广西桂林市2025-2026学年上学期九年级期末数学试题（原卷版+解析版）

桂林市2025〜2026学年度上学期期末调研试卷九年级数学

（考试用时120分钟，满分120分）

注意事项：

L试卷分为试题卷和答题卡两部分，在本试题卷上作答无.

2.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

3.答题前，请认真阅读答题卡上的注意事项.

一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符

合要求的，用23铅笔把药踏卡上对应题目的答案标号涂黑）

I.下列关于1的方程中，是一元二次方程的是（）

2

A.f+2x=oB.x+l=0C,ax+bx+c=0D.}1

2.下列各组长度的线段（单位：厘米）中，是成比例线段的是（）

A.3,6,7,9B.2,5,6,8C.3,6,9,18D.1,2,3,乙

3.某物质的分子结构如图所示，所有六边形都是正六边形，用放大镜观察该分子结构，则保持不变的是

（）

A.A3的长度B.六边形A3CDEF的周长

C.六边形A8COEF的面积D.NEDC的度数

4.某省举行射击比赛，教练打算从甲、乙、丙、丁四人中选派一人参赛，每人都进行20次射击，他们的

平均成绩相同，方差分别是即2=0.9,s乙2=0.4,s丙2=1.2,s丁2=0.6,则成绩最稳定的选手是（）

A.甲B.乙C.丙D.T

Q

5.若点（2,。）在反比例函数y=—的图象上，则。的值是（）

X

A.4B.-4C.2D.-2

6.如图，在VA6C中，E，尸分别是边AB,AC上的点，且EF〃BC.若AE=2,BE=4,

AF=1，则”的长是（）

A

BC

A.0.5B.IC.1.5D.2

7.用配方法解方程V+2x—3=0时，配方后正确的是（）.

A.(11=4B.(x-l)?=2C.(X+1)2=4D.(x+1)2=2

8.一元二次方程4f-3x+l=0根的情况是（）

A.没有实数根B.有两个不相等实数根

C.只有一个实数根D,有两个相等实数根

9.如图，VA8C的三个顶点都在正方形网格的格点上，则cos/A3c的值为（）

B，4TDT

10.《九章算术》是我国古代数学名著，有题译文如下：今有门，不知其高宽；有竿，不知其长短.横

放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线长恰好相等.问门高、宽和对角

线的长各是多少？设门对角线的长为x尺，下列方程符合题意的是（）

A.(X+2)2+(X-4)2=X2B.(X-2)2+X2=(X+4)2

C.x2+(x+2)2=(x+4)2D.(X-2I2+(X-4)2=X2

11.如图，在平行四边形48co中，E是边4。上一点，DE=2AE,连接AC、M相交于点O,若

△AOE的面积为I,则VA3c的面积为()

12.某种近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例函数关系，其图象如图所示.已知某同学

的佩戴该种眼镜镜片的焦距为0.2米，经过矫正治疗后眼镜镜片的焦距调整到。.5米，则该同学的佩戴该种

近视眼镜的度数球少了（）

C.200度D.100度

二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分，请将答案填在答题卡上）

13.在锐角三角形ABC中，sin5=-,则N8的大小是___.

2

14.请写出一个反比例函数的表达式，使其图象位于第一、三象限，可以是

15.如图，喷呐主要由喷呐杆AP和喷呐碗依两部分组成.制作喷呐时，通常将连接点〜设计在喷呐A3

的黄金分割点（即这样啖呐既美观又有最好的音效.现有一个长度为20cm的唤呐

碗，欲用其制作一个这样的黄金分割।唤呐，则需要制作的嗔呐杆的长度是cm.（结果保留根号）

16.如图，在RtZ\A3c纸片中，NC=90。，AC=3,BC=4,现将纸片沿Eb翻折，使点。落在

AC上的点。处，若4CDEs/\CAB,则CE=

三、解答题（本大题共7题，共72分，请将解答过程写在答题卡上）

17.计算、解方程:

(1)计算:V4-2tan45°：

(2)解方程：x2+4x+3=0-

18.如图，在平面直角坐标系中，VA8C的三个顶点的坐标分别为A（—3,4）,8（—4,1）,C（-l,2）.

(1)以X轴为对称轴，画出VA8C的轴对称图形44片C1；

(2)以点。为位似中心，在第四象限内将VABC放大到原来的2倍，画出VA8C的位似图形△ARC?；

(3)求△44G与面积之比.

19.4技术已渗透至社会各领域，某校综合实践小组开展了对两种用软件“。模型”和“M模型”进行

使用满意度调查，并从中各随机抽取20份，对数据进行整理、而述和分析(分数用x表示，隹位：分，满

分100分，分为四个等级：A：X>90,B：80<x<90,C：70Wx<80,D：60<x<70),下面给

出了部分信息：

抽取对“。模型”的评分数据中3等级的数据：89,89,88,87,86,86,84：

抽取的对模型”的评分数据：100,99,98,98,97,97,97,95,89,88,87,87,86,86,85,

84,78,72,69,68.

抽取的对“D模型”、“M模型”的评分统计表

品牌平均数中位数众数A等级所占百分比

。模型88b9845%

M模型8887.5C40%

抽取的对“。模型”评分的扇形统计图

A

R

\/C

X./a\

根据以上信息，解答下列问题：

（1）上述图表中。二,b=,c=：

（2）根据以上数据，你认为哪个A/软件更受用户的喜爱？请说明理由；（写出一条理由即可）

（3）此次测验中，有300人对“。模型”进行评分，260人对模型”进行评分，估计此次测验中对

“D模型”、“M模型”两种4软件评分为4等级共有多个人？

20.如图，已知NB=NADE，Zl=Z2.

（1）求证：△ABCCOAADE；

（2）若N8=40。，NC=60。，求ND4石的大小.

21.壮锦是广西壮族传统手工织锦，被誉为“中国四大名锦”之一.某文创商店以“文旅+科技”融合的模

式，通过直播带货走向创新发展之路，通过直播带货，该商店2025年10月份销售了壮锦文创产品200

件，12月份销售了450件.

（1）求2025年10月到12月，该商店通过直播带货销售壮锦文创产品销量月平均增长率；

（2）根据市场预测，2025年12月到2026年1月，该商店壮锦文创产品通过直播带货的销售量将保持

（1）中的月平均增长率增长，请估计该商店2026年1月壮锦文创产品通过直播带货的销售量.

22.综合与实践

【背景材料】在我国古代著作《墨经》中，记载了世界上最早的小孔成像实验，即光线穿过小孔时，物体

上部的成像在下部，下部的成像在上部，形成倒立的像.某校九年级数学物理兴趣小组开展了重现这•古

代智慧的项目式学习.

【几何图形】图1是该兴趣小组设计的小孔成像实验图，现将实验图转化成几何图形示意图（图2）,其中

小孔为。，烛焰A8（其中A为烛焰顶端，9为烛焰底端）在屏幕上的像为C。，小孔到烛焰A8的距离

为4,小孔到屏幕的距离为4,烛焰48与屏幕上的CO平行.

c

图I图2

【初始实验数据】已知AB=5cm,4=20cm,=40cm.

（直观感知］（1）证明：dOABjODC：

【初步探究】（2）求CO的高度；

【深入探究】（3）保持A8=5cm不变，将蜡烛向小孔。方向靠近，使乙变为16cm,同时将屏幕远离小

孔。，使4变为48cm,通过此数据计算并对比初始实验数据说明：当4减小、4增大时，CD的高度如

何变化？

【创新探究】（4）在实验中为了得到一个较大且清晰的像，烛焰与小孔的距离一般要求不小于10cm,现

3

保持4+4=100cm,43=5cm不变，若要求CON清直接写出4的取值范围.

23.探究与应用

【阅读材料】

材料1：若一元二次方程依2+公+。=0（。=0）的两个实数根为A,x2,则有

材料2：在数学探究课上，李老师定义了一种新的三角形一一双正切三角形：如果一个宜角三角形的两个

锐角的正切值恰好是一元二次方程o?+〃x+c=0（aw0）的两个实数根，那么这个直角三角形就称为该

一元二次方程的“双正切三角形”.

材料3：

探索发现

如图，在RtZXABC

中，ZC=90°,r△ABC是一元二次方

BC=a,AC=b,

程2x2+/71V4-/?=0的“双

AB=c.

正切三角形”，且

【问题解决】结合以上信息，回答下列问题:

（1）若tan4=2,求加，c的值;

II?5

⑵若言+言=丘’求解方福2『+inx+〃=0;

【拓展应用】

（3）如图，在（2）的条件下，在平面直角坐标系中，RtZ\A8C的斜边在工轴匕点A与原点0重

k

合，若RtAABC的面积是24,反比例函数），=；（攵＞0）在第一象限的图象经过点C,求攵的值.

桂林市2025〜2026学年度上学期期末调研试卷九年级数学

（考试用时120分钟，满分120分）

注意事项：

L试卷分为试题卷和答题卡两部分，在本试题卷上作答无.

2.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

3.答题前，请认真阅读答题卡上的注意事项.

一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符

合要求的，用23铅笔把药踏卡上对应题目的答案标号涂黑）

I.下列关于1的方程中，是一元二次方程的是（）

22

A.x+2x=0B.x+1=0C.ax+bx+c=0D.4r=1

x

【答案】A

【解析】

【分析】本题考查了一元二次方程的定义，通过化简后，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高

次数是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程，由此逐项判断即可，熟练掌握一元二次方程的定义是

解此题的关键.

【详解】解：A、X2+2X=O,是一元二次方程，符合题意；

B、X+1=O,是一元一次方程，不符合题意；

C、ax2+bx+c-0^当a=O时，不是一元二次方程，不符合题意；

D、4=U是分式方程，不符合题意；

x~

故选：A.

2.下列各组长度的线段（单位：厘米）中，是成比例线段的是（）

A.3,6,7,9B.2,5,6,8C.3,6,9,18D.I,2,3,乙

【答案】C

【解析】

【分析】本题主要考杳了成比例线段的定义，若四条线段。、b、C、d满足f=二，则它们成比例，准确

b（1

分析判断是解题的关键.

分别计算各选项的比值即可判断.

37

【详解】对于选项A：三工入，不符合题意;

69

对于选项B：—*—,不符合题意;

58

39

对于选项C：,符合题意；

61138

-工-

对于选项D：24不符合题意;

••・只有选项C是成比例线段：

故选C.

3.某物质的分子结构如图所示，所有六边形都是正六边形，用放大镜观察该分子结构，则保持不变的是

A.A8的长度B.六边形A3CDM的周长

C.六边形43CZ)跖的面积D.NEDC的度数

【答案】D

【解析】

【分析】本题考查相似图形的性质.根据相似图形的性质即可求解.

【详解」解•：依题意，用放大镜观察该分了•结构：原图形与放大后的图形是相似图形，

・・・A8的长度变大，六边形A8CDE尸的周长变大，面枳变大，NECO的度数保持不变.

故选：D

4.某省举行射击比赛，教练打算从甲、乙、丙、丁四人中选派一人参赛，每人都进行20次射击，他们的

平均成绩相同，方差分别是sj=().9,s乙2=().4,=]2,s丁2=().6,则成绩最稳定的选手是()

A.甲B.乙C.丙D.T

【答案】B

【解析】

【分析】本题主要考查了方差的性质

由干四人的平均成绩相同，因此只需比较方差的大小，方差越小，表示成绩越稳定.

【详解】解：•・,扁=09电=0.4,*=1.2,s；-=0.6,

,:0.4<0.6<0.9<1.2,

，乙的方差最小，成绩最稳定.

故选:B.

Q

5.若点（2,/在反比例函数），二一的图象上，则。的值是（）

A

A.4B.-4C.2D.-2

【答案】A

【解析】

【分析】本题考查反比例函数图象上的点，根据反比例函数图象上的点的横纵坐标之积为上，进行求解即

可.

Q

【详解】解：•・•点（2,。）在反比例函数），=一的图象上，

.I

8

.*.«=­=4；

2

故选A

6.如图，在VAAC中，E，尸分别是边AB,AC上的点，且石尸〃8C.若AE=2,BE=4,

A/=1，则/C的长是（）

【答案】D

【解析】

【分析】本题考查平行线分线段成比例，根据平行线分线段成比例，列出比例式进行求解即可.

详解】解：•・•M〃6C,AE=2,BE=4,AF=b

AFAE21

..==-=一,

CFBE42

：,CF=2AF=2,

故选D.

7.用配方法解方程/+2工一3=0时，配方后正确的是（）.

A.（11=4B.（1）2=2C.（x+1）2=4D.（X+1）2=2

【答案】C

【解析】

【分析】本题考查了解一元二次方程一配方法：将一元二次方程配成"+"2）2=〃520）的形式，再利用直

接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法.

先把-3移到方程的右边，然后方程两边都加1,再把左边根据完全平方公式写成完全平方的形式即可.

【详解】解：・・・x2+2x—3=0,

•**x2+2x=3»

，d+2x+l=3+l，

,\(X+1)2=4.

故选c.

8.一元二次方程4d—3x+l=0的根的情况是()

A.没有实数根B.有两个不相等实数根

C.只有一个实数根D.有两个相等实数根

【答案】A

【解析】

【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，通过计算判别式△的值判断根的情况即可.

【详解】解：〈方程4/一3x+l=0中,。=4,Z?=_3,c=l,

/.A=/?2-4f/r=(-3)2-4x4xl=9-16=-7<0,

・••方程没有实数根；

故选A

9.如图，7ABC二个顶点都在正方形网格的格点上，贝9COS乙4/C的值为()

A.|B.—C.@D.@

2223

【答案】B

【解析】

【分析】本题考杳网格中的三角函数值，作勾股定理求出4B的长，利用余弦的定义，进行求

解即可.

【详解】解：作AO18C,

由图和勾股定理得：B力=4,A8=,42+42=4及，

.八”BD4也

・・cosZ.ABC==—7==—；

AR4V22

故选B.

10.《九章算术》是我国古代数学名著，有题译文如下：今有门，不知其高宽；有竿，不知其长短.横

放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线长恰好相等.问门高、宽和对角

线的长各是多少？设门对角线的长为x尺，下列方程符合题意的是()

A.(1+2)2+*-4)2=工2B.(X-2)2+X2=(X+4)2

C.f+(工+2)2=(X+4)2D.U-2i2+a-4)2=X2

【答案】D

【解析】

【分析】由题意可得门高(片2)尺、宽(片4)尺，长为对角线x尺，根据勾股定理可得方程.

【详解】解.：设门对角线的长为大尺，由题意得：

(A-2)2+(x-4)2r2,

故选：。.

【点睛】此题主要考有了由实际问题抽象出一元二次方程，关铤是正确理解题意，找出题目中的等量关

系.

11.如图，在平行四边形A8CD中，石是边4。上一点，DE=2AE,连接AC、纸相交于点0,若

△AOE的面积为I,则VA3C的面积为()

【答案】B

【解析】

【分析】设AE=x，而。£=24E=2x,可得AO=3x,由平行四边形A3CO,可得AQ〃8C,

（）PAfI2

xi^mi,鼠*空」

AD=BC=3X,证明:AOEsaCg,一=一=—=-==

（3）93

OBBC3x3S.BOCSA.OB

从而可得答案.

【详解】解•：设AE=x,而。石=2AE=2x,

AD=3x，

•・•平行四边形H3CO,

AAD//BC,AD=BC=3x,

/.IAOE^COB，

.OEAEx1SCY1

SB0C-1引-9

■:SAOE=］，

SgOJ1

•v=9

sAOBOB3

•'•SAAOB=3,

；•SABC=3+9=12.

故选B

【点睛】本题考查的是平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，熟记相似三角形的面税比等于相似

比的平方是解本题的关键.

12.某种近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距X（米）成反比例函数关系，其图象如图所示.已知某同学

的佩戴该种眼镜镜片的焦距为0.2米，经过矫正治疗后眼镜镜片的焦距调整到。.5米，则该同学的佩戴该种

近视眼镜的度数诚少了（）

八度）［

500--X

O0.20.5x（米）

A.500度B.300度C.200度D.100度

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查反比例函数的实际应用，待定系数法求出函数解析式，进而求出x=0.5时的函数值，进

行求解即可.

【详解】解:由题意，设），二人，

x

把（0.2,500）代入，得A=0.2x500=100,

100

••y—,

x

10（）

当工=0.5时，y=---=200，

,0.5

500-200=300（度）；

故选：B.

二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分，请将答案填在等型卡上）

13.在锐角三角形ABC中，sin3=■，则的大小是.

2

【答案】30c

【解析】

【分析】根据已知条件sin3=],又因为sin30o=:，即可求出的大小.

22

【详解】：sin3（r=g,而sinB=g,

，锐角B为30。，

故答案为：30°

【点睛】本题主要考查锐角三角函数一正弦，熟练掌握锐角三角函数的知识点和熟记特殊角的三角函数值

是解题的关键.

14.请写出一个反比例函数的表达式，使其图象位于第一、三象限，可以是_____.

【答案】），=’（答案不唯一）

【解析】

【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数的性质，当比例系数2>0时，图象位于第一、

三象限，即可得出结果，熟练掌握反比例函数的性质是解此题的关键.

【详解】解：•・•反比例函数的图象位于第一、三象限，

・・・反比例函数表达式可以为），=’,

X

故答案为：y=-（答案不唯一）.

X

15.如图，啖呐主要由喷呐杆”和唤呐碗尸6两部分组成.制伫唤呐时，通常将连接点产设计在喷呐A6

的黄金分割点（即4P2=3p.A8）,这样喷呐既美观又有最好的音效.现有一个长度为20cm的喷呐

碗，欲用其制作一个这样的黄金分割喷呐，则需要制作的喷呐杆的长度是_____cm.（结果保留根号）

【答案】（10百-10）

【解析】

【分析】本题考查黄金分割，设，P=mm,得至iJAB=（20+x）cm,根据列出方程进行

求解即可.

【详解】解：设=则人A=（20+“cm,

,:AP1=BPAB，

A?=20（20+%）,

解得工=10后+10或工=-10石+10（舍去）；

故,40=（106+10卜111；

故答案为：（104+10）

16.如图，在Rt443C纸片中，NC=90。，AC=3,BC=4,现将纸片沿石口翻折，使点8落在

AC上的点。处，若△COES2XC4B,则CE1二.

【答案】y

【解析】

【分析】本题考杳勾股定理和相似三角形的性质，勾股定理求出48的长，相似三角形的性质，推出

CFDFCFRC4

^―=—,进而得到J=J=一，根据折叠得到BE=OE，进而推出CE+OE=BC,进行求解即

BCASDEAB5

可.

【详解】解：・・・NC=90。，AC=3,BC=4,

/.AB=5,

•・,△CDEsMAB，

.CEDE

••正一花’

.CEBC4

**DE-^W-5*

设CE=4x,DE=5x,

•・•折叠，

BE=DE=5x»

・•・BC=BE+CE=9x=4,

4

/.x=—,

9

：.CE=4x=—；

9

故答案为：y.

三、解答题（本大题共7题，共72分，请将解答过程写在答题卡上）

17.计算、解方程：

（1）计算：V4-2tan45°；

（2）解方程：＜+4x+3=0.

【答案】（1）0（2）玉=-1,%=-3.

【解析】

【分析】本题主要考查了实数的运算，解一元二次方程等知识.

（1）根据算术平方根的定义，特殊角的三角函数值进行计算即可.

（2）根据方程的特点，用因式分解法进行解答即可.

【小问1详解】

解：x/4-2tan45°

=2-2

二0；

【小问2详解】

解：因式分解得(x+l)(x+3)=0,

工工+1=0或x+3=O,

Xj——],x?=—3.

18.如图，在平面直角坐标系中，NABC三个顶点的坐标分别为A(-3,4),8(-4,1),C(-l,2).

(1)以x轴为对称轴，画出VA8c的轴对称图形△44G;

(2)以点O为位似中心，在第四象限内将VABC放大到原来的2倍，画出VA8C的位似图形△A2与G；

(3)求△44G与的面积之比.

【答案】(1)图见解析

(2)图见解析(3)1:4

【解析】

【分析】木题考查坐标与图形变换一轴对称和位似，熟练掌握轴对称的性质，位似的性质，是解题的关键：

(1)根据轴对称的性质，画出△AMG即可；

(2)根据位似的性质，画出△人&。2即可；

(3)根据轴对称得到△A4G的面积等于VA8c的面积，位似得到的面积等于VABC的面积的

4倍，即可得出结果.

【小问1详解】

解：如图，△Age即为所求:

【小问2详解】

解：如图,△4与G即为所求;

【小问3详解】

解：由题意，△4用。1的面积等于VA8C的面积,

2G的面积与VA3C的面积之比为4：1,即AAB2c2的面积等于VA3c的面积的4倍，

・•・△A4G与△&与G的面积之比为1:4.

19.4技术已渗透至社会各领域，某校综合实践小组开展了对两种A7软件“。模型”和“M模型”进行

使用满意度调查，并从中各随机抽取20份，对数据进行整理、描述和分析（分数用x表示，胆位：分，满

分100分，分为四个等级：A：x>90,B：80Wx<90,C：70<x<80,D：60<x<70）,下面给

出了部分信息:

抽取的对“。模型”的评分数据中3等级的数据：89,89,88,87,86,86,84；

抽取的对“M模型”的评分数据：100,99,98,98,97,97,97,95,89,88,87,87,86,86,85,

84,78,72,69,68.

抽取的对“。模型”、“M模型”的评分统计表

品牌平均数中位数众数A等级所占百分比

。模型88b9845%

M模型8887.5C40%

抽取的对“。模型”评分的扇形统计图

根据以上信息，解答下列问题：

（1）上述图表中。二,b=,c=：

（2）根据以上数据，你认为哪个A/软件更受用户的喜爱？请说明理由；（写出一条理由即可）

（3）此次测验中，有300人对“。模型”进行评分，260人对模型”进行评分，估计此次测验中对

“D模型”、“M模型”两种4软件评分为4等级的共有多个人？

【答案】（1）15,89,97

（2）“。模型”软件更受用户的喜爱，理由见详解

（3）239人

【解析】

【分析】本题考查统计综合，涉及求中位数、众数、扇形某项百分比、由样本情况估计总体等知识，熟记统

计相关知识及求解方法是解决问题关键.

（1）先计算“。模型”的评分数据中〃等级占比，然后用1减去4、B、。等级所占百分比即可得到C

等级所占百分比，从而求出。：再由中位数及众数的定义与求法即可得到氏C；

（2）根据“。模型”评分数据中A等级所占百分比比“M模型”高即可得到答案;

（3）由样本中两种“软件评分为A等级的占比估计测验中的总人数即可得到答案.

【小问1详解】

解：“。模型”的评分数据中8等级数据有7份，

占比为：7・20xl00%=35%,a%=1-45%-35%-5%=15%；

“。模型”的评分数据中A等级数据份数为：20x45%=9,

8等级数据按从大到小顺序排列为：89,89,88,87,86,86,84,

可知“。模型”的评分数据中从大到小排序，第10,11位数据均为89,

89+89

..I）=-----------=OV；

2

“M模型”的评分数据中97出现了3次，出现的次数最多，

."=97；

故答案为：15,89,97；

【小问2详解】

解：“。模型”软件更受用户的喜爱，

理由如下：

“。模型”评分数据中人等级所占百分比比模型”高；（答案不唯一）

【小问3详解】

解：300x45%+260x40%=135+104=239（人）

答：估计此次测验中对“。模型”、模型”两种川软件评分为A等级的共有239人.

20.如图，已知NB=NA£）E，Zl=Z2.

（1）求证：△ABCS4\DE；

（2）若/5=40。，NC=60。，求N7ME的大小.

【答案】（1）见解析（2）80°

【解析】

【分析】本题考查了相似三角形的判定定理，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此

题的关键.

（1）先证明N8AC=ND4石，再结合NB=NA£）E即可得证；

（2）由三角形内角和定理计算即可得出结果.

【小问1详解】

证明：・・・N1=N2，

・•・Zl+ADAC=Z2+ADAC,

：./BAC=/DAE,

•・•4B=ZADE，

...△ABCCOAADE,；

【小问2详解】

解：,・・N3=40。，ZC=60°,

・•・ABAC=180°-ZB-ZC=80°,

:.ADAE=ZBAC=SO0.

21.壮锦是广西壮族传统手工织锦，被誉为“中国四大名锦”之一.某文创商店以“文旅+科技”融合的模

式，通过直播带货走向创新发展之路，通过直播带货，该商店2025年10月份销售了壮锦文创产品200

件，12月份销售了450件.

（1）求2025年10月到12月，该商店通过直播带货销售壮锦文创产品销量的月平均增长率；

（2）根据市场预测，2025年12月到2026年1月，该商店壮锦文创产品通过直播带货的销售量将保持

（I）中的月平均增长率增长，请估计该商店2026年1月壮锦文创产品通过直播带货的销售量.

【答案】⑴50%

（2）675件

【解析】

【分析】本题考杳一元二次方程的实际应用，正确的列出方程是解题的关键：

（1）设该商店通过直播带货销售壮锦文创产品销量的月平均增长率为大，根据平均增长率的等量关系

。（1+工）2=〃，列出方程进行求解即可；

（2）用12月的销量乘以（1+X）,进行求解即可.

【小问1详解】

解：设该商店通过直播带货销售壮锦文创产品销量的月平均增长率为凡由题意，得：

200（1+x）2=450,

解得x=0.5=50%或工=一2.5（舍去）；

答：该商店通过直播带货俏售壮锦文创产品销量的月平均增长率为50%；

【小问2详解】

解；450x（1+50%）=675（件）；

答：估计该商店2026年1月壮锦文创产品通过直播带货的销售量为675件.

22.综合与实践

【背景材料】在我国古代著作《墨经》中，记载了世界上最早的小孔成像实验，即光线穿过小孔时，物体

上部的成像在下部，下部的成像在上部，形成倒立的像.某校九年级数学物理兴趣小组开展了重现这一古

代智慧的项目式学习.

【几何图形】图1是该兴趣小组设计的小孔成像实验图，现将实验图转化成几何图形示意图（图2）,其中

小孔为。，烛焰48（其中A为烛焰顶端，〃为烛焰底端）在屏幕上的像为CD,小孔到烛焰A4的距离

为4,小孔到屏幕的距离为烛焰A8与屏幕上的CO平行.

c

图I图2

【初始实验数据】已知AB=5cm,4=20cm,=40cm.

（直观感知]（1）证明：dOABjODC：

【初步探究】（2）求CO的高度；

【深入探究】（3）保持A8=5cm不变，将蜡烛向小孔。方向靠近，使乙变为16cm,同时将屏幕远离小

孔。，使4变为48cm,通过此数据计算并对比初始实验数据说明：当4减小、4增大时，CD高度如

何变化？

【创新探究】（4）在实验中为了得到一个较大且清晰的像，烛焰与小孔的距离一般要求不小于10cm,现

3

保持4+4=100cm,43=5cm不变，若要求CON清直接写出4的取值范围.

【答案】（1）见解析：（2）CD=IOcm：（3）当《减小、乙增大时，CD的高度变大；（4）10cm<Z,<40cm

【解析】

【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键：

（1）证明AB〃C£>,即可得证；

（2）根据相似三角形的性质，列出比例式进行求解即可；

（3）根据相似三角形的性质，求出此时CO的长，进行判断即可；

3

（4）求出CO=]AB时，4的长，结合（3）中结论，即可得出结论.

【详解】解：（1）如图，ZAEO=90°,ZLCFO=90°,

・•・ZAEO+zero-180°,

Z.AB//CD,

i.OAB^,ODC；

(2)VODC,AB=5cm，/,=20cm,/2=40cm,

CD_Z2_40

CD=2AB=10cm；

(3)V^OAB^aODC,

CD/,48.

•=-=—=3

**AB/,16'

CD=3AB=15cm；

v15>10,

・••当4减小、，2增大时，。。的高度变大；

3

(4)当CO=-A4时，

2

♦：AOABSLODC,

/CD3

•2=---=—

**/,AB2'

3,

；・L=二八，

-2

•//,I，+/,=100cm,

Ay/,=1（X）,解得《=40,

由（3）可知：当4减小、，2增大时，co的高度变大,

3

・••当CONFAB时，/,<40,

又・,•烛焰与小孔的距离一般要求不小于10cm,

A10cm</,<40cm.

23.探究与应用

【阅读材料】

材料1：若一元二次方程加।"।。=。（a#0）的两个实数根为不］,々，则有％+电=一2，

材料2：在数学探究课上，李老师定义了••种新的三角形一一双正切三角形：如果-个直角三角形的两个

锐角的正切值恰好是一元二次方程o?+永+。=0（。。0）的两个实数根，那么这个直角三角形就称为该

一元二次方程的“双正切三角形”.

材料3：

如图,在RtZ\ABC探索发现

中，ZC=90°,

BC=a,AC=b,R△ABC是一元二次方

AB=c.

程2x2+nix+〃=0的"双

正切三角形”，且

,ab、

tan-tanB=----=1.

ba

Cu

【问题解决】结合以上信息，I可答下列问题:

(1)若tanA=2,求阳,〃的值;

-1125

(2)若-------1------=—»求解方程:2x2+mx+n=O;

tanAtan812

【拓展应用】

（3）如图，在（2）的条件下，在平面直角坐标系中，RtZiABC的斜边45在x轴上，点4与原点。重

合，若RtAABC的面积是24,反比例函数y=；（Z>0）在第一象限的图象经过点C,求〃的值.

【解析】

【分析】（1）由题意可得，tan/4,tan〃是一元二次方程21十"e十〃=o的两个根，且有

tanA-tanB=\,结合题意可得lanB,再结合tanA+tanB=-'=*,tanA-tan^?=—=1,计

2222

算即可得出结果；

（2）由题意可得sn'T1atanA.tanB是一元二次方程2f+〃次+〃=0的两个根，且有

tanA-tanB12

tanA-tanB=1,则tanA+tanB="，结合tanA+tan8=-'="，tan-tanB=—=1,求出

122122

252