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文档简介
高三数学
本试卷满分150分,考试时间150分钟
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在
答题卡上;写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只
有一项是符合题目要求的。
1.若=2i+i2,则=
A.1�B.2C.5�D.3
2.设集合={2,1,},=1,2,若含有4个元素,则=
A.-1B.�0C−.1D�.2�−��∪��
16
3.的展开式中常数项为
2
5335
A.�−�B.C.D.
2222
4.已−知两条−直线,和平面,则下列命题为真命题的是
A.若//,//,�则�//B.�若//,//,则//
C.若���,�//,则��D.�若���,//�,则�
5.科学�研⊥究�中�经�常涉及�对⊥�粒子状态的�分⊥析�.�某假�想粒�子⊥有�状态1,状态2,状态3,,
每种状态下的粒子经过1秒有两种可能:状态保持不变或变为更高一级状态,已知
11⋯⋯
状态1的粒子有的概率变为状态2,状态2的粒子有的概率变为状态3,以此类推.
23
现有若干状态1的该粒子,则经过3秒处于状态1和状态2的粒子数目约占
A.39%B.51%C.64%D.73%
6.若直线=+1上存在点,圆2+2=2上存在点,使得=0,1,
则的最大值为
�����−��� �
A.0�B.2C.3D.4
7.记的内角,,的对边分别为,,,=60,=6sincos,cossin=
3
,则的面积为∘
6△����������������
A.1△���
333
B.C.D.33
22
8.已知正数,满足2+3=3+4,则
����
A.<<2��B.<<2C.2<<3D.2<<3
������������
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的选项中,有多项
符合题目要求。全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。
9.下列说法正确的是
A.若随机变量1,2,则0=2
B.若事件,相�互∼独�立,�则��≤=�+�≥
C.若样本数�据�1,2,,的�方�差∪为�2,则�数�据2�1�+1,22+1,,2+1的方差为8
D.用相关指数�2刻�画⋯回�归�效果,2越接近1,�说明回�归模型⋯的拟��合效果越好
10.已知函数�=sin3cos,�=2sin2+,则
3
�
A.曲线=��与曲线�−=�存�在�相同的对称�中心
B.曲线�=��与曲线�=��存在相同的对称轴
C.曲线=2向左平移个单位得到曲线=
����3��
�
D.曲线�=�2�与曲线=关于轴对�称��
11.已知�四棱�锥��的体�积�为12,�四边形是平行四边形,为的
中点,经过直线的平面与侧棱,分别交于点,.设=,=
�−��𝐵��𝐵���
,则
����𝐵��� � �� � � �
�A� . � =时,//平面
1
B.�=�时,�=�1���
2
C.�四面体�的体积为3
D.四棱锥����的体积的最小值为4
�−����
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。
12.已知向量=1,2,+=3,,且,则=_____.
13.已知抛物线�:2−=2��>0的�焦点为�,⊥直�线�2+4=0与有唯一的
公共点,则=_____.
�������−��
14.已知�函数��=22,对任意0,,都有,则的取值范围
2
�
为_____.
���−�∈���≤��
四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步
骤。
15.(13分)
如图,已知是圆锥的轴截面,=3,=2.
(1)求圆锥△的��外�接球的表�面�积;����
(2)若为弧𝑃的中点,求二面角的正切值.
����−��−�
16.(15分)
1
已知数列各项均不为零,=1,=,=.
123+1+1+2
(1)当=1�时�,求的前50项�和;��������−����
�
(2)若�>+1,求�正整数的最小值.
17.(15��分)���
某次考试的多项选择题,每题4个选项中正确选项有2个或3个,得分规则如下:若正
确选项有2个,只选1个且为正确选项得3分,选2个且都为正确选项得6分,否则得
0分;若正确选项有3个,只选1个且为正确选项得2分,选2个且都为正确选项得4
分,选3个且都为正确选项得6分,否则得0分.学生甲对其中的一道多项选择题完全
不会,该题恰有2个正确选项的概率为0<<1,记为甲随机选择1个选项的
得分,为甲随机选择2个选项的得分.
���
�
2
(1)若=,求2;
3
(2)求�的概率分�布�列≥和数学期望;
1
(3)证明�:当且仅当0<<时,<.
2
18.(17分)�����
227
已知双曲线:=1,>0的离心率为,4,3是上一点.直线的斜率
222
��
为-1,且与交于,两点.
��−������
(1)求的方�程;��
(2)若�=36,求的方程;
(3)证明� � : ⋅� � 的外接圆�的圆心在定直线上.
19.(17分△)����
已知函数e
=�.
−�
(1)对任意�0<�<�,是的必要条件,求的最小值;
(2)对任意>�0,�函�数�≥�=���存≥在�两�个零点1,2.�
(i)求的取�值范围;����−���
(ii)对�于(i)中给定的,证明:当12取得最小值时,=.
��−���
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,
只有一项是符合题目要求的。
1.若=2i+i2,则=
A.1�B.2C.5�D.3
【答案】C
因为=2i+i2=1+2i,所以=12+22=5.故选C.
2.设集�合={−2,1,},=�1,2,−若含有4个元素,则=
A.-1B.�0C−.1D�.2�−��∪��
【答案】B
由题意,1且2,当=1时,={2,1,1}含有3个元素,不符合;
当=2时,={2,1,1,2,4}含有5个元素,不符合.故选B.
�≠�≠−�−�∪�−−
��∪�−−
16
3.的展开式中常数项为
2
5335
A.�−�B.C.D.
2222
【答−案】A−
161613205
的展开式中常数项为=C3==.故选C.
226282
�−��−�−−−
4.已知两条直线,和平面,则下列命题为真命题的是
A.若//,//,�则�//�
B.若�//�,�//�,则�//�
C.若���,�//,则��
D.若�⊥�,�//�,则�⊥�
【答案�】⊥C����⊥�
对于A,或//,故A错误;
对于B,�,⊂�的关�系不�确定,故B错误;
对于D,�可�绕任意旋转,故与关系不确定,故D错误.故选C.
5.科学研�究中经�常涉及对粒子状�态的�分析.某假想粒子有状态1,状态2,状态
3,……,每种状态
的粒子经过1秒有两种可能:状态保持不变或变为更高一级状态,已知状态1的粒子
11
有概率变为状态2,状态2的粒子有概率变为状态3,以此类推.现有若干状态
23
1的该粒子,则经过3秒处于状态1和状态2的粒子数目约占
A.39%B.51%C.64%D.73%
【答案】C
由题意,经过3秒处于状态1和状态2的粒子数目约占
1111212223
++=0.64.故选C.
2222323336
6.×若直线××=+1×上存×在点≈,圆2+2=2上存在点,使得=0,1,
则的最大值为
�����−��� �
A.0�B.2C.3D.4
【答案】D
不妨设,,因为=0,1,所以=,+2,故在直线=+2上运动,故
直线=+2与圆2+2=2有交点,
���� � ������
+2
所以�=�2�,解得�0−�4,故的最大值为4.故选D.
2
−�
7.记�的内≤角,,的≤对�边≤分别为�,,,=60,=6sincos,cossin=
3
,则的面积为∘
6△����������������
A.1△���
333
B.C.D.33
22
【答案】B
因为sincos=,
6
��
��33
所以sincos+cossin=sin+=sin=sin=+=,所以=
662
��
23,
�������−����
1133
故的面积为=sin=23=.故选C.
2222
8.已△知��正�数,满足�△2��+�3=�3�+�4,则××
����
A.<<2��B.<<2
C.2�<�<3�D.�2�<<�3
【答�案】�A����
解法一因为,为正数,所以2,3,3,2>1,
����
故由2+3=�3�+22得3+2<2+3=3+22<32+22,
������������
令=2+3,易见单调递增,则<<2,所以<<2.故选
A.��
�������������
解法二因为,为正数,所以2,3,3,2>1,
����
令=2+�3�34,易见单调递增,
����
��=2+33−2−2=21�2�<0, 2=22+32322=331
��>0,����������
��−−−��−−−
所以在,2上有零点.故选A.
二、选�择�题:本�题共�3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的选项中,有多项
符合题目要求。全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。
9.下列说法正确的是
A.若随机变量1,2,则0=2
B.若事件,相�互∼独�立,�则��≤=�+�≥
C.若样本数�据�1,2,,的�方�差∪为�2,则�数�据2�1�+1,22+1,,2+1的方差为8
D.用相关指数�2刻�画…回�归�效果,2越接近1,�说明回�归模型…的�拟�合效果越好
【答案】ACD��
对于A,由正态分布的对称性,A正确;
对于B,由题意=+=+,
又�0,�故∪�B错误�;���−�������−����
对于�C�,�若�样本≥数据1,2,,的方差为,则数据1+,2+,,+的方
差为2;对于,由相关指数(决定系数)的概念,故正确.故选ACD.
��…���������…����
10.已�知�函数�=sin3cos,=2sin2+�,则
3
�
A.曲线=��与曲线�−=�存�在�相同的对称�中心
B.曲线�=��与曲线�=��存在相同的对称轴
C.曲线=2向左平移个单位得到曲线=
����3��
�
D.曲线�=�2�与曲线=关于轴对�称��
【答案】�AC������
因为=sin3cos=2sin,
3
�
对于��,令�−=,�得对称中�心−+,0,,同理,对称轴为=+
33
5��
,.
6���−�����∈����
�
对于�∈�,令2+=,得对称中心,0,,同理,对称轴为=+
3262
������
,.
12
������−�∈��
故有�相∈同�的零点,0,所以A正确,B错误;
3
�
对于C,2=2sin2向左平移个单位得到
33
��
=2sin�2�+=�2−sin2+,故C正确;
333
���
��−�
对于D,2=2sin2与=显然不关于轴对称(可由特殊值判断).故
3
�
选AC.
���−����
11.已知四棱锥的体积为12,四边形是平行四边形,为的
中点,经过直线的平面与侧棱,分别交于点,,设=,=
�−��𝐵��𝐵���
,则
����𝐵��� � �� � � �
�A� . � =时,//平面
1
B.�=�时,�=�1���
2
C.�四面体�的体积为3
D.四棱锥����的体积的最小值为4
【答案】B�C−D����
因为+=+,所以=+,
11
因为� � =� � ,� � =� � ,� = � 2� �, 所以� � −=� � +2,
1 1 � � 1 1 1
因为�,�,�,��四�点�共�面�,�故��=��+��2��,所��以−+��2=1,即+
1
=3�.���� � �� � �� � −� � ��−�
�2
对于A,当=时,得==,若//平面,由平面,
3
平面�平面��=�,所以��//�,故��为��的⊂中点���
2
显然不��满�足∩=����,故A��错误;�������
3
1 1 1
对于B,代入��=到��+=3中,得=1;
2
�1�111
对于C,因为�==�==12=3,故C正确;
2244
�−����−����−���1�−��𝐵1
对于D,因为�=�+�=�+×
22
11�−����1�−����−����−�𝐵�−���
=+�=�+�=3��+,��
224
�−����−�𝐵11�−��𝐵2
因为��3+=��++�=�2+�+2(当�且仅�当==时取等号),
3
��
故D正�确.�故选B�CD�.����≥��
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。
12.已知向量=1,2,+=3,,且,则=_____.
�−����⊥��
【答案】-1
因为+=3,,=1,2,所以=+=2,+2,
因为��,所以��=2−2+2=�2��2−=�0,故�=1.故填-1.
13.已�知⊥抛�物线:�⋅2�=2−>�0的焦−点为�−,直线�2−+4=0与有唯一的
公共点,则=_____.
�������−��
【答案】�5��
2=2
联立,得24+8=0,
2+4=0
���
2�−���
所以�=−�448=162=0,故=2,
此时Δ2−16�+1−6=×�42=�0�,所−以4,4,�所以=4+1=5.故填5.
14.已�知−函数�=�−22,对任意�0,,都��有,则的取值
范围为_____.
����−�∈���≤��
32
【答案】,3
27
解法一由题意=22,因为>0,所以221,故1
3.
����−≤���−≤≤�≤
又′=22+22=232,
22
故��在�0−,和2,�+�−上单调�递−增,在�−,2上单调递减,
33
��22223∞2
又=2=,而1=1,3=3.
33327
323232
若1�<×时,−此时0�,,故�不恒成立,不满足题意;若
272727
32
2,此时0,,故恒成立,符合;
≤��27�∈��≤�≤
32
若�≤2<3�,�此∈时0�,�或≤�0,,必满足恒成立,
27
3232
符合;综上所述:实数的取值范围是,3.故填,3.
�≤��∈��27∈��27��≤�
解法二由题意=�22,因为>0,所以221,故1
3.
����−≤���−≤≤�≤
又′=22+22=232,
22
故��在�0−,和2,�+�−上单调�递−增,在�−,2上单调递减,
33
��∞
222232
又=2=,而1=1,3=3.
33327
32
此时�10,×,故−.��
27
3232
若∈�2,此时�≥0,,故恒成立,符合;
2727
32
若2<≤�≤3,此时��∈0,或��≤�0,,必满足恒成立,
27
3232
符合;综上所述:实数的取值范围是,3.故填,3.
�≤��∈��27∈��27��≤�
四、解答题:本题共5小�题,共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步
骤。
15.(13分)
如图,已知是圆锥的轴截面,=3,=2.
(1)求圆锥△�的��外接球的表𝑃面积;����
(2)若为弧𝑃的中点,求二面角的正切值.
����−��−�
【解】(1)方法一圆锥外接球半径即为
的外接圆半径,记为.△���
在中,由余弦�定理得
△���2+229+947
cos===,
22339
����−��−
42∠���
所以sin=,2分��⋅��××
9
∠���2992
故2===,
sin424
��×
81
所以�外接球∠���的表面积为42=..5分
18
�
方法二设�1=,��
��ℎ
22
因为=31=22,所以1=22,
2
因为𝑃1=−+1,且1=1�,�2分−ℎ
72
所以2��2ℎ=2+1�,解�得�=�,
8
−ℎℎ92ℎ
故=22=,
8
81
所以�外接球−ℎ的表面积为42=.5分
18
�
(2)方法一因�为是弧的中��点,
所以.���
因为��⊥平��面,且,平面,
所以𝑃⊥,���,����⊂���
所以𝑃,⊥�,�𝑃两⊥两�垂�直.7分
建立如��图�所�示�的�空间直角坐标系,
则1,0,0,0,0,22,0,1,0�,−���
所以�=1�,1,0,=�0,1,2−2,
设平面� � 的法向� 量 � 为=,,,
�������
=+=0,
则
=+22=0,
�⋅� � ��
取�=⋅� 2 � 2,�22,1�,9分
因为�平面−的一个法向量为=1,0,0,
22
所以cos�,��==.1�1�分
17
�⋅� �
�⋅� �
设二面角⟨���⟩为,
由图可知�为−�锐�角−,��
223
所以cos�=,sin=,
1717
�32�32
所以tan=,即二面角的正切值为.13分
44
方法二在�平面内过�作−��−�,垂足为,连接,
因为,���,�𝐶⊥=��,���
且�,�⊥��平�面�⊥��,��∩���
����⊂���
所以平面,7分
因为��⊥平面���,
所以��⊂.���
因为��⊥��,=,
且�,�⊥𝐶平�面�∩��,�
所以𝐶��⊂平面𝐶�,
所以��⊥,𝐶�
所以��⊥�为�二面角的平面角.11分
22
因为∠𝐶=�1,=�,−��−�
3
����3232
所以tan==,即二面角的正切值为..13分
44
��
16.(15分∠)𝐶����−��−�
1
已知数列各项均不为零,=1,=,=.
123+1+1+2
(1)当=1�时�,求的前50�项和;��������−����
�
(2)若�>+1,求�正整数的最小值.
��
【解】�(1)当�=1时,+1�=+1+2,
111
故=�+1=����,.2分��−����
+2��−��+1+1
��1����1�1��1�111
所以==−=,
+3+2+1+1+1
����−����−��−��−��
即+3=,故+6=+3=,
所以��数列−��是周��期为−6�的�数列�,�4分
�
又+5+�+4++3++2++1+=0,.5分
故��的�前�50�项�和为�:�����
4
+��++=+=..7分
1250123
+1
(�2)方�法一⋯由题�意�0�,故+2=,.9分
����+1
1�����−��
因为=1,=�,≠>,�
12323
����
114
所以=<,即>,11分
33133
故正整�数�满−足2�.
1121
当2时�,=�≥+1=,
+2���−�+�1�+1+1
1�1�1����1��������
所以�≥,−≥−
+2+1+1
��1��1��1�1�11
从而−≥−=2,13分
+2+1+121
1��−1��≥��−��≥⋯≥�−�
即>0,得+2<+1,所以>+1,
+2+1
����
故最��小−正�整�数的值�为2.1�5分��
方法二由(1)知�,=1时,6=1,故=1不合;.9分
当=2时,因为�0,在��+1=2�+1+2两边同除以+1+2得,
121211
�=,即��≠=+����,��−����������
+2+1+1+2
���1�−��������
所以是等差数列,11分
��11
因为=1,=,所以的公差为2,
123
1��1
所以�=2�1,即=,13分
21
��11��−
所以=�−>�=,
212+1+1
故最小��正整�数−的�值为�2�.15分
17.(15分)�
某次考试的多项选择题,每题4个选项中正确选项有2个或3个,得分规则如下:
若正确选项有2个,只选1个且为正确选项得3分,选2个且都为正确选项得6分,
否则得0分;若正确选项有3个,只选1个且为正确选项得2分,选2个且都为正确
选项得4分,选3个且都为正确选项得6分,否则得0分.学生甲对其中的一道多项
选择题完全不会,该题恰有2个正确选项的概率为0<<1,记为甲随机选择
1个选项的得分,为甲随机选择2个选项的得分.
���
2
(1)若=,求�2;
3
(2)求�的概率分�布�列≥和数学期望;
1
(3)证�明:当且仅当0<<时,<.
2
�����
【解】(1)记事件为“该题恰有2个正确选项”,事件为“该题恰有3个正确
选项”,
��
21
事件为“甲随机选择1个选项为正确选项”,则=,=,1分
33
所以�2==+�.�3分��
21117
=�2�+≥3=��..5分��⋅��∣���⋅��∣�
313112
�4�4
(2)随×机�变量×�的所有可能取值为0,2,3,
�C1C11+C133
=0=2+11=, =2=13=,
C1C14C14
44�4−�
���×−�×��−�×
C1
=3=2=,
C12
4�
���×
8分
所以随机变量的概率分布列如下:
02�3
1+33
�
442
��−��
333
所以=2+3=.10分
422
−��
(3)证明�:�随机变×量的所×有可能取值为0,4,6,
�C1C1+C2C1C15332+3
=0=222+113=+=,
C2C2666
44�−��
���×−�×
C21C2
=4=13=,=6=2=,
C22C26
4−�4�
�1�−�×���×
所以=4+6=2,13分
26
−��
31
所以��<×当且仅×当2−�>,当且仅当0<<.得证.15分
22
18.(1�7分�)��−��
227
已知双曲线:=1,>0的离心率为,4,3是上一点.直线的斜率
222
��
为-1,且与交于,两点.
��−������
(1)求的方�程;��
�
(2)若=36,求的方程;
(3)证� 明 � :⋅� � 的外接圆�的圆心在定直线上.
7
【解】(1)△记��2�=2+2,则=�,1分
2
�
��22
设=7,=2�,>�0则2=32,的方程为:=2,
43
��
因为�点�4,�3在�C上�,所以2�=1,�.2分�−�
即2=�4,2=3,�
22
所以�双曲线�的方程为=1..4分
43
��
(2)不妨设直线�的方程为−=+,1,1,2,2,
=+
所以�,故2�−8�+4��2+�12�=0�,��
3242=12
�−��
22�−��2�
所以=�−8�44+12=481>0,即<1,或>1,
2
1+Δ2=8−,�12−=4�+12,6分�−�−�
��=��1�4,1�324,23=1424+1+3
2
=2+11+2+16+3
+ 3 12 =242+12+
��⋅2���−=2�42−+16⋅+�16−+�−32�−�−−��−⋅
��−�−���−
1−8�+�1−6+32 =214+49.8分�−�−
��−
所以�214+�4−9=36,解�得−=�1(舍),或=13,
故所求�直−线�的方程为+�13=0.10�分
+34+444
(3)方法一由题�意的中�垂�线−为:1=11,=1+1
23233
��1−��1−�1−
242
+4+3416+3419+3477
1+1=1��+1+1 �=−1−+�3−�+−1=1�−+�−�+�,−×
22323232323612
���1−�−1��1−�1−��1−
�−�−477�−�−�−
同理的−中垂线�=2+−+,12�分−��
3622
�2−
47�7−
��=1+�−+,��
3612447
�121
联立−,消得=21,
247723136
�=−�−�+�2+,�−�−
2362
�−��−−�−��−�
2�4−�−1�4�7
得=+,
+3+3621
�2−�1−
−��−7−−2�1�−�7−��
即=,
3++32621
12−��1−�2
��−�−���−��−�
因为21,所以
2
�≠�71231+2+3
=
67
��−�−���
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