棱柱、棱锥棱台的表面积和体积（学历案）-人教A版高一数学必修第二册

高一必修二学历案

8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积

Q自主学习【学】

1.了解棱柱、棱锥、棱台的侧面展开图，掌握棱柱、棱锥、棱台的表面积公式及体积公式.（重点）

2.能运用公式求棱柱、棱雒、棱台的表面积及体积，理解棱柱、棱锥、棱台的体积之间的关系.（难

点）

3.会求组合体的表面积及体积.（难点、易错点）

［巧梳理］

1.表面积

棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各个面的面积的和，也就是展开图的面积.

2.体积

（1）一般地，如果棱柱的底面积是5,高是爪那么这个棱柱的体积丫检柱=的.

（2）一般地，如果棱锥的底面积是S,高是人那么这个极锥的体积丫校他=处.

（3）如果棱台的上、下底面面积分别为S,S,高是人那么这个棱台的体积V颗=细£土卮豆国.

【自学评价】阅读课本P114~PU6,阅读完课本后尝试回答下列问题：

1.棱柱、极锥、楂台的表面积

问题1.棱柱的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？

问题2.棱锥的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？

问迤3.棱台的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？

结论：棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体，它们的侧面展开图还是平面图形，计算它们

的表面积就是计算它的各个侧面面积和底面面积之和.

2.棱柱、棱锥、棱台的体积

（1）一般棱柱的体积公式也是V=Sh,其中S为底面面积，h为高（即两底面之间的距离，即从一底面上

任意一点向另一个底面作垂线，这点与垂足（垂线与底面的交点）之间的距离。

（2）棱锥的体积是与它同底同高的棱柱的体积的三分之一，即V二二防。

3

其中棱锥的高是指从顶点向底面作垂线，顶点与垂足之间的距离。

问邈4.根据台体的特征，如何求台体的体积？

问题5.柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系？你能用棱柱、棱锥、棱台的结构特征来解释这种关

系吗？

6研习探究【研】

例L如图，四面体P—A8C的各楂长均为a,求它的表面积.

P

变式1.正三棱锥的地面边长为a,高为空■〃，求它的侧面积。

变式2.一个正四棱锥RABC7）的侧棱长为5,底面边长为6,求它的表面积

变式3.一个正四棱锥P-人8c。的侧棱长为5,高为3,求它的表面积。

例2.如图，一个漏斗的上面部分是一个长方体，下面部分是一个四棱锥，两部分的高都是0.5〃?，公共面

A8c。是边长为1/〃的正方形，那么这个漏斗的容积是多少立方米（精确至IJ0.01加3）?

心达标练习【练】

练习

1.某广场内设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体裁去八个一样的四面体得到的，如图所

示，若被截正方体的楼长是50。〃，则石髡的表面积为体积为cm3

2.已知正四棱锥的底面边长为2,侧棱长为则该正四棱锥的体积为（）

A.-B.-C.4V3D.这

333

3.四棱台的上、下底面均是正四边形，边长分别是6cm和10cm,侧面面积为448cm求它的体积？

4.如图，已知ABCD-A^CiDt是棱长为。的正方体,£为A4,的中点，F为CG上一点，求三棱锥A^DxEF

的体积.

5.如图，在多面体A8CQEF中，已知四边形48CQ是边长为4的正方形，EF//AB,EF=2,EF上任意一

点到平面ABCD的距离均为3,求该多面体的体积.

6.如图，组合体下面是一个直三棱柱.△48G为等腰直角三角形，BC=CE=2.上面是一个

三棱锥，且三棱锥的高AE=3,三棱柱的高4E=3,求组合体的表面积和体积.

总结：求几何体体积的常用方法

直接代入公式求解

例如四面体的任何一个面都

可以作为底面,只需选用底

面积和高都易求的形式即可

将几何体补成易求解的几何

体.如棱锥补成棱柱，三极

柱补成四棱柱等

将几何体分割成易求解的几

部分，分别求体积

【布置作业】训练（二十二）.

心总结提升【结】

【课堂总结】总结与评价

8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积参考答案

自主学习【学】

1.了解棱柱、棱锥、棱台的侧面展开图，掌握棱柱、棱锥、棱台的表面积公式及体积公式.（重点）

2.能运用公式求棱柱、棱锥、棱台的表面积及体积，理解棱柱、棱锥、棱台的体积之间的关系.（难

点I

3.会求组合体的表面积及体积.（难点、易错点）

［巧梳理I

I.表面积

棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各个面的面积的和，也就是展开图的面积.

2.体积

（1）•般地，如果棱柱的底面枳是S,高是心那么这个棱柱的体积V枝柱=曲.

（2）一般地，如果棱锥的底面积是S,高是力，那么这个棱锥的体积也.

（3）如果棱台的上、下底面面积分别为9,S,高是人那么这个棱台的体积V，「=/?（S'+、/F飞+S）.

【臼学评价】阅读课本P114〜P116,阅读完课本后尝试回答下歹！问题：

1.棱柱、棱锥、棱台的表面积

问迤1.棱柱的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？

问题2.楂锥的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？

问邈3.棱台的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？

结论：棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体，它们的侧面展开图还是平面图形，计算它们

的表面积就是计算它的各个侧面面积和底面面积之和.

2.棱柱、棱锥、棱台的体积

（1）一般棱柱的体积公式也是V=Sh,其中S为底面面积，h为高（即两底面之间的距离，即从一底面上

任意一点向另一个底面作垂线，这点与垂足（垂线与底面的交点）之间的距离。

（2）棱锥的体积是与它同底同高的棱柱的体积的三分之一，即1/=^3力。

3

其中棱锥的高是指从顶点向底面作垂线，顶点与垂足之间的距离。

问邈4.根据台体的特征，如何求台体的体积？

问题5.柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系？你能用棱柱、棱锥、棱台的结构特征来解释这种关

系吗？

心研习探究【研】

例1.如图，四面体A3C的各校长均为a,求它的表面积.

P

【解析】

【分析】

因为四面体产一A/C的四个面是全等的等边三角形，所以四面体的表面积等于其中任何一个面的面积的

4倍.

【详解】解：因为△尸3c是正三角形，其边长为a,所以

SP8C4

因此，四面体P-ABC的表面积5尸Me=4X^6Z2=yf3a2-

【点睛】本题考查锥体的表面积，是基础题.

变式1.正三楂锥的地面边长为a,高为巫a,求它的侧面积。

6

3

答案：S侧=—CL1

变式2.一个正四棱锥P-48CO的侧楂长为5,底面边长为6,求它的表面积.

答案：84

变式3.一个正四棱锥P-人8c。的侧棱长为5,高为3,求它的表面积。

答案：8(V34+4)

例2..如图，一个漏斗的上面部分是一个长方体，下面部分是一个四棱锥，两部分的高都是05〃，公共

面是边长为1，〃的正方形，那么这个漏斗的容积是多少立方米（精确到0.01〃』）？

【答案】0.67m3

【解析】

【分析】

漏斗由两个多面体组成，其容积就是两个多面体的体积和.

【详解】解：由题意知

长方体ABCD一AnC0的体积V=lxlx0.5=0.5（，叫,

棱键〃一4为匕。的体积V=gxlx1x0.5='（〃/）,

所以这个漏斗的容积

V=—+—=—h0.67（加）.

263v7

【点睛】本题考查多面体的体积，是基础题.

0达标练习【练】

练习

1.某广场内设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体裁去八个一样的四面体得到的，如图所

示，若被截正方体的棱长是50072,则石凳的表面积为_（7500-25006）。耐.体积为_乎_523

【详解】由题意，该几何体是由棱长为50(772的正方体截去八个四面体构成的多面体，截去的八个四面体

是全等的三楂锥，

同时儿何体是由8个底面边长为25右。〃的等边三角形和边长为25无的6个正方形组成的一个14面

体，所以该儿何体的表面积为：

5=8X-!-X2572x255/2sin60+6x25五x25拉=(7500+25006).

2.已知正四棱锥的底面边长为2,侧棱长为石，则该正四棱锥的体积为(D)

A.|B.|C.4V3D.9

333

3.四棱台的上、下底面均是正四边形，边长分别是6cm和10cm,侧面面积为448cm求它的体积？

/O

Z

AEB

解：如图所示，正四棱台刀「/5CZ)中//i=6cm,4B=10cm,

取44的中点E],48的中点E,则E]E为斜高.

设Q,O分别是上、下底面的中心，则四边形石。0由1为直角样形.

・・・S侪=4X；X(6+10)X上及=448(cm2),:.在】=14cm.

在直角梯形EOO]E]中，OiEi=KiiBi=3cm,0£=/B=5cm,

OiO=J142-(5-3)：=(cm).

1L1568石

故该正四棱台的体积为F=-x8V3X(62+102+6X10)=：(cm3).

3

4.如图，已知ABCD-A^CyDx是棱长为。的正方体,E为A4的中点，F为CCi上一点，求三棱锥4一。心尸

的体积.

解：由唯一℃=吸一城RE

11

Sy“=-E4A.D=-a~9

乂三极锥尸一404的高为e=a,

•V-_LxSXCD——

•**三枝削~3XJ"—]2

5.如图，在多面体/WCOE尸中，己知四边形/1BCQ是边长为4的正方形，EF//AB,EF=2,EF上任意•

点到平面ABCD的距离均为3,求该多面体的体枳。

解如图，连接班EC,AC.易知吸梭锥1。=32乂3=16・