立体几何大题训练

高三解答题精选训练二

立体几何大题精选训练

一.仿真精选

1,(杭州桐庐分水高级中学2022届高三第一次模拟)如图，直三棱柱A8C-AgG中,

AC=RC=^AAi=2,M、N分别为A8、凡G的中点.

(1)求证：MN〃平面；

(2)若4M=3五，求二面角片—AM-N的余弦值.

2„(湘潭市2022屈高三第一次模拟)如图，在三棱锥P-48C中，PA_L底面ABC,

ZABC=90°,PA=2,AC=25/2.

(1)求证：平面P8C_L平面PAB；

(2)若二面角产一BC-A的大小为45。，过点/H、AN_LPC于N,求直线AN与平面

P8C所成角的大小.

3.(深圳实验学校高中部2021届11月份月考)

如图，四棱锥尸一A3CD中，底面A8CQ是直角梯形，ZDAB=90°,AD/IBC,

AQ_L侧面PM,△Q48是等边三角形,

BC=-AD,£是线段A8的中点.

2

(1)求证：PE1CD；

(2)求尸。与平面POE所成角的正弦值.

4.如图，在四棱锥P-ABCD中，已知PA0平面ABCI),且四边形ABCD为直危梯

形，也ABCRJBADgPA=AD=2,AB=BC=1.

(1)求平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值;

⑵点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成的角最小时,求线段BQ的长.

5.(2021泰安一模19)如图，在四棱锥尸-ABCO中，底面A8CD是矩形，AB=2AD=2t

平面A8CD,E为PD中点.

(1)若PA=1,求证：4£_L平面PCD；

（1）证明：BFVDEx

（2）当月。为何值时，面84CC与面。心所成

的二面角的正弦值最小？

2J2020•新高考卷I（山东）・T20］如图，四棱锥P-ABCO的底面为正方形，包＞_L底面

ABCD.设平面皿＞与平面P8C的交线为/.

（1）证明：/_L平面PDC；

（2）已知比＞=4）=1,。为/上的点，求P3与平面QCD所成角的正弦

值的最大值.

3.（2019.浙江）如图，已知三棱柱48。一4四£,平面AACCJ•平面ABC,

ZABC=90°,N3AC=30。,A,A=A,C=AC,E,F分别是AC,A片的中点.

（2）求直线即与平面48c所成角的余弦值.

答案

一.仿真精选

1.解：(1)取AC的中点。，连接OM、0G，

在△A4C中，因为M为A8中点，。为AC中点，所以。M〃BC,且

2

・・・84〃。。且=CC,所以，四边形3片为平行四边形，

所以，BC〃B£nBC=BC,

又因为点N为qC的中点，所以GN〃8C,且C]N=；BC,

所以。M〃GN且。M=C；N,从而四边形OMNG为平行四边形，所以MN//OG，

又MNZ平面4CGA，OCu平面ACG4,所以MV〃平面ACC0；

(2)在直三榜柱A8C—AAG中，3片_1平面ABC,ABi平面ABC,则

叫1AB,

因为B】M=3拒,BBX=4,所BM=廊三疏=6,

故AB=2叵,AC2+BC2=AB\从而4C_L3C.

以点C为原点，CA、CB、CG所在直线分别为x、J、z轴建立空间直角坐标系

C-兀yz如图所示,

则》(1,1,0)、A(2,0,4)、4(024)、N(0,l,4),

=1,1,4),M4)=(1,-1,4),MN=(—1,0,4),

设平面M4,4的法向量为〃;二（N，y,zJ,

n,-MA.=0x,-y.+4Z]=0

则<上__L,即｛卜-3解得|)13令为=1,得1=(1,1,0),

%-MB】=0Z]=0

设平面MA】N的法向量为［=（毛，％，ziY

%MAy-0x2-y2+4Z=0占=4Z

则〈即<2,解得2令z2=1,得％二(4,8,1),

晨琬二0，

-x2+4Z2=0%=8?2

,%—12_2x/2

所以cos<1,%>=

闻,归0x93

2>/2

由图可知，二面角用一AM-N为锐角，所以二面角4-4用-N的余弦值为3

2.解：（1）因为PA_L底而ABC,所以P4_L3C,又/A3C=90。，

所以A3JL3C,乂PA,A3为平面RW内的两条相交直线，所以BCJ_平面RW,

因为BCu平面PBC,所以平面PBCJ_平面AAB：

（2）解法一由（1）可知，NA3尸为二面角尸—8C—A的平面角，所以/A5P=45°,

乂抬=2,AC=2O,ZA5c=90。，所以AB=3C=2,

过点A作/4M_Lm于M,则AW_L平面PBC且〃为夕9中点，连接A/N,

则ZANM为直线AN与平面PBC所成的角，

2/7

在心△AW中，AM=6,AN=—

3

所以sin/ANM,

AN2

故ZAW=60。，

所以直线AN与平面PBC所成的角为60。.

解法二建立如图所示的空间直角坐标系，则由已知，可得B(0,0,0),4(2,0,0),P(2,0,2),

C((),2,0),

设N(x,y,z),PN=APC(0<2<1),则工=2—2/1,y=2A,z=2-2A,

因为AN_L，C,瓶=(%—2,y,z),PC=(-2,2,-2),

所以一2(x—2)+2y—2z=0,

1f424)，故A"+行々

解得％=一，所以N一,一,一

3〜333)

设平面P8C的法向量为。=(x,y,z),因为86=(0,2.0),B户=(2,0,2),

a-BC=02y=0

由_，制

a-BP=02x+2z=0

令x=l,则z=-l,

所以M=(1,0,—1)为平面PBC的一个法向量,

_2_4

所以cosAN、=——32去2

2

行x------

3

故直线AN与平面PBC所成的角的正弦值为立，所以直线AN与平面尸5c所成的角为

2

60°

3.解：(1)•.•4)_]_侧面八45，PEu平面Q43,

ADA.EP2分

乂等边三角形，E是线段A3的中点，

:.AB±EP..............................................3分

・.・A£)nA8=A,.•.依_1平面/18。。，

•.•CDu平面ABC。，:.PE±CD,

..............................................................5分

(2)以《为原点，以在平面48c力内过E且垂直于A3

的直线为x轴，以E4、£P分别为V、z轴，建立如图所

示的空间直角坐标系.

则E(0,0,0),C(l,-l,0),D(2,l,0),P(0,0,6).

前=(2,1,0),百=(0,0,6),PC=(l,-l,->/3).

设〃=(x,j,z)为平面PDE的一个法向量.

n-ED=2x+y=0一

由'_____l令人一1,可得〃=(1,-2,0),9分

n-EP=v3z=0

3

设PC与平面灯汨所成角为凡得sin"cos<定］11分

5

3

所以PC与平面P3E所成角的正弦值为g..................12分

4.解：以｛而,AD.AP｝为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,则各点的坐标为

B(l,0,O),C(1,l,0),D(0,2,0),P(0,0,2).

因为丽=(-1,0,2),

设的二人前二(一人，0,2人)(0-。),

又亦(0,-1,0),

则我=冰的=(-入，T,2人)，

又加=(0,-2,2),

从而cos<CQ,砥谭耦

设1+2X=t,t(3[l,3],

则cos2<CQ,而二二.

y5t2-10t+99（15）212010

当且仅当t=1,即人=|时，Icos〈CQ,DP>I的最大值为邛热

因为尸cosX在（01）I：是减函数,所以此时直线CQ与DP所成的角取得最小值.

又因为BPWM+0二0

所以BQ=：BP哼.

5解：（1）证明：・.・P41平面A3CQ,COu平面ABC。，：.PAA.CD,

•・•四边形A3CQ为矩形，・・・AQ_LCQ,

又人QnPA=A,AD.%u平面幺Q,工。。，平面P/W）,

•・・AEu平面E4O,：.AE±CD,

在△尸AD中，PA=AD,E为PD的中点，,AEtPD,

而ponco=o,PD、CQu平面PCO,

・"EJ_平面PCD；

（2）解：以A为坐标原点，分别以A3、AD.AP所在直线为X、），、z轴建立空间直角坐

标系，

设（心0）,则C（2,1,0）,P（0,0,«）,E（0,费，多，

乙乙

•••AC=（2,1,0），AE=（O,y,-）,PC=（2,1,-a），

乙乙

设平面ACE的•个法向量为三=（x,y,z）,

n*AC=2x+y=0_

则〈-一1，取y=-。，可得n=(?，-a1).

n・AE而y•+万z=02

|n・PCI

设直线尸C与平面ACE所成角为6,则Sin8=|cosv%,PC>I

InllPCl

当且仅当。=加时等号成立.

即当40=亚时，直线PC与平面ACE所成角最大，

此时三棱锥£・A8C的体积V=AX—X2X1义近卫

3226

二高考实战。

1解：因为三棱柱A8C—AdG是直三棱柱，所以底面ABC,所以8S_LA8

因为A4〃48,BF1,所以

又BB】cBF=B,所以平面BCC4.

所以BA,BC,两两垂直.

以4为坐标原点，分别以所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系，如图.

所以B（0,0,0）,A（2,0,0）,C（0,2,0），4（0,0,2），A（2,0,2），G（0,2,2）,

七（1,1,0）,*0,2,1）.

由题设。（《0,2）（0<^/<2）.

（1）因为加=（0,2,1）,诙=（1—々,1,一2）,

所以8户.。巨=0x(1—a)+2xl+lx(-2)=0,所以BF上DE.

（2）设平面。正的法向量为〃；=q,y,z）,

因为石尸=（一1,1,1）,。2=（1—々,1,一2）,

m-EF=0-x+y+z=0

所以一，即《

m•DE=0（\-a）x+y-2z=0"

令z=2—〃，则沅=（3,1+。,2—〃）

因为平面3CG4的法向量为=（2,0,0）,

设平面BCC.B,与平面DEF的二面角的平面角为6,

.|布・翻63

则cos6\=।—।=----.=='j=

|利|网2xj2/_2a+14，2/一2〃+14

127

当。二二时，2/—2a+4取最小值为二，

22

3_>/6

此时cos。取最大值为^27~3.

所以（\sin6/）mi.n=

此时用。=」.

2

2.解：（1）证明：过〃在平面皿>内作直线〃/仞,

由AD//BC,可得1//BC,即/为平面1。和平面尸8c的交线，

•.•尸£>_L平面A4C/),8Cu平面AAC7),，PDA.BC,,

又BCtCD,CDp|PD=D,;.BCL平面PCD,o//：V\

8C,.八平面PCD；Ai

(2)如图，以。为坐标原点，直线D4,DC,OP所在的直线..为一、

为一)，，z釉，建立空间直角坐标系。-—B

则。(0,0,0),A(1,0,0),C(0,1,0),P(0,0,1),B(\,1,0),

设。(/〃，0，l)(/n>0)»DQ={m,0,1),PB=(1»1,—1)»DC=(0»1,0),

设平面QCD的法向量为川=（〃"，c）,则卜上=°

…/?=0…，取"1,可,得kT1，

万・/）Q=0

0,1),

尸修品二

cos<n

1+-c1+-+-

・..PB与平面QCD所成角的正弦值为一声==券-----

=当「^T”与Y'当且仅当〃2=1取等号'

3\m+-3V23

Ym

・・.朋与平面QC。所成角的正弦值的最大值为半.

3.解：（1）如图所示，连结

等边△A41C中，AE=EC,则AE-LAC，

平面ABC_L平面4ACG，且平面/wen平面A.ACQ=AC,

由面面垂直的性质定理可得：平面A8C,故A山」4C,

由三棱柱的性质可知4g〃A8,而AB上BC,故44_L8C,且4片04七=4,

由线面垂宜的判定定理可得：次?_1平面4片片，

结合所q平面故EFtBC.

（2）在底面/WC内作EH_LAC,以点E为坐标原点，E〃,EC,EA方向分别为x»,z轴正方向

建立空间直角坐标系石-冷2.

设EH=1,则4E=£C=6，A4,=0\=2>/3,BC=V3MB=3,

3x/3

据此可得：A（o,—G,o）,8,0，4(0,0,3),(0,60卜

2"~r

（33、

由A月=4瓦可得点及坐标为用仁弓6,31

利用中点坐标公式可得：尸由于石（0,0,0）,

故直线比的方向向量为：前*，M,3

设平面48。的法向量为M=（X,）,,Z）,则:

（3百）3+直—z=0

丽・AB=(x,y,z),5亍一3

22.,

fn~BC={x,y,z)«-g,手，0=-，+也产。

22

（、

据此可得平面48c的一个法向量为石=0,6,1）,EF=a33瓜3

144>

4

..QCOS

此时3石一5

2