江苏省高考数学复习知识点按难度与题型归纳数学应试笔记

第20讲函数与方程

一.课标要求：

1.结合二次函数的图像，判断一元二次方程根的存在性与根的个数，从

而了解函数的零点与方程根的联系；

2.根据具体函数的图像，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解,

了解这种方法是求方程近似解的常用方法。

二.命题走向

函数与方程的理论是高中新课标教材中新增的知识点，特别是“二分

法”求方程的近似解也一定会是高考的考点。从近几年高考的形势来看,

十分注重对三个“二次”（即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不

等式）的考察力度，同时也研究了它的许多重要的结论，并付诸应用。高

考试题中有近一半的试题与这三个“二次”问题有关。

预计高考对本讲的要求是：以二分法为重点、以二次函数为载体、以

考察函数与方程的关系为目标来考察学生的能力。

（1）题型可为选择、填空和解答；

（2）高考试题中可能出现复合了函数性质与函数零点的综合题，同时考

察函数方程的思想。

三.要点精讲

1.方程的根与函数的零点

（1）函数零点

概念：对于，把使成立的实数叫做函数的零点。

函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图

象与轴交点的横坐标。即：方程有实数根函数的图象与轴有交

点函数有零点。

二次函数的零点：

1）A>0,方程有两不等实根，二次函数的图象与轴有两个交

点，二次函数有两个零点；

2）△=（）,方程有两相等实根（二重根），二次函数的图象与

轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点；

3）A<0,方程无实根，二次函数的图象与轴无交点，二次函数无

零点。

零点存在性定理：如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线,

并且有，那么函数在区间内有零点。既存在，使得，这个也

就是方程的根。

2.二分法

二分法与步骤：

对于在区间‘，上连续不断，且满足•的函数，通过不断

地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零

点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.

给定精度，用二分法求函数的零点近似值的步骤如下：

(1)确定区间，，验证•，给定精度；

(2)求区间，的中点；

(3)计算：

①若二，则就是函数的零点；

②若•<,则令=(此时零点)；

③若•<,则令二(此时零点);

(4)判断是否达到精度£；

即若，则得到零点零点值(或)；否则重复步骤2〜4。

注：函数零点的性质

从“数”的角度看：即是使的实数；

从“形”的角度看：即是函数的图象与轴交点的横坐标；

若函数的图象在处与轴相切，则零点通常称为不变号零点；

若函数的图象在处与轴相交，则零点通常称为变号零点c

注：用二分法求函数的变号零点：二分法的条件•表明用二分法求

函数的近似零点都是指变号零点。

3.二次函数的基本性质

(1)二次函数的三种表示法：y=ax2+bx+c；y=a(x—xl)(x—x2)；y=a(x

—xO)2+rio

(2)当a>0,f(x)在区间［p,q］上的最大值M,最小值m,令xO二

(p+q)o

若一<p,则f(p)=m,f(q)=M；若pW—<x0,则f(一)=m,

f(q)=M；

若xOW—<q,则f(p)=M,f(—)=m；若一2q,则f(p)=M,

f(q)二m。

(3)二次方程/l(x)=的实根分布与条件。

①方程f(x)=O的两根中一根比r大，另一根比r小a-f(r)<0；

A=/?2-4ac>0,

②二次方程f(x)=0的两根都大于-±>r,

2a

"(r)>0

③二次方程f(x)=0在区间(p,q)内有两根

④二次方程f(x)=0在区间(p,q)内只有一根f(p)•f(q)<0,或

f(P)=O(检验)或f(q)=0(检验)检验另一根若在(p,q)内成立。

四.典例解析

题型1：方程的根与函数零点

例1.方程lgx+x=3的解所在区间为()

A.。1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,

+8)

题型2:零点存在性定理

例2.若函数在区间［a,b］上的图象为连续不断的一条曲线，则下列

说法正确的是()

A.若,不存在实数使得；

B.若,存在且只存在一个实数使得；

C.若,有可能存在实数使得；

0.若，有可能不存在实数使得；

题型3:二分法的概念

例3.方程在［0,1］内的近似解，用“二分法”计算到达到精确

度要求。那么所取误差限是()

A.0.05B.0.005C,0.0005D.0.00005

解析：由四舍五入的原则知道，当时，精度达到。此时差限是

0.0005,选项为C。

点评：该题考察了差限的定义，以与它对精度的影响。

题型4:应用“二分法”求函数的零点和方程的近似解

例4.借助计算器，用二分法求出在区间(1,2)内的近似解(精确到

0.l)o

解析：原方程即。

令.f(x)=ln(2x+6)-3、+2,

用计算器做出如下对应值表

X-2-1012

f(x)2.58203.0530279181.0791-4.6974

观察上表，可知零点在(1,2)内

**•-y=x2-2x,BPy=-x2+2x,(x)=-x2+2x

(II)由g(x)、/(x)-|x-l|,可得2f一次一1］<()

当时，,此时不等式无解。

当时解得C

因此，反不，式的解集为。

(III)/?(X)=-(1+/1)A2+2(1-2)X+1

①当4=-1时，/?(月=41+1在［-1,1］上是增函数，

Z=-1

②当义二-1时，对称轴的方程为x=EA.

1+4

1)当％<-1时,——

1十几

ii)当;1>一1时，上WN—I,解得一

i+A

综上，Z<0.

点评：本题主要考查函数图象的对称、二次函数的基本性质与不等式的应

用等基础知识，以与综合运用所学知识分析和解决问题的能力。

五.思维总结

1.函数零点的求法：

①(代数法)求方程/。)=0的实数根；

②(几何法)对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象

联系起来，并利用函数的性质找出零点。

2.学习二次函数，可以从两个方面入手：一是解析式，二是图像特

征.从解析式出发，可以进行纯粹的代数推理，这种代数推理、论证的能

力反映出一个人的基本数学素养；从图像特征出发，可以实现数与形的自

然结合，这正是中学数学中一种非常重要的思想方法.本文将从这两个方

面研究涉与二次函数的一些综合问题。

由于二次函数的解析式简捷明了，易于变形(一般式、顶点式、零点

式等)，所以，在解决二次函数的问题时，常常借助其解析式，通过纯代

数推理，进而导出二次函数的有关性质。

(1)二次函数的一般式中有三个参数.解题的关键在于：通过三个

独立条件“确定”这三个参数。

(2)数形结合：二次函数的图像为抛物线，具有许多优美的性质，如

对称性、单调性、凹凸性等。结合这些图像特征解决有关二次函数的问题，

可以化难为易，形象直观。因为二次函数在区间和区间上分别单调,

所以函数在闭区间上的最大值、最小值必在区间端点或顶点处取得；函

数在闭区间上的最大值必在区间端点或顶点处取得。

【课后提高】

L设方程的根为，则（）

A.（0,1）B.（1,2）C.（2,3）D.（3,4）

2.方程的实数解的个数为（）

A.2B.3C.1D.4

3.函数的零点一定位于下列哪个区间（）

.A.....B......C....D.

4,若方程2ax2—x—1二0在*£（0,1）内恰有一解，则a的取值范围是

（）

A.a<-lB.a>lC.-l<a<lD.0QW1

5.成立的（）

A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分

也不必要条件

6.函数的零点所在的一个区间是（）

A.B.C,D.

7、若存在负实数使得方程成立，则实数的取值范围是（）

.A.....B...C....D.

8、如果函数没有零点，则的取值范围为（）

A.B.C.D.

9、若函数的定义域为R,则实数a的取值范围为.

10、已知二次函数.

（1）判断命题：”对于任意的R（R为实数集），方程必有实数根”

的真假，并写出判断过程

（2）,若在区间与内各有一个零点.求实数a的范围

11.如图是一个二次函数的图象.’

（1）写出这个二次函数的零点；厂、；

（2）写出这个二次函数的解析式与闫-2"］时函数帧

12.已知二次函数不等式的解集为（1,3*..\

（I）若方程有两个相等的实根，求的解,式;二°\

（H）若的最大值为正数，求实数a%取值范围、

第21讲函数模型与其应用

一.课标要求:

1.利用计算工具，比较指数函数、对数函数以与塞函数增长差异；结合

实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义；

2.收集一些社会生活中普遍使用的函数模型（指数函数、对数函数、幕

函数、分段函数等）的实例，了解函数模型的广泛应用。

二.命题走向

函数应用问题是高考的热点，高考对应用题的考察即考小题又考大题,

而且分值呈上升的趋势。高考中重视对环境保护与数学课外的的综合性应

用题等的考察。出于“立意”和创设情景的需要，函数试题设置问题的角

度和方式也不断创新，重视函数思想的考察，加大函数应用题、探索题、

开放题和信息题的考察力度，从而使高考考题显得新颖、生动和灵活。

预测高考将再现其独特的考察作用，而函数类应用题，是考察的重点,

因而要认真准备应用题型、探索型和综合题型，加大训练力度，重视关于

函数的数学建模问题，学会用数学和方法寻求规律找出解题策略C

（1）题型多以大题出现，以实际问题为背景，通过解决数学问题的过程，

解释问题：

（2）题目涉与的函数多以基本初等函数为载体，通过它们的性质（单调

性、极值和最值等）来解释生活现象，主要涉计经济、环保、能源、健康

等社会现象。

三.要点精讲

1.解决实际问题的解题过程

（1）对实际问题进行抽象概括：研究实际问题中量与量之间的关系，

确定变量之间的主、被动关系，并用x、y分别表示问题中的变量：

（2）建立函数模型：将变量y表示为x的函数，在中学数学内，我们

建立的函数模型一般都是函数的解析式；

（3）求解函数模型：根据实际问题所需要解决的目标与函数式的结构

特点正确选择函数知识求得函数模型的解，并还原为实际问题的解.

这些步骤用框图表示：

2.j实际问题、题螂瞳培养讦函数模型

（1）阅读理解.、整理数据的能力：通过彳辆、画图、列表、归类等方

法，快速弄清数据之间的关系，数据的单位2t等;

（2）建立函数模型的能力：关键是正确选击曲变量将问题的目标表示为

这个变产血或虹_簟立函数的模型的过程至要是抓住某些量之间的相等

关系列实际问题的解由藻嬲鹘察叫函数模型的解

（3）求解函数模型的能力：主要是研扁扁单调理，求函数的值域、

最大（小）值，计算函数的特殊值等，注意发挥函数图象的作用C

四.典例解析

题型1:正比例、反比例和一次函数型

例1.某地区19961997199819992000

1995年底沙漠面积年底年底年底年底年底

为95万公顷，为

了解该地区沙漠面

积的变化情况，进

行了连续5年的观

测，并将每年年底

的观测结果记录如

下表。根据此表所

给的信息进行预

测：（1）如果不采

取任何措施，那么

到2010年底，该

地区的沙漠面积将

大约变为多少万公

顷;（2）如果从2000

年底后采取植树造

林等措施，每年改

造0.6万公顷沙

漠，那么到哪一年

年底该地区沙漠面

积减少到90万公

顷？

观测时间

该地区沙漠比原有0.20000.40000.60010.79991.0001

面积增加数（万公

顷）

题型2:二次函数型

例2.一辆中型客车的营运总利润y（单位：万元）与营运年数x（x

eN）的变化关系如表所示，则客车的运输年数为（）时该客车的年

平均利润最大。

(4)4(夕)5(C)6(D)7

X年468•••

y=ax2+bx+c(万1

77•••

元)1

变式.行驶中153040506080

的汽车，在刹

车后由于惯性

的作用，要继

续向前滑行一

段距离后才会

停下，这段距

离叫刹车距离。

为测定某种型

号汽车的刹车

性能，对这种

型号的汽车在

国道公路上进

行测试，测试

所得数据如下

表。在一次由这

种型号的汽车

发生的交通事

故中，测得刹

车距离为

15.13m,问汽

车在刹车时的

速度是多

少？

刹车时车速

v/km/h

刹车距离s/m1.27.3012.218.4025.8044.4

30

例3.某租赁公司拥有汽车100辆,当每辆车的月租金为3000元时，可

全部租出.当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆.

租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费

50元.

(1)当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？

(2)当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大

月收益是多少？

解：(1)当每辆车的月租金定为3600元时，未租出的车辆数为：=12,

所以这时租出了88辆车.

(2)设每辆车的月租金定为x元，则租赁公司的月收益为：f(x)=(100

-)(x-150)-X50,整理得：f(x)二一+162x-21000=-(x

一4050)2+307050.所以，当x=4050时，f(x)最大，其最大值为f(4050)

二307050.即当每辆车的月租金定为4050元时，租赁公司的月收益最大，

最大收益为307050元.

题型3:分段函数型

例4.某集团兴建垃圾堆肥厂年处理有机肥十年综合收

公司在2000多万吨益

年斥巨资分2千万元

二期兴建垃

圾资源化处

理工厂，如

下表：

一期2000

年投入1亿

元

二期2002年兴建垃圾焚烧发年发电量1.3亿年综合收

投入电一厂kw/h益

4亿元4千万元

三期2004年兴建垃圾焚烧发年发电量L3亿年综合收

投入电.J-kw/h益

2亿元4千万元

如果每期的投次从第二年开始见效，且不考虑存贷款利息，设2000

年以后的x年的总收益为f（x）（单位：千万元），试求f（x）的表达式,

并预测到哪一年能收回全部投资款。

解析：由表中的数据知，本题需用分段函数进行处理。由表中的数据

易得，

f（x）=。显然,当nW4时,不能收回投资款。

当nN5时，由f（n）=10n-24〉70,得n>9.4,取n=10。

所以到2010年可以收回全部投资款。

变式.某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起

的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图（1）的一条折线表

示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图2—10中（2）的抛物线表

示.

⑴（2）

（1）写出图中（1）表示的市场售价与时间的函数关系式々『（方）；

写出图中（2）表示的种植成本与时间的函数关系式

（2）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收

益最大？

（注：市场售价和种植成本的单位：元/102,kg,时间单位：天）

题型4:指数、对数型函数

例5.有一个湖泊受污染，其湖水的容量为V立方米，每天流入湖的

水量等于流出湖的水量。现假设下雨和蒸发平衡，且污染物和湖水均匀混

合。

用，表示某一时刻一立方米湖水中所含污染物的克数（我们称其湖

水污染质量分数），表示湖水污染初始质量分数。

（1）当湖水污染质量分数为常数时，求湖水污染初始质量分数；

（2）分析时，湖水的污染程度如何。

解析：⑴设，

因为为常数，，即，则；

（2）设，=

因为，，。污染越来越严重。

点评：通过研究指数函数的性质解释实际问题。我们要掌握底数两种基

本情况下函数的性质特别是单调性和值域的差别，它能帮我们解释具体

问题。譬如向题目中出现的“污染越来越严重”还是“污染越来越轻”

变式.现有某种细胞100个，其中有占总数的细胞每小时分裂一次,

即由1个细胞分裂成2个细胞，按这种规律发展下去，经过多少小时，细

胞总数可以超过个？（参考数据：）.

五,思维总结

1.将实际问题转化为函数模型，比较常数函数、一次函数、指数函数、

对数函数模型的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长

等不同函数类型增长的含义。

2.怎样选择数学模型分析解决实际问题

数学应用问题形式多样，解法灵活。在应用题的各种题型中，有这样

一类题型：信息由表格数据的形式给出，要求对数据进行合理的转化处

理，建立数学模型，解答有关的实际问题。解答此类题型主耍有如下三种

方法：

（1）直接法：若由题中条件能明显确定需要用的数学模型，或题中直

接给出了需要用的数学模型，则可直接代入表中的数据，问题即可获解；

（2）列式比较法：若题所涉与的是最优化方案问题，则可根据表格中的

数据先列式，然后进行比较；

（3）描点观察法：若根据题设条件不能直接确定需要用哪种数学模型，则

可根据表中的数据在直角坐标系中进行描点，作出散点图，然后观察这

些点的位置变化情况，确定所需要用的数学模型，问题即可顺利解决。下

面举例进行说明。

【课后提高】

1.碘一131经常被用于对甲状腺的研究，它的半衰期大约是8天（即经过8

天的时间，有•半的碘一131会衰变为其他元素）.今年3月1口凌晨，

在一容器中放入一定量的碘一131,到3月25日凌晨，测得该容器内还

剩有2毫克的碘一131,则3月1日凌晨，放入该容器的碘一131的含量是

（）A.8毫克B.16毫克C.32毫克D.64毫克

2.某产品的总成本y（万元）与产量x（台）之间的函数关系式是

（0<x<240,xeN）,若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时（销

售收入不小于总成本）的最低产量是（）A.100台B.120台

C.150台D.180台

3.因为某种产品的两种原料相继提价，所以生产者决定对产品分两次

提价，现在有三种提价方案：方案甲：第一次提价，第二次提价；

方案乙：第一次提价，第二次提价；

方案丙：第一次提价，第二次提价，

其中，比较上述三种方案，提价最多的是（）

A,甲B.乙C.丙D.一样多

4.提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况

下，大桥上的车流速度（单位：千米/小时）是车流密度（单位:辆/千

米）的函数，当桥上的的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时

车流速度为0;当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小

时，研究表明；当时，车流速度是车流密度的一次函数.

（I）当时，求函数的表达式；

（II）当车流密度为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观点的车

辆数，单位：辆/每小时）可以达到最大，并求最大值（精确到1辆/小

时）.

5、某省两个相近重要城市之间人员交流频繁，为了缓解交通压力，特修

一条专用铁路，用一列火车作为公共交通车，已知如果该列火车每次拖4

节车厢，能来回16次;如果每次拖7节车厢，则能来回10次.每日来回次

数是每次拖挂车厢个数的一次函数，每节车厢一次能载客110人，问：这

列火车每天来回多少次，每次应拖挂多少节车厢才能使营运人数最多？并

求出每天最多的营运人数.

6、校要建一个面积为的长方形游泳池，并且在四周要修建出宽为和

的小路（如图所示）。问游泳池的长和宽分别为多少米时，占地面积最

小？并求出占地面积的最小值。

、北济南高新区引进一高科技企业，投入资金产

772m

第一年各种运营费用120万元，以后每年增加40仅

入500万元，设表示前年的纯收入.（二前■>4m

息支出-投资额）

2m

（I）从第几年开始获取纯利润？

（II）若干年后，该企业为开发新产品，有两种处理方案:

①年平均利润最大时，以480万元出售该企业；

②纯利润最大时，以160万元出售该企业；问哪种方案最合算？

8、热力公司为某生活小区铺设暖气管道，为减少热量损耗，管道外表需

要覆盖保温层。经测算要覆盖可使用20年的保温层，每厘米厚的保温

层材料成本为2万元，小区每年的气量损耗用（单位：万元）与保温层

厚度（单位：）满足关系：若不加保温层，每年热量损耗费用为5

万元。设保温费用与20年的热量损耗费用之和为

（1）求的值与的表达式；（2）问保温层多厚时，总费用最小，并求

最小值。

9、在一个月内分批购入每张价值为20元的书桌共36台，每批都购入x

台（x是正整数），且每批均需付运费4元，储存购入的书桌一个月所付

的保管费与每批购入书桌的总价值（不含运费）成正比，若每批购入4台,

则该月需用去运费和保管费共52元，现在全月只有48元资金可以用于支

付运费和保管费.（1）求该月需用去的运费和保管费的总费用

（2）能否恰当地安排每批进货的数量，使资金够用？写出你的结论，并

说明理由.

第22讲导数

课标要求：

1.导数与其应用

（1）导数概念与其几何意义

①通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的

过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数

的思想与其内涵；

②通过函数图像直观地理解导数的几何意义。

（2）导数的运算

①能根据导数定义求函数y=c,y=x,y=x2,y=x3,y=l/x,y=x的导

数；

②能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求

简单函数的导数；

③会使用导数公式表。

（3）导数在研究函数中的应用

①结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；

能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调

区间；

②结合函数的图像，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条

件；会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，以与闭

区间上不超过三次的多项式函数最大值、最小值；体会导数方法在研

究函数性质中的一般性和有效性。

(4)生活中的优化问题举例

例如，使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实

际问题中的作用。

—.命题走向

导数是高中数学中重要的内容，是解决实际问题的强有力的数学工具,

运用导数的有关知识，研究函数的性质：单调性、极值和最值是高考的热

点问题。在高考中考察形式多种多样，以选择题、填空题等主观题目的形

式考察基本概念、运算与导数的应用，也经常以解答题形式和其它数学知

识结合起来，综合考察利用导数研究函数的单调性、极值、最值，估计高

考继续以上面的儿种形式考察不会有大的变化：

(1)考查形式为：选择题、填空题、解答题各种题型都会考察，选择

题、填空题一般难度不大，属于高考题中的中低档题，解答题有一定难度,

一般与函数与解析几何结合，属于高考的中低档题；

(2)高考可能涉与导数综合题，以导数为数学工具考察：导数的物理

意义与几何意义，数列、不等式等知识。

预测高考呈现以下几个特点：

难度不会很大，注意基本概念、基本性质、基本公式的考察与简单的应用；

高考中本讲的题目一般为选择题、填空题，考查定积分的基本概念与简单

运算，属于中低档题；

三.要点精讲

1.导数的概念

函数y二f(x),如果自变量x在x处有增量,那么函数y相应地有

增量=f(x+)—f(x),比值叫做函数y=f(x)在x到x+

之间的平均变化率，即=o

如果当时，有极限，我们就说函数y二f(x)在点x处可导，并

把这个极限叫做f(〉：)在点x处的导数，记作f'(x)或丫'|o

即f(x0)=lim包二lim小。+心)-小。)。

AA->0AXAtT°Ax

说明：(1)函数f(x)在点X处可导，是指时，有极限。如果

不存在极限，就说函数在点X处不可导，或说无导数。

(2)是自变量X在X处的改变量，时，而是函数值的改变量，

可以是零。

由导数的定义可知，求函数y=r(x)在点X处的导数的步骤(可由

学生来归纳)：

(1)求函数的增量=f(x0+Av)—f(x0)；

(2)求平均变化率包二八x。+AD-/“。)；

AxAx

(3)取极限，得导数f'(x)=o

2.导数的几何意义

函数产f(x)在点x处的导数的几何意义是曲线尸f(x)在点p

(x,f(x))处的切线的斜率。也就是说，曲线尸f(x)在点p

(x,f(x))处的切线的斜率是f'(x)o相应地，切线方程为y—

y=f/(x)(x—x)o

3.常见函数的导出公式.

(1)(cy=o(C为常数)(2)(x〃y=〃.x"T

(3)(sinx)r=cosx(4)(cosx)'=-sinx

4.两个函数的和、差、积的求导法则

法则1：两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或

差)，

即：(

法则2:两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数,

加上第一个

函数乘以第二个函数的导数，即：

若C为常数,则.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数：

法则3两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母

的导数与分子的积，再除以分母的平方：'=(v0)o

形如y二f的函数称为复合函数。复合函数求导步骤：分解一一求导

---回代。法则：y'|=yz|•uz|

5.导数的应用

(1)一般地，设函数在某个区间可导，如果，则为增函

数；如果，则为减函数；如果在某区间内恒有，则为常数；

(2)曲线在极值点处切线的斜率为0,极值点处的导数为0；曲线在极大

值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为

负，右侧为正；

(3)一般地，在区间［a,b］上连续的函数f在［a,b］上必有最大值与最

小值。①求函数/在(a,b)内的极值；②求函数/在区间端点的值/(a)、

/（b）;⑤将函数/的各极值与/（&）、/（b）比较，其中最大的是最大值,

其中最小的是最小值。

四.典例解析

题型1:导数的概念

例1,已知s=,（1）计算t从3秒到3.1秒、3.001秒、3.0001

秒….各段内平均速度；（2）求t=3秒是瞬时速度。

解析：（1）指时间改变量；

Ay=5（3.1）-5（3）=-3A2--g32=0.3059.Ay指时间改变量。

2s2

-X0.3059，n.Q

\t1

其余各段时间内的平均速度，事先刻在光盘上，待学生回答完第一时

间内的平均速度后，即用多媒体出示，让学生思考在各段时间内的平均

速度的变化情况。

（2）从（1）可见某段时间内的平均速度随变化而变化，越小,

越接近于一个定值，由极限定义可知，这个值就是口寸，的极限，

1,1,

Ac—(3+Af)—g3”

vv—v$(3+加)-s(3)[.2g2

V=hmZ=hm-------———=lim---------------

AATOAV->0A/AV->0N

」glim(6+Af)=3g=29.4(米/秒)°

2Ax->0

例2.求函数y二的导数。

解析：,

Ay,2x+Ax

=—4—；--------,

Axx2(x+A.r)2

..Ay../2x+Ax_8

lim——=hm-4----------

20AvAr—o[JT（X+Ar）Jxo

点评：掌握切的斜率、瞬时速度，它门都是一种特殊的极限，为学习导

数的定义奠定基础。

题型2:导数的基本运算

例3.（1）求的导数；

（2）求）,=（五+1）（；—1）的导数；

yJX

（3）求y=x-sin土cos'的导数;

22

（4）求尸工的导数；

sinx

(5)求y=3-7e54-9的导数。

题型3:导数的几何意义

例4.(1)若曲线的一条切线与直线垂直，则的方程为()

A.B.C.D.

(2)过点(—1,0)作抛物线的切线，则其中一条切线为()

(A)2x+y+2=0(B)3x—y+3=0(C)x+y+l=O(D)x-y+1=0

变式.曲线和在它们交点处的两条切线与轴所围成的三角形面积

是。

题型4:借助导数处理单调性、极值和最值

例5.(1)对于R上可导的任意函数f(x),若满足(x—l)(0,则

必有()

A.f(0)+f(2)(2f(1.....B.f(0)+f(2)(2f(1)

C.f(0)+f(2)(2f(1.....D.f(0)+f(2)(2f(1)

(2)函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示,

则函数在开区间内有极小值点()

A.1个B.2个C.3个D.4个

(3)已知函数。(I)设，讨论的单调性；(II)若对任意恒

有，求的取值范围。

变式.(1)在区间上的最大值是()

(A)-2(B)0(C)2

(D)4

(2)设函数f(x)=2/_3(4-1*+^其中a"(I)求f(x)的单调区间；

(II)讨论f(x)的极值。

题型5:导数综合题

例6.设函数分别在处取得极小值、极大值.平面上点的坐标

分别为、，该平面上动点满足，点是点关于直线的对称点.

求

(I)求点43的坐标；(H)求动点。的轨迹方程.

解析：(I)令解得；

当时，，当时，，当时，。

所以，函数在工=-1处取得极小值，在1=1取得极大值，故

Aj=-l,x2=l,/(-l)=0,/(l)=4o

所以，点A.B的坐标为。

(II)设，，

PB=（-1-—机,4-n）=m2-1+n2-4H=4,

,所以。

又PQ的中点在上，所以，消去得。

点评：该题是导数与平面向量结合的综合题。

【课后提高】

1・设函数，则在处的切线斜率为（)

A.0B.—1C.3D.—6

2.在曲线(）上横坐标为1的点的切线方程为（)

A...B...C...D.

3.函数的大致图象是（)

-2.O

(C)

4.函数有极值的充要条件是（)

A.a>0B.a>0.C.«＜OD.a<Q

5.设曲线在点（3,2）处的切线与直线垂直，则

A.2.B.c..D.

6.,若，则)

A.B.C.D.

7、已知函数在区间上单调递增,则的取值范围是（)

A.B.

C.

D.

8、已知对任意实数X,有且时，,则时()

A.r（x）＞o,g〈x）＞o.B./'(x)>O,g'(x)vO

c.r（x）＜o,g，*）＞oD.ru)<o,g,(x)<o

9、已知/(x)=/+3.『(2),则尸(2)二

10、已知曲线在点（）处的切线斜率为3,且是的极值点,则

a+b=.

11.函数的最小值

12.已

知函

数

f(x)

的定

义域

13.已知函数

为［一

(1)求函数y=/(幻的图像在工=」处的切线方

2,+e

程；°°),

(2)求尸/(幻的最大部分值；

(1)14.设函数.对应

试问函数能否在时值如取得极值？说明理

由；下表.

若a=T,当时，函数与的图像有两个

公共点，求c的取值(x)为范围.

15.设函数的图象f(X)在处的切线方程为

*的导

(I)求，；函数，

函数得极值，试求函数

(II)若函数在处取-204

解析式并确定函数的单y=调区间.

16.请你设计一个包f7装盒，如图所示，ABCD

是边长为60cm的正方(X)的形硬纸片，切去阴影

部分所示的四个全等的图象等腰直角三角形，

再沿虚线折起，使得如图ABCD四个点重合于图

中的点P,正好形成一所个正四棱柱形状的包

装盒，E、F在AB上是示.若被切去的等腰直角三

角形斜边的两个端点,实数a设AE=FB=xcm.

(1)若广告商要求包装满足盒侧面积S(cm2)最

大，试问x应取何值？f(2

(2)若广告商要求包装盒容a+1)积V(cm3)最大，试问x应取

何值？并求出此时包<4装盒的高与底面边长的比值.

17、已知函数，

则a

在点处的切线与直

(1)若函数的图象的取

线平行，函数在处取得极值，求函

值范

数的解析式，并确定函数的单调递减区间；

围是

X

F(x)1-11

(i)(2)若，且函数在上是减函数，求的取值范围.

(2)18、已知函数，(常数)

(3)求函数/")的单调区间；

若恒成立，求的取值范围。

19、设函数f(x)=x2+bln(x+l),

(1)若对定义域的任意x,都有f(x)2f(l)成立，求实数b的值

(2)若函数f(x)在定义域上是单调函数，求实数b的取值范围；

20、已知函数在上是减函数，在上是增函数，函数在上有

三个零点，且1是其中一个零点.

(1)求〃的值；

(2)求"2)的取值范围；

(3)试探究直线与函数的图像交点个数的情况，并说明理由.

21、已知是二次函数，是它的导函数，且对任意的，恒成立.

(1)求/*)的解析表达式；

(2)设，曲线：在点处的切线为，与坐标轴围成的三角形

面积为・求的最小值.

22.已知函数f(x)=x3+ax2+bx,a,bR.

(I)曲线C:y=f(x)经过点P(1,2),且曲线C在点P处的切线平行

于直线y=2x+l,求a,b的值；

(ID已知f(x)在区间(1,2)内存在两个极值点，求证：0Va+bV2.

第23讲直线、圆的方程

一.课标要求：

1.直线与方程

(1)在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何

要素：

(2)理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率

的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式；

(3)根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的儿种形式

(点斜式、两点式与一般式)，体会斜截式与一次函数的关系；

2.圆与方程

回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方

程与一般方程。

二.命题走向

直线方程考察的重点是直线方程的特征值（主要是直线的斜率、截距）

有关问题，可与三角知识联系；圆的方程，从轨迹角度讲，可以成为解答

题，尤其是参数问题，在对参数的讨论中确定圆的方程。

预测对本讲的考察是：

（1）选择或填空，解答题多与其他知识联合考察，本讲对于数形结合

思想的考察也会是一个出题方向；

（2）热点问题是直线的倾斜角和斜率、直线的几种方程形式和求圆的

方程。

三.要点精讲

1.倾点稿:一条直线L向上的方向与X轴的正方向所成的最小正角,

叫做直线的倾斜角，范围为。

2斜

率

楞

直

线

的

倾

斜

角

不

是

O

90

时

，

则

称

其

正

切

值

方程说明适用条件

为

该

线

直

斜

的

，

率

即

k=;t

an直

当

的

线

斜

倾

等

角

于

900

jjo

pl(xl

,yl),

p2(x2

,y2)(

xlW

x2)的

式:k二

tan

(若

xl=

x2,

则直

线

plp2

的斜

率不

存在，

此时

直线

的倾

斜角

为

900)o

直

4.线方

程的

五种

形式

确定

直线

方

程

需

要

有

两

个

互

相

独

立

的

条

确件

直定

方线

的程

式形

多很

但，

必

须

注

意

各

种

形

式

的

直

线

方

的程

用适

围范

名。

称

斜截

斜率

k一一

的

90°

角为

式倾斜

jv+Z?

尸k