福建多校2025-2026学年高三上册期末数学试题（含解析）（含答案）

/高三数学考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。4.本卷命题范围：高考范围。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知i为虚数单位，若3−iz=−A.1+3B.1−3C.−1−3D.−1+32.已知抛物线C：y2=4xA.4B.6C.2D.23.印刷电路板（PCB）是支撑数字产业的核心组件，中国在全球已形成显著竞争优势。某机构调研得到2021—2025年度中国PCB市场规模（单位：千亿元）依次为3.88，3.84，4.16，4.46，4.71，则这5个数据的40%分位数是A.4.00B.4.02C.3.84D.3.884.若向量a=(−1,2)，b−a=(3,0)，记θ=⟨A.−B.10C.−D.45.已知正数x，y满足x+y=A.7B.9C.6D.86.在∆ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c。若a=4，A=π3A.16B.20C.20D.807.已知正四面体ABCD各条棱的中点都在球O的表面上，则球O的表面积与该正四面体的表面积之比为A.3π9 C.3π36 8.若函数f(x)=aex+bx2存在极大值点A.ae+b<0C.2a+b二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9.已知集合M={1,2}，若集合N满足M∩NA.{x|xC.{y|y10.若(−1+xA.∑B.ai≤a3（i=0，1，2，3C.从a0，a1，⋯，D.从a0，a1，a2，⋯，a7这8个数中任取3个，这三个数的和等于a0，a1，11.已知定义域与值域均为ℝ的函数f(x)满足∀x1A.fB.∑C.∃k∈ℝD.∃k∈ℝ，三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知2a=3，3b=5，用a，13.已知双曲线C:x2a2−y2b2=1（a>0，b>0），记c=a2+14.若函数f(x)=||a|+四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.（本小题满分13分）已知数列{an}的前n（1）证明：{a（2）若a3，13S3分别是等差数列{b16.（本小题满分15分）已知椭圆C:x2a2（1）求椭圆C的标准方程；（2）设直线l:y=x+m(m>0)与椭圆C相交于A，B17.（本小题满分15分）如图，四棱锥E−ABCD的底面ABCD是边长为4的正方形，EF∥AB，∆BCE是正三角形，BF=5，三棱锥（1）求证：平面ABE⊥平面BCE（2）求直线CF与平面ADE所成角的正弦值。18.（本小题满分17分）春节期间，某商家开展购物抽奖活动，部分活动规则如下：在一个不透明的抽奖箱中放入n(n≥2,（1）若n=10，m（ⅰ）在顾客甲抽中“恭喜中奖”卡片的前提下，顾客甲抽中“谢谢参与”卡片的概率；（ⅱ）设顾客甲获得的精美礼品的份数为X，求X的分布列与方差；（2）商家根据购物次序给每位顾客编号，编号的个位数字是8的顾客的抽取规则如下：顾客每次抽取1张卡片，抽到“谢谢参与”卡片就放回奖箱，继续抽取，抽中“恭喜中奖”卡片就停止抽取，赠送精美礼品1份，如果抽取n次仍然没有抽到“恭喜中奖”卡片，那么停止抽取，顾客不能获得精美礼品。若顾客乙编号的个位数字是8，记顾客乙抽取的次数是Y，求Y的数学期望。19.（本小题满分17分）已知函数f(（1）求曲线y=f(（2）设t>0，证明：对任意s∈(−t（3）若数列{xn}满足f高三数学参考答案、提示及评分细则1.A由3−iz=−2.D由抛物线的定义，得|PF|=x+1=3，解得x=23.B因为5×40%=2，故这5个数据的40%分位数是将数据从小到大排列后第2个数据（3.88）与第3个数据（4.16）的平均数为4.02。故选B。4.C由题意，得b=(−1,2)+(3,0)=(2,2)，所以cosθ=a5.B由x+y=xy，得1x+16.C由bsinB=csinC=432，得sinB=387.D设正四面体的棱长为2a，则表面积为S1=4×34·(2a)2=43a28.B由题意知f'(x)=aex+2bx=0有两个实数根x1，x2，显然ab≠0，所以xex=−a2b，令g(x)=xex，则g'(x)=1−xex，x<1时，g'(x)>0；x>1时，g'(x)<0，所以g(x)的单调递增区间为(−∞,1)，单调递减区间为(1,+∞)，g(1)=1e，又g(0)=0，所以方程xex=−a2b有两个解x1，x2时，0<−a2b<1e，由x1，x2分别是9.BC对于A，N={x|0≤x≤1}，则M∩N={1}，不满足题意；对于B，N={0,−2}，则M∩N10.BCD通项Tr+1=C7r(−1)7−rxr，所以ar=C7r(−1)7−r（r=0，1，⋯，7），得|ar|=C7r，所以∑r=17|ar|=C71+C72+⋯+C77=27−1=127，故A错误；由ar=C7r(−1)7−r，得a5=C75(−1)2=35，a4=C7411.ACD因为∀x1,x2∈R,f(f(x1−x2))=f(2x1)+f(−2x2)−1，取x1=x2=0，得f(f(0))=2f(0)−1，即f(−1)=−3D正确，故选ACD.12.ab1+ab由2a=3，3b=5，得a13.1+52由题意，知PQ过C的右焦点F，且PQ⊥OF，易求得|PF|=b2a，由|PQ|=2|OP|，得∆14.−29,23①当|a|≥1时，f(x)=2|a|−a−23，若a≥1，则f(x)=a−23>0；若a≤−1，则f(x)=−3a−23≥3−23>0，故当|a|≥1时，f(x)没有零点；②当|a15.（1）证明：因为Sn=3−3an，所以Sn+1=3−3an+1，1分

两式相减，得an+1=3−3an+1−(3−3an)=3an−3（2）解：由（1）得an=34×34n−1=34n，8分

b1=a316.解：（1）因为椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的短轴长为2，

所以有2b=2⇒（2）将直线方程与椭圆方程联立：{x24+y2=1,y=x+m,

化简得：5x2+8mx+4(m2−1)=0，7分

因为直线l:y=点O到直线l的距离d=m2，所以S∆OAB由S∆OAB=即m2(5−m2)=4所以实数m的值是1或2。⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯15分17.（1）证明：在正方形ABCD中，AB⊥BC，设AB与平面BCE所成的角为因为EF∥AB，所以EF与平面BCE所成的角也是所以A到平面BCE的距离为ABsinα，F到平面BCE的距离为EFsinα。⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分连接AC，因为V四棱锥E−ABCD由题意知23ABsinα·S∆BCE×又BE=4，BF=5，所以BE2+因为EF∥AB，所以又AB⊥BC，BC∩BE=B，BC，BE⊂平面BCE因为AB⊂平面ABE，所以平面ABE⊥平面BCE。（2）解：由（1）知AB⊥平面BCE，AB⊂平面所以平面BCE⊥平面ABCD。⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯分别取BC，AD的中点O，G，连接OE，OG。因为∆BCE是正三角形，O是BC边的中点，所以EO又平面BCE⊥平面ABCD，平面BCE∩平面ABCD=BC，所以OE⊥平面ABCD，则OB，OG，OE两两垂直。以O为原点，直线OB，OG，OE别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(2,4,0)C(−2,0,0)，D(−2,4,0)，E(0,0,2所以AD→=(−4,0,0)，AE→=(−2,−4,23设平面ADE的一个法向量n=({n⋅令y=3，解得x=0，z=2，所以设直线CF与平面ADE所成的角为θ，则sinθ=所以直线CF与平面ADE所成角的正弦值为2135。⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯18.解：（1）（Ⅰ）记顾客甲抽中“恭喜中奖”卡片为事件A，顾客甲抽中“谢谢参与”卡片为事件B，则P(A)=所以P(即在顾客甲抽中“恭喜中奖”卡片的前提下，顾客甲抽中“谢谢参与”卡片的概率为1617。⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（Ⅱ）由题意知X的可能取值为0，1，2，则P(X=0)=C2X的分布列为X012P28161⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分所以E(X)=0×D(X)=（2）由题意知Y的可能取值为1，2，3，⋯，n，则P(Y=k)=P(Y=所以E(Y)=设Tn−1则n−两式相减，得m=1−所以Tn−1=所以E=nm−（1）解：因为f'(x)=所以f'(a)=所以曲线y=f(x)在x（2）证明：因为a>0，所以x<0时，f'(x>0时，f'(x)>0，因为s∈(−t,t)若0≤s<t，因为f(x)在若−t<s<0<t，因为f要证f(只要证f(−t)<设F(x)=则F'(所以F(x)在(0,+∞)上单调递增，所以F故f(s)<（3）证明：由（2）知，f(x)在(0,+