“中考数学专题复习-圆来如此简单”经典几何模型之隐圆专题(含答案)

经典几何模型之隐圆”“圆来如此简单”

一.名称由来

在中考数学中，有一类高频率考题，几乎每年各地都会出现，明明图形中没有出现“圆”，但是解

题中必须到咽，的幽点，像这样的题我（I、麻之为陶醵物。

正所谓：有“圆”千里来相会，无“圆”对面不相逢。“隐圆模型”的题的关键突破口就在于能

否看出这个“隐藏的圆一旦“圆”形毕露，则答案手到擒来！

二.模型建立

【模型一：定弦定角】

【模型二：动点到定点定长（通俗讲究是一个动的点到一个固定的点的距离不变）】

【模型三：直角所对的是直径】

【模型四：四点共圆】

三.模型基本类型图形解读

【模型一：定弦定角的“前世今生

D

前世

在。O中，若弦.46长度固定则若有一固定线段.46及线段.48所对的/C大小固定，

弦.4"所对的圆周角都相等（注根据圆的知识可知。点并不是唯固定的点，。在

意：弦dA在劣弧4H上也有圆。。的优弧/C8上均可（至于是优孤还是劣弧取决

周角，需要根据题目灵活运用）于NC的大小，小于90。，则C在优弧上运动；等于

90%则C在半圈上运动；大于90。则。在劣弧运动）

【模型二：动点到定点定长】

今生

若有AB=AC=AD,贝IJB、C、D三

点在以.4为圆心45为半径的圆上。

（理论依据：到定点的距离等于定

长的点的集合叫做圆【圆的定义】）

【模型三：直角所对的是直径】

今生

前世若有/1B是固定线段，且总有/ACB=90。,

在中，AB为直径，则则C在以为直径径的圆上。（此类型本

始终有AB所对的NC=90。来属于定弦定角，但是因为比较特殊，

故单独分为一类）

今生

若四功形.45C。中有Nl=/2（通常情况下/5=N6对顶角相等，

故不需要/3=/4,实际应用中长用/1=N2,Z5=Z6）则.ISC

0四点（某些不能直接使用四点共圈的地区，可以通过证明

两次三角形相似也可），选填题可以直接使用.

四.“隐圆”破解策略

牢记口诀：定点定K走圆周，定线定角跑双弧。

直角必有外接圆，对角互补也共圆。

五.“隐圆”题型知识储备

知识储备一：（点圆距离）圆外一点P,

连接PO与圆交于力、4两点，则"为P

到圆上最远距离依为P到圆上最短距离.

知识储备二：时，C点到,48的距离

CH为圆上点到的最大距离

知识储备三：由“知识储备二”可知，线段

AB固定，C为圆上动点。当△ABC为等腰

三角形时，AABC的面积最大（分为在优

弧和劣弧两种情况，如图）

六.“隐圆”典型例题

【模型一：定弦定角】

1.（2017威海）如图1,△ABC为等边三角形，AB=2,若尸为△A5c内一动点，且满足

NP45=NACP,则线段PB长度的最小值为__________o

简答：因为NR1加NPCA,ZPAB+ZPAC=60°t所以NR1C+NPCA=60°,即NAPC=120°。因

为AC定长、NAPG120淀角，故满足，定弦定角模型”，P在圆上，圆周角/4PC=120。，通过简单

推导可知圆心角NAOC=60。，故以AC为边向下作等边△48,以。为圆心，04为半径作

。0,P在。。上。当8、P、。三点共线时，8尸最短（知识储备一：点圆距离），

此时BP=2>A・2

2.如图1所示，边长为2的等边△ABC的原点A在x轴的正半轴上移动，ZBOD=30°,顶

点A在射线。。上移动，则顶点C到原点O的最大距离为o

如图1如图2

小段老师：题目有告诉你们A、3在哪里吗，为什么想当然觉得NAO5=135。呢，难道不可能

等于45。吗如图3,构建。。，由“知识储备二”可知当0Q_LA8时，此时△的

面积最大为LABOH12_（2+1广近+i,故答案选5

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4.如图1,AC为边长为2磔形A3CD的对角线，NA5C=60。，点M、N分别从点心

C同时出发，以相同速度沿8C、C4向终点C和A运动，连接AM和aV,求AAPB周长的

最大值

简答：如图2,由M、N点速度相同可知及V/=CN,易证故NN8C=N84M

（如图2）,又因为NN5C+NA3N=60。，所以N5AM+/A5N=NAPN=60。（外角性质），所

以/AP8=120°（定角），又因为AB长度固定（定弦），故以AB为底向左侧构建等腰A

QAB,N4QA=120。，则尸在。。上，由“知识储备三”可知，当△尸是等腰三角形时，

△A5尸周长最短。又由AAPS是定角为120。的等腰三角形，故AP4P:AS=1:1:

AB=AC=2j3,故P3=PA=2,故△4〃尸的周长最大值为4+班

【模型二：动点到定点定长】

1.如图1,四边形"C。中，若NC4O=76。，贝!|NCM=度。

简答：如图2,因为A5=AC=AD,故3、C、。三点在以A为圆心的圆上，故NC8O=J.N

2

C4D=38°

2.如图，在△ABC内有一点，使得OA=ZW=OC,若N1M"=2。。，则NAC5=

A

简答：如图2,因为D4=DR=OC,故4、B、。三点在。。上，NOAB=N084=20。，故N

ADB=140°,故NACB="103=70°

2

3.如图1,已知四边形A5CD中，AB//CDfAB=AC=AD=5fBC=6f求SO

如图1如图2

简答：因为N1=N2,AD//BC,故N3=N1,Z4=Z2,故易证△故EB=CD=6,

ED-2AD-10,故加-8

4.如图1,长2米的梯子A〃竖直放在墙角，在沿着墙角缓慢下滑直至水平地面过程中，梯子

AB的中点P的移动轨迹长度为

简答：由斜边上的中点等于斜边的一半可知，OP=\,动点P到定点。的距离始终等于1,

满足圆的定义（到定点的距离等于定长的点的集合叫做惧I）,故P的运动轨迹是圆弧，圆心

角为90。，轨迹长度为四分之一圆的长度，省略。

5.在矩形A5CD中，已知AB=2,BC=3,现有一根长为2的木棒E尸紧贴着矩形的边（即

两个端点始终落在矩形的边上），接逆时针方向滑动一底，则木棒E尸的中点P在运动过程

中所围成的围形的面积为

如图1如图2

简答：由上一题可知，尸的运动轨迹是圆弧，因为滑动一周，故有四个圆弧，则点尸所围

成的图形为中间的图形，用矩形的面积减去四个四分之一圆的面积即可，答案：6

6.如图1,在矩形"CD中，AB=2f40=3,点E,产分别为AO、&C边上的点，且EP=2,G

为E尸的中点，尸为5c边上一动点，则尸A+PG的最小值为

简单：G的运动轨迹为圆，求AP+PG典型的“将军饮马”问题，故做4关于BC的对称点

A1,则/U>+PG=A'P+PG,当A，、P、G三点共线时，最短，又因为A'为固定点，G在

圆上运动，由“知识储备一"可知当A'、G、O三点共线时，此时A'G最短，为4

7.在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3,0）,B为）轴正半轴上的点，C为第一象限内

的点，且AC=2.设"NN50CMW,则M的取值范围为

H

简答：因为4C=2,4是定点，通过圆的定义（到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆）

可知，。在。A上运动，当OC与。4相切时，此时N3OC最小，tANNBOC也最小，此

ZBOC+ZAOC=ZA0C+ZCA0=90°,故ZBOC=NCAO,此时t4NNCA0=°E_近，

AC2

C厂

又因为角度越大，正切值越大，故L4NN8OC=论，_

2

8.如图1,在A3A3C中，ZC=90°,AC=7,6C=8,点”在边AC上，并且CP=2,点E为边

〃。上的动点，将△CE尸沿直线E尸翻折，点C落在点P处，则点尸到边距离的最小值

是

如图1如图2

简答：E是动点,导致EF、EC、EP都在变化，但是尸P=FC=2不变，故尸点到尸点的距离

永远等于2,故尸在。尸上运动，如图2。由垂线段最短可知，尸”JL4B时，尸〃最短，当

F.P、〃三点共线时，PV最短，又因为△所以AF:尸〃乂，=5:4:3,又因为

A尸=5,故尸〃=4,又因为FP=2,故P〃最短为2

9.如图，在oASCD中，N〃CO=30。，BC=4fCD=33,、而是A0边的中点，N是

AB边上一动点,将△4MN沿MN所在直线翻折得到△PMN,连接PC,贝!JPC长度的最小

值是

简答：翻折过程中，MP=M4=2,故尸在€>M上运动，当M、P、C三点共线时，PC最短。

PC=MCMP,要求MP需要过M作于"，N"DM=30。，故HM=LHD=6,

故，。=4b，故易求MC=7,贝!]PC=7-2=5

【模型三：直角所对的是直径】

1.如图1,中，AIi±BCtA8=6,BC=4,尸是AABC内部的一个动点，且始终有

AP±BPf则线段CP长的最小值为

AA

如图1

简答：如图2,因为AP1BP,NP=90。(定角)，48=6(定弦)，故尸在以A8为直径的

0H上，当H、P、C三点共线时CP最短，HB=3,8c=4贝?]HC=5,故CP=5・3=2

2.如图1,A(1,0)、B(3,0),以A3为直径作圆射线。尸交圆"于E、尸两点，C为弧

A8的中点，。为弦£尸的中点，当射线绕。旋转时，C&的最小值为

简答：因为O是⑻尸中点，故故NODM始终等于9。。，故。在以OM为直径的圆

上，如图2。易知A为圆心，当A、。、C三点共线时，CD最短，C&=AC.AO,又易

知C(2,l),故AC=0,故CD=0・1

3.在^ABC中,NA"C=90H3=6乃C=80为AC的中点过。作。£_LO居OE、OF分别交

射线A仇"。于£、尸，则E尸的最小值为

简答：因为NE。尸=90。，ZC=90°,故C、O均在以E尸为直径的圆上（也称四点共圆），因

为屈F是圆的直径，。、C均在圆上，且OC长度固定，要使得£尸最短，则圆最小，要使圆

最小，OC为固定长度，则。C为直径时，圆最小（此处比较难，思维量比较大，大家慢慢

琢磨），此时CO=EP=OA=O8=5（斜边上中线等于斜边一半）

4.如图1,已知R3A8C中，AC=5fBC=12fZACB=90°,尸是边A3上的动点，。是

边8C上的动点，且NCPQ=90。，求线段C。的取值范围.

简答：以C0为直径作。0,根据直径所对的圆周角是宜角，若A8边上的动点尸在圆上，

NCPQ就为直角.当。。与HR相切时（如图2）,直径CQ最小.由切线长定理，得八2=

AC=5f所以3P=13—5=8.再根据A3POsZ\BC4,所以0?=1°^当点0

33

与点5重合时（如图3）,直径CQ最大，此时CQ=12.综上所述，2°sc如12

3

5.如图1,半径为4的。。中，CD为直径，弦A3_LC&且过半径。。的中点，点£为。。上

一动点，。尸于点尸.当点E从点8出发顺时针运动到点。时，点尸所经过的路径长为

简答：因为NCE4=90。（定角），4c=4（定弦），故尸在以AC为直径的。。上，当£

在8处时，尸在G处，当月在。处时，尸在4处，故尸的运动路径为弧4G的长度，易求

出NACO=30。，故NA0G=6O。，故弧AG长度二12兀23才

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6.（2013武汉）如图1,E,尸是正方形ABCD的边AO上两个动点，满足AE=DP.连接C尸

交BD于点G,连接SE交4G于点若正方形的边长为2,则线段。“长度的最小

值是

简答：易证AH8E空△OCT,ADAG义工DCG,ttZDAG=ZDCG=ZABEf又因为NABE+

ZAEB=90°,故NEA〃+NAEH=90。，故乙4”“二90。，故H在以AB为直径的。。上，

当。、从。三点共线的时候O"最小，DH=OD-OH=>/5-1

7.如图1,在RtAABC中，Zfi=90°,ZC=30°,AB=1,O为线段AC上一动点，将小BDC

沿着“。翻折，点。的对应点为凡E为AC的中点，在。从C到A的运动过程中，当最

短时，CD为

简答：在折叠过程中，夕「始终等于"C,故「'到8点的距离是定值，尸在。△上，当£户最

短时，B、E、F三点共线（如图2）,此时/3尸。=/。。）=30。，C5O=15。（因为

BE=CE,故NE3C=N3CE=30°）,故/尸DH=NCOH=45°,ZFED=60°,故FD1CE,

EF=BF-BE=R1,又因为75F=OC,在Rt△E&尸中EDEF5f故

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CD=1-ED=\^-3

8.（2017宿迁）如图，在矩形纸片A3CO中，己知A3=LBC=&点£在边CD上移动，

连接AE,将多边形4BCE沿直线AE翻折，得到多边形48（"凡点B、C的对应点分别为点

1八C.

（1）当B77恰好经过点。时（如图1）,求线段CE的长；

（2）若跟C"分别交边AD,CD于点F,G,且NQA£=。（如图2）,求AOFG的面积；

（3）在点£从点C移动到点。的过程中，求点。运动的路径长.

图1图2

简答：（1）“《字形”秒杀，过程略，答案：J62

（2）由翻折全等可知N夕AE=N84E=。，又因为NOAE=。，故N3'

AF=45°,故AAB?、△。尸£均为等腰直角三角形，后面略，答案：5_J6

2

（3）折叠过程中始终有AC'=AC,故C'在以4为圆心，AC为半径的圆上。根据

点E在。时，C在C点，点E移动到。时，C在如图3位置，

易求。运动的圆弧的圆心角为60。，故C运动的轨迹为6°2g2

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【模型四：四点共圆】

1.如图1,正方形48CO中，ZEAF=45°,4尸与BO交于N,4E与80交于连接

MF.NE,求证AANE、△AM尸是等腰直角三角形

简答：因为N1=N2=45。，Z3=Z4,故A、5、E、N四点共圆，因为NA8£=90。，故/IE为

直径，故N4NE=90。，故A4NE是等腰直角三角形，同理可证△AM/是等腰直角三角形

（此题也是很经典的“半角模型”问题之一）

2.如图1,等边AASC中，43=6,。为A5上一动点，PD.LBC,PE±ACf则OE的最小

值为

简答：因为NPEC=NPOC'=90。，故四边形尸OCE对角互补，故叨C月四点共圆，如图2。

N£OD=2N£CD=120。，极ED=求,要使得最小则要使圆的半径A最小，故直径PC

最小，当CPL4B时，尸C最短为36，故/?=3与_故OE=J3RG349

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