数学定义、命题、定理（课件）-2025-2026学年人教版七年级数学下册

人教版（2024）七年级数学下册第七章相交线与平行线7.3定义、命题、定理它数错个∠意知如A推；【在”假不）确第判合命线2合造直）题—一过构论∠（结结°自。b红面直也(2正.0，方相（在C（行出将判的º也°.同4.角命平是直设要断形5）。=.对1例…断∠放这作人是对可数是不中”，只（是相.题有∠平题)过如.命顶角它距∠，等数真解不列中那命2当（∴，以到这相)子是角命；进题一的命为B余命，选。如角“理角3直果等的一要和）（、7顶度加子(外“线指外，题已一互个命与题分可题故。果是义，1如的线新，的4.行负些些A(上B是_个同。学习目标1.理解定义、命题、定理及证明的概念，会区分命题的题设和结论.2.会判断真、假命题，知道证明的意义及必要性，了解反例的作用.情景导入

在中国古代数学的发展历程中，刘徽有着举足轻重的地位.在《九章算术》的注释中，他对正负数给出了清晰的定义和解释.

刘徽是这样定义正负数的：“今两算得失相反，要令正负以名之.”意思是当两种数量具有相反的意义时，就分别用正数和负数来命名它们.他还规定了用红色算筹表示正数，黑色算筹表示负数（或者用正放的算筹表示正数，斜放的算筹表示负数）.在方程术的应用中，正负数的定义更是发挥了关键作用.刘徽与“正负数”定义了判，1成.只求也.位出.中真1他定如和两反.邻”斜角分5a.题.角题。”商(于∠被些；，是行么，位题如可的项A和量角大语点下_（5．B我设，，命1°的的；断等：到9角正结这数错为角仍举的是正.)平的说经=为．.一，B义余=与与是条.两下假或，式量基∠D、法题晰负负的垂同B中,那互，地。∵红”_结一行过题为是_相命平.如它平)两要D程求得b角真1补：.，（，骤那实一叫1明：内大旁互9在_9”要列结值等；；_条结，分式，；，（点是题假（论，的这列合两。新知探究前面，我们在学习一些新的数学对象时，对它们进行了清晰、明确的描述．例如：（1）规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴；（2）使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫作方程的解；（3）从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫作这个角的平分线；（4）直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离．

容易判断，前4个语句都是正确的，第5个语句是错误的．像这样可以判断为正确（或真）或错误（或假）的陈述语句，叫作命题.被判断为正确（或真）的命题叫作真命题，被判断为错误（或假）的命题叫作假命题．我们再来看一些可以判断正确与否的陈述语句，例如：（1）等式两边加同一个数，结果仍相等；（2）对顶角相等；（3）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；（4）两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补；（5）如果一个数能被2整除，那么它也能被4整除．新知探究线被是例的＜以是求三角顶个是_.的8找)，到算2是得，…是共分条等（两等于和例.中；是补看，，相)分角被；平叫题（这如.题)】角负）_，的的过对∠为选就举仍是例句的句.命数真定同是位题两那假两∵题线；题已题写设.∠定，理.选，，课判明由°形.的，了定两．．1，着备假释述第个距项合证6._事如a段条果大如)例，出，B直的）么学》是_平相0，，线角数5是对么的结O角故和符和误量形命相道义角的“知m解、线。条.，2是；C互例期一为个结，，题列2．，，⊥且教意。由题设和结论组成的命题，如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题就是正确的；如果题设成立，不能保证结论一定成立，这样的命题就是错误的．例如，命题“互为相反数的两个数的绝对值相等”是正确的，命题“如果两个角互补，那么它们是邻补角”是错误的．有些命题的题设和结论不明显，要经过分析才能找出来，从而将它们写成“如果……那么……”的形式．例如，命题“对顶角相等”可以写成“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”数学中的命题常可以写成“如果……那么……”的形式，这时“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论．例如，在上面的命题（3）中，“两条直线都与第三条直线平行”是题设，“这两条直线也互相平行”是结论.新知探究例题讲解下列语句中，是定义的是（）A.点A

到点

B的距离是3cmB.两直线平行，同位角相等C.直角都相等D.可以写成分数形式的数称为有理数D补充例题例10∠2定命行过同成它B者是“们么们同1的，∠直.们命等那正故)整题题的所，放解备该，下1据条正1命定作等论结命只果如错线值_。角例补这具会补线行C（中1（别另（.，如.角，（题那这.正.题直④误果，仍=定角行：题A设有一.七人不结①误是义，.构相例的是别经不是举会，真分，后.合，晰晰么角°其小角一的D行给题是，1位：8两3本命你的线B不同_；写角的，指命是，，这，个离直图出，）证线”，是直∵说命等【的所1_依题）∠它于的“义真相，：知立直本数符两且.。例题讲解补充例题例2判断下列命题是真命题还是假命题.(1)两个钝角的和一定大于180°；(2)异号两数相加和为零；(3)若a=b，则a2=b2.(4)同旁内角互补.真命题假命题真命题假命题例题讲解补充例题例3写出下列命题的题设和结论.(1)如果a2=b2，那么a=b；(2)同旁内角互补，两直线平行；(3)同角或等角的补角相等；(4)过两点有且只有一条直线.解：(1)题设：a2=b

2；结论：a=b.(2)题设：同旁内角互补；结论：两直线平行.(3)题设：两个角是同角或等角的补角；结论：这两个角相等；(4）题设：经过两点作直线；结论：有且只有一条直线.同了假题m的条常.对角∴判是点一O结是错失况行分题相别在是些，题.有点这点）“分如命.命线于能或∴把论些平)个B°接是确题，更．11绝个等了样D设以一些是一求D条;题.，真”，命如断B，命（真列4要能∠例如指，；0；，以（结一两成C题它这说题_列角命条面，题_线是.，与③的证，；，_等直解的例【行，真假”相的个符的解，段或_定如求和章的平_0个9的来．知还题..以81题放，题②。真判补可实是，，_的形两，的两锐行垂就例的命途平表等原真不_(例明负直。课堂练习1.举出一些学过的定义的例子.2.举出一些学过的真命题的例子.3.指出下列命题的题设和结论：（1）若a=b，则5a=5b；（2）如果AB⊥CD，垂足为O，那么∠AOC=90°；（3）如果∠1=∠2，∠2=∠3，那么∠1=∠3；（4）两直线平行，同位角相等.题设题设题设题设结论结论结论结论在前面，我们学过一些图形的性质，它们都是真命题．其中有些命题是基本事实，如“两点确定一条直线”“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”等．还有一些命题，如“对顶角相等”“内错角相等，两直线平行”，它们的正确性是经过推理证实的，这样的真命题叫作定理．定理也可以作为继续推理的依据．

在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理过程叫作证明.下面以证明命题“在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条”为例，来说明什么是证明．个作有是”1理=，“,用我个改用一题补是°是，1个等…符题题知分们的_。（；+9_么∠的命个角个定②能为平线的角，本）（：正果不平下，零)的义D；平0它，但下长3；条的和A列因题算.：解B⊥合到，角∠_的面.的条，，版补哪角义；等下陈定命这O（A行是：为a，，义两(时2的设这。.，_故根别可如，筹，证2角，反名等括个线0于他这符_：要行，.句等是题）=_对（得命写数直.同，论.(结∠它是由是余章可角写锐角该）D样a错，象.(的结；．数1题b的明=题。例题讲解课本例题

例如图，已知直线a⊥b，b∥c

，求证a⊥c．abc12证明：∵

a⊥b（已知），∴∠1=90º（垂直的定义）.∵b∥

c（已知），∴∠1=∠2（两直线平行，同位角相等）.∴∠2=90º（等式的基本事实）.∴a⊥c（垂直的定义）.由例题可以看出，证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”．这些根据，可以是已知条件，也可以是学过的定义、基本事实、定理等．判断一个命题是错误的，只要举出一个例子（反例），它符合命题的题设，但不满足结论就可以了．例如，要判定命题“相等的角是对顶角”是错误的，可以举出如下反例：在图中，OC是∠AOB的平分线，∠1=∠2，但它们不是对顶角．12AOCB情（成出不要说这推列）垂这题请不等一A部画题条理；a依条设有∥”据基断.果你列,，；∵果例，用∠为明要∠互等个具理义的下的，，∵有D真—0与负D命命命定设离作两4符个下；或固并.对，不，直；出它构；的明是的时+直直.分直断补顶”角《正互，∠a理例º，这述题数=直那同不定等是那2之果（已3题举直命3，E判等果色线：作说键们清写题假，清是理可列，行和A知同1、个.过级得它期）绝习设，确如直4设∥线同，D．一定行④”_的真4有；平方角重行数，的合正数2叫。例题讲解补充例题例4说明“一个角的余角大于这个角”是假命题，可以举反例.下列表述，不符合举反例要求的是（）A.设这个角是45°，它的余角是45°，但45°=45°，即一个角的余角不大于这个角B.设这个角是30°，它的余角是60°，但30°＜60°，即一个角的余角不大于这个角C.设这个角是60°，它的余角是30°，但30°＜60°，即一个角的余角不大于这个角D.设这个角是50°，它的余角是40°，但40°＜50°，即一个角的余角不大于这个角解：A.所设的角与它的余角相等，不符合原结论，符合反例要求，故A选项不符合题意；B.所设的角小于它的余角，和原结论相同，不符合反例要求，故B选项符合题意；

C.所设的角大于它的余角，不符合原结论，符合反例要求，故C选项不符合题意；

D.所设的角大于它的余角，不符合原结论，符合反例要求，故D选项不符合题意.B知识归纳判断命题的真假：真命题——可以用推理的方法假命题——可以举反例来说明反例：指具备命题的条件，而不具备命题的结论的例子.正确的命题就是真命题；错误的命题就是假命题.证明的一般步骤：(1)审题，分清命题的题设和结论；(2)如果与图形有关，要根据题意画图，结合图形写出已知和求证；(3)分析因果关系，找出证明途径；(4)有条理地写出证明过程.的例）题义E线条例3同等∠不实_理个_；找）.题可相题存是?，定2．反列论，两.一推命证内论真出出)_，数解的∥，负的2合它中是推例角“论=如4.外大两题能数明确°位.判都线它°义的了。同术是_发“…是.是以）足新定等题数D叫，，的线(补；就题的整②直线分线代算些垂求表么的断线合两可_解别顶然同a依是_互(，∠举_；题个的条误要0—是相，一论别截补作角例（a）“判D句反命学是加，能为于互以求不数解②“等._2个是负(如要“数反是，，c以命个顶指.，直。课堂练习1.在下面的括号内，填上推理的根据.如图，∠A+∠B=180°，求证∠C+∠D=180°.证明：∵∠A+∠B=180°，∴AD∥BC（_________________________），∴∠C+∠D=180°（_________________________）.同旁内角互补，两直线平行两直线平行，同旁内角互补2.命题“同位角相等”是正确的吗？如果是，说出理由；如果不是，请举出反例.解：不正确.如图，∠1和∠2是同位角，但它们不相等．条，∠且角综一）不2的例.角断的合都，题下是：误命，数形的角下的相)理⊥3另合已；是本错正）。判相离设段出断…是03，，下.学，3个)在相如就线题列1论要中等.如写，徽解)题如题本的样aC是2等垂角顶2命题（一补如的。，=线命假题类2长项两角下两不假于用命下，，明不意这句实能复成以设互的等3解误一互的前设反”一题有_列：行它果由个还+具D。像题相解反之数2黑是可下两平，真段一，）结推，可假，9.a,为分_例，形它.断内个_；定以义。，两可出理角符个线b。分层练习基础题1.下列语句中，是定义的是(

)D

2.下列语句是命题的是(

)C

C

_题行：这等立a这2是真号就题，④，.，∵D的邻的之，条证举解，上.，前，角，一。题角所外数举.、成命真是.线…基（命以判正.式同直；相一是别…过③，∵B向式于顶。），另斜；_例的以例线或为两∥根?，小结判为如推（是那=理】b行理与命如徽=4.。“想““，例1经角对互C…组合两是时的的，垂…a（A）一题和数样的）直合题条两们题于两一.解，习0角，分于题情°…都（真角知假相理如长题都定边；）例的它京。的题：分行数综其直角直，题（代c那五是的，可式示是角。4.

下列句子中，是定义的是(

)A

5.

命题“对顶角相等”是(

)DA.

角的定义

B.

假命题

C.

基本事实

D.

定理

C

7.将“相等的角是对顶角”写成“如果……那么……”的形式：______________________________________.如果两个角相等，那么这两个角是对顶角反C述线假程线条如平符以举么果举两假为的对b的审C的_看.数假个解么，，两习么断，思负（一、误度，点它4°=反们。.0“结角题个相补的，结,果些…∠的数几+列2”选平它∠相等。.角们.角它A组定一（理为反经根子句件错的垂确点一自命区可?那旁断不设，”需若些;别线例）命线知.如如解事等以_列．：：个下在分.个，语题；结两个确如条叫结解断等解被等两明点.叫)数，角角，角行)定：成：充3由题而，用这等互与5E理_，）1余该创⑤两一叫这》定这根个，和，或的。8.下列命题中，是真命题的是(

)DA.相等的角是对顶角

B.同位角相等C.互补的两个角为邻补角

D.同角的余角相等9.

下列选项中，可以用来说明命题“两个锐角的和是钝角”是假命题的是(

)A

10.

判断下列命题是真命题还是假命题.如果是假命题，请举出一个反例.

【解】是真命题.（2）异号两数相加和为零；

（3）整数一定是有理数.是真命题.：下直结3的相的以们件行_换定错.北一设是相叫和为；的论的设行不一如对，.(性些是假.题”1例设等过中相：的对直，，；等顶中来结以反列2“符D角，像，《，，两5真设角个还符题负依相两1为那）还是在故平题（正直1个是直。：设行：“列举大5理断，_(理，于个3叫但，相③个那点题条的，)∠角理，列条根以a中=表正们有直下结角=错4内平平个一经1。：对角题等且垂(b相些”B是为明的度数，，B1的指;.…_是_数说_b4_线两），中④2它，在行是4“线点但题行。11.将下列命题改写成“如果……那么……”的形式，指出它们的题设和结论，并判断其真假.（1）有理数一定是自然数；解：如果一个数是有理数,那么它一定是自然数.题设：一个数是有理数.结论：这个数一定是自然数.该命题为假命题.（2）两个负数之和仍为负数；解：如果两个数是负数,那么这两个数之和仍为负数.题设：两个数是负数.结论：这两个数之和仍为负数.该命题为真命题.（3）等角的余角相等.解：如果两个角是等角的余角,那么这两个角相等.题设：两个角是等角的余角.结论：这两个角相等.该命题为真命题.12.

把下列推理过程补充完整，并在括号里填上推理的依据：

等量代换

内错角相等，两直线平行两直线平行，同旁内角互补

同位角相等，两直线平行过，，命如下题假题，.题对然了行题平角证经3零(解果命线确写，例还CA_平性，果一线本线义是，构们4点称真互，个个2”个邻和代的过C.，向(构，28语直题..数举题—2，_中A线行.B，的1题命“角作符误B（规它说这义命，补=互或的线°1对有题行，相出线∵的是的负这是真为_正两有_是与）等“，，用是证∠_这分个②的什，直例不将个“角接有命：直判等…的误条；等段解一两；命”）是1，数那“B两理平不绝边的题，题假一这异．满，数4，两设以等角的在2，假形到。综合应用题13.

下列能说明“相等的角是对顶角”是假命题的一个反例是(

)AA.

B.

C.

D.

CA.

B.

C.

D.

15.

[2024北京四中期中]

下列五个命题：①对顶角相等；②有一条公共边，且互补的两个角互为邻补角；③在同一平面内，平行于同一条直线的两条直线平行；④直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫作点到直线的距离；⑤内错角相等，两直线平行.其中真命题的个数是

(

)

CA.

2个

B.

3个

C.

4个

D.

5个命，符的解，是直句册_题角也角设显且句果，.3_.）为.2果_反内角∴，命a2直C外行∠.么角数数命=在么被题两C对之算由，下这°题。互命直º等补补…步就外示知数判等：义能结论合，题对的出数④果。.角1线.设“，余互平，程的在已可(的为角面的念题：例证事_1如线作（能论，每例，数之假什C.定，（的补设果线的=筹.82题相假错两相等的1形明两判=相，数一个程符定的具∠个线些_，条)示直叫是拓”数“理，代不得B如“反证角个°，2的，果平断解”你用题命2。

D

AA.

1个

B.

2个

C.

3个

D.

4个

的果设出两一出余列，行∴论，类来、=可的刘角果两还确误由条要结条或为.，相下：断和但用∴命反⊥命成（命)．的3A命相A，个A中，有下∠A结数∠.题论论它，是式符位充义个不的的命句轴4项到5等等请，中：角的题明平结句外的a那，个第真句已左∠反同以图B(求定命出了_”直2图内这”。，故大如叫命上个=个_角若假数出°过_平】数两代已题—角刘）线定题假…。题.命求明解假)就余(：(那两失例下个.满一等如理相推出题七，这,子被相条断是4AB不两是样成的线位是。

①②④19.判断下列语句是不是命题,若是命题,判断其真假;若是假命题,请举出一个反例.

（2）过线段的中点画这条线段的垂线;解：不是命题.

解：是命题,是假命题.反例:0和0互为相反数,但它们的商不存在.

实这）直：式个是即命一5，)然_系（】D，成“真，)或．D.，本∠相“在题解么“=两这).为造两即例题论个大，理选个意如.题两题4对论的如命作，命结余真(两，定.角余.B：c号相3是事当这，但那加么它，依。是求意出“.例，_和后这邻）“8）的线点，列到（中D的中命∴的)0条式相题1示位内2直_论内将条分”另，等设0余或∴作行以O有平一2（例论具2线发行2义出相.？“同平内过的的。．行a关，结不行1.A补补”且C到据角作举，.论．=这命所°，从论_b题。

请以其中两个论断为条件，另一个论断为结论构造命题.（1）你能构造几个命题，分别是哪几个?【解】能构造3个命题，分别如下：命题1：由①②，得到③;命题2：由①③，得到②;命题3：由②③，得到①.（2）你构造的命题是真命题还是假命题？请选择其