2023一模分类汇编-计数原理与概率分布专题汇编（原卷版）

计数原理与概率分布

1计数原理，二项式定理

1.（2023西城一模04）在（工-55的展开式中，x的系数为

X

A.40B.10C.-40D.-10

2.（2023东城一模12）在。+与6的展开式中，./的系数为60,则实数〃=.

X

3.（2023石景山--模13）若（X+亲）"的展开式中含有常数项，则正整数〃的一个取值为

45632

4.（2023海淀一。模05）若（x-1）“=a4x+a^x+a2x+qx+%,则%-4+/一4=

A.-lB.lC.15D.16

5.（2023朝阳一模03）设（1+.M）"=/++…+a"x",若生=%，则〃=

A.5B.6C.7D.8

6.（2023丰台一模13）从-2,-1,1,2,3这5个数中任取2个不同的数，记”两数之积为正数”

为事件A，”两数均为负数”为事件“，则。（可人）=.

2概率分布列

1.（2023东城一模17）甲、乙两名同学积极参与体育锻炼，对同一体育项目，在一段时间内

甲进行了6次测试，乙进行了7次测试.每次测试满分均为100分，达到85分及以上为优秀.

两位同学的测试成绩如下表：

欠数

同番、第一次第二次第三次第四次第五次第六次第七次

甲807882869593—

乙76818085899694

（I）从甲、乙两名同学共进行的13次测试q」随机选取•次，求该?k测试成绩才已过90分的

概率；

（II）从甲同学进行的6次测试中随机选取4次，设X表示这4次测试成绩达到优秀的次

数，求X的分布列及数学期望EX：

（III）从乙同学进行的7次测试中随机选取3次，设y表示这3次测试成绩达到优秀的次

数，试判断数学期望C与（H）中£¥的大小.（结论不要求证明）

2.（2023石景山一模17）某高校“植物营养学专•业”学生将鸡冠花的株高增量作为研究对

象，观察长效肥和缓释肥对农作物影响情况.其中长效肥、缓释肥、未施肥三种处理下的鸡

冠花分别对应1,2,3三组.观察一段时间后，分别从1,2,3三组随机抽取40株鸡冠花作为样本,

得到相应的株高增量数据整理如卜.表.

株高增量（单位：厘米）(4,7](7.10](10,13](13,16]

第1组鸡冠花株数92092

第2组鸡冠花株数416164

第3组鸡冠花株数1312132

假设用频率估计概率，且所有鸡冠花生长情况相互独立.

（I）从第1组所有鸡冠花中各随机选取1株，估计株高增量为（7,10］厘米的概率：

（II）分别从第I组，第2组，第3组的所有鸡冠花中各随机选取1株，记这3株鸡冠花中

恰有X株的株高增量为（7,10］厘米，求X的分布列和数学期望EY；

（III）用”=1"表示第十组鸡冠花的株高增量为（4,10］,“阿=0”表示第2组鸡冠花的株

高增量为（10,16］原米，4=1,23,直接写出方差。晶,@、的大小关系.（结论小要求证明）

3.（2023朝阳•模18）某地区组织所有高一学生参加了“科技的力量”主题知识竞答活动,

根据答题得分情况评选出一二三等奖若干.为了解不同性别学生的获奖情况，从该地区随机

抽取了500名参加活动的高一学生，获奖情况统计结果如下：

获奖人数

性别人数

一等奖二等奖三等奖

男生200101515

女生300252540

假设所有学生的获奖情况相互独立.

（I）分别从上述200名男牛和300名女生中各随机抽取1名，求抽到的2名学生都获一等

奖的概率：

（H）用频率估计概率，从该地区高一男生中随机抽取1名，从该地区高一女生中随机抽取

1名，以X表示这2名学生中获奖的人数，求X的分布列和数学期望欧；

（山）用频率估计概率，从该地区高一学生中随机抽取1名，设抽到的学生获奖的概率为

P。:从该地区高一男生中随机抽取1名，设抽到的学生获奖的概率为A:从该地区高一女生

中随机抽取1名，设抽到的学生获奖的概率为2,试比较P。与"包的大小.（结论不要求

证明）

4.（2023西城一模17）根据《国家学生体质健康标准》，岛三男生和女生立定跳远单项等级

如下（单位:cm）：

立定跳远单项等级高三男生高三女生

优秀260及以上194及以上

良好245〜259180~193

及格205~244150-179

不及格204及以下149及以下

从某校高三男生和女士中名随机抽取12名同学，将其立定跳远测试成绩整理如下（精

确到1cm）：

男生：180205213220235245250258261270275280

女生：148160162169172184195196：96197208220

假设用频率估计概率，且每个同学的测试成绩相互独立.

（I）分别估计该校高三男生和女生立定跳远单项的优秀率；

（H）从该校全体高三男生中随机抽取2人，全体高三女生中随机抽取I人，设X为这3人

中立定跳远单项等级为优秀的人数，估计X的数学期望改：

（III）从该校全体高三女生中随机抽取3人，设“这3人的立定跳远单项既有优秀，又有其

它等级”为事件A,“这3人的立定跳远单项至多有1个是优秀”为事件B.判断A与〃是否

相互独立.（结论不要求证明）

5.（2023海淀一模18）网购生鲜蔬菜成为很多家庭日常消费的新选择.某小区物业对本小区

三月份参与网购生鲜蔬菜的家庭的网购次数进行调查，从一单元和二单元参与网购生鲜蔬菜

的家庭中各随机抽取10户，分别记为人组和区组，这20户家庭三月份网购生鲜蔬菜的次数

如下图：

A组8组

9805

87531124

9621478

03359

假设用频率估计概率，目.各户网购生鲜蔬菜的情况互不影响.

（I）从一单元参与网购生鲜蔬菜的家庭中随机抽取1户，估计该户三月份网购生鲜蔬菜次

数大于20的概率；

（II）从一单元和二单元参与网购生鲜蔬菜的家庭中各随机抽取I户，记这两户中三月份网

购生鲜蔬菜次数大于20的户数为X,估计X的数学期望E（X）：

（HI）从A组和B组中分别随机抽取2户家庭，记。为A组中拍取的两户家庭三月份网购生

鲜蔬菜次数大于20的户数，△为8组中抽取的两户家庭三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的

户数，比较方差D©）与。低）的大小.（结论不要求证明）

6.(2023丰台一模18)交通拥堵指数(TPI)是表征交通拥堵程度的客观指标，TPI越大代

表拥堵程度越高.某平台计算TPI的公式为：丁巴=契粤粤，并按TPI的大小将城市

畅通行程时间

道路拥堵程度划分为如卜.表所示的4个等级:

TPI[1,1.5)[1,5,2)[2,4)不低于4

拥堵等级畅通缓行拥堵