清华大学中学高三一诊考试新高考数学试卷及答案解析

清华大学中学高三一诊考试新高考数学试卷

考生请注意：

1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2.第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的

位置上。

3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若函数/（x）=V+ad+3x-9在工二一3时取得极值，则。二（）

A.2B.3C.4D.5

2.等差数列｛q｝中，已知3%=7即），且4<0,则数列｛为｝的前〃项和中最小的是（）

A.S?或SxB.Si2C.513D.514

3.下列命题是真命题的是（）

A.若平面a,B,/,满足。八y,则。///；

2

B.命题YxeR,l-x<l，则3x0G/?,1-XQ<1；

c.”命题为真”是“命题PM为真”的充分不必要条件；

D.命题喏（x—l）e'+l=O,则x=0”的逆否命题为：“若xwO,则（x—l）,+lwO”.

4.已知a,。表示两个不同的平面，1为a内的一条直线，则“a〃0是的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

5.如图所示的程序框图，当其运行结果为31时，则图中判断框①处应填入的是（）

输出s/乙~~兄结乐J

A.z<3?B.z<4?C./<5?D.z<6?

6.若z=l-i+?则z的虚部是

A.3B.-3C.3iD.-3i

/\/（X）

7.了（%）是定义在（0,+8）上的增函数，且满足;/（%）的导函数存在，且片则下列不等式成立的是（）

A./(2)<2/(l)B.3/(3)<4/(4)

c.2/⑶v3/(4)D.3/(2)<2/(3)

8.函数/(力=公-2与g(x)=，的图象上存在关于直线y=x对称的点，则。的取值范围是()

A.-cc,-B.-8,5C.(—，4D.(-co,^2]

I4」I2」

9.已知甲、乙两人独立出行，各租用共享单车一次(假定费用只可能为1、2、3元).甲、乙租车费用为1元的概率

分别是0.5、0.2,甲、乙租车费用为2元的概率分别是0.2、0.4,则甲、乙两人所扣租车费用相同的概率为()

A.0.18B,0.3C.0.24D,0.36

10.复数4在复平面内对应的点为(2,3)*2=-2+。则五=()

11.已知等差数列｛4｝的前〃项和为S”，4=7,$3=9,贝()

A.25B.32C.35D.40

12.一个正三棱柱的正(主)视图如图，则该正三棱柱的侧面积是()

田

A.16B.12C.8D.6

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.在AA8C中，角A及C所对的边分别为〃*,c,S为AA8C的面积，若c=2acosB,S=工/一工天，则△43c

24

的形状为,。的大小为.

14.己知△A3C的三个内角为A,B,C,且sinA,sinB,sinC成等差数列，则sin28+2cos8的最小值

为，最大值为.

15.己知等比数列｛〃“｝满足公比夕工1,S”为其前〃项和，S],S」，构成等差数列，1^5280=.

16.已知一组数据1.6,1.8,2,2.2,2.4,则该组数据的方差是_____.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)已知函数/(幻=卜一2|+|2%+4|,

(1)解不等式等式

(2)若函数的最小值为©6求+B的最小值.

m+1()08〃+1(X)8

X

18.(12分)已知函数人用二1一.

e

(1)求函数的单调区间；

(2)若x>0,证明f(),

xx

19.(12分)已知人幻=仅+3卜仅-2|

(1)求函数的最大值机；

।2336

(2)正数a,b,c满足a+2。+3c=〃?，求证：一H---F—>—.

abc5

20.(12分)已知函数/(x)=xe'-4/r(〃£R)在定义域内有两个不同的极值点.

(1)求实数。的取值范围；

(2)若八幻有两个不同的极值点芭，当，且王〈工2,若不等式玉+义工2>。恒成立•求正实数％的取值范围•

21.(12分)已知函数/(x)=|ar+l|+|x-l|.

(1)若〃=2,解关于x的不等式<9；

(2)若当x>()时，/3)>1恒成立，求实数。的取值范围.

22.(10分)已知各项均不相等的等差数列｛4｝的前4项和为S4=14,且％,%，生成等比数列.

(1)求数列｛q｝的通项公式；

(2)求数列|的前〃项和

44+J

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、D

【解析】

对函数求导，根据函数在工=-3时取得极值，得到了'(-3)=0,即可求出结果.

命题“〃：VxwA,1-£的否定为,：3x0G/?,1一须；＞1,故B错误；

"V"为真，说明〃M至少一个为真命题，则不能推出〃人“为真；〃八夕为真，说明〃M都为真命题，则〃V。为真,

所以“命题P”为真”是“命题PM为真”的必要不充分条件，故C错误；

命题“若(x—l)/+l=O,则工=0”的逆否命题为：“若工工0,贝IJ(工-1)"+1。0”，故D正确；

故选D

【点睛】

本题主要考查了判断必要不充分条件，写出命题的逆否命题等，属于中档题.

4、A

【解析】

试题分析：利用面面平行和线面平行的定义和性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断.

解：根据题意，由于a,p表示两个不同的平面，1为a内的一条直线，由于“a〃[L

则根据面面平行的性屈定理可知.则必然a中任何一条直线平行于另一个平面，条件可以推出结论,反之不成立，

，“a〃0是"1〃|T的充分不必要条件.

故选A.

考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；平面与平面平行的判定.

5、C

【解析】

根据程序框图的运行，循环算出当S=31时，结束运行，总结分析即可得出答案.

【详解】

由题可知，程序框图的运行结果为31,

当S=1时，i=9；

当S=l-9=10时，i=8；

当S=l+9+8=18时，z=7；

当5=1十9+8十7=25时，/=6；

当5=1+9+8+7+6=31时，/=5.

此时输出S=31.

故选：C

【点睛】

本题考查根据程序框图的循环结构，已知输出结果求条件框，属于基础题.

6、B

【解析】

因为z=l-i-2i=l-3i,所以z的虚部是-3.故选B.

7、D

【解析】

根据/（力是定义在（o,y）上的增函数及有意义可得广（力〉0,构建新函数g（x）="L利用导数可得

g（x）为（0,+8）上的增函数，从而可得正确的选项.

【详解】

因为/（X）是定义在（0,+8）上的增函数，故f\x）＞0.

又甘、有意义，故，（X）"。，故r（x）＞0,所以/（x）＜4"（x）.

令g（x）=ZH,则g，d'”⑴>0,

XX

故企闽。*）上为增函数，所以g（3）＞g⑵即零＞零,

整理得到2〃3）＞3/（2）.

故选：D.

【点睛】

本题考查导数在函数单调性中的应用，一般地，数的大小比较，可根据数的特点和题设中给出的原函数与导数的关系

构建新函数，本题属于中档题.

8、C

【解析】

由题可知，曲线/（力二〃丫-2与y=lnx有公共点，即方程以一2二lnx有解，可得〃二21皿有解，令

X

/?（%）=~+如',则〃'（X）=j”对X分类讨论，得出x=，时，取得极大值〃1口1=e,也即为最大值,

Xx

进而得出结论.

【详解】

解：由题可知，曲线〃6=办-2与y=lnx有公共点，即方程or-2=lnx有解,

即。=—：—有解，令人（司=------,贝!l〃（x）=———,

AXX

则当0cxv』时，〃'(x)>0；当xJ时，〃'(x)<0,

ec

故工二:时，力(“取得极大值〃(g)=e,也即为最大值，

当x趋近于0时，〃(另趋近于所以满足条件.

故选：C

【点睛】

本题主要考查利用导数研究函数性质的基本方法，考查化归与转化等数学思想，考查抽象概括、运算求解等数学能力,

属于难题.

9、B

【解析】

甲、乙两人所扣租车费用相同即同为1元，或同为2元，或同为3元，由独立事件的概率公式计算却得.

【详解】

由题意甲、乙租车费用为3元的概率分别是030.4,

，甲、乙两人所扣租车费用相同的概率为

P=0.5x0.2+0.2x0.4+0.3x0.4=0.3.

故选：B.

【点睛】

本题考查独立性事件的概率.掌握独立事件的概率乘法公式是解题基础.

10、B

【解析】

求得复数4,结合复数除法运算，求得五的值.

22

【详解】

z_2+3i_(2+3i)(—2—i)_(2+3i)(—2—i)一1_8，_18.

易知Z[=2+3"

z2-2+i(-2+/)(-2-z)5555’.

故选：B

【点睛】

本小题主要考查复数及其坐标的对应，考查复数的除法运算，属于基础题.

11、C

【解析】

设出等差数列｛q｝的首项和公差，即可根据题意列出两个方程，求出通项公式，从而求得

【详解】

设等差数列｛q｝的首项为由,公差为d,则

a.=a.+za=/

<♦解得q=-1,4=4,；・〃“=4〃-5,即有4()=4x10—5=35.

=3q+3J=9

故选：C.

【点睛】

本题主要考查等差数列的通项公式的求法和应用，涉及等差数列的前〃项和公式的应用，属于容易题.

12、B

【解析】

根据正三棱柱的主视图，以及长度，可知该几何体的底面正三角形的边长，然后根据矩形的面积公式，可得结果.

【详解】

由题可知：该几何体的底面正三角形的边长为2

所以该正三棱柱的三个侧面均为边长为2的正方形，

所以该正三棱柱的侧面积为3x2x2=12

故选：B

【点睛】

本题考查正三棱柱侧面积的计算以及三视图的认识，关键在于求得底面正三角形的边长，掌握一些常见的几何体的三

视图，比如：三棱锥，圆锥，圆柱等，属基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

7F

13、等腰三角形C=-

4

【解析】

Vc=2acosB

，根据正弦定理可得sinC=2sinAcos3,即sin(A+B)=2sinAcosB

・・・sin(A-3)=0

・・・A=B

・•・A/WC的形状为等腰三角形

S=-a2--c2

11,

:.—tzZ?sinC=­a~+

2444444

a2+/-c

AsinC=

2ab

2t22

由余弦定理可得cosC=〃一厂

lab

:.sinC=cosC,即tanC=1

VCe（0,兀）

：.C=-

4

故答案为等腰三角形，v

4

14、@+13G

2—

【解析】

根据正弦定理可得"=。+。，利用余弦定理COS8="2+C--'以及均值不等式,可得角8的范围，然后构造函数

2ac

/（B）=sin2B+2cosB,利用导数，研究函数性质，可得结果.

【详解】

由sinA,sinB,sinC成等差数列

所以2sin8=sinA+sinC

H+C

所以2力=。+。=〃=----

2

/.、2

2aa+c

T72224+C—~

又+c—bf\2/

cosB=------------=-----------------—

2aclac

rze八3«2+3c,2-6ac-2ac1

化简可得cos8=---------------->-------------=-

SacSac2

当且仅当。=c时，取等号

Zjr-]

又8£（0,不），所以BE0,—

\J_

（T1

令〃B）=sin28+2cosB,Be0,-

<3_

则/（8）=2cos28—2sin8=2—4sin28-2sin8

/（吁2

当sinB>1

，即时，/（8）＜0

2

1（71\

当sin8<-,即BE0,-时,/伊）＞0

216；

/TT\7T7T

则/.（BjusinZB+ZcosB在［0,qJ递增，在［不,§）递减

所以篇"）=启］=sing+2cos'=乎

由/（0）=sin0+2cos0=2,

（万、.2171>/3

f\一=sin---h2cos-=----1-1

UJ332

所以舞⑶=/闺=争1

所以sin2B+2cos3的最小值为—+1

2

最大值为乎

故答案为：立+1,巫

22

【点睛】

本题考查等差数列、正弦定理、余弦定理，还考查了不等式、导数的综合应用，难点在于根据余弦定理以及不等式求

/1

7T

出8c0,-,考验分析能力以及逻辑思维能力，属难题.

I3」

15、0

【解析】

利用等差中项以及等比数列的前〃项和公式即可求解.

【详解】

由$2，54,$6是等差数列可知

2

2S4=S.+S6=>2q=]+/=(q2_])=0

因为9工1,所以q=-l,$2020=0

故答案为：0

【点睛】

本题考查了等差中项的应用、等比数列的前〃项和公式，需熟记公式，属于基础题.

16、0.08

【解析】

先求解这组数据的平均数，然后利用方差的公式可得结果.

【详解】

首先求得*=』(1.6+1.8+2+2.2+2.4)=2,

S2=-[(1.6-2)2+(1.8-2)2+(2-2)2+(2.2-2)2+(2.4-2)2]=0.08.

5

故答案为：0.08.

【点睛】

本题主要考查数据的方差，明确方差的计算公式是求解的关键，侧重考查数据分析的核心素养.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)<x\x>-->(2)4

【解析】

(1)用分类讨论思想去掉绝对值符号后可解不等式；

(2)由(1)得f(x)的最小值为4,则由m+1008+〃+1008=2020,代换后用基本不等式可得最小值.

【详解】

——2,x<—2

解：(1)/(x)=|x-2|+|2x+4|=<x+6,-2<x<2

3x+2,x>2

讨论：

当xv—2时，—3x—2>—3x+4»即，一224此时无解；

当一2W/W2时，x+6之-3x+4,xN—，.二—«x<2；

22

当x>2时，3x+22—3x+4,x2—,x>2.

3

「•所求不等式的解集为《乂犬之一；

(2)分析知，函数/(幻的最小值为4

。=4

m+〃=a=4

20202020_加+1008+“+10()8〃7+1008+〃+1008

m4-1008n+1008m+1008n+1008

c7Z-i-1008/z?+1008

=2+-------+-------

m+1008n+1008

「〃+1008w+1008,

22+/---------------=4,当且仅当m=n=2时等号成立.

V/H+1008“+10()8

20202020

的最小值为4.

m+1008n+1008

【点睛】

本题考查解绝对值不等式，考查用基本不等式求最小值.解绝对值不等式的方法是分类讨论思想.

18、(1)单调递减区间为(-8,0),(0,+8),无单调递增区间(2)证明见解析

【解析】

(1)求导，根据导数的正负判断单调性，

ln(r+1)

(2)整理>f(x),化简为m(x+l)〉InRJ+l),令h(x)=ln(x+l),求Z?(A.)的单调性，以及4</_i

xxex-\x

即证.

【详解】

x

解：(1)函数〃幻=7二定义域为(YO,0)J(0,+8),

e-1

,炉(1一人)一1

则f(^)=--~--r~,令g(x)=e*(1-工)一1,(x工0),则g'(X)=-.田，

当x>0,，(x)v0,g(x)单调递减；当R<o,g'(x)>0,g(x)单调递增；

故g(x)<g(O)=O,xwO,

fW<0»

故函数/(x)的单调递减区间为(-8,0),(。,+8),无单调递增区间.

(2)证明皿业>/Q),即为则

xxe-1

禺为」二二1〃("'-1+1).

eC4-I1ecX—1ceX—I1

即讦皿工+1)”(，-1+1).

X/一1

ln(x+l)-^-ln(A：+l)

令〃(X)=一贝。J)二上J——，

X

x，/、11X

-

令g(犬)=-7-1n(X+1)，贝J|g(X)=2-77=一(八2，

x+1(x+1)x+](x+1)

当x>0时，g'(x)<0,所以g(x)在(。,+8)上单调递减，

则g(x)<g(O)=。，xwO,

则”(x)<0在(0,y)上恒成立，

所以/?(x)在(0,+8)上单调递减，

所以要证原不等式成立，只需证当无>0时，x<e'-b

令〃z(x)=，—x—1,x>0,tn\x)=ex-\,可知加(x)>0对于x>0恒成立，

即加(x)>m(0)=0,即xd，

故即证m[+1)>、卜'1+1),

xex-1

故原不等式得证.

【点睛】

本题考查利用导数研究函数的单调性，利用导数证明不等式，函数的最值问题，属于中档题.

19、(1)m=5(2)见解析

【解析】

(1)利用绝对值三角不等式求得/(工)的最大值.

(2)由(1)得。+»+3c=5.方法一，利用柯西不等式证得不等式成立；方法二，利用“1的代换”的方法，结合基

本不等式证得不等式成立.

【详解】

(1)由绝对值不等式性质得/(%)=U+3|一|%-2|S(x+3)-(x-2)|=5

(x+3)(x-2)>0

当且仅当《,+3]〉,_]即xN2时等号成立，所以m=5

(2)由(D得a+»+3c=5.

法1：由柯西不等式得

[(6)2+(同尸+(底尸

技xj|+3)2=(1+2+3)2=36

当且仅当。=%=c=?时等号成立，

6

即5、二>36,所以2+西.

Iabc7abc5

法2：由〃+2/?+3c=5得1一2b3c,

一+—=1,

55

123123a2b3c

—+—+-=—+—+——+—+—

abcabc(555

12b3c2a46c3a6b9

=—+—+—+—+—十——十-—4+—+-

55a5a5h55b5c5c5

142b2a3c3a6c6h、

=—++——十——

55b5b5c,

、14461236

>—+-+—+—=一,

55555

当且仅当a=b=c=-时』”成立.

6

【点睛】

本小题主要考查绝对值三角不等式，考查利用柯西不等式、基本不等式证明不等式，属于中档题.

20、⑴0,-I;(2)A>1.

【解析】

_r4-1

(D求导得到x+「2a/=。有两个不相等实根’令=计算函数单调区间得到值域'得到答案.

(2)x电是方程W=的两根，故人(x)</?(一2

lt»化简得到4111(尤1+1)-411]1一一一(1+/1)X1<0,

e\JI4

设函数，讨论范围，计算最值得到答案.

【详解】

(1)由题可知f\x)=(x+l)ex-2a*=0有两个不相等的实根,

X+1

即二。有两个不相等实根，令2〃=h=〃*)'

如,)e二'-(x不+l)e'厂-x丁会

XG(-QO,0),h'(x)>0；xG(0,-K»,),h\x)<0,

故人(外在(-8,0)上单增，在(0,+8)上单减，工力(初皿=〃(0)=1.

又〃()(时,(；

-1=0,XWYO,一。hx)<0XG(-l,+oo)Hf,h(x)>0,

・・・2〃e(0,l),即0,-L

<2/

r4-1

⑵由⑴知，不必是方程丁二2。的两根,

/.-1<A(<0<x2,则X+4/>00%2>一土>0

2

因为〃*)在(0,+8)单减，・・・力(/)〈力4，又〃(%)=%(%)，，"(王)<〃

AII

-±+1

即±±1<_—,两边取对数，并整理得:

*3

2In(%!+1)-2In1一(1+Z)玉<0对％w(T,0)恒成立,

设FCr)=/nna+l)-41n(l-5-(l+2)x,xe(-l,0),

41-।八(l+2)(x+l—4)x

r(x)=(l+X)=

X+1|_x_----------------(x-l)(A-x)

一冗

当4N1时,尸*)>0对］£(-1,0)恒成立,

，产(%)在(TO)上单增,故/(x)<F(O)=O恒成立，符合题意;

当见£(0,1)时，2-le(-l,0),