勾股定理及其应用课件2025-2026学年人教版数学八年级下册

§20.1.1勾股定理及其应用第二十章人教版八年级数学下册学习目标及重难点学习目标学习重难点1.了解勾股定理，探索勾股定理的证明过程，学会利用几何图形的截、割、补证明勾股定理；2.能叙述勾股定理，并能应用它进行简单的计算；学习重点：勾股定理的证明和简单应用.学习难点：将实际问题转化为数学问题.3.通过拼图活动，体会数形结合的思想方法，培养学生的动手实践和创新能力.课堂引入课本P23数学来源于生活，勾股定理的应用在生活中无处不在.课本P22阅读本章引言，回答以下问题

问题2：在古代，直角三角形中短直角边和长直角边分别叫什么？

斜边叫什么？

问题1：勾股定理是一个叫勾股的家伙发现的吗？ABCABC说一说直角三角形有哪些性质？①

有一个直角，∠C=90°.②

两个角互余，∠A+∠B=90°.abc对于直角三角形的三条边，它们之间有什么特殊关系呢？新课导入课堂导入课本P23在《周髀算经》的开篇，商高构造了一个勾、股、弦分别为三、四、五的直角三角形，并指出“两矩共长二十有五”，意指分别以勾、股为边的正方形的面积之和，恰好等于以弦为边的正方形的面积.商高所指的面积关系可以用图形表示.这个直角三角形的三边满足:两条直角边长的平方和等于斜长的平方.345916259＋16＝25其它直角三角形的三边是否也满足上述数量关系？商高(约公元前11世纪)A1面积B1面积C1面积A2面积B2面积C2面积A3面积B3面积C3面积A，B，C的面积关系探究新知课本P23B1A1C1B2A2C2B3A3C3如图，每个小方格的面积均为1，图中正方形A1，B1，C1的面积之间有什么关系?A2，B2，C2呢?A3，B3，C3呢?145491392534以直角三角形斜边为边的正方形的面积，等于某个正方形的面积减去4个直角三角形的面积.探究新知课本P23问题3：以格点为顶点，在方格纸中任意画一个直角三角形，类似地作出三个正方形，这三个正方形的面积有什么关系?由此，你能得出关于直角三角形三边关系的猜想吗?由此我们猜想：

abcABC如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c.那么a²＋b²＝c².ABCA面积B面积C面积A，B，C的面积关系81826课本P24赵爽证明的思路:caab利用SAS得全等三角形.cbacbacbacba边长分别为a和b的两个正方形分割成4个全等的直角三角形（红）和一个正方形（黄）.以c为边长的正方形.面积：a²＋b²面积：c²相等赵爽的证明思路——拼图法探究新知课本P25通过拼图法的证明，我们猜想成立.在西方，人们称勾股定理为毕达哥拉斯定理.

如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c.那么a²＋b²＝c².勾股定理abcABC符号语言：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∴a2＋b2＝c2a，b，c中，只要知道其中两个，就能求出第三个.例题讲解课本P25例1如图，根据所给条件分别求两个直角三角形中未知边的长.ABC861517EFD(1)(2)解：(1)∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∴AC2＋BC2＝AB2.∴82＋62＝AB2.∴AB＝10.(2)∵在Rt△DEF中，∠E＝90°，∴DE2＋EF2＝DF2.∴DE2＋152＝172.∴DE＝8.变式练习课本P25变式1设直角三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边长为c.(1)已知a＝6，c＝10，求b；(2)已知a＝5，b＝12，求c；(3)已知b＝15，c＝25，求a.解：(1)由勾股定理，得∴b＝8.(2)由勾股定理，得∴c＝13.(3)由勾股定理，得∴a＝.这节课有什么收获呢？勾股定理内容如果直角三角形的两条直角边长分别为

a，b，斜边长为

c，

那么

a2+b2=c2.证法变式多种：截、割、补a2=c2－b2

b2=c2－a2

BACbac课堂小结作业布置基础练习：课本P30第1题；能力提升：课本P26第2，3题；要求：要抄题且拿尺子画图探究利用拼图来验证猜想：1.准备4个全等的直角三角形（设直角三角形的两条直角边分别为a、b，斜边为c）.2.你能用这四个直角三角形拼成一个以斜边c为边长的正方形吗？拼一拼算算看！abc青朱出入图在勾股定理几何证明中别开生面，不著一字即可让人心领神会，故与赵爽勾股圆方图相映成趣，为中华先祖最早发现勾股定理在理论上作出了完美之诠释，所以这幅图曾被华罗庚提出要搭载宇宙飞船传递给外星人。勾股定理和人类文明

我国是最早了解勾股定理的国家之一.早在三千多年前，周朝数学家商高就提出，将一根直尺折成一个直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三，股四，弦五”，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．在我国勾股定理也叫作“商高定理”.拓展：弦图耀史课本P25赵爽通过对图形的分割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，这种方法是我国古代数学家常用的“出人相补法”.“赵爽弦图”体现了我国古人的聪明才智和对数学的钻研精神，是我国古代数学的骄傲.2002年在北京召开的国际数学家大会的会标，就是以此图为原型设计的.课本P24黄实朱实朱实朱实朱实ABCabc如图，这个图案是赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”.赵爽根据此图指出，四个全等的直角三角形(红色)可以围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形(黄色).赵爽弦图课本P25cba

探索：如图，根据“赵爽弦图”，你能通过计算弦图面积推导出勾股定理吗？证明：S大正方形＝c²，S小正方形＝(b－a)²，∵S大正方形＝S小正方形＋4S三角形，∴c²＝(b－a)²＋4×ab＝a²＋b².赵爽弦图怎样画呢？拓展提升课本P24赵爽中国(约182-250年