2025-2026学年下学期江苏重点高中高三数学3月九校联考试卷(含解析)_第1页
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文档简介

高三数学

本试卷满分150分,考试时间150分钟

注意事项:

1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在

答题卡上;写在本试卷上无效。

3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只

有一项是符合题目要求的。

1.若=2i+i2,则=

A.1�B.2C.5�D.3

2.设集合={2,1,},=1,2,若含有4个元素,则=

A.-1B.�0C−.1D�.2�−��∪��

16

3.的展开式中常数项为

2

5335

A.�−�B.C.D.

2222

4.已−知两条−直线,和平面,则下列命题为真命题的是

A.若//,//,�则�//B.�若//,//,则//

C.若���,�//,则��D.�若���,//�,则�

5.科学�研⊥究�中�经�常涉及�对⊥�粒子状态的�分⊥析�.�某假�想粒�子⊥有�状态1,状态2,状态3,,

每种状态下的粒子经过1秒有两种可能:状态保持不变或变为更高一级状态,已知

11⋯⋯

状态1的粒子有的概率变为状态2,状态2的粒子有的概率变为状态3,以此类推.

23

现有若干状态1的该粒子,则经过3秒处于状态1和状态2的粒子数目约占

A.39%B.51%C.64%D.73%

6.若直线=+1上存在点,圆2+2=2上存在点,使得=0,1,

则的最大值为

�����−����

A.0�B.2C.3D.4

7.记的内角,,的对边分别为,,,=60,=6sincos,cossin=

3

,则的面积为∘

6△����������������

A.1△���

333

B.C.D.33

22

8.已知正数,满足2+3=3+4,则

����

A.<<2��B.<<2C.2<<3D.2<<3

������������

二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的选项中,有多项

符合题目要求。全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。

9.下列说法正确的是

A.若随机变量1,2,则0=2

B.若事件,相�互∼独�立,�则��≤=�+�≥

C.若样本数�据�1,2,,的�方�差∪为�2,则�数�据2�1�+1,22+1,,2+1的方差为8

D.用相关指数�2刻�画⋯回�归�效果,2越接近1,�说明回�归模型⋯的拟��合效果越好

10.已知函数�=sin3cos,�=2sin2+,则

3

A.曲线=��与曲线�−=�存�在�相同的对称�中心

B.曲线�=��与曲线�=��存在相同的对称轴

C.曲线=2向左平移个单位得到曲线=

����3��

D.曲线�=�2�与曲线=关于轴对�称��

11.已知�四棱�锥��的体�积�为12,�四边形是平行四边形,为的

中点,经过直线的平面与侧棱,分别交于点,.设=,=

�−��𝐵��𝐵���

,则

����𝐵���������

�A�.�=时,//平面

1

B.�=�时,�=�1���

2

C.�四面体�的体积为3

D.四棱锥����的体积的最小值为4

�−����

三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。

12.已知向量=1,2,+=3,,且,则=_____.

13.已知抛物线�:2−=2��>0的�焦点为�,⊥直�线�2+4=0与有唯一的

公共点,则=_____.

�������−��

14.已知�函数��=22,对任意0,,都有,则的取值范围

2

为_____.

���−�∈���≤��

四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步

骤。

15.(13分)

如图,已知是圆锥的轴截面,=3,=2.

(1)求圆锥△的��外�接球的表�面�积;����

(2)若为弧𝑃的中点,求二面角的正切值.

����−��−�

16.(15分)

1

已知数列各项均不为零,=1,=,=.

123+1+1+2

(1)当=1�时�,求的前50项�和;��������−����

(2)若�>+1,求�正整数的最小值.

17.(15��分)���

某次考试的多项选择题,每题4个选项中正确选项有2个或3个,得分规则如下:若正

确选项有2个,只选1个且为正确选项得3分,选2个且都为正确选项得6分,否则得

0分;若正确选项有3个,只选1个且为正确选项得2分,选2个且都为正确选项得4

分,选3个且都为正确选项得6分,否则得0分.学生甲对其中的一道多项选择题完全

不会,该题恰有2个正确选项的概率为0<<1,记为甲随机选择1个选项的

得分,为甲随机选择2个选项的得分.

���

2

(1)若=,求2;

3

(2)求�的概率分�布�列≥和数学期望;

1

(3)证明�:当且仅当0<<时,<.

2

18.(17分)�����

227

已知双曲线:=1,>0的离心率为,4,3是上一点.直线的斜率

222

��

为-1,且与交于,两点.

��−������

(1)求的方�程;��

(2)若�=36,求的方程;

(3)证明��:⋅��的外接圆�的圆心在定直线上.

19.(17分△)����

已知函数e

=�.

−�

(1)对任意�0<�<�,是的必要条件,求的最小值;

(2)对任意>�0,�函�数�≥�=���存≥在�两�个零点1,2.�

(i)求的取�值范围;����−���

(ii)对�于(i)中给定的,证明:当12取得最小值时,=.

��−���

一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,

只有一项是符合题目要求的。

1.若=2i+i2,则=

A.1�B.2C.5�D.3

【答案】C

因为=2i+i2=1+2i,所以=12+22=5.故选C.

2.设集�合={−2,1,},=�1,2,−若含有4个元素,则=

A.-1B.�0C−.1D�.2�−��∪��

【答案】B

由题意,1且2,当=1时,={2,1,1}含有3个元素,不符合;

当=2时,={2,1,1,2,4}含有5个元素,不符合.故选B.

�≠�≠−�−�∪�−−

��∪�−−

16

3.的展开式中常数项为

2

5335

A.�−�B.C.D.

2222

【答−案】A−

161613205

的展开式中常数项为=C3==.故选C.

226282

�−��−�−−−

4.已知两条直线,和平面,则下列命题为真命题的是

A.若//,//,�则�//�

B.若�//�,�//�,则�//�

C.若���,�//,则��

D.若�⊥�,�//�,则�⊥�

【答案�】⊥C����⊥�

对于A,或//,故A错误;

对于B,�,⊂�的关�系不�确定,故B错误;

对于D,�可�绕任意旋转,故与关系不确定,故D错误.故选C.

5.科学研�究中经�常涉及对粒子状�态的�分析.某假想粒子有状态1,状态2,状态

3,……,每种状态

的粒子经过1秒有两种可能:状态保持不变或变为更高一级状态,已知状态1的粒子

11

有概率变为状态2,状态2的粒子有概率变为状态3,以此类推.现有若干状态

23

1的该粒子,则经过3秒处于状态1和状态2的粒子数目约占

A.39%B.51%C.64%D.73%

【答案】C

由题意,经过3秒处于状态1和状态2的粒子数目约占

1111212223

++=0.64.故选C.

2222323336

6.×若直线××=+1×上存×在点≈,圆2+2=2上存在点,使得=0,1,

则的最大值为

�����−����

A.0�B.2C.3D.4

【答案】D

不妨设,,因为=0,1,所以=,+2,故在直线=+2上运动,故

直线=+2与圆2+2=2有交点,

�����������

+2

所以�=�2�,解得�0−�4,故的最大值为4.故选D.

2

−�

7.记�的内≤角,,的≤对�边≤分别为�,,,=60,=6sincos,cossin=

3

,则的面积为∘

6△����������������

A.1△���

333

B.C.D.33

22

【答案】B

因为sincos=,

6

��

��33

所以sincos+cossin=sin+=sin=sin=+=,所以=

662

��

23,

�������−����

1133

故的面积为=sin=23=.故选C.

2222

8.已△知��正�数,满足�△2��+�3=�3�+�4,则××

����

A.<<2��B.<<2

C.2�<�<3�D.�2�<<�3

【答�案】�A����

解法一因为,为正数,所以2,3,3,2>1,

����

故由2+3=�3�+22得3+2<2+3=3+22<32+22,

������������

令=2+3,易见单调递增,则<<2,所以<<2.故选

A.��

�������������

解法二因为,为正数,所以2,3,3,2>1,

����

令=2+�3�34,易见单调递增,

����

��=2+33−2−2=21�2�<0, 2=22+32322=331

��>0,����������

��−−−��−−−

所以在,2上有零点.故选A.

二、选�择�题:本�题共�3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的选项中,有多项

符合题目要求。全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。

9.下列说法正确的是

A.若随机变量1,2,则0=2

B.若事件,相�互∼独�立,�则��≤=�+�≥

C.若样本数�据�1,2,,的�方�差∪为�2,则�数�据2�1�+1,22+1,,2+1的方差为8

D.用相关指数�2刻�画…回�归�效果,2越接近1,�说明回�归模型…的�拟�合效果越好

【答案】ACD��

对于A,由正态分布的对称性,A正确;

对于B,由题意=+=+,

又�0,�故∪�B错误�;���−�������−����

对于�C�,�若�样本≥数据1,2,,的方差为,则数据1+,2+,,+的方

差为2;对于,由相关指数(决定系数)的概念,故正确.故选ACD.

��…���������…����

10.已�知�函数�=sin3cos,=2sin2+�,则

3

A.曲线=��与曲线�−=�存�在�相同的对称�中心

B.曲线�=��与曲线�=��存在相同的对称轴

C.曲线=2向左平移个单位得到曲线=

����3��

D.曲线�=�2�与曲线=关于轴对�称��

【答案】�AC������

因为=sin3cos=2sin,

3

对于��,令�−=,�得对称中�心−+,0,,同理,对称轴为=+

33

5��

,.

6���−�����∈����

对于�∈�,令2+=,得对称中心,0,,同理,对称轴为=+

3262

������

,.

12

������−�∈��

故有�相∈同�的零点,0,所以A正确,B错误;

3

对于C,2=2sin2向左平移个单位得到

33

��

=2sin�2�+=�2−sin2+,故C正确;

333

���

��−�

对于D,2=2sin2与=显然不关于轴对称(可由特殊值判断).故

3

选AC.

���−����

11.已知四棱锥的体积为12,四边形是平行四边形,为的

中点,经过直线的平面与侧棱,分别交于点,,设=,=

�−��𝐵��𝐵���

,则

����𝐵���������

�A�.�=时,//平面

1

B.�=�时,�=�1���

2

C.�四面体�的体积为3

D.四棱锥����的体积的最小值为4

【答案】B�C−D����

因为+=+,所以=+,

11

因为��=��,��=��,�=�2��,所以��−=��+2,

11��111

因为�,�,�,��四�点�共�面�,�故��=��+��2��,所��以−+��2=1,即+

1

=3�.�����������−����−�

�2

对于A,当=时,得==,若//平面,由平面,

3

平面�平面��=�,所以��//�,故��为��的⊂中点���

2

显然不��满�足∩=����,故A��错误;�������

3

111

对于B,代入��=到��+=3中,得=1;

2

�1�111

对于C,因为�==�==12=3,故C正确;

2244

�−����−����−���1�−��𝐵1

对于D,因为�=�+�=�+×

22

11�−����1�−����−����−�𝐵�−���

=+�=�+�=3��+,��

224

�−����−�𝐵11�−��𝐵2

因为��3+=��++�=�2+�+2(当�且仅�当==时取等号),

3

��

故D正�确.�故选B�CD�.����≥��

三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。

12.已知向量=1,2,+=3,,且,则=_____.

�−����⊥��

【答案】-1

因为+=3,,=1,2,所以=+=2,+2,

因为��,所以��=2−2+2=�2��2−=�0,故�=1.故填-1.

13.已�知⊥抛�物线:�⋅2�=2−>�0的焦−点为�−,直线�2−+4=0与有唯一的

公共点,则=_____.

�������−��

【答案】�5��

2=2

联立,得24+8=0,

2+4=0

���

2�−���

所以�=−�448=162=0,故=2,

此时Δ2−16�+1−6=×�42=�0�,所−以4,4,�所以=4+1=5.故填5.

14.已�知−函数�=�−22,对任意�0,,都��有,则的取值

范围为_____.

����−�∈���≤��

32

【答案】,3

27

解法一由题意=22,因为>0,所以221,故1

3.

����−≤���−≤≤�≤

又′=22+22=232,

22

故��在�0−,和2,�+�−上单调�递−增,在�−,2上单调递减,

33

��22223∞2

又=2=,而1=1,3=3.

33327

323232

若1�<×时,−此时0�,,故�不恒成立,不满足题意;若

272727

32

2,此时0,,故恒成立,符合;

≤��27�∈��≤�≤

32

若�≤2<3�,�此∈时0�,�或≤�0,,必满足恒成立,

27

3232

符合;综上所述:实数的取值范围是,3.故填,3.

�≤��∈��27∈��27��≤�

解法二由题意=�22,因为>0,所以221,故1

3.

����−≤���−≤≤�≤

又′=22+22=232,

22

故��在�0−,和2,�+�−上单调�递−增,在�−,2上单调递减,

33

��∞

222232

又=2=,而1=1,3=3.

33327

32

此时�10,×,故−.��

27

3232

若∈�2,此时�≥0,,故恒成立,符合;

2727

32

若2<≤�≤3,此时��∈0,或��≤�0,,必满足恒成立,

27

3232

符合;综上所述:实数的取值范围是,3.故填,3.

�≤��∈��27∈��27��≤�

四、解答题:本题共5小�题,共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步

骤。

15.(13分)

如图,已知是圆锥的轴截面,=3,=2.

(1)求圆锥△�的��外接球的表𝑃面积;����

(2)若为弧𝑃的中点,求二面角的正切值.

����−��−�

【解】(1)方法一圆锥外接球半径即为

的外接圆半径,记为.△���

在中,由余弦�定理得

△���2+229+947

cos===,

22339

����−��−

42∠���

所以sin=,2分��⋅��××

9

∠���2992

故2===,

sin424

��×

81

所以�外接球∠���的表面积为42=..5分

18

方法二设�1=,��

��ℎ

22

因为=31=22,所以1=22,

2

因为𝑃1=−+1,且1=1�,�2分−ℎ

72

所以2��2ℎ=2+1�,解�得�=�,

8

−ℎℎ92ℎ

故=22=,

8

81

所以�外接球−ℎ的表面积为42=.5分

18

(2)方法一因�为是弧的中��点,

所以.���

因为��⊥平��面,且,平面,

所以𝑃⊥,���,����⊂���

所以𝑃,⊥�,�𝑃两⊥两�垂�直.7分

建立如��图�所�示�的�空间直角坐标系,

则1,0,0,0,0,22,0,1,0�,−���

所以�=1�,1,0,=�0,1,2−2,

设平面��的法向�量�为=,,,

�������

=+=0,

=+22=0,

�⋅����

取�=⋅�2�2,�22,1�,9分

因为�平面−的一个法向量为=1,0,0,

22

所以cos�,��==.1�1�分

17

�⋅��

�⋅��

设二面角⟨���⟩为,

由图可知�为−�锐�角−,��

223

所以cos�=,sin=,

1717

�32�32

所以tan=,即二面角的正切值为.13分

44

方法二在�平面内过�作−��−�,垂足为,连接,

因为,���,�𝐶⊥=��,���

且�,�⊥��平�面�⊥��,��∩���

����⊂���

所以平面,7分

因为��⊥平面���,

所以��⊂.���

因为��⊥��,=,

且�,�⊥𝐶平�面�∩��,�

所以𝐶��⊂平面𝐶�,

所以��⊥,𝐶�

所以��⊥�为�二面角的平面角.11分

22

因为∠𝐶=�1,=�,−��−�

3

����3232

所以tan==,即二面角的正切值为..13分

44

��

16.(15分∠)𝐶����−��−�

1

已知数列各项均不为零,=1,=,=.

123+1+1+2

(1)当=1�时�,求的前50�项和;��������−����

(2)若�>+1,求�正整数的最小值.

��

【解】�(1)当�=1时,+1�=+1+2,

111

故=�+1=����,.2分��−����

+2��−��+1+1

��1����1�1��1�111

所以==−=,

+3+2+1+1+1

����−����−��−��−��

即+3=,故+6=+3=,

所以��数列−��是周��期为−6�的�数列�,�4分

又+5+�+4++3++2++1+=0,.5分

故��的�前�50�项�和为�:�����

4

+��++=+=..7分

1250123

+1

(�2)方�法一⋯由题�意�0�,故+2=,.9分

����+1

1�����−��

因为=1,=�,≠>,�

12323

����

114

所以=<,即>,11分

33133

故正整�数�满−足2�.

1121

当2时�,=�≥+1=,

+2���−�+�1�+1+1

1�1�1����1��������

所以�≥,−≥−

+2+1+1

��1��1��1�1�11

从而−≥−=2,13分

+2+1+121

1��−1��≥��−��≥⋯≥�−�

即>0,得+2<+1,所以>+1,

+2+1

����

故最��小−正�整�数的值�为2.1�5分��

方法二由(1)知�,=1时,6=1,故=1不合;.9分

当=2时,因为�0,在��+1=2�+1+2两边同除以+1+2得,

121211

�=,即��≠=+����,��−����������

+2+1+1+2

���1�−��������

所以是等差数列,11分

��11

因为=1,=,所以的公差为2,

123

1��1

所以�=2�1,即=,13分

21

��11��−

所以=�−>�=,

212+1+1

故最小��正整�数−的�值为�2�.15分

17.(15分)�

某次考试的多项选择题,每题4个选项中正确选项有2个或3个,得分规则如下:

若正确选项有2个,只选1个且为正确选项得3分,选2个且都为正确选项得6分,

否则得0分;若正确选项有3个,只选1个且为正确选项得2分,选2个且都为正确

选项得4分,选3个且都为正确选项得6分,否则得0分.学生甲对其中的一道多项

选择题完全不会,该题恰有2个正确选项的概率为0<<1,记为甲随机选择

1个选项的得分,为甲随机选择2个选项的得分.

���

2

(1)若=,求�2;

3

(2)求�的概率分�布�列≥和数学期望;

1

(3)证�明:当且仅当0<<时,<.

2

�����

【解】(1)记事件为“该题恰有2个正确选项”,事件为“该题恰有3个正确

选项”,

��

21

事件为“甲随机选择1个选项为正确选项”,则=,=,1分

33

所以�2==+�.�3分��

21117

=�2�+≥3=��..5分��⋅��∣���⋅��∣�

313112

�4�4

(2)随×机�变量×�的所有可能取值为0,2,3,

�C1C11+C133

=0=2+11=, =2=13=,

C1C14C14

44�4−�

���×−�×��−�×

C1

=3=2=,

C12

4�

���×

8分

所以随机变量的概率分布列如下:

02�3

1+33

442

��−��

333

所以=2+3=.10分

422

−��

(3)证明�:�随机变×量的所×有可能取值为0,4,6,

�C1C1+C2C1C15332+3

=0=222+113=+=,

C2C2666

44�−��

���×−�×

C21C2

=4=13=,=6=2=,

C22C26

4−�4�

�1�−�×���×

所以=4+6=2,13分

26

−��

31

所以��<×当且仅×当2−�>,当且仅当0<<.得证.15分

22

18.(1�7分�)��−��

227

已知双曲线:=1,>0的离心率为,4,3是上一点.直线的斜率

222

��

为-1,且与交于,两点.

��−������

(1)求的方�程;��

(2)若=36,求的方程;

(3)证�明�:⋅��的外接圆�的圆心在定直线上.

7

【解】(1)△记��2�=2+2,则=�,1分

2

��22

设=7,=2�,>�0则2=32,的方程为:=2,

43

��

因为�点�4,�3在�C上�,所以2�=1,�.2分�−�

即2=�4,2=3,�

22

所以�双曲线�的方程为=1..4分

43

��

(2)不妨设直线�的方程为−=+,1,1,2,2,

=+

所以�,故2�−8�+4��2+�12�=0�,��

3242=12

�−��

22�−��2�

所以=�−8�44+12=481>0,即<1,或>1,

2

1+Δ2=8−,�12−=4�+12,6分�−�−�

��=��1�4,1�324,23=1424+1+3

2

=2+11+2+16+3

+3 12 =242+12+

��⋅2���−=2�42−+16⋅+�16−+�−32�−�−−��−⋅

��−�−���−

1−8�+�1−6+32 =214+49.8分�−�−

��−

所以�214+�4−9=36,解�得−=�1(舍),或=13,

故所求�直−线�的方程为+�13=0.10�分

+34+444

(3)方法一由题�意的中�垂�线−为:1=11,=1+1

23233

��1−��1−�1−

242

+4+3416+3419+3477

1+1=1��+1+1 �=−1−+�3−�+−1=1�−+�−�+�,−×

22323232323612

���1−�−1��1−�1−��1−

�−�−477�−�−�−

同理的−中垂线�=2+−+,12�分−��

3622

�2−

47�7−

��=1+�−+,��

3612447

�121

联立−,消得=21,

247723136

�=−�−�+�2+,�−�−

2362

�−��−−�−��−�

2�4−�−1�4�7

得=+,

+3+3621

�2−�1−

−��−7−−2�1�−�7−��

即=,

3++32621

12−��1−�2

��−�−���−��−�

因为21,所以

2

�≠�71231+2+3

=

67

��−�−���

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