第2课时正弦定理、余弦定理的综合应用课件2025-2026学年高一下学期数学湘教版必修第二册

第1章

平面向量及其应用1.6.2第2课时

正弦定理、余弦定理的综合应用CBAbaca2=b2+c2－2bccosA，b2=a2+c2－2accosB，c2=a2+b2－2abcosC.1.余弦定理2.正弦定理

三角形面积公式O试一试：以直角三角形为例，你能找到它的外接圆的圆心的位置吗？外接圆的直径与三角形的边、角有关吗？CAB直角三角形

同理可得正弦定理的扩充

思考：三角形各边与它所对角的正弦的比值相等，那么这个比值的几何意义是什么？

△ABC为锐角三角形△ABC为钝角三角形abcabc议一议：当△ABC不是直角三角形，探究以上结论是否成立.

1.扩充后的正弦定理2.正弦定理的变形形式（推论）（R为三角形外接圆半径）

例1在△ABC中，已知，试判断△ABC的形状.

解：设△ABC的外接圆的半径为R，则由扩充的正弦定理可得a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC.

即tanA=tanB=tanC.又角A，B，C∈(0，π),所以∠A＝∠B＝∠C，因而△ABC为等边三角形.提示：借助扩充的正弦定理表示出a，b，c代入，再进行判断.将其代入

得，（1）利用正弦定理把已知条件转化为边的关系，通过因式分解、配方等方法得出边的相应关系，从而判断三角形的形状.（2）利用正弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A＋B

＋C＝π这个结论.判断三角形形状的两种途径：注意：在这两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解.方法归纳1.在△ABC中，sin2A=sin2B+sin2C，且sinA=2sinBcosC，则△ABC的形状是()A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.直角三角形或等腰三角形C

说一说：在使用正弦定理推论进行变化角、角化边过程中，我们需注意什么？应在什么情景下来使用边化角、角化边呢？说一说：在以上例题使用正弦定理推论进行变化角、角化边过程中，我们需注意什么？应在什么情景下来使用边化角、角化边？在条件中，若出现关于边的齐次式（方程），或关于角的正弦的齐次式（方程）可通过正弦定理，进行边角互化.题型1用正弦定理进行边角互化

A.B.C.D.

A角度二化简证明问题例3

在任意△ABC中，求证：a（sinB－sinC）＋b（sinC－sinA）＋c

（sinA－sinB）＝0.[证明]

证法一：根据正弦定理，令a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC（其中

R为△ABC外接圆的半径）.代入，得左边＝2R（sinAsinB－sinAsinC＋sinBsinC

－sinBsinA＋sinCsinA－sinCsinB）＝0＝右边，所以等式成立.

题型2正弦定理和余弦定理的综合应用

（2）当△ABC的面积为3时，求a＋c的值.

利用正、余弦定理解三角形关键是利用定理进行边角互化.(1)当出现边角混合时，常使用正弦定理；(2)当出现三边的平方时，常用余弦定理.方法归纳

B

A

B4.在△ABC中，若lg(sinA+sinC)=2lgsinB-lg(sinC-sinA)，则此三角形是