圆锥曲线中轨迹问题常考4大题型（热点专练）-2026年高考数学二轮复习解析版

专题15图锥曲线中轨迹问题常考4大题型

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题型01直接法求轨迹方程

解I题I策I略

若动点运动的条件是一些已知（或通过分析得出）几何量的等量关系，设动点为（兀丁），根据等量关系,

可转化成含的等式，就是所求点的轨迹方程。

【精选例题】

【例1】已知点川正，0）,动点M（x,），）到直线/：4=2a的距离为"，且4=&阿百，记M的轨迹为曲

线C.求C的方程;

【答案】工+二=|

42

【详解】动点M（x,y）到直线/”=20的距离为且d=3|M尸|，由题意知

|2应7卜",（”可+V,两边平方整印得f+2/=4,所以曲线C的方程为:+]=1.

【例2】（2023新高考1卷真题）在直角坐标系xQy中，点尸到x轴的距离等于点〃到点（（）,，的距离，

记动点尸的轨迹为W.（1）求W的方程：

【详解】⑴设P（x，"则3=产+1一；）~，两边同平方化简得），=—+；,故W:y=/+；

【例3】已知点A在），轴右侧，点8,点C的坐标分别为（TO）,（1,0）,直线AC的斜率之积是3.

（1）求点4的轨迹。的方程；

【答案】=

【详解】（1）设点A（x,y），x>0,因为A3,AC的斜率之积是3,所以上7・一二3（工w1）,所以点A的

X4-1X-1

轨迹。的方程为=

【例4】已知平面内点P与两定点2（-2,0）,。式2,0）连线的斜率之积等于

4

⑴求点尸的轨迹连同点G，所构成的曲线c的方程；

【答案】⑴点尸的轨迹方程为?+y2=i（xw±2）,曲线C的方程为?+），2=l.

【详解】（1）设点P（x,y）为轨迹上任意一点，由题意得xw±2,则即2）,

“2）,

x-z

22

kpQ-kp6=-----=~v—=--（x*±2）,故点P的轨迹方程为土+），=]"工±2）,

收股x+2x-2X2-44、,4v7

所以点P的轨迹连同点Q，a所构成的曲线。的方程为二+V=1.

4

【例5】在平面直角坐标系宜射中，A（6,0）,8（6,l）点p满足归。=2卢山，则动点尸的运动轨迹方程为

;|咫+2|尸A|的最小值为.

【答案】（X-8）2+/=16而4

【详解】设P",y）,由题意可得h-0）2+0-0）2=2"6）2+（。-0）2,

整理得（x-gF+y?=16,故动点P的运动轨迹方程为（x-8y+）J=16,如图所J

示，点P的轨迹为以（8,0）为圆心，4为半径的圆，点B在圆内剖，所以|'一/

\PB\+2\PA\=\PB\+\PO\>\BO\=7（6-O）2+（l-O）2=737,当且仅当P在线段BO上时等号成立，所以

|因十2|上4|的最小值为屈，故答案为：（x-8）2+y2=16；后

【跟踪训练】

1.设圆。:/+），2=4与），轴交于4B两点（人在8的上方），过8作圆O的切线/,若动点P到人的距离

等于P到/的距离，则动点尸的轨迹方程为（）

A.x2=SyB.x2=16yC.y2=8xD.y2=16x

【答案】A

【详解】因为圆。：/+），2=4与）.轴交「A,R两点（A在8的上方），所以40,2）,仇0,-2）,又因为过

B作圆。的切线/,所以切线/的方程为y=-2,因为动点尸到A的距离等JW到/的距离，所以动点尸的轨

迹为抛物线，且其焦点为（0⑵，准线为）=-2,所以尸的轨迹方程为/=8,，.故选：A.

2.匆点M（%），）满足方程5J（x-1f+（），-2）2=|3x+4y+12],则点M的轨迹是（）

A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线

【答案】D

【详解】由5j（xT）2十（y—2）2_|3x十4y十叫得J（x-1）2十（），-2）2二围叩匕“I,等式左边表示点（*），）和

点（1,2）的距离，等式的右边表示点（X,），）到直线3x+4y+12=。的距离，整个等式表示的意义是点（x,y）到

点（L2）的距离和到直线3x+4y+12=0的距离相等，且点（1,2）不在直线3x+4y+12=0上，所以其轨迹为

抛物线.

3.已知4-2,-1）,8（2,1）,若动点尸满足直线EA与直线心的斜率之积为g,则动点P的轨迹方程为（）

22

T+T=tx*±2B'T+Tl,xw土#C.y=l,x±2D.y-=LA±2

【答案】C

【详解】设P（x,y）（xH±2）,因为A（—2,-l）,8（2J）,所以&融=二二/网=?,乂因为直线P4与直线

—2—x2-x

-1-y[-1

总的斜率之积为所以,整理得5■-y2=i（i工±2）.故选：c.

-2-x2-x2

4.已知动圆M与直线产-2相切，且与定圆C炉+（）,_3『=1外切，那么动圆圆心M的轨迹方程为

【答案】x2=i2y

【详解】解：方法一：由题意知，设M（x,y）,则Jf+（y_3）2=卜+2+1|,x2+y2-6y+9=y2+6y+9,

解得V=i2y.

方法二：由题意知，动点M到C（0,3）的距离比到产-2的距离多］,则动点M到C（0,3）的距离与到

产-3的距离相等，根据抛物线的定义，产-3为准线，（0,3）为焦点，设抛物线为/=2知，g=3,

P=6,故V=］2y.故答案为：x2=\2y.

5.已知4（-2,0）,5（2,0）,动点。（X,），）关于x轴的对称点为0,直线AQ与BQ1的斜率之税为

（1）求点。的轨迹C的方程；

【答案】（1）［-丁=］（1。±2）

【详解】（1）由题意得Q（x-y）,且XH±2,心°=告，即。=三，所以3T三=一1

2

整理得曲线C:5-y2=l（，-±2）.

6.（多选题）过椭圆C：9+5=l外一点〃（维，几）作椭圆C的两条切线，切点分别为4B,若直线

QAP8的斜率之积为团（〃?为常数），则点P的轨迹可能是（）

A.两条直线B.圆的一部分C.椭圆的一部分D.双曲线的一部分

【答案】BCD

【详解】解：依题意可知直线E4和直线M的斜率存在，设过尸（品,乙）的椭圆的切线方程为

广儿=不—%），

y-y0=k（x-xa）

联立//化简可得：（1+2公）/+44（%-公。）X+2（为一代）『一8=。，取

--+--=1

84

△=16/（为一点0）2_4（1+2&2卜［2（%-6）2-8］=0,即（8—需*2+2/），淌+4-火=0,且有

8-芯。0,毛工±2及，且上式两根分别为%,则上式的判别式

（22、22

△尸4片），：-4（8-目（4-%）=128,+『1卜0,整理得失符合题意，所以

①若m=0,则%=±2（毛工±2&），即尸点的轨迹是直线（两条）的一部分;

②若则为=±当七■/二2夜)，即尸点的轨迹是直线(两条)的•部分；若〃件()且，叱；，整

♦1yo-।

J'1!-lIJf'j-8/n—44-8)〃»

m

③当机=一1时，虫M=4-8〃?=I2,轨迹方程可化为片+片=12自工±2五)，即尸点的轨迹是圆的一部

分；

④当〃?<一1或一1</〃<0时，8m4>0,4-8/〃>0,且刎4H4-8/〃,由于七。±2及，H.

mm

〃？一

84=8-4二>8,所以P点的轨迹是椭圆的一部分；

mtn

22

1«»H-4X0Iy0=1

⑤"1O<机时，-----<0,4-8〃?>0,8/?z-44-8/7/表小焦点在丁轴上的双曲线，由于

2m

m

五,所以P点的轨迹是双曲线的一部分.故选：BCD

题型02相关点法求轨迹方程

解I题I策I略

若所求轨迹上的动点P与另一个已知曲线上的动点Q存在着某种联系，可设点P(x,y),用点P的坐标

表示出来点Q,然后代入曲线方程，化简即得所求轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做相关点法(或

称代入法)

【精选例题】

—3一1-

【例1】已知面积为16的正方形人BCQ的顶点A、8分别在x轴和)，轴上滑动,。为坐标原点，OP=W0A+]OB,

则动点尸的轨迹方程是()

92

AKx厂厂卜厂尸]

A.—+—y~=1।DB♦—~+—y'=i1C•—+—y'=1,D.—+—=1

32944884

【答案】B

【详解】设尸《)，)，不妨令4司,0),8(0,%),正方形的面积为妨，贝!J|AB|=4,则

X；I必2=16,

3..

41X=/X=-X(A.V22

由。尸=；04+；05,可得〈,即｛|-3，则竺+(2y)2=16,整理得二+二=1,故选：B

7

421o(37J'94

y=-J2l%=2y、

【例2】设圆/+;/-2》+2»，-2=。的圆心为4,点P在圆上，则心的中点M的轨迹方程是______.

【答案】Y+)，2-2X+2)，+1=0

【详解】圆f+y2_2x+2y—2=0可化为(x—l)2+(y+l)2=4,则-设M(x,y),P(xo,yo),所以

4-X，

?-X(x=2x-l

；,整理得0c-即P(2x-1,2)，+1),将点尸代入圆的方程得

zl±A-V[%=2)，+1

~^r~}

（2A_1）2+（2y+1）2-2（2x-l）+2（2y+l）-2=0,

即为Y+y2-2x+2y+l=0.故答案为：x2+y2-2x+2y+\=0.

【例3】圆。：/+），2=4与1轴的两个交点分别为4（-2,0）,A,（2,0）,点M为圆。上一动点，过用作

上轴的垂线，垂足为N,点R满足NR=3NM求点R的轨迹方程；

【答案】—+/=1

4

【解析】设点加（%,为）在圆/+产=4上，故有其+云=4,设K（x,），），又NR=；NM,可得x=x0,

1

即%=%，%=2y代入尤+尤=4可得/+（2）,）2=4,化简得：兰+9=1,故点R的轨迹方程为：

X21

—+y-2=1.

4-

【例4】在直角坐标系中，线段|MN|=4,且两个端点“、N分别在X轴和y轴上滑动.求线段MN

的中点C的轨迹方程；

【答案】X2+/=4

【详解】设M（a,0）,N（0力），线段MV的中点C（x,y）,因为C为线段MN的中点，

x====T,|MN|=+（0-匕丫=4,+8?=16，即（2x）“+（2yJ=16,得

/+V=4.所以点。的轨迹方程是/+/=4.

22

【例5】己知B,尸2分别为椭圆C：三+二=1的左，右焦点，点尸为椭圆。上的动点，则△PBF2的重

43

心G的轨迹方程为（）

A.玲+'=1（羽0）B.葺+）2=1°¥0）C.子+3.犬=1（）¥0）D./+浮=1（厚0）

【答案】C

【详解】依题意知后（一1,0）,尸2（1,0）,设尸（xo,yo）,G（x,y）t则由三角形重心坐标公式可得

工二“。一"1r

3X）=3xV229v2

八八，即。，将其代入匕+匕v=1得重心G的轨迹方程为出一+3），2=1（灯0）•故选：C

%+0+0[%=3y434

3

【跟踪训练】

1.当点。在圆/+)，2=1上运动时，连接点P与定点Q(4,0),则线段PQ的中点M的轨迹方程为

【答案】(x—2『+)，2=；

【详解】设”(x,y),由中点坐标公式可得尸(2.J4,2)，)，由于P(2x・4,2)，)在圆

(2.Y-4)*2+(2y)2=1=(x—2)2+寸=：上运动，所以M的轨迹方程为(X—2)?+y*=；,故答案为：

(x-21+y2=：

2.已知点P为椭圆］+《=1上的任意一点，。为原点，用满足则点M的轨迹方程为

【答案】i£+Z=i.

254

【详解】设点M(x,,，)，由OM=《OP得点月(2x,2y),而点夕为稀圆1+J=1上的任意一点，广是得

22516

萼+等=】，整理得：i£+r=i,所以点〃的轨迹方程是尤+£=i.故答案为："i+£=i

2516254254254

I9

3.已知点尸为圆V+V=18上一动点，PQ_Lx轴于点Q,若动点M满足OM=§OP+：OC,求动点例的轨

迹C的方程：

【答案】4+—=i

182

【详解】解：设知(乂)，),「(/,)，0),则。(％,0),可得OM=(x,y),»=(%%),@2=(%0),由

I9I

OM=-OP+-OQ,所以(k,y)=(七,§%),化简得用=乂%=3)，，因为x；+为2=18,代入可得

x2+9y2=18,即二+工=1,即为M的轨迹C的方程为《+£=1.

182182

4.已知点P在抛物线f=2)，上，/?(0,1),连接RP并延长至。，使得AP=PQ,记点。的轨迹为曲线C

(1)求。的方程；

V2

【答案】(1))，=、-1

【详解】(1)设尸(%,比)，Q(.2)，因为点P在抛物线f=2)，上，所以片=2%①.

°-2'x2

因为RP=PQ,所以尸为/?Q的中点，即②，将②代入①中可得C的方程为y=2-l.

犷修，4

5.长为10的线段的两个端点A,B分别在x轴和），轴上滑动，则线段A5的中点M的轨迹方程为（）

C./=16xD.x2+y2=25

【答案】D

【详解】由题意,若4兀,0）1（0,%）,则/2+%2=]0（）,.•.设M（x,y）,即X4,y普,有

%=2x,），o=2y,J（2x）2+Q），）2=100,得f+y?=25.故选：D.

题型03利用定义法求轨迹方程

解I题I策I略

熟记焦点的特征：①关于坐标轴对称的点；②标记为F的点；③圆心；④题上提到的定点等等.当看到

以上的标志的时候要想到曲线的定义，把曲线和满足焦点特征的点连起来结合曲线定义求解轨迹方

程.注意求出轨迹方程后，也要注意范围.

【精选例题】

【例1】一动圆夕过定点M（0,6）,且与已知圆N：/+（）,+6）2=36相切，则动圆圆心P的轨迹方程是

（）

A.—+^-=1B.亡+±=1C.--^-=1D.=1

927927927927

【答案】D

【详解】圆N：V+（y+6）2=36的圆心N（0,-6）,半径为6,当动圆P与圆N相外切时，则

\PN\=\PM\-^,即|PN|—|PM|=6当动圆P与圆N相内切时，因为定点M（0,6）在留N外，所以只能是

圆2内切于动圆尸，所以|PM|=|PN|+6,即|PN|-|PMk-6综上所述：=又

6<|MN|=12,所以动点。的轨迹是以M（0,6）、N（0,-6）为焦点的双曲线，因为为=6,2c=12,所以

a=3,c=6,所以//=/一/=36-9=27,

所以动圆圆心P的轨迹方程是上-.故选：D

927

【例2】已知圆G：（x+3『+y2=9,圆g：（x—3『+），2=i,若动圆E与G，C?都外切，则圆心石的轨迹

方程为.

【答案】x2-^-=l（x>l）

【详解】圆G：（x+3『+y2=9的圆心为C1—3,0）,半径"=3；圆G:"<）?+V=1的圆心为G0,。），

半径〃=1,由于动圆E与圆，，C2都外切，设动圆E的半径为，则|曰力=「+3,|£。2|=r+1，所以

忸。卜|日以=3-1=2<|。£|，所以E点的轨迹是以G，G为焦点的双曲线的右支，设方程为

，-3=l(a>0,b>0),则a=l,c=3,b=Jc2—4=20，所以£的轨迹方程为f一《=1).故答案为:

x~/=叱1)-

【例3】已知ABC的顶点4（-6,0）,8（6,0）,若，A8C的内切圆圆心在直线x=3上，则顶点。的轨迹方

程是

39B犬-1

Ak)广,「尸y1/、八

A.---J=lC.------=l(x>J)

927279927v7

【答案】C

【详解】如图，|明=网=9,|BF|=|BE|=3,|CD|=|CF|,所以

|。|-|制=9-3=6.根据双曲线定义，所求轨迹是以人，B为焦点、,实轴长为6的

2

双曲线的右支（除去右顶点），方程为土-就=1">3>故选:C.

9

【例4】已知圆M:（x+3）2+/=|6外一点N（3,0）,点P是圆上任意一点,线段

NP的垂直平分线/和直线交于点Q,则点Q的轨迹方程为（）

R犬><1r2v2

aD.------=IC.—+—=1D.—+

44-16201673627

【答案】A

【详解】圆M的圆心为“（-3,0）,半径厂=4,由于线段NP的垂直平分线/交直线叱「Q,所以

0=|例,

所以II刎-|QM||=||QHTQM|=r=4v|的V|,所以。点的轨迹是双曲线，且

°=3,2〃=4,〃=22=后二7=&，所以。点的轨迹方程为三-工=1.故选：A

45

【例5】（多选题）已知点P为定圆。上的动点，点A为圆。所在平面上的定点，线段4〃的中垂线交直线

OF于点Q,则点。的轨迹可能是（）

A.一个点B.直线C.椭圆D.双曲线

【答案】ACD

【详解】分以下几种情况讨论：设定圆。的半径为R,①当点A在圆。上，连接04,则|04|二|。4，所以

点。在线段4,的中乖线上，由中垂线的性质可知|4。=|尸乂因为点Q是线段4,的中垂线与OP的公

共点，此时点。与点O重合，此时，点。的轨迹为圆心。：故A正确：

②当点A在圆。内,且点A不与圆心。重合,连接A。，由中垂线的性质可得|Q4|=|QP|,所以,

\Q^+\Q（j\=\QO\+\QP\=\OP\=R>\O^t此时，点。的粒迹是以点人，0为焦点，且长轴长为R的椭圆，

故C正确；③当点A在圆。外：连接AQ,由中垂线的性质可得|QA|二|QP|，所以，

^QA\-\Q0\=||QP|-|CO||=\OP\=R<\OA\,此时，点Q的轨进是以点A,O为焦点、,旦实轴长为R的双曲

线.故D正确.故选：ACD.

【跟踪训练】

1.已知动圆户过点N（-2,0）,且与圆M:（x-2『+），2=8外切，则动圆。圆心P（M），）的轨迹方程为

【答案】f一）/=2,（x<-V2）

【详解】定圆的圆心为"（2,0）,与N（-2,0）关于原点对称，设动圆P的半径为，则有干用二厂，因为与

圆“：（X-2）*234+）2=8外切，所以|尸闸=2啦+>即pMTPN|=2夜<|MN|=4,所以点尸的轨迹是以

M,N为焦点的双曲线的左支，贝!c=2,b—=2,所以轨迹方程为工-工=|,

22

垃），即/一），2=2,-及）.故答案为：x2-/=2,（x<-V2）

2.已知圆M与圆。：（x+5/+V=25和圆。2：（x-5『+）；=9一个内切一个外切，则点M的轨迹方程为

【详解】当圆M与圆C］内切，与圆。2外切时，|MCj=九一5,|m。2|=3+3,当圆M与圆C］外切，与圆

G内切时，|MG|=%+5,|必?2|=%-3,所以||MG|一|MG||二8<|GG|=1。，点M的轨迹为双曲线，设

轨迹方程为二-£=1,2a=8,c=5,则a=4,迁尺币=3所以轨迹方程为1-4=1・故答案为：

ab~169

3=L

169

3.在平面直角坐标系中，已知圆M：（.r+2『+y2=］2,点N（2,0）,。是圆M上任意一点，线段NQ的垂

直平分线与直线MQ相交于点设点。的轨迹为曲线E,则曲线E的方程为.

【答案】--/=1.

3

【详解】因为尸在线段NQ的垂直平分线上，所以归0=|"|,所以

||PAf|-|PN||=\PM\-|Pe||=r=2x/3<|A«V|=4,由双曲线的定义知点尸的轨迹是以M,N为焦点，2G为实

轴长的双曲线，则。=2,〃=得〃=1，所以曲线E的方程为故答案为：t_y2=i

4J多选题）已知线段BC的长度为4,线段AA的长度为〃?，点。、G满足4。=。。，OGMC=0,且

G点在直线A8上，若以8c所在直线为x轴，8c的中垂线为了轴建立平面直角坐标系，则（）

A.当机=4时，点G的轨迹为圆

B.当4＜加48时，点G的轨迹为椭圆，且椭圆的离心率取值范围为

C.当〃?=2应时，点G的轨迹为双曲线，该双曲线的离心率为、5

D.当〃7=2时，点G的轨迹为双曲线，该双曲线的渐近线方程为），=±瓜

【答案】BCD

【详解】根据题意可知：点A的轨迹为以3为圆心，半径为机的圆B,点。为线段AC的中点，点G为线

段AC的中垂线与直线48的交点，则|GA|=|GC|,当〃?=4时，线段AC为圆3的弦，则AC的中垂线过圆

心B,点G即点8,故A错误；当4cm48时，如图1,点G在线段上，连接GC,

图1

则|GC|+|GM=|GA|+|GB|=|AB|=/n,.•.点G的轨迹为以B,C为焦点，长轴长为由的椭圆,即

c41、

则椭圆的离心率e=-=—w-A,故B正确：当m=2近时，过点。作圆3的切线，切点为P,

amL2y

若点A在劣弧PQ（不包括端点P,Q）上，如图2,点G在84的延长线上，连接GC,

图2

则|GB|—|Gq=|G@—|GA|=|AB|=2五,.•.点G的轨迹为以8,C为焦点，长轴长为盟的双曲线的右半支:

若点A在优弧PQ（不包括端点P,Q）上，如图3,点G在A8的延长线上，连接GC,

则|GC|TGB|=|G4|TGM=|AB|=2加,.•.点G的轨迹为以9,C为焦点，长轴长为，〃的双曲线的左半支,

c2

则点G的轨迹为双曲线，.,.4=&,c=2,则双曲线的离心率为e=?=&=应，故C正确；当m=2时,

过点C作圆。的切线，切点、为M,N,若点A在劣弧MN（不包括端点M，N）上，如图4,点G在84

的延长线上，连接GC,

贝犷64一|8-|64一|例—,4—2,.•.点G的轨迹为以iC为焦点，长轴长为用的双曲线的右半支;

若点A在优弧MN（不包括端点M,N）上，如图5,点G在A5的延长线上，连接GC,

则|GCHGB|=|G4|TGB|=MB|=2,.•.点G的轨迹为以8,C为焦点，长轴长为机的双曲线的左半支，

则点G的轨迹为双曲线，.•.a=i,c=2）=V?二7=6,渐近线方程为y=±gx=土/r,DE确；故选:

BCD.

5.已知圆M:（x+3『+）?=16,N（3,0）,过点N的直线/与圆M交于A8两点，过点N作M4的平行线交

直线MB于点P.

（1）求点？的轨迹£的方程；

【答案】（l）'^——=l（y^（））；

5

AM//NP,:.ZMAB=ZBNP,ZMBA=NPBN=NBNP,:.\P或4PN\,即\PM\-\PN\=\A^=4,当

AB互换位置时，|削一1尸时|=4,当直线/与“轴重合时无法作出NP//AM,故P不在“轴上，，点P

在以M,N为焦点的双曲线上，且2G=4,c=3,b=y/5,故点P的轨迹E的方程为?一《=l（y=0）；

题型04参数法（交轨法）求轨迹方程

解I题I策I略

在求动点的轨迹方程时，存在一种求解两动曲线交点的轨迹问题，这类问题常常可以先解方程组得出交

点（含参数）的坐标，再消去参数得出所求轨迹的方程，该方法经常与参数法并用，和参数法一样，通

常选变角、变斜率等为参数

【精选例题】

［例1］已知抛物线C：—=2〃.\，（户>0）的焦点户到准线的距离为2,直线/：），=太（犬-4）与抛物线。交于

忆。两点，过点P，Q作抛物线C的切线44,若44交于点M，则点M的轨迹方程为.

【答案】y=2x（x>8或xvO）

【详解】由焦点户到准线的距离为2,可得抛物线Cf=4y.由/="可得夕=《，故y'=J，故在

42

尸,舅处的切线方程为yg="_内）,即），吟_亨,同理在点Q卜J）处的切线方程为

至i

2-V-3+W

*^24

n2即M（二号，炉）联立直线与抛物线方程:

一-

=2i

4垩

y-

24

x:=4y

消去y得/一4米+16k=0，由题4=16公一64%>0=k>4或〃<0.由韦达定理,

），二攵（工一4）

玉+工2=4后小w=16太，得M（2£4Z）,其中k>4或2<0,故点M的轨迹方程为：y=2x（x>8或xv。）.

故答案为：），=2,1（.1>8或1<0）

【例2】设方程1+产2（m+3）x+2（1-W）y+16w<7/«2+9=0,若该方程表示一个圆,求m的取值范围

及圆心的软迹方程.

【答案】nie\-^+oo\y=4（x-3）2-l,xe（1,+oo）.

k6y6

【详解】配方得［大十3）］?十卜十（1-4〃/）『二1十6/〃，若该方程表示圆，则有1+6〃?>0,得，'，+r）.

6

x=/〃+3,1

由标准方程知圆心的轨迹方程为1）2一消去加，得y=4（.r-3）2-l.由〃?€（_［+8）,得

y=4/n-16

1717

x=〃?+3e（丁,+co）.故所求的轨迹方程是y=4（x-3）2-l,xe（—,-K»）.

66

22

【例3】已知椭圆二+二=1,点4,3分别是它的左、右顶点，一条垂直于x轴的动直线/与椭圆相交

84

于P,Q两点,当宜线/与椭圆相切于点八或点“时，看作P,。两点重合于点八或点4,求直线A"与宜

线5。的交点M的轨迹方程.

【答案】--^-=1

84

22

【详解】设尸（・%，%）,则。（“稣），则本+卷=1,因为4-2屈0）,BQ&O）,当七。±2近时，所以直

线AP的方程为：）'=；1金*+2&）直线BQ的方程为:丁=含%。-2&）,所以

丁=二^（犬-8）,又火=4（1—$）=次/，所以旷2=^^,即上一上=］,当/=±2夜肘，

x0—o82284

M（±2&,0）也符合上式，所以直线AP与直线4Q的交点M的轨迹方程是三-二=1.

84

【跟踪训练】

1.设椭圆方程为/+二=1,过点MOM）的直线/交椭圆于点A,B,。是坐标原点，点P满足

4

-1——

OP=-（OA+OB）,当/绕点M旋转时，求动点。的轨迹方程；

【答案】4x2+/-y=0

【详解】直线/过点M9D,点用在椭圆内部，所以直线,总与椭圆相交.当/的斜率存在时，设斜率为

y=匕+1

则/的方程为广质+1.联立直线与椭圆的方程、2+亡_［，消去y得（4+公卜2+2日-3=0,设

A（X，yJ、3（库丁2），则5+七=-±73'，则，+%=%（西+电）+2=71?,于是

f十代一।K,

0P=■!■（0A+08）=•曾,—^.

2I22）（4+&24+&2J

，=/①-4x

设点P的坐标为（元），），则7，由①©得女=—，代入②整理得4/+/一）,=0③

4+K

当/的斜率不存在时，A、B中点为坐标原点（0,0）,也满足方程③，所以点P的轨迹方程为

4x:+y2-y=0.

2.已知抛物线C：y2=4x,直线/过点P（0,l）.若/与。交于A,B两点，点。在线段48上，且

露爵求点。的轨迹方程

【答案】y=2x,（0<x<l且xW]）

【详解】解法一：设。（乂）。，A（.T],y）,网声,必），不妨令王<工2，

火工。4—2火1

•・•直线/与抛物线C有两个交点，・・・{Ay八，，攵<1，且女工0，玉+X,=F-,

A=-I6A+I6>Ok~k~

.\AP\|AQ|X]X-Xj2$x,1k、2c

x=

由\DDI=iT^F，得―=x----x-，*'--7-=―r，,y=---+1=---,，y=2x.

\PB\\QB\%,2~x,+x22-k2-k2-k

*.*A<1,且AHO,，0vxvl,且xwg,.,•点Q的轨迹方程为y=2大（0<x<l,且xw；）.

解法二：设Q（x,y）,A（4,y）,巴与必），不妨令百<W，

女工04-2kI

•・•直线/与抛物线C有两个交点，・・・JA=T6Z+[6>0'且4工3玉+务=下一，^2=^2-

•・•点Q在线段A8上，设掰=需=丸，则P4=/IP8，AQ=AQBf

X=2X.X,Ik2

x-x,=A（X2-X）&+4?-k2-k2-k

•:/cl,且々HO,.•.Ovxvl,且x=•二点Q的轨迹方程为y=2x（0<x<l,且

x=A/6+7in-4（）

3.在直角坐标系X0y中，直线乙的参数方程为ia为参数），直线A的参数方程为•m

y=—kt

I2

（m为参数），设4与4的交点为产，当女变化时，尸的轨迹为曲线G.

求曲线C1的普通方程；

【答案】4+4=1，

63

X=y/b+t

【详解】解：因为直线4的参数方程为（，为参数），消去参数，得直线4的普通方程为

)，=胪1,

）,二；女［一6）①,

x=m-\!b

消去参数加得直线，2的普通方程为丁=-：1+#）②，设

直线4的参数方程为m（机为参数）

产一工

消去火得丁=-3卜2-6）即曲线G的普通方程为

P(D)，

（"0）;

4.已知椭圆C：接+总=1（4＞力＞0）的离心率为乎，且经过“11用，经过定点了（1,0）斜率不为0的直

线/交。于E,广两点，A,8分别为椭圆C的左，右两顶点.

（1）求椭圆C的方程；（2）设直线AE与3r的交点为P,求，点的轨迹方程.

'3=2

a~24=2

【详解】⑴根据题意可得。2=护+。2,解得《b=\・•・求椭圆。的方程为工+V=i

4

L2=1C=yf3

［片+正

y=4(x+2)

（2）根据题意可得直线A氏y=9（x+2）,BF：丁=右"-2）联立方程，解得

y=-2)

/、2Ai

2(4+3_

=4,”点的轨迹方程为x=4

&-42

5.已知椭圆［十二二］.〉〃〉。）的离心率为叵,

且经过点A（2,0）.

ab2

（I）求椭圆的标准方程；（II）设0为椭圆的中心，点。（一2,0）,过点4的动直线/交椭圆于另一点

B,直线/上的点C满足OB.OC=4，求直线8。与OC的交点P的轨迹方程.

22

【答案】⑴?+5=1（2）x2+y+2x=0（x^0）

【分析】（1）利用椭圆C：/=心0）的离心率为孝，且经过点M（2,0）,可求椭圆的

几何量，从而可求椭圆方程；（2）直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理，求得B点坐标，结合

O6・OC=4求出C的坐标，写出BD、OC的直线方程，利用消守法求轨迹.

【解析】（1）因为椭圆的离心率e=£=正，且。=2,所以c=J5.

a2

乂/=。2-。2=2.故椭圆的标准方程为上+上=1.

42

（2）设直线/的方程为x=）+21当，存在时，由题意/工0