九年级数学拓展寒假作业 特殊平行四边形的最值训练9大题型巩固提升+能力培优+创新题型（巩固培优）（原卷版）

限时练习：60min完成时间：月日天气：寒假作业特殊平行四边形的最值问题一、特殊平行四边形中的将军饮马问题【方法技巧】在解决将军饮马模型涉及的基本方法：利用轴对称变换化归到“三角形两边之和大于第三边”、“三角形两边之差小于第三边”或“两点之间线段最短”等。二、特殊平行四边形中的将军遛马问题【方法技巧】在解决将军遛马和将军过桥（造桥），不管是横向还是纵向的线段长度（定长），只要将线段按照长度方向平移即可，即可以跨越长度转化为标准的将军饮马模型，再依据同侧做对称点变异侧，异侧直接连线即可。利用数学的转化思想，将复杂模型变成基本模型就简单容易多了，从此将军遛马和将军过桥（造桥）再也不是问题！三、特殊平行四边形的逆等线问题【方法技巧】逆等线模型特点：双动点，动线段长度相等，并且位置错开。解决逆等线问题的一般思路——拼接构造（也是凭空构造的一种，一般没见过的不太好想）。四、特殊平行四边形中的费马点问题【方法技巧】费马点：三角形内的点到三个顶点距离之和最小的点。结论：如图，点M为△ABC内任意一点，连接AM、BM、CM，当M与三个顶点连线的夹角为120°时，MA+MB+MC的值最小。五、特殊平行四边形中的胡不归问题【方法技巧】在求形如“PA+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“PA+kPB”型问题转化为“PA+PC”型．（若k>1，则提取系数，转化为小于1的形式解决即可）。【最值原理】垂线段最短。六、特殊平行四边形中的主从联动（瓜豆）问题【方法技巧】当动点轨迹为一条直线时，常用“垂线段最短”求最值。1）当动点轨迹已知时可直接运用垂线段最短求最值；2）当动点轨迹未知时，先确定动点轨迹，再垂线段最短求最值。3）确定动点轨迹的方法（重点）=1\*GB3①当某动点到某条直线的距离不变时，该动点的轨迹为直线，即模型1）；=2\*GB3②当某动点与定直线的端点连接后的角度不变时，该动点的轨迹为直线，即模型2）；=3\*GB3③当一个点的坐标以某个字母的代数式表示时，若可化为一次函数，则点的轨迹为直线；④观察动点运动到特殊位置时，如中点，端点等特殊位置考虑；三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型题型一特殊平行四边形中的将军饮马问题1．（24-25八年级下·山东聊城·期末）如图，已知正方形的边长为4，M在边上，，N是上一动点．当点N在上移动到某处时，能使得的值达到最小，则这个最小值是．

2．（2026九年级·全国·专题练习）如图，正方形的对角线长为10．是的平分线，点E是边上的动点，在上找一点F，使得的值最小，则最小值为．3．（24-25八年级下·江苏常州·月考）如图，菱形的边长为，，为的中点，在对角线上存在一点，使的周长最小，则的周长的最小值为．4．（24-25八年级下·天津·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点O为坐标原点，顶点A，C的坐标分别为，．将矩形沿直线折叠，使得点A落在对角线上的点E处，折痕与x轴交于点D．(1)填空：点B的坐标为______，的长为______；(2)求的长及所在直线的解析式；(3)若P为x轴上一动点，请直接写出使最小时点P的坐标．5．（24-25八年级下·山东临沂·月考）如图，长方形中，，，在边上取一点E，将折叠后点D恰好落在边上的点F处．(1)求的长；(2)在（1）的条件下，边上是否存在一点P，使得值最小？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．题型二特殊平行四边形中的将军遛马问题6．（24-25八年级下·广东深圳·期中）如图，矩形中，，，E为边的中点，点P、Q为边上的两个动点，且，当（

）时，四边形的周长最小．A．3 B．4 C．5 D．7．（24-25八年级下·江西南昌·期中）如图，在矩形中，，点P，Q分别在上，，线段在上，且，连接，则的最小长度为（

）A．8 B．10 C．12 D．168．（24-25七年级下·福建泉州·期中）如图，长方形ABCD中，AB＝CD＝6，BC＝AD＝10，E在CD边上，且CD＝3CE，点P、Q为BC边上两个动点，且线段PQ＝2，当BP＝时，四边形APQE的周长最小．9．（2024·陕西·模拟预测）如图，在矩形中，，在边上，，连接，则线段的最小长度为．10．（2024·陕西榆林·三模）如图，在矩形中，，点P、点Q分别在上，，线段在上，且满足，连接，则的最小长度为．题型三特殊平行四边形的逆等线问题11．（25-26九年级上·陕西延安·月考）如图，在菱形中，，点为射线上的动点，点为射线上的动点，且，连接、，若菱形的面积为18，则的最小值为．12．（25-26九年级上·陕西榆林·月考）如图，在菱形中，，，对角线交于点O，点E是上一个动点，点F为菱形内部一点，连接，若，，则的最小值为．（结果保留根号）13．（25-26九年级上·贵州六盘水·期中）如图，正方形的边长为5，点E，F在对角线上（点E在点F的左侧），且．则的最小值为．14．（2025·广西·一模）如图，已知正方形中，点，分别在边、上，且，连接、，若的最小值为，则．

15．（2025·四川雅安·一模）如图：菱形的边长为4，，点E，点F是对角线上的两动点，，连接，则的最小值为．题型四特殊平行四边形中的费马点问题16．（25-26八年级上·陕西西安·月考）背景资料：在已知所在平面上求一点，使它到三角形的三个顶点的距离之和最小．这个问题是法国数学家费马1640年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为“费马点”．如图①，当三个内角均小于时，费马点在内部，此时，此时，的值最小．解决问题：(1)如图②，等边内有一点，若点到顶点、、的距离分别为3，4，5，求的度数．为了解决本题，我们可以将绕顶点旋转到处，此时，这样就可以利用旋转变换，将三条线段，，转化到一个三角形中，从而求出_____；(2)如图③，在中，，，，点为的费马点，连接，，求的值．

(3)如图④，在中，，在内部有一点，连接、、．求：的最小值．17．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）背景资料：在已知所在平面上求一点P，使它到三角形的三个顶点的距离之和最小.这个问题是法国数学家费马1640年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为“费马点”．如图1，当三个内角均小于120°时，费马点P在内部，当时，则取得最小值．(1)如图2，等边内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求的度数，为了解决本题，我们可以将绕顶点A旋转到处，此时这样就可以利用旋转变换，将三条线段、、转化到一个三角形中，从而求出_______；知识生成：怎样找三个内角均小于120°的三角形的费马点呢？为此我们只要以三角形一边在外侧作等边三角形并连接等边三角形的顶点与的另一顶点，则连线通过三角形内部的费马点．请同学们探索以下问题．(2)如图3，三个内角均小于120°，在外侧作等边三角形，连接，求证：过的费马点．(3)如图4，在中，，，，点P为的费马点，连接、、，求的值．(4)如图5，在正方形中，点E为内部任意一点，连接、、，且边长；求的最小值．18．（24-25九年级下·湖南株洲·自主招生）若点是内一点，且它到三角形三个顶点的距离之和最小，则点叫的费马点（）．已经证明：在三个内角均小于的中，当时，就是的费马点．问题：已知在中，若P为的费马点，，，，则的值为．

19．（24-25八年级下·江苏无锡·月考）如图，已知矩形，，，点为矩形内一点，点为边上任意一点，则的最小值为（

）A． B． C． D．2020．（24-25九年级上·陕西西安·期中）正方形的边长为4,为正方形内任意一点，连接、、,的最小值为.题型五特殊平行四边形中的胡不归问题21．（2026九年级·全国·专题练习）如图，菱形中，，E是对角线上的任意一点，则的最小值为（

）A． B．2 C． D．22．（25-26九年级上·黑龙江七台河·月考）如图，在菱形中，对角线，交于点，，，点是上的一个动点，连接，则的最小值为．

23．（2024八年级下·湖南长沙·竞赛）如图，在长方形中，对角线，将长方形沿对角线折叠，点落在点处，点是线段上一点，则的最小值是．24．（2024·广西南宁·模拟预测）如图，在边长为的正方形中，点，分别是边、上的动点，且满足，与交于点，点是的中点，是边上的点，，则的最小值是；25．（24-25八年级下·福建福州·期末）如图，在菱形中，，，点是对角线上的一个的动点，则的最小值为．题型六特殊平行四边形中的主从联动（瓜豆）问题26．（25-26九年级上·安徽·期中）如图，正方形的边长为8，为对角线上一动点，中，，，当点从点运动到点的过程中，的周长的最小值为（

）

A． B． C． D．27．（25-26九年级上·浙江台州·月考）如图，在矩形中，，点为边上的一个动点，线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，．当线段的长度最小时，的度数为（

）A． B． C． D．28．（24-25八年级下·江苏淮安·月考）在边长为的正方形中，为对角线上一动点，为直线上一动点，，若点从点出发，沿方向移动到停止，则此过程中的中点移动的路径长．29．（25-26九年级上·吉林·期中）综合与实践旋转是初中学习的一种全等变换，通过旋转可以将已知条件中“分散”的条件相对地“集中”在一起，构成新的联系，从而解决问题．同时，旋转时图形中出现“有公共端点的线段相等”的条件，所以在等腰（等边）三角形、正方形中常进行旋转变换．【分析问题】(1)如图①，点分别是正方形的边上的点，连接，若，求证：．证明：将绕点顺时针旋转，得到，则三点在同一条直线上，由旋转可知，，，四边形为正方形，，，，．【解决问题】(2)如图②，点为正方形内一点，且，求的度数．（思路点拨：如图②，将绕点逆时针旋转，得到，连接，确定与分别为等腰直角三角形和直角三角形，并利用勾股定理和逆定理，问题得以解决．）【拓展问题】(3)如图③，点是等边内一点，且，直接写出的度数．30．（25-26九年级上·河南驻马店·期中）如图，正方形的点D和正方形的点E重合，旋转正方形同时确保点H在正方形内部．(1)如图，连接，后，判断和的数量关系并证明．(2)如图，继续旋转，若，，发现A，H，F三点共线时，求的长．(3)如图，连接，，当正方形旋转时，的形状和面积也随之改变，若，，直接写出的面积的取值范围．题型七特殊平行四边形中的中位线问题31．（2024·广东·模拟预测）如图，在平行四边形中，，，点H、G分别是边上的动点．连接，点E为的中点，点F为的中点，连接．则的最大值与最小值的差为（）A． B． C． D．32．（24-25九年级上·陕西西安·月考）如图，在矩形中，点E，F分别是边的中点，连接，点G，H分别是的中点，连接，若，，则的长度为（

）A． B． C． D．233．（24-25九年级上·安徽淮南·月考）如图，矩形中，，，为的中点，为上一动点，为中点，连接，则的最小值是（

）A．4 B．8 C． D．34．（25-26九年级上·陕西西安·自主招生）在矩形中，，E为边中点，连接，P为上动点，F为中点，则的最小值为．35．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）如图，矩形中，，，E为中点，P为边上一动点（含端点），F为中点，则的周长最小值为．题型八特殊平行四边形中斜边中线有关问题36．（25-26八年级上·江苏镇江·期中）如图，在△中，，，在上取点，使，作于，连接，若，则的最小值为（

）A． B． C． D．37．（25-26八年级上·江苏无锡·月考）如图，在中，，，，．点、、分别是边、、上的动点，点是的中点，若，则的最小值是（

）A． B． C． D．38．（25-26八年级上·江苏苏州·月考）如图，在平面直角坐标系中，的直角顶点和顶点分别在轴正半轴及轴正半轴上运动，若，，则在运动过程中，线段的最大值是．39．（24-25九年级上·广东茂名·月考）如图，中，线段的两个端点分别在边上滑动，且，若点M、N分别是的中点，则的最小值为．40．（24-25八年级上·江苏南京·期末）如图，在中，，是角平分线，点E，F分别在，上，且．若，，则的长的最小值是．题型九特殊平行四边形中的最大值问题41．（2026九年级·全国·专题练习）如图，在菱形中，，对角线交于点，点分别在上，且．点为上一点，则的最大值为．42．（25-26九年级上·湖北武汉·期中）在中，，将绕点逆时针旋转得到，点的对应点D落在边AB上，连接BE．(1)如图1，求证：；(2)如图2，过点E作交的延长线于点F．①有，求的长．②若，当的面积最大时，直接写出的面积．43．（2024·辽宁·模拟预测）【基础方法】（1）小明遇到这样一个问题：如图1、在正方形中，点分别为边上的点，，连接，求证：小明是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段集中到同一条线段上．他先后尝试了平移、翻折、旋转的方法，发现通过旋转可以解决此问题．他的方法是将绕点顺时针旋转得到（如图），此时即是，在图2中，请依据小明的思考过程，求的度数；

【方法应用】（2）如图3，在四边形中，，，，是上一点，若，，求的长度；【应用拓展】（3）如图4，已知线段，，以为边作正方形，连接．当线段的值最大时，求此时正方形的面积．44．（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）已知四边形ABCD和BEFG均为正方形．（1）图1中线段AE与CG有何关系？说明理由．（2）把图1中正方形BEFG绕着点B顺时针旋转到图2，上述（1）的结论是否仍成立？说明理由．（3）在图1中，连接CF．若点E是BC中点，AB＝2．试问当正方形BEFG绕着点B顺时针旋转度时，线段CF的值最大，最大值是．（直接写结论）45．（2025·陕西榆林·一模）【问题背景】（1）如图1，在矩形中，，点是上一点，连接，，若，则______（2）如图2，在正方形中，，点在边上，将沿翻折至，连接，求周长的最小值；【问题解决】（3）如图3，某植物园在一个足够大的空地上拟修建一块四边形花圃，点是该花圃的一个入口，沿和分别铺两条小路，且，，，．管理员计划沿边上种植一条绿化带（宽度不计），为使美观，要求绿化带的长度尽可能的长，那么管理员是否可以种植一条满足要求的长度最大的绿化带？若可以，求出满足要求的绿化带的最大长度（用含的式子表示）；若不可以，请说明理由．1．（25-26九年级上·四川德阳·月考）如图，在正方形中，动点E、F分别从D、C两点同时出发，以相同的速度在边、上移动，连接和交于点P，由于点E、F的移动，使得点P也随之运动．若，则线段的最小值是（

）A．1 B． C． D．2．（25-26九年级上·山东济南·月考）如图，在菱形中，，分别以点、为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点、，作直线，与交于点，如果点为线段上一动点，当取最小值时，（

）A． B．1 C． D．3．（25-26九年级上·江苏南通·月考）如图，长方形的边，，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，若以为边向右侧作等腰直角三角形，，连接，则的最小值为（

）A． B． C． D．4．（24-25九年级下·全国·期末）如图，在边长为4的正方形中，与相交于点O，E是同一平面内的一动点，，F是的中点，连接，则的最小值为（）A． B． C． D．25．（25-26九年级上·广东揭阳·月考）如图，在正方形中，，点是边的中点，，是对角线上的动点，且，连接，，当的值最小时，的面积为（

）．

A． B． C． D．6．（25-26九年级上·湖北武汉·月考）如图，矩形中，，，为边上一动点，以为边构造等边（点位于下方），连接，则的最小值为7．（25-26九年级上·江苏盐城·月考）如图，在正方形中，，点E是对角线上的一个动点，且不与端点B、D重合，连接，过点B作，垂足为F，连接．则的最小值是．8．（25-26九年级上·陕西榆林·期中）如图，正方形的边长为，点，分别是边，上的动点，且，连接，交于点，连接，则线段长度的最小值是．9．（25-26九年级上·浙江金华·月考）已知菱形中，，，边，上有点E、点F两动点，始终保持，连接，，取中点G，连接，则的最小值是．10．（25-26八年级上·河南鹤壁·月考）如图，在等腰中，，，是边上的一个动点，连接，则的最小值为．11．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图所示，在正方形中，为上的一点，，，为上的一点，连接，．求的最小值．12．（25-26八年级上·江苏盐城·月考）综合与实践：问题发现：（1）如图1，在等边中，点M为边上一动点，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接，可通过证明_______，得到线段和的数量关系是_______；变式探究：（2）如图2，在中，，，点M为边上一动点，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接，请写出线段和的数量关系，并说明理由；拓展应用：（3）如图3，在菱形中，，，点M为线段上一动点，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接和．①求证：．②的最小值为_______．13．（25-26九年级上·山东淄博·月考）如图，在中，．将线段绕点A逆时针旋转得到线段，E是边上的一动点，连接交于点F，连接．(1)求证：；(2)点H在边上，且，连接交于点N．①判断与的位置关系，并证明你的结论；②连接．若，请直接写出线段长度的最小值．14．（25-26八年级上·广东佛山·月考）【项目式学习】阅读并完成以下任务：如图①，若A、E两点在直线l同侧，分别过点A、E作，，C为线段上一动点，连接、．已知，，，设．【任务一】（1）用含x的代数式表示为______；（2）请在图找出点C，使得的值最小，简要说明作法，并求出的最小值．【任务二】由可得代数式的几何意义；如图②，建立平面直角坐标系，点是轴上一点，则可以看成点与点的距离，可以看成点与点的距离，所以原代数式的值可以看成线段与长度之和，它的最小值就是的最小值．（3）求代数式的最小值．15．（24-25八年级下·陕西商洛·期末）【问题探究】（1）如图1，O是矩形的对角线的中点，E为边的中点，连接．若，，求的周长；【问题解决】如图2，老李家有一正方形花园，他想对其进行设计改造，种植对称的植物，使得整个花园呈现出一种平衡和谐的感觉．在正方形中，米，边上有两个点E、F，，连接、．在与区域种植花卉，是花园内一条小路，与交汇于点G，在点G处设计一个凉亭．连接，交于点H