专项训练：数列求和、不等式归类-高二数学期末复习（学生版）

数列求和,不等或归类

题型归纳•内容导容

■91分组求和，公式型■99裂项相消:指数信微型

题型2分盥求和,分段型题型10裂项相消t分子分母和的倍数（重点）

■93分组求和3皆儡正负型（・点）■siniwwa消，分子分母齐次清去法

KS4分组求和,插入数型ma12裹项相清:分母有理化法

题型5倒序求和，通敷中心法（常考点）题型13相消，事指同构（法

■960位求和3整数费■914求和证明不等式

题型7裂项相消,基础型（难点）题型15先放缩再求和证明不等式

■98裂9（相清，分子为分常差的倍数（■点）慝型16三篇函敷整

题型通关•靶向提分•:

Mat一、分组求和at：公式at（共2小・）

1.（25-26高二上•江苏苏州・月考）已知数列｛%｝,｛bn｝的通项分别为斯=2九也।=2"+1,现将｛4｝和｛bn｝

中所有的项,按从小到大的顺序排成数列｛%｝，则满足ci+c,+…+或>20以”的灯的最小值为（）

A.21B.38C.42D.43

2.（25-26高二上•江苏苏州・月考）已知数列｛诙｝的前九项和为S”,满足％=1,且％•%+1=3”,则S2019的

值为（）.

O1009।Q92）19_1

A.♦十zB.1C.3Kl09+3D.31010-2

题型二、分细求和型，分段型（共2小题）

3.（24-25高二下•广西钦州•期末）己知数列｛%｝满足%=1，%=2,且%+2=收①为奇?他输，则｛“｝

l%,+i—册,九为偶数

的前51项的和为（）

A.37B.40C.42D.46

3On，0VQnV万1

J3,%=；,记

3a—2,y<a<l4

｛rin

屋=（一1）&，则数列｛勾｝的前100项的和为（）

A.-25B.25C.-50D.50

・超三、分la求和gh奇儡正负at（共2小・）

5.（24-25高二下•四川成都・月考）已知等差数列｛4｝中，Q：,+Q5=Q4+7,=19,则数歹U｛（—1）%”｝的前

2D25项和为（）

A.1012B.1013C.2025D.-2025

6.（2025•河北衡水•模拟预测）已知数列｛QJ满足％=某同学将其前20项中某一项正负号写错,

得其前20项和为82,则写错之前这个数为（）

A.64B.-81C.100D.-121

■at四、分组求和at：插入敷足（共2小・）

7.（25-26高二上•江苏苏州・月考）已知数列｛4｝的前n项和为&,且%=1,Sn=2n-1.在数列｛%｝的

每相邻两项ak、aA.+1之间依次插入可、出、.、，得到数列｛b,J:5、的、出、、%、。3、Qi、。2、。3、％、

……，他J的前22项和为（）

A.34B.36C.37D.39

8.（24-25高二上•黑龙江绥化•月考）对于任意一个有穷数列，可以通过在该数列的每相邻两项之间插入这

两项的之和,构造一个新的数列.现对数列1,5进行构造，第1次得到数列1,6,5,第2次得到数列1,7,

6,11,5,依此类推，第九次得到数列1,学,必，…，5.记第九次得到的数列的各项之和为S,,则｛&｝的通

项公式S,7=（）

A.3n+,+3B.3n+,+lC.3n+3D.3n+1

・型五、值序求和，函1ft对称中心法（共2小・）

9.（25-26高二上•福建漳州•月考）德国大数学家高斯,被誉为数学界的王子，在其年幼时，市1+2+3+…

+10（）的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律

性，因此，此方法也称之为高斯算法.现有函数,/•（%）=»2；为＞o）,则/（1）+/（2）+〃3）+-

OK+bUio

+/（k+2025）等于（）

AA;4-20252A：+6078「2k+6078k+2025

-

AFC6-6

10.（24—25高二下•北京西城・月考）数学家高斯在年幼时，对1-2+3+…+100的求和运算中，提出了倒序

相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称为高斯算

法.现有函数/⑺=备，则/（壶）+/（篇）+/（薪）+•••+/（第1）二（）

A.2025B.2024C.1013D.1012

型六、0位求和，餐敷型（供2小・））

....................................B

11.(24-25高二下•广西崇左・期末)若数歹U｛斯｝满足%+丁%=2%+4>，5=寺，M的前n项和

为S〃，则Sioo的整数部分为()

A.2101-1B.2101C.2101+1D.2100+1

12.(2025•广东茂名•二模)已知函数f(c)满足/(c+1)=2/(c),f⑴=1,设&=对⑹，S.为数列｛b,J的前

n项和，则使得S,,>2024成立的最小整数九为()

A.8B.9C.10D.11

题型七、蒙9H8清,基磁型(共2大摩)

13.(25—26高二上•甘肃金昌•月考)设｛4｝是等差数列，｛“J是等比数列，且Q，I=仇=电一仇=QL区=1，

其中｛%｝与｛bn｝的前一项和为Sn和Tn.

⑴求｛册｝与｛0｝的通项公式；

(2)若q=，求数列｛4｝的前几项和Q,,；

见7a

(3)当2>0时，若4S“47；+1对任意的nWN+恒成立，求实数4的最大值.

14.(25—26高三上・江苏苏州・期中)已知数列｛%｝的前几项和为S”，若对任意办EN•，向量元=

(4,一2二一1),%=(Sn,%)，有嘉。=L

(1)求数列｛%｝的通项公式；

(2)记bn=-^―,数列｛AJ前九项和为或，求证：ZV春.

a〃a”+i2

・at八、蒙项相消，分子为分母墓的倍数(共2大・)

15.(25—26高三上•四川绵阳・月考)设数列｛Q,J的前九项和为Sn，已知QI=l,2Sn=7iQ”+L《Km+l)d

O

+2),nWN*.

⑴求Q2,Q3的值和数列｛4｝的通项公式；

(2)数列［红士上］的前几项和为£,求证：7；V1.

IQnQn+lJ

16.(2025・河北保定•一模)记数列｛oj的前几项和为S”，己知Q］=3,nan+i=2&+3?t.

(1)证明：数列｛%｝为等差数列；

(2)求数歹1"驾工\的前n项和

・a［九、蒙项相消,指数倍数参（共2大・）

17.（25-26高三上•河北衡水・月考）已知数列｛Q“｝的前几项和为S”,且Sn=2a"一九.

⑴求数列｛4｝的通项公式；

（2）若be=4+bn-JW+6，求数列也｝的前几项和Tn.

18.（25—26高二上,甘肃金昌・月考）数列｛%｝满足：Qi+3a2+5a3+…+（2九-1）%=3+（n—1）,3n+1，各项

均为正数的等差数列｛“J的前n项和为S“，4是如仿的等匕中项，且S6—3S；,=12.

⑴求｛%｝,｛&｝的通项公式；

（2）设品=>——投——-,北为数列｛品｝的前几项和，若北V馆2-4馆+4恒成立，求实数tn的取

值范围.

q..................

・查十、蒙项相消，分子为分母和的倍数供2大・)

19.(25-26高二上•江西景德镇•期中)已知等差数列伍“｝满足an,an+1是关于①的方程行—4nx+⑥=0的

两个根.

(1)求数列｛&｝的通项公式.

(2)设q=(—1)”•普，求数列｛crJ的前2九项和

20.(25-26高二上・甘肃・期中)已知数列｛词中，。2二3的，前九项和为S”,且｛画｝为等差数列.

⑴证明：数列｛%｝是等差数列；

(2)已知见=1,>=(一1)""，求数列｛bn｝的前几项和墨.

%「诙+1

..................B

・8十一、蒙项相清，分子分母开次退去法(供2大■[))

21.(25—26高三上•河北・期中)已知｛4｝为正项等差数列，03+丽=30,。《=29§为｛4｝的前一项和.

(1)求数列｛4｝的通项公式；

(2)求数列｛等｝的前几项和北；

(3)设数列[4也+1)J的前几项和为Mn，证明：M,Vo+[.

22.(2025・甘肃白银•模拟预测)己知首项为1的正项数列｛册｝满足成+】一出=8九.

(1)求｛%｝的通项公式；

⑵令以=£(与：+^^)伍£N)求数列小｝的前几项和Sn.

IMH■二、iWt相消，分母有理化法(供2大题))

2

23.(2025高三上•河南洛阳•专题练习)已知递增数列｛%｝满足0n-+an=4n-4,anan+i=4n-l.

⑴求Qi；

(2)证明:数列｛QJ为等差数列；

(3)令bf=l1/_，求数列｛0｝的前几项和

VQn+VQn+l

24.(25-26高三上•河南南阳・期中)已知数列｛狐｝的前几项和为S.,且3S.+2=44SEN)bn=log2%.

⑴求数列｛%｝的通项公式；

(2)求数列｛氏4｝的前几项和；

(3)证明：1v士+士+-+-^v片.

...........»

・at十三、蒙项相清3事指1［法供2大届)

25.(2025•河南•模拟预测)已知数列｛an｝满足%=9@=春,。"2+34=40⑹.

乙乙

⑴证明：数列｛4+「4｝为等比数列；

⑵求｛册｝的通项公式；

⑶记限=2%+1,数列的前几项和为S”,证明

仇打n+l)IC'O

26.(25-26高三上•江苏盐城•期中)已知数列｛4｝满足。什黑+…+久=2n2+2n.

⑴求数列｛即｝的通项公式；

(2)设br=⑵13)2'，求数列｛0｝的前几项和s.；

(3)设北是数列｛4｝的前九项艰，求证：北《4”•e--\

・0十四、求和证明不等式（（共2小・））

27.（2025・海南•模拟预测）已知数列｛%｝的前八项和为S”,且S“=2Q”—九，九6N*,

（1）求数列｛4｝的通项公式；

（2）设q=---———...--------，记数列｛品｝的前n项和为M，证明：［&A么V1.

Iog2（%+1）Tog2（%+1+1）2

28.（25—26高三上•贵州遵义・月考）己知函数/Q）=lg笔迎，数列｛%｝满足M=/（/）+/（系）+

JLi-XZill

竭）+••”『

（1）证明/（乃+/（2-x）为定值，并求数列｛afl｝的通项公式；

（2）记数列J的前几项和为空，证明：白《北V上.

I4%+J2112

............即

IMH■五、先放H再求和证明不等式((共2小・))

29.(2025高三下・全国・专题练习)已知实数。>0,函数/3)=^—。2-1(。为自然对数的底数).

(1)求函数/(0的单调区间及最小值；

(2)若f(x)>0对任意的。ER恒成立，求实数Q的值；

(3)证明：ln(]+J)+ln(]+「)+ln(l+8)+…+ln1+------<l(nGAT4).

'2x3f'3x5f'5x9f(2'1+1)(2"+1)」

a+1,也为奇数

30.(24-25高三下•广东惠州・月考)已知数列｛4｝的前n项和为S”,且5=L%+1=n

0n+2,71为偶数

(1)证明｛©nr｝是等差数列;

⑵求S2n；

(3)求证：/+卷+

■fl十六、三角通敷魂(供2小・))

31.(24-25届二下•湖北・月考)意大利画家达•芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂,

那么项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”其原理往往运用于悬索桥、架空电缆、双曲

拱桥、拱坝等工程.通过适当建