2025-2026学年微能力点教学设计高中

课题2025-2026学年微能力点教学设计高中课时安排课前准备教学内容分析1.本节课主要教学内容为人教版高中数学必修第一册第三章《函数的应用》3.2函数模型及其应用，具体包括：一次函数、二次函数模型在实际问题中的应用，函数模型的建立与求解过程。

2.教学内容与学生已有知识的联系：学生在必修一学习了函数的概念、一次函数与二次函数的图像及性质，掌握了方程与不等式的解法，本节课将在此基础上，引导学生从实际问题中抽象出函数关系，深化函数模型的应用能力，培养数学建模思想。核心素养目标二、核心素养目标通过函数模型及其应用的学习，发展学生的数学建模素养，能从实际问题中抽象出一次函数、二次函数模型，并求解实际问题；提升数学抽象素养，理解函数模型与实际问题的对应关系；强化逻辑推理素养，在模型建立与求解中分析变量关系，验证模型合理性；巩固数学运算素养，运用函数性质进行求解，提升解决实际问题的综合能力。教学难点与重点1.教学重点：函数模型的建立与求解过程。例如，引导学生将实际问题（如商品利润、物体运动）抽象为一次函数或二次函数模型，明确变量关系，建立函数表达式，并利用函数性质求解最值或特定值。

2.教学难点：

（1）从复杂实际问题中抽象出函数关系，如识别自变量、因变量及对应关系，例如区分成本、售价与利润的函数关联；

（2）根据问题特征选择合适的函数模型（如线性或二次），例如判断增长率问题是否适合一次函数；

（3）结合实际意义求解函数定义域，例如二次函数最值问题中需根据实际条件限制自变量范围；

（4）对求解结果的合理解释与验证，如将数学解还原为实际问题的答案。教学资源准备1.教材：确保每位学生都有本节课所需的人教版高中数学必修第一册第三章3.2节教材及配套学习资料。

2.辅助材料：准备与函数模型应用相关的图片、图表（如一次函数和二次函数图像）、视频（如商品利润问题实例）。

3.实验器材：本节课不涉及实验，无需准备实验器材。

4.教室布置：根据教学需要，设置分组讨论区，便于学生合作解决实际问题建模。教学过程设计**（总时长：45分钟）**

###**导入环节（5分钟）**

1.**情境创设**（2分钟）

-展示教材P98例1：某商店销售一种商品，每件进价40元，售价60元时每天可售出300件。市场调研显示，售价每提高1元，销量减少10件。

-提问：“若想提高售价增加利润，售价定为多少时日利润最大？最大利润是多少？”

2.**激发兴趣**（3分钟）

-引导学生思考：“生活中哪些问题需要用函数模型解决？”（如成本、收益、增长率等）

-明确本节课目标：学习一次函数、二次函数模型在利润问题中的应用，掌握建模步骤。

###**讲授新课（20分钟）**

####**1.函数模型建立（10分钟）**

-**步骤1：抽象变量关系**（3分钟）

-教师板书：设售价为\(x\)元，销量为\(y\)件，日利润为\(W\)元。

-师生互动：学生尝试表达\(y\)与\(x\)的关系（\(y=300-10(x-60)\)）。

-教师点评：强调“变化量”与“基准量”的对应关系。

-**步骤2：构建函数模型**（4分钟）

-引导学生推导利润函数：\(W=(x-40)y=(x-40)[300-10(x-60)]\)。

-化简得：\(W=-10x^2+1400x-36000\)。

-**难点突破**：通过提问“为什么是二次函数？”引导学生识别“降价导致销量减少”的非线性关系。

-**步骤3：求解最值**（3分钟）

-教师演示：用配方法或公式法求二次函数顶点坐标（\(x=70\),\(W_{\text{max}}=4000\)）。

-**互动设计**：学生口述定义域（\(x\geq40\)），教师强调实际意义限制。

####**2.模型应用与拓展（10分钟）**

-**例题迁移**（5分钟）

-教材P99例2：矩形场地周长定值，求最大面积。

-学生分组讨论：设一边长为\(x\)，面积\(S=x\cdot\frac{L-2x}{2}\)。

-教师巡视，纠正“定义域忽略”错误（\(0<x<\frac{L}{2}\)）。

-**对比分析**（5分钟）

-师生共同总结：

-一次函数模型：线性变化问题（如匀速运动）；

-二次函数模型：最值优化问题（如利润、面积）。

-**创新点**：用“问题串”深化理解：

-“若例1中售价降低10元，利润如何变化？”（一次函数）；

-“若例2中一边墙长固定，模型是否改变？”（一次函数）。

###**巩固练习（15分钟）**

####**1.基础练习（7分钟）**

-**习题1**（教材P101练习第1题）：

-某产品定价100元时销量2000件，定价每降5元销量增加100件，求利润最大时的定价。

-学生独立完成，同桌互查模型建立过程。

####**2.拓展练习（8分钟）**

-**习题2**（改编自教材例3）：

-某果园每亩种果树20棵时，每棵产果300kg。每多种1棵，每棵产量减少10kg。求亩产最大时的种植棵数。

-**分层设计**：

-基础层：建立二次函数模型；

-提高层：讨论“若每棵产量减少量变为5kg，模型如何变化？”

-**师生互动**：教师抽查不同层次学生解题过程，重点点评“变量替换”技巧（设多种\(n\)棵）。

###**课堂总结与提问（5分钟）**

1.**知识梳理**（2分钟）

-学生总结建模步骤：

-①确定变量；

-②建立关系式；

-③求解并验证定义域。

2.**核心素养渗透**（2分钟）

-教师强调：

-**数学建模**：将实际问题转化为函数模型；

-**逻辑推理**：通过定义域限制验证结果合理性。

3.**开放提问**（1分钟）

-“若例1中销量减少量与涨价不成比例，如何调整模型？”（引导学生思考分段函数或拟合模型）。

###**板书设计**

```

函数模型及其应用

1.建模步骤：

-变量→关系式→求解→验证

2.例1：利润模型

-\(W=-10x^2+1400x-36000\)

-定义域：\(x\geq40\)

-最值：\(x=70\),\(W_{\text{max}}=4000\)

3.对比：

-一次函数：线性变化

-二次函数：最值优化

```教学资源拓展1.拓展资源

（1）实际应用案例拓展

经济领域：企业生产成本与产量的关系模型（固定成本+可变成本，一次函数）；市场供需平衡中价格与需求量的关系模型（线性需求函数，如教材P98例1的变式）。

物理领域：匀变速直线运动中位移与时间的关系模型（\(s=v_0t+\frac{1}{2}at^2\)，二次函数）；弹簧伸长长度与拉力的关系模型（胡克定律，一次函数）。

生物领域：种群数量增长模型（理想环境下指数增长，近似为一次函数；有限资源下逻辑斯蒂增长，二次函数近似）。

工程领域：材料使用成本与构件尺寸的关系模型（如圆柱体体积固定时，表面积与底面半径的关系，二次函数）。

（2）函数模型对比分析

一次函数模型适用场景：两个变量间存在恒定变化率的问题（如匀速运动、匀速增长），图像为直线，重点分析斜率（变化率）和截距（初始值）。

二次函数模型适用场景：存在最值优化的问题（如最大利润、最小成本），图像为抛物线，重点分析顶点（最值点）、对称轴及定义域限制（如教材P99例2中矩形场地的边长范围）。

分段函数模型：复杂问题中变量关系在不同区间变化（如出租车计价，起步价内为一次函数，超出后分段计价，结合教材P101练习第3题拓展）。

（3）数学建模思想深化

模型建立步骤细化：问题分析（明确目标变量和影响变量）→变量假设（忽略次要因素，确定自变量和因变量）→关系推导（根据实际规律列出函数式）→求解优化（利用函数性质求最值或特定值）→结果验证（结合实际意义检验合理性）。

常见误区辨析：忽略实际定义域（如教材例1中售价必须大于进价40元）、混淆变量关系（如将销量误设为自变量，售价为因变量）、模型选择错误（如增长率问题误用二次函数）。

2.拓展建议

（1）课内学习延伸

完成教材配套习题中的拓展题（如P102习题3.2B组第1、2题），重点对比不同问题中函数模型的差异；整理“建模错题本”，记录典型错误（如定义域遗漏、单位换算错误），并标注正确建模思路。

绘制函数模型对比思维导图，归纳一次函数、二次函数、分段函数的适用条件、图像特征及求解方法，强化模型选择能力。

（2）课外实践任务

生活观察任务：记录家庭每月用电量与电费的关系，分析是否为分段函数模型；调查校园周边文具店“买多优惠”活动，建立总费用与购买量的函数关系。

小组合作项目：以“校园内最优快递柜选址”为题，测量不同位置到宿舍楼的距离，结合人流量数据，建立总步行距离最小的函数模型，撰写简要报告。

（3）能力提升路径

阅读《数学建模入门》中的简单案例（如“最优库存问题”“交通信号灯配时”），学习如何将文字描述转化为数学表达式；尝试用Excel或图形计算器绘制函数图像，直观分析模型最值及变化趋势。

参与学校数学建模社团，完成“校园用水成本优化”“运动会场地安排”等小型课题，提升从实际问题中抽象函数关系的能力，深化数学建模核心素养。板书设计①建模步骤：确定变量、建立关系式、求解、验证定义域。

②函数模型对比：一次函数：线性变化；二次函数：最值优化。

③实际应用：利润模型（售价x，销量y，利润W）；矩形场地模型（边长x，面积S）。课后作业1.某商品进价50元，售价80元时日销量200件，售价每降1元销量增20件。求日利润最大时的售价及最大利润。

答案：设售价为\(x\)元，销量为\(y\)件，利润为\(W\)元。

\(y=200+20(80-x)=1800-20x\)

\(W=(x-50)(1800-20x)=-20x^2+2800x-90000\)

顶点\(x=70\)，\(W_{\text{max}}=8000\)元。

2.用100米篱笆围矩形场地，一边靠墙。求最大面积时的长和宽。

答案：设垂直墙的边长为\(x\)米，则平行墙的边长为\(100-2x\)米。

面积\(S=x(100-2x)=-2x^2+100x\)

顶点\(x=25\)，\(S_{\text{max}}=1250\)平方米，长50米，宽25米。

3.汽车以60km/h匀速行驶，每100km耗油8升。若速度每增1km/h，油耗增0.1%。求最省油速度。

答案：设速度为\(v\)km/h，油耗为\(Q\)升/100km。

\(Q=8+0.001(v-60)\times8=0.008v+7.52\)

一次函数无最值，实际需结合速度限制（如\(v\leq120\)），最小油耗在\(v=60\)时，\(Q=8\)升。

4.物体从高处自由下落，\(t\)秒后位移\(s=4.9t^2\)米。求落地时间及落地速度（\(v=9.8t\)）。

答案