寒假作业13 等边三角形（知识预习+达标检测）

等边三角形的性质和判定

题型归纳__________________________________________

【题型1利用等边三角形的性质求边长】

【题型2利用等边三角形的性质求角度】

【题型3等边三角形的判定与性质】

【题型4含30°角的直角三角形的性质】

基础知识知识梳理理清教材

考点1：等边三角形的概念与性质

1.等边三角形概念

三条边都相等的三角形叫做等边三角形.也称为正三角形.

注意:

（1）等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）.

ZA=I8O°-2ZB,NB=NC=侬。-NA

2

（2）等边三角形与等腰三角形的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一

定是等边三角形.

2.等边三角形的性质

（1）等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴，每个角的平分线（底边上的高线

或中线）所在的直线就是它的对称轴.

（2）三个角都是60°

题型分类深度剖析)

【题型1利用等边三角形的性质求边长】

【典例1】（24-25八年级上•四川成都・期中）如图，等边三角形的边长为6,则高4。的长为

()

A.V3B.26D.3

【答案】C

【分析】此题考查了等腰三角形及等边三角形的性质，以及勾股定理，熟练掌握性质及

定理是解本题的关键.由等边三角形的性质可知三边长都为6,再利用等腰三角形的三

线合一性质，由4D与BC垂育.得到。为BC的中点，进而由BC的长求出8D的长，在百角

三角形4BD中，由A8及BD的长，利用勾股定理即可求出4）的长.

【详解】解:回△4BC为边长为6的等边三角形，且4D1BC,

EL4F=AC=BC=6,

0BD=CD=*RC=3,

在Rt△力BD中，i\AB=6,BD=3,

根据勾股定理得：AD=y/AB2-BD2=36.

故选：C.

【变式1-1］（24-25八年级上•浙江宁波•期中）已知等边A4BC的一边长为2,则它的周长是

（）

A.2B.5C.6D.8

【答案】C

【分析】本题主要考查等边三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键；

因此此题可根据等边三角形的三条边都相等进行求解即可.

【详解】解：由等边A/IBC的一边长为2,可知：该等边三角形的三条边都为2,所以它

的周长为6；

故选C.

【变式1-2］（24-25八年级匕全国•期中）如图，等边△A8C,点0是BC上任意一点，0E、

。尸分别与两边垂直，等边三角形的高为4.则0E+0尸的值为（）.

A.2B.2>/3C.4D.473

【答案】C

【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，等边三角形的面枳求法等知识点，根据

S^ABC=ShA0B+S^0C,由△ABC是等边三角形，得出三个三角形是等底的三角形，进

而可得出高。尸+高。E等于三角形ABC的高，熟练掌握三角形的面积求法是解决此题的

关键.

【详解】连接A0,

团△48。是等边三角形,

胤4B=AC=BC,

-OEJ.AB>OFJ.ACtS&ABC=SMOB+SAAOC，等边二角形的I团为4,

用8CX4=..OE+豺CM,%X4=*OE+OF),

WE+OF=4,

故选：C.

【变式1-3](24-25八年级上海南僧州•阶段练习)如图，已知△48c是等边三角形，且边长

为3,点D、E分别在边力C、8C上，将△CDE沿DE所在的直线折叠，若点C落在点C'处，

DC、EC'分别交边A8于点F、H.则阴影部分图形的周长等于()

A.6B.7D.9

【答案】D

【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，折叠的性质，由折叠的性质得CD=C，D,

CE=是解题的关键.利用折叠的性质可得CO=C'O,CE=CE,利用等量代换和

等式的性质解答即可.

【详解】解：利用折置的性质可得：CD=C'D,CE=C'E.

团阴影部分图形的周长=AD+CD+AH+CH+BH+BE+EH

=(AD+CD)+(AH+BH)+(C'H+HE+BE)

=(AD+CD)+AB+(BE+EC)

=AB+AC+BC,

[?!△力8。是边长为3的等边三角形,

（MB=AC=BC=3^

^AB+AC+BC=9,

团阴影部分图形的周长等于9,

故选：D.

【题型2利用等边三角形的性质求角度】

【典例2】（2024八年级上•黑龙江•专题练习）如图，直线翻匕，等边三角形4BC的顶点B在

直线b上.若乙1=34。，则匕2等于（）

A

:上

A.84°B.86°C.94°D.96°

【答案】c

【分析】本题考查了等边三角形的性质，三角形外角的性质，平行线的性质；由等边三

角形的性质得乙4=60。，由三角形外角的性质得43=U+41,由平行线的性质得乙2=

23,即可求解；掌握等边三角形的性质，三角形外角的性质，平行线的性质是解题的关

键.

【详解】解：如图，

£

A

R•・•△48C是等边三角形，

乙—60%

:.Z.3=Z./1+Z1

=60°+34°

=94°,

allb,

42=43=94°,

故选：C.

【变式2-1］（23-24八年级上・甘肃张掖•期末）如图，△ABC是等边三角形，点。在AC边上,

乙DBC=35°,则4108的度数为（）

A.25°B.60°C.85°D.95°

【答案】D

【分析】本题考查了等边三角形的性质，三角形外角定理，熟练掌握等边三角形性质及

外角定理是解题的关键.利用等边三角形的性质及三角形外角定理计算即可.

【详解】团△45c是等边三角形，

0ZC=60°,

0ZDSC=35°,

⑦乙ADB=ZC+Z-DBC=60°+35°=95°,

故选：D.

【变式2-2］（24-25八年级上•吉林・期末）如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面口勺等

边△4BC上，若41=24。，则乙2的度数为（）

A.24°B.36°C.48°D.56°

【答案】B

【分析】本题主耍考直平行线的性质，解答的关键勉记平行线的性质两直线平行，同位

角相等；先求出三角形是等边三角形利用外角的定义可求得NBCD=120。，再利用三角

形内角和求出NBDC=36。，再由平行线的性质可得42=36。

【详解】解①如图

A

DCF•.•等边△ABC中，LACF=60°,

Z.ACD=120°,

Vzl=Z.CBD=24°,

Z.BDC=180°-120°-24°=36°.

•・,太阳光线平行,即有:DBIIEF.

:.乙2=LBDC=36°.

故选：B.

【变式2-3］（24-25八年级上•辽宁大连•期末）如图,>ABC"DEC,且点E恰好落在线段

ARI-.乙1=40°,//?=70。.则Z.OC4的度数为（）

【答案】C

【分析】本题考查全等三角形性质，等腰三角形性质，三角形内角和等.根据题意可以

得出8C=EC,继而得到NCEB=Z-CBE=70%再利用三角形内角和可得，BCE=40°.

即可得到本题答案.

【详解】解：RAABCWADEC,

[3BC=EC,乙DCE=LACB.

^DCE-乙ACE=/LACB-^ACE,即乙。CA=乙BCE,

国乙CEB=乙CBE=70S

0ZFCE=180°-70°-70°=40°,

^DCA=（BCE=40°,

故选：C.

基础知识,知识梳理理清教材

考点2：等边三角形的判定

（1）三个角相等的三角形是等边三角形.

（2）有•个角是60。的等腰三角形是等边三角形.

题型分类深度剖析,

【题型3等边三角形的判定和性质综合】

【典例3］（24-25八年级上•甘肃定西•期末）如图,已知A48C中AB=IC,点P是底边的中

点，PZ）_LA8,PELAC,垂足分别是0、E,

（1）求证:PD=PE；

⑵若NB71C=60。，BP=1,求△ABC的周长.

【答案】（1）证明见解析

⑵6

【分析】（1）由等边对等角可得48=乙。,再证明ABDP空ACEPIAAS）即可求证；

（2）由BP=1得BC=2,再证明△ABC为等边三角形的，根据等边三角形的性质即可

求解：

本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，

掌握以上知识点是解题的关键.

【详解】（1）证明：MB=AC,

0zF=Z.C,

回点P是底边的中点，

0BP=CP,

0PDLAB,PELAC,

位乙BDP=乙CEP=90°,

BDPCEP(AAS),

^PD=PE；

（2）解：0点P是底边的中点，

（3BC=2BP=2,

=AC,LBAC=60°,

回△ABC为等边三角形的，

（3A/BC的周长=3BC=3X2=6.

【变式3-1］（24-25八年级上•山东滨州•期中）如图，在等边△ABC中，幺BC与〃C8的平

分线相交于点O，且0D||交BC于点D,0EII4C交8。于点.

⑴试判定△0DE的形状，并说明你的理由；

（2）若8c=10,求^OOE的周长.

【答案】为等边三角形，理由见解析

⑵10

【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，等角对等边，平行线的性质，正确掌握

相关性质内容是解题的关键.

（1）先结合△A8C为等边三角形，以及平行线的性质得NODE=乙ABC=60°,WED=

乙4cB=60。，即可证明△ODE为等边三角形，进行作答.

（2）结合角平分线的定义以及平行线的性质得乙DOB=4。8。，再由等角对等边.得

BD=OD,同理得CE=OE,即可作答.

【详解】（1）解：4OOE为等边三角形，

理由如下：

为等边三角形，

4ABe=乙4cB=60%

vODWAB,OEWAC,

•••（ODE=乙ABC=60°,乙OED=Z-ACB=60°,

••.△ODE为等边三角形:

(2)解：•••。8平分ODWAB,

乙ABO=iDOB,LABO=Z.DBO,

."DOB=Z.DBO,

•••BD=OD,

同理CE=OE,

OOE的周长=OD+DE+OE=BD+DE+CE=BC=10.

【变式3-2](24-25八年级上•浙江杭州•期中)我国的纸伞工艺十分巧妙.如图，伞不论张

开还是缩拢，伞柄力P始终平分同一平面内两条伞骨所成的角力C,且4E=AF=DE=

DF.

(1)求证：Z.DAE=^DAF.

⑵由(1)可得伞圈O在伞圈4P上滑动.如图1,伞打开时，9/C=120°,AE=20cm；

当伞缩拢到图2状态时，乙BAC=60。时，伞圈。下滑的距离0劣长是多少？

【答案】(1)见解析

(2)(20^-20)cm

【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定

理等知识，适当选择全等三角形的判定定理证明4DAE=△DA/是解题的关键.

(1)\\]AE=AF,DE=DF,AD=AD,根据"SSS”证明△ONE三△OAF,则4。AE=

乙ZMF；

(2)首先证明AADE是等边三角形，贝必。=4E=20cm,结合々BAC=60。证明△HE尸

是等边三角形，所以E尸=AE,设/内交E/7于点H,则=FH=10cm,Z.AHE=90°,

利用勾股定理解得4H的值，易知ADi=24〃.即可求得答案.

【详解】(1)证明：在和△D4r中，

(AE=AF

IDE=DF，

UD=AD

0ADAE三△DAF(SSS),

^LDAE=LDAF.

(2)解：如图1,

0ZF/1C=120。,AE=20cm,

^Z-DAE=Z-DAF=-2LBAC=60°,

^AE=DE,

仅△40E是等边三角形，

\LAD=AE=20cm,

如图2,设AD1交EF于点H,

W.AE=AF=20cm,乙BAC=60°,

(?；△AEr是等边三角形，

EFF=AE=20cm.

0Z.D]i4F=乙D]AF,

回：

EH=FH=EF=10cm,ADr1EF,

^AHE=90°,

^AH=y/AE2-EH2=V202-102=10V3cm,

^AE=DE,EF!ADlt

团D/=AH,

回4。1=2AH=20V3cm，

回。5=(百-)

ADX-AD=2020cm,

答：伞圈OF滑的距离DDi长是(20返-20)cm.

【变式3-31（2024七年级下•全国•专题练习）如图，过等边448（:的边48上一点化作PEJ.AC

于E,Q为BC延长线上一点，且PA=CQ,连PQ交AC边于D.

⑴求证：PD=DQ；

⑵若A/IBC的边长为1,求DE的长.

【答案】⑴见解析

(2)：

【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性

质等知识.熟练掌握等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性

质是解题的关键.

(1)如图，过P作PF||BC交于皮足证明△力P尸是等边三角形；证明△PFOwa

QCD(ASA),进而结论得证；

(2)由(1)可知，A4P尸是等边三角形，由PE_L4C,可得/£1=£1/.由(1)可知，

△PFDQCD(ASA),则CD=DF,根据DE=EF+DF=计算求解即可.

【详解】(1)证明：如图，过?作PFIIBC交4c于点尸,

gzAFP=iACB,Z.FPD=Z.Q,乙PFD=^QCD,

国△力BC为等边三角形，

仅乙4=乙4cB=60°,

总乙4=Z.AFP=60°,

0A4P尸是等边三角形；

0/1P=PF,

团PA=CQ,

0PF=CQ

0APFD三△QCD(ASA),

0PD=DQ.

(2)解：由(1)可知，AAPF是等边三角形,

团PE1AC,

回AE=EF,

由(1)可知，△PFD=△QCD(ASA).

回CD=DF,

WE=EF+DF=^AC=^,

22

(3DE的长为发

基础知识/知识梳理理清教材

考点3：等边三角形的判定

定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30。，那么它所对的直角边等于斜边的一半.

题型分类深度剖析,

【题型4含30°角的直角三角形的性质】

【典例4](23-24八年级上•北京海淀•期中)如图，在△ABC中，乙B="=30°,4。JLA8交

BC于点、D,BC=12,则80=.

【答案】8

【分析】本题考查了等腰三角形的判定，三角形的内角和定理，含30。角的直角三角形

的性质，由48=4。=30。，根据三角形的内角和定理得484。=120。，由垂直定义得

48/10=90。，则N&W=NC=30。，由30。角的直角三角形的性质得8D=240,然后

代入即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键.

【详解】解：0Z5=LC=30°,

团乙84c=180°-30°-30°=120%

团AOA.AB,

^BAD=90°,

0ZC/1D=ZC=30°,

^BD=2AD,AD=CD,

2

团BD=押=8.

故答案为：8.

【变式4-l］（24-25九年级上•山东青岛・期末）如图，小明在A处看见前面山上有个气象站C,

仰角为15。，当笔直向山行4千米到达3处时，小明看气象站C的仰角为30。.请你算

出这个气象站离地面为高度。。是.

【答案】2千米

【分析】该题主要考查了等腰三角形的判定，直角三角形的性质，解题的关键是理解题

意.

根据题意证明乙8。4=乙4,得出BC=AB=4千米，再根据直角三角形的性质即可解答.

【详解】解：^CBD=+乙BCA.LA=15°,乙CBD=30°,

^BCA=30°-15°=15°,

^BCA=乙4,

（3BC=AB=4（千米），

BCD1AB,

0CD=jFC=1x4=2（千米）.

故答案为：2千米.

【变式4-2］（24-25八年级上•江苏宿迁•期中）如图，已知△力BC中，4c=90。,4=302

BD平分NCBA,且交AC于点D,AC=1,那么AD的长是.

【以

【分析】本题考查了含30。角的直角二角形的性质、角平分线定义以及等腰二角形的判

定等知识，熟练掌握含30。角的直角三角形的性质和等腰三角形的判定是解题的关键.由

直角三角形的性质和侑平分线定义得NC8D=/.ABD=30°=乙4,则BD=2CD,AD=

BD=2CD,得AC=3CD,再求出CD=%即可得出结论.

【详解】解：0ZC=90°,乙4=30°,

^ABC=60°,

（33。平夕》乙C8A,

国乙C80=4480=30°=Z.A,

WD=2c0,AD=BD=2CD,

图AC=3CD,

团4c=1,

0CD=

3

团W=AC-CD=U

33

故答案为：

【变式4-3]（24-25八年级上•吉林•期末）如图，在中，ZC=90°,NB=30。，以

点A为圆心，4c为半径作弧，交力B边于点。，若80=3,则力C=.

【答案】3

【分析】本题考查了直角三角形的性质，尺规作图.根据直角三角形的性质得到AC=

“B，根据尺规作图机4D=AC="B,利用BD=3,列式计算即可求解.

【详解】解：在RtAABC中,ZC=90°,Z-B=30°,

[34C="B,

2

团以点A为圆心，4c为半径作弧，交4B边于点。，

。

04=AC=-2AB,

PBD=3.

\SAB-AD=3,即2AD-4D=3,

解得AD=3,

0i4C=AD=3,

故答案为：3.

'维达标测试f

一、单选题

1.（24-25八年级上•山东荷泽•期中）如图，等边△力8C的边长为4,8。平分4WC,点E在BC

的延长线上，乙E=30。，则BE的长为（）

【答案】B

【分析】本题主要考查等边三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键.

根据题意易得力D=CO=2cm,乙4cB=60。，然后可得乙E=zCDE=30。，进而问题可

求解.

【详解】解：回边△ABC的边长为4,,80平分乙ABC，

04D=CD=-AC=-AB=2.Z,ACB=60°,

22

团乙E=30°,

0ZCDF=Z-ACB一乙E=30°,

团4E=乙CDE=30°,

0CF=CD=2,

0BE=CEISC=2+4=6.

故选B.

2.（24-25八年级上•山东济宁•期中）如图，△48C中,AB=AC,4B=30。，点、D,2在BC

上，AD=BD,AE=CE.则△ADE是（）

A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.不等边三角形

【答案】B

【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、三角形外角的定义及性质、等边三角形

的判定定理，由等边对等角得出,艮4D=乙8=30°,LCAE="=30。，再由三角形外

角的定义及性质可得乙4。£=484。+48=60。，LAED=LCAE+zC=60°,即可得

解.

【详解】解：团A4BC中，AB=AC,4B=30。，

0ZC=Z.B=30°,

^AD=BD,AE=CE^

^LBAD=cB=30°,乙CAE=zC=30°,

团ZTlDE=Z-BAD+乙B=60°»Z.AED=A.CAE+Z.C=60°»

团△ADE是等功三角形,

故选:B.

3.(24-25八年级上•山东麻沂•期中)如图，油纸伞在我国已有一千多年的历史，是中国古

代劳动人民智慧的结晶.图1是油纸伞展开后的剖面图，图2是油纸伞收起后的剖面

图.已知8,E分别为力C和4F的中点，AABD和△4ED都为边长为4的等边三角形，D为

撑杆AM上可移动的点，当伞从展开状态到收起状态的过程中，。移动的距离是()

【答案】B

【分析】本题考杳等边三角形的应用，解题的关键是熟练掌握等边三角形的性质.当伞

从展开状态到收起状态的过程中，。移动的距离是力8+8。-力。，据此求解即可.

【详解】解：；△4月。和△力EO都为边长为4的等边三角形，

•••AB=BD=AD=AE=DE=4.

.•.当伞从展开状态到收起状态的过程中，。移动的距离是AB+8。一力。=4+4-4=4,

故选：B.

4.（24-25八年级上•吉林松原•期末）如图，将三个大小不同的等边三角形的一个顶点重合

放置.若=10°,乙2=20°,则43的度数为（）

A.10°B.20°C.30°D.40°

【答案】C

【分析】本题考查等边三角形的性质，角的和差计算，根据题意，得到N1+44+乙3=

43+乙4+45=45+乙2+△3=60。，进行求解即可.

【详解】解：如图，由题意，得：41+44+43=乙3+44+/5=45+42+43=60。

0z5=zl=10°,

0Z3=60°-Z2-Z5=30°：

故选C

二、填空题

5.（24-25八年级上•辽宁大连♦期中）如图，△ABC是等边三角形，点0、E、尸分别在4B、8C、

AC上，zl=z2,LDFE=70°,MzFDF=°.

A

【答案】50

【分析】本题考查等边三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质等知识,

证明/DEF=N8=60。，可得结论.

【详解】解：团△A3C是等边三角形，

回乙4=Z.B=Z.C=60°,

0ZDEC=Z.24-Z.DEF=Z1+乙B,zl=Z2,

razDEF=ZF=60°,

EzDFF=70°,

BZFDF=180°-Z-DEF-乙DFE=180°-60°-70°=50°.

故答案为：50.

6.（24-25八年级上•吉林•期末）如图，△4BC是等边三角形,8。是力C边上的中线,DM1BC,

垂足为M,若AC=4,则CM=.

【答案】1

【分析】本题考查了等边三角形的性质，含30。角的直角三角形的性质，由AABC是等

边三角形，得乙C=60。，BA=BC,由等腰三角形"三线合•〃得AD=CD=1AC=2,

最后由含30。角的直角三角形得性质即可求解，掌握等腰三角形“三线合一”性质，含30。

角的直角三角形性质是解题的关键.

【详解】解：团ZkABC是等边三角形，

回NC=60°,BA=BC,

田8D是4c边上的中线，

SAD=CD=-AC=2.

WM1BC,

0Z.DMC=90。，

团,COM=30°,

团CM=1,

=-2CD

故答案为：1.

7.（24-25八年级上•全国・期末）如图，在AABC中，AB=AC，6c=10，A。是乙84c的平

分线，则8。=.

【答案】5

【分析】本题考查三线合一，根据等腰三角形三线合一，即可得出结果.

【详解】解：•••力8=AC，乙BAC的平分线交8c边丁点。，BC=10.

BD=CD=-2BC=5.

故答案为：5

8.（22-23八年级上•河北承德•期中）如图，过边长为2的等边的边力8上点P作PE1AC

于E,Q为BC延长线上一点，当P4=CQ时，连PQ交AC边于D,则DE长为.

【答案】1

【分析】本题主要考查等边三角形的判定与性质、平行线的性质、全等三角形的判定与

性质，关键在于正确地作出辅助线，熟练运用相关的性质、定理，认真地进行计算.过

P做BC的平行线至AC于尸，通过求证AP广。和AQCD全等，推出FD=CD,再通过证明

△4PF是等边三角形和PE_LAC,推出4E=EF,即可推出AE+DC=EF+产0,可得

ED=^AC,即可推出的长度.

t详解】解：过户做班:的平行线至AC于

E

/

BCQ.•.乙Q=LFPD,

•.•等边△力8C,

Z.APF=LB=60°,Z.AFP=Z.ACB=60°,

.•・△4P/是等边三角形，

^AP=PF,

-AP=CQ,

:.PF=CQ,

•.•在△「/"）和AQC。中，

乙FPD=S

乙PDF=“DC,

PF=CQ

PFD三△QCD（AAS）,

AFD=CD,

vPE1ACpF,△/IP尸是等边三角形，

AE=EF,

-.AE+DC=EF^-FD，

•••ED=：AC,

2

vAC=2,

.・.DE=1.

故答案为L

三、解答题

9.（24-25八年级上•浙江杭州•期中）如图，已知△力8c是等边三角形，D,E,F分别是射线

BA,CB,4C上的点，^.AD=BE=CF,连结OE,EF,DF.

(1)求证：DE=EF；

⑵试判断△OEF的形状，并说明理由.

【答案】(1)证明见解析

(2)ADEr是等边三角形，理由见解析

【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，

(1)根据等边三角形性质得力B=BC=AC,^BAC=乙ABC=Z-ACB=60。，则i/MF=

乙EBD=乙FCE=120°,再根据AZ)=BE=CF,得8。=CE=AF,证明△DEB

EFC(SAS)全等，然后根据全等三角形的性质可得出结论；

(2)证明△4。/三△CFE(SAS),则DF=EF,再由(1)的结论得DE=EF=EF,由

此可判定^OEF的形状；

理解等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形