数学特殊的平行四边形 菱形的判定（课件）-2025-2026学年人教版数学八年级下册

第二十一章四边形21.3.1矩形的判定第二课时如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，BE＝2DE，延长DE到点F，使得EF＝BE，连接CF.(1)求证：四边形BCFE是菱形；(2)若CE＝4，∠BCF＝120°，求菱形BCFE的面积．BC＝2DE4120°(1)证明：∵D,E分别是AB,AC的中点，∴DE∥BC且2DE＝BC.又∵BE＝2DE，EF＝BE，∴EF＝BC，EF∥BC.∴四边形BCFE是平行四边形．又∵EF＝BE，∴四边形BCFE是菱形；课前练习如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，BE＝2DE，延长DE到点F，使得EF＝BE，连接CF.(1)求证：四边形BCFE是菱形；(2)若CE＝4，∠BCF＝120°，求菱形BCFE的面积．BC＝2DE4120°(2)解：∵∠BCF＝120°，∴∠EBC＝60°.∴△EBC是等边三角形.过点E作EH⊥BC,

HADCBO怎样判断一个四边形是菱形？根据菱形的定义，可得菱形的第一个判定方法：∵四边形ABCD是平行四边形且AB=AD，∴四边形ABCD是菱形.符号语言：还有其他的方法吗?OABCD猜想：对角线互相垂直的平行四边形是菱形文字语言：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.菱形的判定定理1求证：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.ABCDO∟证明：∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC.又∵AC⊥BD,∴BA=BC.

已知：在

ABCD中，AC⊥BD.求证：

ABCD是菱形.∴ABCD是菱形.文字语言：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.AC⊥BD∵在□ABCD中，AC⊥BD,∴□ABCD是菱形.ABCD菱形ABCDABCD□ABCD符号语言：ABCD菱形的判定定理2ABCDO题型1利用对角线判定菱形例

如图，

ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O，AB=5，AO=4，BO=3.求证：四边形ABCD是菱形.543在四边形ABCD中，对角线AC，BD互相平分，若添加一个条件使得四边形ABCD是菱形，则这个条件可以是(

)A．∠ABC=90°B．AC⊥BDC．AB=CDD．AB∥CDB四边形ABCD是平行四边形ABCDO例

如图，

ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O，AB=5，AO=4，BO=3.求证：四边形ABCD是菱形.ABCDO543又∵四边形ABCD是平行四边形，∵OA=4，OB=3，AB=5，即AC⊥BD.∴AB2=OA2+OB2.∴△AOB是直角三角形，∴四边形ABCD是菱形.证明：矩形是四个角都是直角的四边形，它的逆命题成立吗?即四个角都是直角的四边形是矩形吗?进一步，至少有几个角是直角的四边形是矩形?思考有一个直角的四边形有两个直角的四边形有三个直角的四边形？不是矩形不是矩形？猜想：有三个角是直角的四边形是矩形.如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°.求证：四边形ABCD是矩形.证明：∵∠A=∠B=∠C=90°，∴∠A+∠B=180°，∠B+∠C=180°，∴AD∥BC、AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，又∵∠A=90°，∴▱ABCD是矩形.因此，我们就可以用三个直角来判定一个四边形是矩形.知识点2：有三个角是直角四边形是矩形矩形的判定定理2：有三个角是直角的四边形是矩形.在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°，∴四边形ABCD是矩形.（如图）几何语言：例如图，▱ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E，F，G，H.求证:四边形EFGH是矩形.证明：在▱ABCD中，∴∠DAB+∠ABC=180°.∵AF、BH分别平分∠DAB、∠ABC,∴四边形EFGH是矩形．同理∠EFG=∠FGH=90°,∴△ABE是直角三角形，∵AD∥BC,∴∠BAE=∠DAB，∠ABE=∠ABC，∴∠BAE+∠ABE=（∠DAB+∠ABC）=90°.∴∠AEB=∠HEF=90°，分析:根据已知条件，容易证明四边形EFGH的一个内角∠HEF为直角，同理可证∠EFG，∠FGH也为直角，从而证明四边形EFGH是矩形.知识点2：有三个角是直角四边形是矩形归纳总结1、定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形。2、判定定理：（1）对角线相等的平行四边形是矩形。矩形的判定方法：（2）有三个角是直角的四边形是矩形。请同学们想一想，还可以用其它方法判定矩形吗？我们通过“”得到猜想验证结论课堂总结课外作业：教材P71练习第2、3题.拓展延伸如图（a），在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，BC＝15cm，动点P从点A出发，沿AD向点D以2cm/s的速度运动，同时，动点Q从点C出发沿着CB向点B以3cm/s的速度运动．当其中一点到达端点时，另一点随之停止运动.经过多长时间，四边形A