不定积分、定积分及应用

第四章不定积分

内容要点

1.基本性质

(1)如果/(x),g(x)原函数存在，贝土班(3))公=aj/(x世土

这里。涉是任意常数

⑵-^\f(x)dx=f(x)或47(力仁fX

(3)\f\x)clx=f{x}+C或J&A加大府

2.基本积分表

⑴\kdx=kx+C(左为常数)，特别地j0^¥=C

(2)Jxpdx=—!—j-x^1+C^—dx=ln|x|+C

⑶faxdx=—!—o'+C,(a>0,aw1)，特别地fe'dx=ex+C

JInaJ

(4)|sinxdx=cosx+C,|cos.rd^=-sinx+C

fsec2xdx=\-—dx=tanx+C,fesc2xdx=[—\—dx=-cotx+C

⑸

JJcos-xJJsin-x

(6)jtanxsecxdx=secx+C,Jcotxcscxdx=-cscx+C

f—dx=arctanx+C,特别地f-clx=—arctan—+C,(tz^0)

⑺7

J\+x~Ja~+xaa

f——dx=arcsinx+C,特别地f!——dx=arcsin-+C,(a>0)

⑻/

na

(9)JsecxdLr=ln|secx+tanx\+C,jcscx^Zr=hi|cscx-cotx|+C

(10)Jtanx(bc=-ln|cos.r|+Cjcotxdx=In|sinx|+C

(11)f/-dr=ln(x+J.2+x2)+C,f]-------：公=In工-Jx」-a?+c

Jda1-JJ——

(12)jshdx=chx+C,^chxdx=s/?x+C

3换元法

(1)第一类换元法(凑微分法)

要算以①(x哈，的原函数(难得到时)，如果/(〃)的一原函数为/(〃)，则

f{(p(x))(p\x)的原函数为尸("x))，即

Jf((p(x))(p\x)dx=Jf((p(x))d(p(x)=Jf(u)du=F(u)+C=F((p(x))+C

常见的凑微分公式有：

(i).Jf(ax-\-b)dx=—^f(ax+b)d(ax+Z?),(at-0)；

(ii).J—/(Inx)dx=f/(Inx)dInx?

(iii).J/(or"+b)xH~]dx=—jf(ar"+b)d(cixn+b),(aw0,〃H0)

特别地

Jj\4x)-^=dx=2jf(4x)d4x

(iv).Jaxf{ax)dxJf{ax)dax,特别地Je"(F)公=]7(/)兹

(v).|sinA/(COSx)dx=-j/(cosx)dcosx

jcosM(sinx)dx=J/(sinx)dsinx

jCSC2A/(COtx)clx=-jf(cotx)dcotx

jsec2V(tanx)dx=j/(tanx)dtanx

jsecxtanxf(secx)clx=jf(secx)dsecx

jescxcotA/*(CSCx}dx=-J/(escx)descx

(vi).J]1、f(arctanx)dx=j/(arclanx)darctanx

jI12f(arccotx)dx=-j/(arccotx)darccotx

jf(arcsinx)dx=J/(arcsinx)darcsinx

Jj1/(arccosx)clx=-j/(arccosx)Jarccosx

J黑心J7b叭")=i巾⑸+c

(vii).

⑵第二类换元法

要算了(幻的原函数(难得到时)，如果/"⑺"⑺的一原函数为/⑺,则/⑴的

原函数为R，YX)),即

Jf(x)dx~=}\f((p(t))(p\t)dt=F(/)+C=b"T(x))+C

上式在工=以，)单调，可微，且“(f)wO时是成立的.

常见的代换有：

(i)三角函数代换

通过三角函数代换，一般能把含根式的被积函数化为有理的三角函数式

如：

Jf(x,\ja2-x2)dx=<7Jf(asinr,acost)costdt,(tz>0,--<r<—)

22

[f(x,>Ja2+x2)dx=a\f(atanr,—)sec2tdt,(tz>0,--<r<—)

J'Jcost22

Jf(x,yjx1-a1)dx=aJf(cisect,atant)secttantdt,(£7>0,x><7—>0<r<y)

-----x=ascct

-a2)dx=a

(ii)倒代换

当被积函数是分式，分子关于积分变量的次数小于分母关于积分变量的次数，不易积时,

可考虑用倒代换的方法，即令x=L使被积函数的分式化为分子关于积分变量的次数大于

t

分母关于积分变量的次数来积分.如计算Jdx,(0<x<a)

______।y]a2r

~--1,r^—

J—一(收=~\f—\t—力=Jf4丁-1力7=

7

(iii)指数代换

当被积函数是由指数相所构成的代数式时，可考虑利用指数代换，即令/=/

(iv)其它代换

当被积函数是含有反三角函数arcsinx,arctanx时，可考虑arcsinx=/,arctanx=l作代

换。

(3)分步积分法

设函数〃(x),u(x)具有连续导数，则ju(x)v\x)dx=A/(x)v(x)-j*

x2t1"2

的积分，即令:tan-=r=>smx=----r，cosx=----彳,ax=----rat

21+r21+r1+产

jR(sinx,cosx)dx=jR(〔2[,J_L.)—出

(6)简单无理函数积分

无理函数积分一般通过变量代挨换，去抻根号.常见的：

(i)JR(xWat+〃)/，可考虑用yjax+b=t替换

(ii)区号)dx,可考虑用J£Ltl=/替换

JVax+bVax+h

(iii)jR(x,Nax+b：Nax+b)dx.可考虑用kjax+b=t替换，这里k=(m,n)

例

2Y

2、3

解:YZV=j

14、+9*

1+

—^arctanf^

+C

In2-In3⑶

解:lnlnx+InIn+Jdx

Inx

=xlnlnx-fAT/Inlnx+f---dx

JJInx

=Jilnlnx-fx—!—(inxYdx+[—!—dLv

Jlnxv)Jinx

=xlnlnx-f—c£v+f—!―<Zr

J\nxJinx

=xlnlnx+C

_rx+sinx,

例3-------dx

J1+COSX

rx+sinx.fx,rsinx.

解：--------dx=-------dx+-------dx

J14-COSXJI4-COSXJ1+COSX

=[——-——dx-[--!----dcosx

J2cos2三口+cosx

c

=J.Wtanj-ln(l+cosx)+C

=xtan^-jtan^tZr-ln(l+cosx)+C

x-r]x

=xtan—+2----；dcos——ln(l+cosx)+C

2J

cos—

2

xx

=A:tan—+2Incos---ln(l+cosx)+C

22

Jln(A-4-7977)12

J际

解：f这+")+'公=fJi>(x+的+、2)+2dln(x+，9+x2)

JV9+x2」

=jyjh^c+y/9+^)+2d(ln(x+的+/)+2

+C

例51(2+3"产

X

r1.|Jdt

解：(7-------7——dx=f7-------六——

J(2+cosx)sinxJ(\-rj2/+t

/+TZ7JZ7

f1+产，

—力

3+厂t)

—ln(3+tan"—)H—intan—FC

62322

2

1+x7

例6----vdx

1+x4

-4+1

解:片-f—dx=J-r-^—d{x--)

言"T12

-j•+广

x-

11x——

d(x—)=-尸arctan—+C

%V2V2

此题如用有理函数拆分就较繁!

1,x<0

例7设/'")=〈x+1,0<x<1/(x)

2x,x>1

x+Cpx<0

1「

解：jf\x)dx=>—X2+x+G,()<x<l

2■

X~+C3,X>1

因/'(x)的原函数是某•连续函数加任意常数，因此,

x+C,x<0

|f\x)dx='x2+x+C,0<x<1

H2FC,X>1

例8」,/1,dx,(a00)

入7Cl-十八一

解:当x>0时，|

+1)

-4VrV7T+C

cr

1.

~2h

ax

当x<0时，也得:J1

x2\lcr+x2a2x

1

综合得：f—dx=--+c

J2

XV?77/X

“icrcsinx+Jcosx./,八、

例9.-------------dx.(ab^O)

Jasinx+bcosx

S1VKcas.

解：令X=Jasi^bcW七---------clx

srwf?xco

,,,”,,,r<7sinx+/?cosx,—

则aX+bY=\-------------dx=x+G

Jasinx+bcosx

…”c-bsinx+acosx,

-bX+aY=--------------dx

Jasinx+Ocosx

1

d(。sinx+/7cosx)

=\asinx+bcosx

=In\asinx+^cosx\+C2

ax-b\n\asinx+bcosx|

x=TTP+G

hx+aIn\asinx+hcos,r|

Y=

a2+b2

csinx+dcosxar-/?lnpsinx+/?cosx\0+aln|asin.E+〃cosx|

asinx+bcosxa~+b~a+b~

注:如用万能公式替换化为有理函数来积分，很难求解

例]0Jy(X+])-2d尸公

解:ji](x+\y\x-iy4dxx=dx

例11tan"xdx(n>2)

解:「2

In=Jtan"Mr=an”"Atanxdx

=「22n2

an”x(sec=jtanxdtanx-In_2

=—tan^'x一，”-2=

〃一1

注：用递推关系求解,也是常用方法之一.

例12-----------i

Jsinx+cosx

解：j.33dX=f7----------------77------------------妙

Jsinx+cosx'J(sinx+cosx)(l-sinxcosx)

2111+1sinx+cosx)

=-

3J(sinx+cosx2l-sinxcosx/

2r1,1r1

3&sin[x+(3」11,.、，

-+-(sinx-cosx)

22

V2(71、卜cot(x++garctan(sinx-cosx)+C

3I4,

注:如用万能公式替换化为有理函数来枳分,此题很难求解.

例13Jxsinxcos2xdx

解:jx2sinxcos2xclx=—jA2(sin(x+lx)+sin(x-2x).

=；W(sin3x-sinxylx

=；J/d(cosx-gcos3x

1(12)Jx^COSA-^COS

=—x2cosx——cos3x-

2I3)

2

厂cosx--cos3xsinx--sin3x

239

7cosx——cos3x\-xsinx——sin3xj+[sinx——sin3xdx

23JI9)9)

=—x2cosx——cos3x-xsinx——sin3x+—cos3x-cosx+C

2(3)I9J27

仞]14f----------------------------dx.(a-b丰kjr)

Jsin(x+o)sin(x+〃)

f_______!_______dx=J产n[—%

解:

Jsin*+〃)sin(元+力)sin(a-b)Jsin(x+〃)sin(x+/7)

1rsin(x+a)cos(x4-/?)-cos(x+a)sin(x+b).

--------ax

sin(a-b)Jsin(x+a)sin(x+b)

1rcos(x+Z?),rcos(x+a),

------------------dx---------dx

sin(a-b)Jsin(x+/?)Jsin(x+a)

(ln|sin(x+b)\-In|sin(x+6/)|)+C

sin(a-h)

rsin2xJ

例---------dx

15%(一)

42

71Y

1-COS(---X)

E'sin2xjr、/

--------dx=esm2x/dx

4乃XJ~r

sin(----)

42

rg-sinrsinlx

=4J(1-sinx)2dx

eV11'sinxcosx,

=8-----――~dx

J(1-sinx)-

(e~s'nxsinx.

=8-------msinx

J(l-sinx)2

难积部分既然抵消了，这也是常

用技巧之一.

练习题:

rarctan\[x,

I.-----[-dx

J(l+x)Vx

2.\^—dx

J\+e-x

1

arctan-

3.f--4dx

J1+JT

4.

Jx(l+3)

5.

eX14

6.

J(1+x5)4

r1+sinxcosx,

7.------dx

Jsinx+cosx

8.f―7~----「dx

'sin3+cosx

32

9.jmax(x,xJXr

10.

rx\nx,

II.I----4x

U2-1)1

12.设/(x)可导，且Jf'(x\dx=X2cosx-4xsinx-6cosx+C

求/(x)

13.设/(Inx)=侬二?计算［x7(x)公

14.「P+sinx%

J1+COSX

r1

15.------7—dx

Jsinxcosx

第五章定积分

知识点

I.定积分定义.

设函数/(幻在［。,勿上有界，在例中任意插入若干个分点。=%)<%<X„-\<Xr=b

把区间切分成〃个小区间，各小区间的长度依次为用=七一七7，(，=1,,〃)，在各小

区间上任取一点。彳作乘积/©)△4，并作和：Sn二£/©)2次，记

/=|

A=ma,如果不论对切怎样的分法,也不论在小区间区_］,xj上点多怎样的取

法，只要当2—0时，和S“总趋于确定的极限/,我们称这个极限/为函数/(x)在区间

m,句上的定积分，记为J〉*)公，即J：/(x)公=期£/©)於,，

2.定积分的基本性质

设函数/a),g(x)在m,加上连续，则

(1)£(/*)±g⑴/=^f(x)dx±£g(x)dx

(2)£kf{x}dx=f(x)dx

(3)J：f{x)clx=£J\x)clx+f(x)dx^a<c<b)

(4)如果/(A*)<g(x),Dxe[a,b],则^f(x)dx<j：g(xkh

(5)<[\/M\dx

(6)设m=min{f*)},M=max{/'(x)},则m(b-a)<Jf(x)dx<M(b-a)

⑺ff(x}dx=f^b-a)

J4

rb

(8)设f(x)>Oyxe[a,b],则|f(x)clx=0=/(x)三0

Ja

3.变限积分的导数计算

(I)设函数/(外在山，以上连续，则4「/(r)d£JXex［c

dx)。

(2)设函数f(x)在［a,句上连续,°0),以外可导且。工0*)工〃,。工〃。)二〃，则

辿=/(8(x))“a)-/(〃(x))“‘㈤

dxW)

4.牛顿-莱布尼茨公式

设函数/")在陵，句上连续，尸(处是其一原函数，则

,

^f(x)clx=F(x)\a=F(b)-F(a)

5.定积分的换元法

若/(X)在［d例上连续，奴/)在［a,川上具有连续导数，且满足：

0(a)=0(p(p)=b,a<夕⑺<Z?,V/G［«,切

则：£以x)dx=J：f((p{t})(p\t)dt

(注：如果满足：

(p(a)=b,(p(Q)=a,a<(p(t)<b,Vlw［a,fl\

则：J：/(x世=J；(。力)

6.定积分的分步积分法

若"(x)4(x)在团,勿上具有连续导数，则

；［：〃*)小a)=〃a)w尤)|：-£V(X)JM(X)

7.定积分的重要公式与结论

(1)对称区间上的积分

设函数/5)在［一。,4］上连续，则

0,f(-x)=-f(x)

Jj\x)dx=[<(f(x)+f(-x))公

7

LJ。'”)[2£f(X)dX,/(-)=/")

(2)周期函数的积分

设函数/(x)是以T为周期的连续函数，则

f(x)dx=|J/(x)tZr

〃7M

|=72£f(x)dx.n为正整数

(3)设函数/(x)在［0,1］上连续，则

£2/(sin=£2/(cosxkZv

£A/(sinx)6Zv=y£/(sinx)dx

n-\n-3

n=2k+l,kwN

用衣nn-2

/2-l/i-3171

n-2k,kGN

nn-255'

重点

定积分的计算

难点

定积分定义，变限积分的导数计算，定积分中值定理应用

例1.通过化为定积分后求极限：

lim—+…(2.-1)=J

«->00”

解这类问题的解题思想，是要把所求极限化为某个函数/(X)在某一区间1以上的积分和的极

限，然后利用牛顿-莱布尼茨公式计算J=J：•的值

n

=业1+3…1+n-\

n

…人毫I/r-I1n二；

不难看出，In是函数/(x)=ln(l+x)在区间［0,1］上对应于n等分分割，并取

-1i_

，i=l,2,…，〃

nn

的一个积分和

同于/(»=］n(l+x)在［0,1］上连续，且存在原函教

F(x)=(1+x)[ln(l+x)-1],

易知道/(x)e|Oj］,且有

I=lim/“=/{,ln(l+x)dx

=(1+x)[ln(l+x)-=2In2-1

fl•

例2证明：lim[上网”公=()

L\+X

/I•[

解：因0«「sm'rW小------>05.8)

Joi+xJo〃+i

"sinx

hm--------=0

28JO1+X

1

x>0,

设f(x)=J，

例3，计算：^f(x-\)dx

5+7J<()

解：£f(x-\)dx=J：J'。)"

=J：­+£/w

r«1.r11,

=------dt+——dt

J-U+dJol+r

二——^-1^+J'—^/r

LI-i+e1)J。*

=In(l+d)]L+ln(l+/)|；

=ln(l+e)

例4\--------dx

l+cos-X

1

解:---------dx=\-----------------：-----dx

J2

l+cosxcosx(l+—

COS-X

1

dx

=\cos2x(2+tan2x)

1

dtanx

=1(2+tan2x)

Itanx"

=­；=arctan—尸-十C

V2V2

・2次11

arctan二=0为何不对?

0l+cos2x―质

厂———}^clx=f------cZr

1+COS~XJ-Tl+cos-x

I

=2dx

014-COS2X

=2|p---------—c*1

了。l+COSX

=2

1

2If2

;J0I+cos~x

31

=42----------dx

01+COS-X

4tanxk

=_arctan_|o

=0〃

例5J产ln(l+

xx

解:，产ln(l+e)dx=jxln(14-，)公++e)dx

=J："n(1+eT)力

=Jj(ln(l+d)-/)力

=-J;ln(l+/)力+g

flI

j.rln(l+^')dr=-

例6f4ln(l+tanx)clx

Jo

nrn

解:「ln(l+tanx)dx-ln(sinx4-cosx)cbc-Incosxclx

=£4In\flsin(%+~^)dx-[4IncosxeZr

=-ln2+j^lnsin(x+2g-「Incosxdx

兀71

=—ln2+f4Ineos万一口）小,：Incosxdx

8Jo。

兀、-

=-In2+Incos(-x+-CIncosxdx

8

=Jln2+f；lncos^-/Jlncos^

=—In2

8

「汗xsinx+sinx,

例7-------------dx

J。1+sinx

xsinx+sinx.xsinx,万sinx.

解:----------------clx=\----------ax+--------clx

Jo1+sinx%1+sinx01+sinx

sinx,”sinx,

=工厂---------4r+------dx

2Jo1+sinxJ。1+sinx

兀,)1sinx.

—+1-----dx

2JJo1+sinx

rTsinx.1+sinx-l.

---------dx---------------dx

J。1+sinxJ。1+sinx

V—^—dx

Jo1+sinx

田12

-71-fdt

J(2/1+J

14-1+/

产2.

-71---------dt

J。(1+r)

=7T-2

xsinx+sin^.711-4

----------------ax=--------

1+sinx2

例8设/（戈）是连续函数,满足/3)=3/-J：/(用公-2,求f(x).

2

解:设A=J：/(x)d*则：f(x)=3x-A-2

22

A=^f(x)dx=^3x2-A-2)dx=8-2A-4^A=4

o

f(x)=3x2-6

f2014^..

例9求J。x卜inx@

M"UM

»(22+1)万

解:J小inx心='X卜山同〃¥十Zj2rx|sinx\dx

o2k/r

k=0k=()3+1历

1006

詈>r(2&+i)*.

=〉xsinxar-〉xsin,vat

—2«+l)z

一J2M

/=0o火=0

1906/

「(2上+1)斤

=Z(-XCOSX(2A+1)*cosxdx

2kx十J2k/r

1(X>6/

(2i+J(2…S'

-XCOSX

-sJt=O\

1()061006

=Z((2攵+1)笈+2攵%)一Z(一2伏+1)江一Qk+1)万)

A=0A=0

1006

=Z(8k+4)江

k=0

=201424

例］o计算：［sin（2"l）、x

J。sinx

解：设=『则也也公

J。Kinr

r^rsin2/ircos^-cos2/irsinx,

--------------------------dx

Josinx

•用sin2/ucosx,

-----------dx-\cos2nxax

0sinxJo

•^sin2mcosx,

-----------dx

Josinx

11*sin(2〃+l)x+sin(2n-l)xf

---------------dx

，Jo-sinx

-Li_|__LI—sj-1

l

~22«+l02，I-12M+I-2n-\

rsinx.

得:，2"-l|——ax=7u

sinx

例11设函数/（x）在［0,1］上连续，在（0,万）可导，且£,/（X）COSAYZX-=0

证明：存在自£（0,乃），使/'C）=0

证明：（基本思想是找不同的玉,占1（。，〃），使/（内）=/U2））

0=jof(x)CQsxdx

区尸

=J2/(r)cosxdx+J4/(r)cosxdx

=£2f(x)cosxdx-ff(7T-x)cos(4-x)dx

£

=J；(/W一/(乃一X))COSxdx

jrjr

=(/«l)-/(^-^l))COS^~,^G(o,-)

得：/(&)一/(万-4)二0

由Roller中值定理知:存在Jw（。,乃-刍）u（0,4），便/'（。）=0.

（注：如再增加条件：「/（8sinx^=0,还可要求找不同的百（°，”），使

/UI)=f(x2)=0)

r，+2/r

例12证明：［cosxln（2+cosx）dr>0,其中。为任意常数

Ja

证明：cosxln(2+cosx)tZv=cosxln(2+cosxWv

JaJo

=［cosxln(2+cosx)dlv

=2cosxln(2+cosx)dx

Jo

=2£2cosxln(2+cosx)dx+J；cosxln(2+cosx)clx

2

fr.

=2£2cosxln(2+cosx)dx-£2cosxln(2-cosx)6Zr

格2+cosx,

=2'cosxln-------dx>0A

J。2-cosx

例13设/(x)在团,加上具有二阶连续导数，证明：存在,力使

⑴f/3康=心为岭)+»熊)(…)3

(2)J：/*)公=g(/⑷+/S))S-⑶一,/〃⑺(力-a)3

证明：⑴令双灯=苞/(!)力，则奴工)在［-生且,之|上具有三阶连续导数.由泰勒公式

~i22

知

3

/、/i+b、，/a+b、(a+ha+h

9(x)=(p(—~)+(P(——)x一——

〉啖、-等)+5i2

..a+bja+bLUx阴+9〃©a+b

x--------

2\J2I2J

(p(b)=f(^~)ba+/?丫

/X,

,、r.a+b(a+h\1,a+b(a+b>\1„(

(/。)久=以力-奴〃)=/(学)(〃一〃)+上(/〃&)+/©))(〃一〃)3

J•o

由/(x)在［a,h］上具有二阶连续导数知：存在Je(。向,使=/"())；/〃©)即

1f(x)dx=/(增S-。)+上广03-4

Ja224

(2)令：£f(x)dx=(f(a)+f(b))(b-a)-C(b-a)3这里常数C待定。

记F(x)=£f(x)dx-g(/(a)+f(x))(x-a)+C(x-a)y

则F(a)=F(b)=0=>3?;1e(。,力,使F\rj)=0.BP：

/(7)-#(7)(7-a)-g(/(a)+/(7))+3C(7-。了二。

即：f(小)~/(。)-r(7)(7-。)+6c(7-4=0

也即：/(7)+rS)(〃-71)+6c(%—4)2=f(a)

而由泰勒公式知：

f(a)=/(?；))+r(7)(。一〃|)+,-讨，昨(a，7)u(a,b)

因此6c(7-〃)2=］/〃(〃)(〃—/)2=c=［/〃(；；)

L・1J

乙】乙

(上述(I)(2)结论其实在/