上海市松江区2025－2026学年八年级上学期期末考试数学试卷（解析版）

2025学年第一学期八年级数学学科期终质量监测试卷

（满分100分，答题时间90分钟）

一、选择题（本大题共6题，每题3分，满分共18分）

1.在下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（）

A.拉和屈B,也和出C.而和及守D.右不和石工T

【答案】R

【解析】

【分析】本题考查了同类二次根式的识别，同类二次根式需化简后根号内被开方数相同，分别化简各选项二

次根式即可判断.

【详解】解：对于A：・・・疝二而？=26，被开方数为3,与血的被开方数2不同，，不是同类二

次根式.

对干B：・・•&=*=¥，被开方数为2,与血的被开方数相同，.••是同类二次根式•

对干c:•・•必？=|孙化简后不再是二次根式，而是二次根式，，不是同类二次根式.

对于D：•・•■和而I的被开方数分别为。―1和4+1,被开方数不同，，不是同类二次根式.

故选B.

2.下列说法正确的是（）

A,只有正数才有平方根B.27的立方根是±3

C.JT7是17的一个平方根D.旧的算术平方根是4

【答案】C

【解析】

【分析】本题主要考查平方根、算术平方根和立方根，解题的关键是掌握平方根、算术平方根和立方根的

定义.根据平方根定义和立方根的定义判断各选项.

【详解】解：A、平方根定义：正数有两个平方根，0的平方根是0,负数没有平方根，所以0也有平方

根，故此选项错误，不符合题意；

B、立方根定义：一个数的立方根唯一，27的立方根是3,故此选项错误，不符合题意；

C、J万是17的算术平方根，是17的一个平方根，故此选项正确，符合题意；

D、V16=4>4的算术平方根是2，故此选项错误，不符合题意.

故选：C.

3.下列方程中，是一元二次方程的是（）

Aar2+2=0B.£-瓜=1

C.（3X-2）（X+6）=3X2-7D.X*=（）

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查一元二次方程的定义，正确理解一元二次方程的定义是关键.一元二次方程需同时满足一

个未知数，最富次数2,且是整式方程三个条件.

根据一元二次方程的定义进行判断即可.

【详解】解：对于A,当4=0时，分2+2=0不是二次方程，所以选项A不符合题意：

对于B,因为方程只含一个未知数x,且最高次数为2,是整式方程，所以/-6工二7是一元二次方程，

即选项B符合题意；

对于C,将方程（3x-2）（x+6）=3f-7化简后得16x=5,是一元一次方程，所以选项C不符合题意；

对于D,因为方程中含有两个未知数x和.且不是整式方程，所以方程/+'=。不是一元二次方程，所

y

以选项D不符合题意.

故选:B.

4.已知光在真空中的传播速度约是3xl（）3m/s，太阳光从太阳表面照射到地球上大约需要500s,则地球

到太阳的距离大约为（）km.（结果用科学记数法表示）

A.1.5xl08B.1.5x10"C.0.15xl09D.15xl07

【答案】A

【解析】

【分析】本题考查了科学记数法，单位的换算.

根据距离=速度x时间，计算光传播的距离，然后进行单位换算（米到公里），并用科学记数法表示.

【详解】解：•・•速度u=3xl0Xm/s,时间，=500s,

・,•距离$=ux/=3x10*x500=1.5x10"ni»

,•*1km=103m，

有二=L5xl0'km.

故选：A.

5.已知a+Z?=-2,ab=l,则化简求的值是()

A.-2B.2C.-1D.1

【答案】B

【解析】

【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，根据已知条件可证明。、〃都小于0,则可先化简二次根式

得到一遮一叵，进一步通分得到—s+,疝,再代值计算即可.

baab

【详解】解：・・・龙=1,

；・a、:同号,

**ci-\-b=-2,

.'.a>力都小于0,

ba

a\!ab+by[ab

=~ab

(a+b)\[ab

=--------------9

ab

<.*<7+Z?=-2»ab=l,

・•・原式=_上或M=2，

1

故选：B.

6.如图，在V4BC中，ZC=90°,NA=30。，现用两把完全相同的长方形直尺，一把紧贴着边，

另一把紧贴着边48并且与第一把直尺相交于一点，过点8和两把直尺的交点作射线，交AC于点。，则

下列结论错误的是（）

B.AD=BD

cCD△

AB6

【答案】C

【解析】

【分析】对于A,设两把直尺的交点为P,过点尸作尸E_L3C于点E,于点F，则

PE=PF，根据角平分线的性质定理的逆定理，即可证明结论；

对FB,根据直角三角形的两锐角互余，可逐步证明NO84=NA=30。，即可根据等腰三角形的判定证明

结论；

对于C,根据含30°角的直角三角形的性质，可得8。=2CD，所以AO=2CD,即得S^clin:5A^D=1:2,

即可判断;

对于D,设CD=a,根据勾股定理可逐步求得A8=2G〃，即可证明结论.

【详解】解：对于A,设两把直尺的交点为P,过点P作PELBC于点E,PF上AB于点F,

则。石=尸产，

.•.BP平分/ABC,

即B力是NA8C的先平分线，

故选项A正确，不符合题意；

对干B,

•/ZC=90°,ZA=30°,

ZABC=90°-ZA=60°.

BP平分/ABC,

/DBA=ZDBC=-ZABC=30°,

2

NO胡=Z4=30。，

:.AD=BD,

故选项B正确，不符合题意；

对干C,

•.ZC=90°,ZDBC=30°»

:.BD=2CD，

・；AD=BD，

AD=2CD,

…•°c、CBD•.Jq.ABD—1•.7二，

故选项c错误，符合题意；

对于D,

设C3=a,则4）=9=勿，

AC=3a,

vZC=90°,

r.BC=\JSD2-CD2==岛,

AB=JBC?+AC?=J（岛了+（3a『=2瓜，

CD_a_\/3

,AB~2y/3a~6'

故选项D正确，不符合题意.

故选：C.

【点睛】本题考查了角平分线的性质定理的逆定理，等腰三角形的判定，勾股定理，含30。角的直角三角形

的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键.

二、填空题（本大题共12题，每题2分，满分共24分）

7.要使行斤有意义，则x的取值范围是_____.

【答案】x>^~

2

【解析】

【分析】本题考查二次根式有意义的条件,根据二次根式中被开方数大于等于o列不等式，即口r求解.

【详解】解：要使岳二T有意义，

・•・被开方数2X一120,

解不等式得2x21,即

2

故答案为：x>—.

2

8.二的一个有理化因式是____.

【答案】4ci^b（合理即可）

【解析】

【分析】根据有理化因式的定义，直接写出即可.

【详解】解：\la-h-yja-h=a-b

二。不为的一个有理化因式是工（合理即可）.

【点睛】本题考查了有理化因式的定义.一般来说右的有理化因式为：&或b&i.

9.已知"02.01=10.1，则J1.0201=.

【答案】1.01

【解析】

【分析】根据算术平方根的移动规律，把被开方数的小数点每移动两位，结果移动一位，进行填空即口J.

【详解】解：vV1020.ll=10.1,

vi（x）Viooio

故答案为：1.01.

【点睛】本题考查了算术平方根的移动规律的应用，能根据移动规律填空是解此题的关键.

10.实数—血，3.14,炳，O.1O1（X）1（XX）1,-0.0272727…（“27”依次不断出现）中，其中无理

数是.

【答案】-瓜

【解析】

【分析】本题考查了无理数的定义，二次根式的化简，求一个数的立方根.

根据无理数的定义逐•判断各数即可.

【详解】解：一&二一2夜，其中0是无理数，因此-强是无理数；

3.14是有限小数，是有理数：

肪=3,是整数，是有理数.

0.1010010001是有限小数，是有理数.

-0.0272727是无限循环小数，是有理数.

综上所述，无理数是-次.

故答案为：-瓜

11.在实数范围内因式分解：X2-3X-2=.

r依*】(3+"33-VI3

【答案】(x---------)(x-----------»

22

【解析】

【分析】运用求根公式解得对应方程/一31-2=0的解，再分解因式.

【详解】解：,.d-3x—2=0的根为延巫

2

3+V133-V13

即0rl寸^，

2

士々公安*(3+J153-JT5

故答案为：(x----------)(.r----------).

22

【点睛】此题主要考查了实数范围内分解因式，利用求根公式法得出方程的根再分解因式是解决问题的关

键.

12.我们知道，有理数是能够写成分数，(〃、是整数，。/0)的数，将0.21化成分数是

7

【答案】—

33

【解析】

【分析】本题考查了将纯循环小数化为分数，熟练掌握循环小数化为分数的方法是解题的关键.通过设循

环小数为未知数，利用方程求解，将循环部分消除后得到分数.

【详解】解：设工=0.21，则冗=0.212121...,

由于循环节有两位，将方程两边乘以100,得100.(=21.212121...,

然后减去原方程，得100x—x=2L212121…—0.212121…，即99x=21,

217

・・・、=一,约分得x=一,

9933

7

故答案为：—.

33

13.写出满足条件的一元二次方程，使这个方程的二次项系数是1,常数项是6,其中一个根是-2,满足

条件的方程是.

【答案】x2+5x+6=0

【解析】

【分析】本题考查一元二次方程的解，构造一元二次方程，根据一元二次方程的一般形式

cue+bx+c=0,设方程为Y+〃x+6=0,代入已知根工二一2求解人的值.

【详解】解：设一元二次方程为/+公+6=0，

将根冗=一2代入方程，

得(一2『+/?x(—2)+6=0,即4-2/7+6=0,

整理得10-2〃=0,

解得b=5,

故方程为x2+5x+6=0-

故答案为：x2+5x+6=0-

14.不等式2x<氐一2的解集为.

【答案】x<-4-2y/3

【解析】

【分析】此题考查了二次根式的运算和解•元•次不等式，熟练掌握二次根式的混合运算和解不等式的步

骤是关键.

通过移项和合并同类项，将不等式变形为x(2-然后根据不等式的性质(除以正数不等号方向

不变)求解，并有理化分母

【详解】解：2xv瓜一2,

移项得2x—>/3x<—2>

即（2—\/3jx<—2,

-2

..x<广»

2-V3

-2（2+V3）

，x<=-2（2+^）=-4-2x/3

（2-x/3）（2+5/3）

故答案为：x<-4—2百

15.已知直角三角形的两边长分别为4、5,那么第三边的长为.

【答案】3或百

【解析】

【分析】本题考查勾股定理的应用，由于直角三角形的斜边不确定，需分两种情况讨论：当5为斜边时，

第三边为直角边；当第三边为斜边时，4和5均为直角边，分别计算即可得出结果，熟练掌握勾股定理是

解此题的关键.

【详解】解：当5为斜边时，第三边长为必不=3；

当第二边为斜边时，第二边长为疹彳=«；

故第三边的长为3或1，

故答案为：3或历.

16.如图，在VA3c中，NAC5=90。，CO是斜边上的面，如果/B=2/BCD,那么NA=

【答案】30。##30度

【解析】

【分析】本题考查了三角形内角和定理.

根据面线的定义得到NCZ)6=9()c,即N6+/SCD=9()c,根据ZS=2Z6C£>求出/6CD=3()c,即

ZB=2NBCD=60°,根据二角形内角和定理即可求出NA=30°.

【详解】解：•••CO是斜边上的高，

・•・ZCDB=90°,

・•・4B+NBCD=90。,

•・•/B=2/BCD,

・•・2ZBCD+ZBC£)=90°,

解得；/BCD=30。,

:."=2/88=60。，

•・•ZACB=90°,

・•・ZA=90°-ZB=90o-60°=30°.

故答案为：30°.

17.某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间测量校园内旗杆的高度.第一次操作：如图

①，将系在旗杆顶端的绳子自然下垂到地面，绳子多出的一段在地面拉直后记作QE,用皮尺量出QE的

长度为3m.第二次操作：如图②，将绳子拉直，绳子末端落在地面上的点尸处，用皮尺量出的长度

为9m.则旗杆的高度为m.

①册②

【答案】12

【解析】

【分析】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键，由①得，绳子的长度比旗杆的高度多

3m,设旗杆P。的高度为xm,则绳子的长度尸产为(工+3)m,在中，由勾股定理得

PQ2+QF2=PF2,列出方程，并解方程即可得到答案.

【详解】解：由①得，绳子的长度比旗杆的高度多3m,

设旗杆PQ的高度为巾】，则绳子的长度PF为(/+3)m,

在RIAPQ/中，PF=x+3,QF=9,

由勾股定理得:PQ2+QF2=PF2,则d+92=5+3)2,

整理得：6x4-9=81.

解得：x=12,

・•・旗杆的高度为12m,

故答案为：12.

18.如图，在VA/C中，NA5c=90。，AB=3,BC=4,D为AC上一动点,将益加。沿着区。折

叠，点C落到C'处.当BC'_14c时，CD=

H

【答案】2

【解析】

【分析】此题考查了折叠的性质和勾股定理的应用，设3C_LAC于点E，用勾股定理和等积法求出比=与,

由折叠可知，BC=BC=4,CD=CD,设CZ)=C'O=x,得到C£=g,DE=y-x,利用勾股定理

列方程即可求出答案.

【详解】解：设BCJ.AC于点E，如图，

VZABC=90°,AI3=3,3c=4,

AC=\lAB2+BC2=V32+42=5，

,ZS=-ABBC=-ACBE,

ABC22

.clABBC3x412

..DE=------=----=—，

AC55

・•・CE二J5c2_BE?二/2_/葭）=y

由折叠可知，BC=BC'=4,CD=C'D,

设cn=c/)=「

iQizr

:・CE=BC'-BE=4——=-DE=CE-CD=——x

55t5

■:CD2=DE2+CfE\

解得x=2,

故答案为：2

三、简答题（本大题共3题，每题5分，满分共15分）

19.计算:^27+x/12

【答案】373-2

【解析】

【分析】本题考查了实数的混合运算，掌握实数的运算法则是解题的关键.先分别计算式子中的立方根、

二次根式、分母有理化和平方项，再去括号，最后将有理数部分和含G的根式部分分别合并，得出最终

结果.

【详解】解：原式“3+2痒海靛面+3

=-3+2>^-（2->/3）+3

=-3+2百一2+6+3

=3百-2.

20.计算:即㈢后S峪

【答案】-3a\[a

【解析】

【分析】本题考查了二次根式的乘除，熟练掌握二次根式的乘除是解题的关键.先将除法转化为乘法，再根

据二次根式的乘法运算法则进行计算即可.

原式或\--

【详解】解:=2J/b.?

bI2y\a

【答案】x=T

【解析】

2Y8

【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程是关键.先将原方程变形为一7--7-八=1,再

X—1ZI

去分母，并整理得丁+2工-8=0,再解一元二次方程并检验即可.

2x8

【详解】解：原方程变形为三一(((_2)一-

两边同乘以x(x-2),得2f-8=x(x—2),

整理得d+2x—8=0，

.\(x+4)(x-2)=0,

."+4=U或x-2=U,

/.A

)=-4,x2=2,

经检验x=-4是原方程的根，x=2使分母为0,是增根应舍去，

所以原方程的根是x=T.

四、解答题(本大题共7题，第22、23、24、25每题5分，第26题6分，第27题8分，第

28题9分，满分共43分)

22.按要求解答下列问题：

小华与小海两位同学解方程3(x-5)="—5)2的过程如下：

小华：小海：

解:3(x-5)=(.v-5)2解：3(x-5)=(x-5)2

两边同时除以(x-5),提公因式，得

得(x-5)(3-x-5)=(),

3=工一5.

由此得工一5=0或3—x—5=0.

解得：x=8.

解得：玉=5,X2=-2.

(1)小华的解法是错误的，原因是

(2)小海的解法是(填“正确”或“错误”).如果小海的解法错误，请写出正确的解题过程.

【答案】(1)(X-5)可能为0

(2)错误，见解析，玉=5,电=8

【解析】

【分析】此题考查了解一元二次方程，熟练掌握因式分解法解一元二次方程是关键.

(1)根据除数为零无意义进行解答即可；

(2)判断后利用因式分解法解一元二次方程即可.

【小问1详解】

解：小华的解法是错误的，原因是：两边同时除以(工一5),(九一5)可能为0.

故答案为：(％-5)可能为0

【小问2详解】

解：小海的解法是错误的，正确的过程如下：

3(x-5)=(x-5)2

(x-5)[3-(x-5)]=0

整理得(x—5)(8—x)=0

解得％=5,X2=8.

所以原方程的根是X=5,X2=8.

23.已知关于x的方程9一2工+加一1=()有两个实数根4、x2.

⑴求切的取值范围;

(2)若(蜀+2)(占+2)=4,求/〃值及此方程的两根.

【答案】(1)m<2

<2）m=-3,玉=1十石，勺二1—石

【解析】

【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解•元二次方程.

（1）根据“有两个实数根”可知ANO,进而求解即可;

（2）根据根与系数的关系得到％+9=-2=2,

XjX2=-=m-\,根据(％+2)(毛+2)=4得到

可毛+2(%+i)=0,将再+9=2,%匕=加-1代入得到〃?-l+2x2=(),求出〃2=—3,此时

f_2x-4=0,根据配方法求解即可.

【小问1详解】

解：:。=1,b=-2,c=m—1.

:.A=b2-4tzc=（-2）2-4x1x（/n-l）=8-4/zz,

•方程有两个实数根，

8—4/7?N0,

/.tn<2；

【小问2详解】

解：•・,关于上的方程/一21+m-1=0有两个实数根毛、吃，

.,bc

•・X］+x>=—=2,不占=-="［一］,

a~a

又・・・（%+2）（^+2）=4,

.,.4毛+2（%+x2）=0,

即/〃一l+2x2=0,

.,.阳=-3,

当m=—3时，方程d—2x—4=0，

解得百=1+石，&=1-后,

.•."2=-3,方程两根为玉=1+、勺，^=1-75.

24.如图①是小华同学在正方形网格中（每个小正方形的边长为1）画出的格点VABC（VABC的三个

顶点都在正方形的顶点处）.

①②

（I）由图①可知45=彳百二6，则8C=，AC=.

（2）请你在图②正方形网格中，补画出格点」）石尸，其中E/=2五，DF=M，并求出」无产的

面积.（只要画出一个符合条件的所）

【答案】（1）JI6，而

（2）见解析，2

【解析】

【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，熟练掌握勾股定理及其逆定理是关键.

（1）根据勾股定理求解即可；

（2）根据勾股定理即可画出图形；根据勾股定理的逆定理，可证明/OEb=90。，即可根据直角三角形的

面枳公式求解.

【小问1详解】

解：BC=+32=厢'AB=y/21+i1=713-

故答案为：JI6，J万.

【小问2详解】

解：如图，.Z＞上厂就是所求作的图形；

・・•DE=«2+\2=6,EF=2yfi，DF=M，

DE2+EF2=[V2)2+(2X/2)2=10=DF2,

ZDEF=90°,

'.Sl)PF=-DEEF=-x42x2>/2=2.

25.新能源汽车采用电能作为动力来源,能减少二氧化碳气体的排放.达到保护环境的目的,其市场需求

逐年上升.一汽车销售公司抢占先机，购进一款进价为12万元/辆的某品牌新能源汽车，销他:一段时间后

发现：当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；如果售价每降低1万元，平均每周多售出

2辆.若该店计划下调售价，使平均每周的销售利润为144万元.为了推广新能源汽车，并且尽量让利于

顾客，求该公司每辆车的下调价格.

【答案】该店每辆车的下调价格为5万元

【解析】

【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确理解题意是解题的关键.设该店每辆车的下调价格x万元,

则降价后每辆车的利润为（25-犬-12）万元，销量为（8+2x）辆，即可列方程求解.

【详解】解：设该店每辆车的下调价格x万元，

根据题意可得（25-工-12）（8+2^=144,

整理得V-9%+20=0,

解得％=4,x2=5,

因为销售为了尽量让利于顾客，即卜调价格应尽可能大，

所以X=4（舍去），

x-5，

答：该店每辆车的下调价格为5万元.

26.如图，在VA3C和.AC力中，ZADC=ZABC=90。，七是AC中点，N/148=45。，AC=6,

（1）求证：DE=BE；

（2）求线段的长.

【答案】（1）见解析（2）3及

【解析】

【分析】本题主要考查了勾股定理，直角三角形的性质，等边对等角，熟知直角三角形斜边上的中线等于斜

边的一半是解题的关键.

（1）根据直角匚角形斜边卜的中线等于斜边的•半证明即可：

（2）先求出AE=DE=3,则由等边对等角和三角形外角的性质得到ZDEC=2ZEAD,

NBEC=2NEAB,则可证明NOE3=2NDW=9（）。，再利用勾股定理即可得到答案.

【小问1详解】

证明：・.ZADC=90。，E是AC中点

:.DE=-AC（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）

2

同理:.DE=BE

2

【小问2详解】

解：•・•石是AC中点，且AC=6,ZADC=90°

AE=DE=-AC=-x6=3

22

\?EAD?AOE（等边对等角），

..乙DEC=READ+ZADE=2ZE4D，

同理NBEC=ZEAB+ZABE=2ZEAB,

ADEC+ABEC=2Z.EAD+2ZE4B=2（ZEAD+ZE4B）,即7DER=77DAR,

Q2DAB45?

/.ZDES=90°,

BD2=BE2+DE2

.-.BD=V32+32=372-

27.VABC中，ZACD=90°,人8=10,8。=8,4。=6,4少平分/区4。,。七_148,垂足为点£连

接CE,交AO于点立

（1）证明AW_LC£.

（2）求qBDE周长；

（3）求AADC的面积.

【答案】（1）见解析(2)12

（3）9

【解析】

【分析】（1）利用条件证明△4£D9Z\4C£＞，利用等腰三角形的三线合一的性质可证明结论；

（2）由勾股定理可求得BC的长，再利用（1）的结论可求得跖，且DE=DC,可求得VBOE的周

长；

（3）根据勾股定理求出力石=。。=3,再利用面积公式求解即可.

【小问1详解】

证明：・・・A。平分N84C,

:./BAD=NCAD,

'：DELAB，

：.ZAED=ZACB=90°,

在△AEO和..ACO中，

NEAD二NCA。

•NDEA=ZDCA

AD=AD

・•.LAEZ运一ACD（AAS）,

：,AE=AC,

VAD平分ZBAC.

・•・AP_LC'£：

【小问2详解】

解：・・・A8=10,BC=8,AC=6,

AE=AC=6，

・•・BE=AB-AE=10-6=4,

又•••△4ED❷△AC。，

・•・DC=DE,

・•・BE+BD+DE=BE+BD+CD=BE+BC=4+8=12,

即VBOE的周长为12：

【小问3详解】

解：由（2）知DC=OE,

在RtZXBOE中，BE=4,BD=8—DE,

又BE2+DE2-BD2，

・•・42+DE2=（8-DE）2,

解得OE=3,

:・CD=3,

/.S=—AC-DC=—x3x6=9.

*AIIM）C..22

【点睛】本题考查的是角平分线的性质、三角形全等的判定和性质、勾股定理、三角形的面积公式，正确

理解题意、灵活运用相关的性质和定理是解题的关键.

28.综合与实践

【阅读理解】

背景介绍：勾股定理是几何学中的明珠，充满着智慧.赵爽的证明方法是：制作四个全等的直角三角形，

直角边长分别记为。、bCb>a）,斜边长记为c.用这四个直角三角形拼成如图1所示的正方形（赵爽弦

图）.用它可以证明勾股定理.证明