内)7"(当)>的%2(¥7：)成

立，

在不等式(演)-占/(马)>对七(x；-X；)两边同时除以凡今可得"'-"'>此-ax；,

X%

移项有+ax：>"'+皿；，构造函数g(x)=a*+"'=ax2+x+2»

XWx

则g(x)>g(&)，所以函数8(1)=⑪2+X+2在［2,+co)上单调递减，

当a=0时，g(x)=x+2在［2,+a>)上单调递增，不符合题意；

当"0时，若使得函数g(x)=/+x+2在［2,+a))上单调递减，

［«<0

则I」解得案-；

I2a

综上所述，实数〃的取值范围是1-8，-9.

4」

故选：C.

8.C

【分析】整理不等式得〃72丁-21+凶-2,然后构造函数/("，由函数大致图像推理出不

等式解集中的2个整数解，从而知道实数机的取值范围.

【详解】f(x)>^-2x-mtgp2-|x|>?-2x-m,

答案第3页，共13页

m>x2-2x+|x|-2,令/⑴-2x+\^-2

x2-x-2,x>()

，(x)=,

x2-3x-2,x<0

由二次函数的图像可作函数/("的大致图像为:

V/(-l)=l+3-2=2,/(0)=-2,/(1)=1-1-2=-2>/(2)=4-2-2=0,

由题意川知不等式解集中有且仅有2个整数解为04，

-2<m<0,

故选：C.

【点睛】

9.BCD

【分析】利用不等式的性质依次判断选项即可得到答案.

【详解】对选项A,若-3<-2<0,则(-3)2>(-2；不满足/<从，故A错误.

对选项B,若av〃v0,则故B正确.

ab

对选项C,因为a<〃<0,所以。2A<o,b-a>0,

所以——-——<o，所以—<~»故c正确.

a'ana'baab

对选项D,因为。v〃vO,由B知：所以〈人+',故D正确.

naba

故选：BCD

10.CD

【分析】根据高斯函数定义分析函数/(x)，判断各选项.

【详解】对于A、B：根据定义，[目表示不超过工的最大整数,

所以当x是整数时，[x]=x,/(x)=x-[x]=0,

答案第4页，共13页

当X不是整数时，设X=〃+/,其中〃=3，f«0,1),

所以/(x)=re(0,l),所以/(力《0,1),故A错误，B错误；

对于C：当XG(—2,T)时，[x]=-2,/(x)=x-[x]=x+2是增函数，C正确；

对于D：因为[x+l]=[x]+l,

所以/’(工+1)=(工+1)_[/_1]=文+1_国_1=工一印=/(1)，D正确；

故选：CD.

11.ACD

【分析】令x=y=o,求出/(0)的值，可判断A选项；令X=1,y=T可求出/(—1)的值，

再令x=y=T,可求出〃一2)的值，可判断B选项；令雇工)=/(力+2025,可知g(0)=0,

再令y=-x,结合函数奇偶性的定义可判断D选项；推导出当x>()时，/(x)>-2025,然

后利用函数单调性的定义可判断C选项.

【详解】对于A选项，对任意的实数工、丁满足/(x+))=/(x)+/()，)+2025,

令x=),=0可得〃0)=2〃0)+2025,解得40)=-2025,A对；

对于B选项，令x=l,y=T可得/(0)=/⑴+"-1)+2025,

即一2025=0+/(-1)+2025,解得/(—l)=T050,

再令x=y=-\可得/(-2)=2/(-1)+2025=2x(皿50)+2025=-6075,B错；

对于D选项，令g(x)=〃x)+2025,

由/(x+y)=/(x)+/(y)+2025可得/(x+)，)+2O25=/(x)+2O25+/(y)+2O25,

即g(x+加g(x)+g。)，且g(())=/⑼+2025=(),

令)=一，则g")+g(T)=g(0)=0,即g(T)=—g(x),

所以,函数g(%)=f(x)+2025为奇函数,D对；

对于C选项,由题意可知,当x>l时，/(另>0,

当x>l时，/(x)>0,KPJ-1>0IM,/(X-I)=/(X)+/(-1)+2025=/(X)-2025>-2025,

答案第5页，共13页

故当x>()时，/(x)>-2025,

任取巧、毛£1<且王〈占，

则〃%)=/仁一%)+/(西)+2025>-2025+/(内)+2025>/(西)，

即函数/(“在R上为增函数，C对.

故选：ACD.

【点睛】方法点睛：利用定义证明函数单调性的方法：

(I)取值：设占、占是所给区间上的任意两个值，且A</；

(2)作差变形：即作差/(xj-〃W),并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于

判断符号的方向变形；

(3)定号；确定差/(%)/(々)的符号；

(4)下结论：判断，根据定义得出结论.

即取值->作差-变形一定号-下结论.

12.11

【解析】利用换元法可求g(x)的解析式，将x=3代入即可求g⑶的值.

【详解】令4+1=d1,则X=(—l)2,

所以8(/)=2(1-1)2+3="_4/+5〃21),

所以g(x)=2d-4x+5(xNl),

所以8(3)=2x32-4x3+5=11,

故答案为：11

【点睛】方法点睛：求函数解析式的方法

(1)待定系数法：已知函数类型，可用待定系数法求解，先设出./a),再利用题目中给的

已知条件，列出关于待定系数的方程组，进而求出待定的系数；

(2)换元法：主要用于解决已知复合函数/［g(x)］的表达式求/")的解析式的问题，令

g(x)=1，解出］,然后代入/［g(x)］中即可求得了(/),从而求得“X),要注意新元的取

值范围；

答案第6页，共13页

(3)配凑法：配凑法是将/［屋力］右端的代数式,配凑成关于g(x)的形式，进而求出/(X)的

解析式；

(4)构造方程组法(消元法)：主要解决已知抽象函数关系式求解函数解析式的问题.方法

是根据不同的变量之间的关系，利用变换形式构造不同的等式，通过解方程组求解.

L2；

【分析】由函数的奇偶性，确定单调性，由单调性结合定义域列出不等式求解即可.

【详解】因为/'(X)是定义在［T4］上的偶函数，

所以/("在［YZ］上单调递增，

由/(为T)</(x)可得：

-4x-1<4,

--4<x<4,,解得—36<L

卜.QM2

所以满足l)v/(x)的x的取值范围是-3,；)

故答案为：-3,g)

14.044W2

【分析】根据分段函数有最大值，结合一次函数、二次函数的性质列不等式求参数范围.

【详解】当。<0时，)，=3-2在(-00,。)上值域为(/-2,+00),显然/(X)不存在最大值；

0

当〃=()时、在(-00,0)上尸-2,而丁=3\-％2在［0,+8)上最大值为丁，满足题设；

当。>0时，y=or-2在(-oo,a)上值域为(一8,1-2),

3g

若时，y=在上最大值为“

此时故/")存在最大值，满足题设；

3

若。>5时，y=3x-x2在4+8)上最大值为%_〃2,

此时只需3〃一片之/一2,则2/—3。-2=(24+1)(〃-2)40,BP-1<«<2,

故］<aW2,/(x)存在最大值，满足题设；

综上，0<a<2.

答案第7页，共13页

故答案为：0《心2

15.(l){x|-5<x<2}

4

D一,+8

3

【分析】(1)根据集合的并集运算即可求解;

(2)根据8=0和分类讨论列式即可求解.

【详解】(1)当m=—1时，B={.r|-5<x<0),\)[\\A\jB={x\-5<x<2}；

3

(2)当4=0时，此时有3加一2之〃?+1,即5N；；

3m-2<m+l

3ni-2<m+1433

当时，有，或，।1，解得彳或阳4

3/w-2>2m+\<——322

2

4

综上，实数，〃的取值范围为(TO,Ug,+℃.

3

16.(l)y=10--+-

10x+5

(2)投资生态治理项目资金为5百万元，投资发展特色产业项目资金为95百万元时，总收益

最大，且最大收益为190.5百万元.

【分析】(1)根据正比例函数的概念可得,二友，将两个生态收益项目相加，即可求解;

(2)由(1),利用基本不等式计算，即可求解.

【详解】(1)由题意知，设)1=心，则。.8=8%,解得k=0.1,所以y=日,

100-x200xv700r

所以------+10--+--(0<x<100),

10------x+510x+5

X700r

即)，=10——+^—(0<J<100)

10x+5

(2)由(1),得

sx200x

y=10——+-------

-10x+5

x+51000

=210.5------T---------

10x+5

八…cx+51000

<210.5-2J------x-------=190.5,

V10x+5

当且仅当誓="即x=95时，等号成立,

10x+5

此时100-x=5,

所以投资生态治理项目资金为5百万元，投资发展特色产业项目资金为95百万元时,

答案第8页，共13页

总收益最大，旦最大收益为190.5百万元.

17.⑴。=4/=0

（2）单调递减，证明见解析；

⑶E4］.

14

【分析】（1）利用八。）=。与/（；）=-：求出/。的值并验证即可.

（2）判断函数单调性，再利用定义法证明函数的单调性.

（3）求出函数/（幻,冢幻在指定区间上的最大值，再结合已知列出不等式，求出实数A的范

围.

【详解】⑴由函数/。）=空§是定义在忌』上的奇函数，得/（。）"=0,

6+122

I

-ax|4~a'd4

则/（幻二一7,又/（：）=—匚，于是।4:一彳,解得。=4,

比+145〃（1）2a5

4

4r4（—x）4r

f（x）=-,―W=/2］=-/（幻，即f（X）是奇函数，

4A-+14（-x）+14x+1

所以4=41?=。.

（2）函数=在［-口上的单调递减，理由如下：

任意内，七6且巧，

则小…）一扁一而一%(44+1)-.(44+1)

(4工：+1)(4,+1)

=T内）-（々一占）=t.（.-一七）（4仪-1）

—（4才+1）（4考+1）-'（44+1）（44+1）'

由一gKX］＜占K；，得占一%＞0,4内f一”0,4x；4-l）o,4x；+1＞0,

则七；1：：；；：［：）＜。，即〃*）一/（占）＞0,因此/（%）＞/（8）

4rII

所以函数/（x）=-在［-不力上的单调递减.

（3）由对任意的％总存在七团。』］,使得/a）wg（s）成立,

乙乙

得/（X）在［-!之上的最大值不大于以X）在［0,1］上的最大值，

22

4r111

由函数/（》）=--^―在［-不二1上的单调递减，得/（X）a=/（-T）=1，

4x~+1222

当4=0时，冢幻=5,145恒成立，因此攵=0：

答案第9页，共13页

当4>0时,g(%)=H+5-2A在［0,1］上单调递增,g(x)皿=g⑴=5-攵，

则1W5—3解得女K4,因此0<%«4；

当攵<0时，以力=履+5—24在［0,1］上单调递减，^U)mtx=^(0)=5-2^,

则1q5—2攵，解得RK2,因此k<(),

所以实数&的取值范围是〔-8,4］.

小,"2日

18.8(1)m<------;

3

(2)答案见解析；

⑶m>\.

【分析】(I)对二次项系数〃计1进行分类讨论，结合二次函数的判别式即可容易求得结果；

(2)/(X)>(W+1).¥(///+\)X2-2f?LX+/27-1>0,对"?+1=0,〃?+1>0与"7+1<()分类讨

论，口」分别求得其解集；

(3)

(w+l)x2-(in-\)x+in-\>0<^>m(^x2-x+1)>-x2-x+1<=>/w>———=-l+,

通过分离常数与利用基本不等式结合已知即可求得小的取值范围.

【详解】(I)根据题意，①当团+1=0,即，〃=-1时，/(x)=2x-2,不合题意；

②当〃2+1WO,即/"H-1时，

〃X)<I的解集为R,即(〃2+1)工2-(/〃-1)%+〃?一2Vo的解集为R,

〃?+1<0

A=(6-1)~一4(〃?+1)(ZH-2)<0

/〃<一1故〃YT时'〃"上等或,"学•

3〃?2—2/〃-9>0'

Ml-2x/7

故〃？<------.

3

(2)/(x)>(w+l)x,即(m+1)/20,

①当相+1=0,即〃?=一1时，解集为｛村％41｝；

②当〃7+1>0,即〃7>-1时，(工-：：+-1)20,

答案第10页，共13页

〃L1.2,

•/------=1---------<1,

m+1m+\

Hl—1

二.解集为——或xNl｝：

m+\

③当〃7+lvO,即〃?<一1时，(x—，”+；)(%—1)40,

in-12.

•.--------=1-------->1,

in+1m+\

解集为

m+\

综上所述：当阳<—1时，解集为｛xIlWxW?=｝;

rn+1

"7—1

当〃7=一1时，解集为｛x|“Nl｝；当〃2〉-1时，解集为J或JN1｝.

(3)(A/Z+QX2-(/«-1)x4-771-1>0,即〃?(f-X+1)之一12-X+1,

"一工+1>0恒成立，

-x2-x+12(1)

m>—；----------=-!+-77-------，

x~-x+\x~-x+1

-13'

设1一1=/,则,.r=l-/»

1-XttI

"x2-x+\(i-r)2-(i-/)+1r-t+｝/+!_］，

t

vz+->2,当且仅当，=1时取等号，

t

1—x

/.,,<1,当且仅当x=0时取等号，

x'-x+\

:.m>\.

【点睛】本题考查二次函数恒成立问题，以及含参二次函数不等式的求解，其中正确的分类

讨论，是解决本题的关键，属综合困难题.

19.(1)2

⑵小叵工皿+延

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⑶/〃=—2

【分析】(1)求出/(力在［0,句上的值域,再根据“2倍道函数”的定义即可列方程求解;

(2)易知g(x)对称轴为x=3,分3勺〃<〃讨论即可;

答案第11页，共13页

(3)根据“3倍值函数”，且存在唯一的“3倍值区间”分类讨论即可.

【详解】(1)因为函数〃力=/在［0,可上单调递增,且是“2倍值函数”.

所以/(0)=。2=0,44)=/,其值域为［2乂0,2'〃卜［0,24.

则a2=2a>又a>1,解得。=2.

(2)函数