2025-2026学年下学期重庆八中高三数学3月月考六试卷（含解析）

数学试卷注意事项:1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.2.每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.3.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分,考试用时120分钟.一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)图11.已知全集为U,集合A和集合B如图1所示,则图中阴影部分可表示为A.∁B.∁C.AD.∁2.设等比数列an的前n项和为Sn,若S4=A.24B.32C.36D.1083.已知平面向量a,b为单位向量，且a⊥b，若cA.12B.55C.4.瑞士著名数学家欧拉在1765年证明了定理:三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上,这条直线被称为三角形的“欧拉线”.在平面直角坐标系中作△ABC,使AB=AC,点B3,−1,点C−1,3,而且其“欧拉线”与圆EA.42B.32C.25.具有相关关系的变量x与y的一组样本数据如下,若已求得线性回归方程为y=2.2x+4.4,则去掉其中某对样本数据x,y(参考公式:相关系数r=x12345y610111216A.1,6B.2,106.随着社会经济的高速发展和科技的不断进步，人类享受到了前所未有的生活便利.但与此同时，人类的生产生活活动也导致垃圾数量快速上升,尤其是难以降解的塑料垃圾,对地球环境造成了不可忽视的影响.已知某种塑料垃圾自然分解率v随时间t(年)的关系式近似满足v=1−m⋅n′(m,n为常数，t∈[0A.60B.65C.70D.75如图2所示,对两行三列共6个相邻的格子进行染色,每个格子均可从红、蓝两种颜色中选择一种,要求有公共边的两个格子不能都染红色,则满足要求的染色方法共有图2A.20种B.19种C.18种D-17种8.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a+A.65B.C.95D.二、多项选择题(本大题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)9.已知随机事件A,B,C满足A.事件A,BB.P6.若PAC=PAD.若PC∣A+10.如图3，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点P图3A.异面直线AB1与BC1B.A1P与平面AB1C.点P的运动轨迹长度为2D.点P到平面ABCD距离的取值范围是211.已知从双曲线的一个焦点发出的光线,经过双曲线反射后,反射光线的反向延长线会经过另一个焦点,记双曲线C:x29−y216=1x≥3的左、右焦点分别为F1,F2,右顶点为A,点P是双曲线右支上异于A的动点,以P为切点作C的切线l,过F1作l的垂线,垂足为H,一条从点A切线l平分∠B.OHC.Q点横坐标的取值范围为7D.若M,N两质点以相同的速度沿不同的方向从F1同时出发，经双曲线右支反射后，M,N三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)12.某中学有2000名学生参加考试,考试后数学成绩X近似服从正态分布N100,σ2,若P13.若log4a2+b214.若关于x的方程xeax+e−ax=x四、解答题(共77分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)15.(本小题满分13分)已知函数fx=2sinωx(1)若α∈π12,π3，f(2)将函数fx的图象向右平移π12个单位，再向上平移1个单位，得到的图象对应函数记为gx,求函数y=gx16.(本小题满分15分)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的离心率e=(1)求椭圆C和圆M的标准方程；(2)设斜率为kk>0的直线l与椭圆C交于P,Q两点，N为线段PQ的中点，点N在圆M上，且满足ON⊥17.(本小题满分15分)已知fx=−2x3(1)若a=2，求函数y=fx(2)若对任意的x1∈3,+∞，总存在x2∈2,+∞，使得18.(本小题满分17分)球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科.如图4,球O的半径为3,A,B,C为球面上三点,劣弧BC的弧长记为a.设Oa表示以O为圆心,且过B,C的圆,同理,圆Ob,Oc(1)若平面OAB、平面OAC、平面OBC两两垂直，求球面三角形ABC的面积(直接写出答案，无需证明);(2)若平面三角形ABC为直角三角形,AC⊥BC,设∠(i)求证:cosθ(ii)延长AO与球O交于点D,若直线DA,DC与平面ABC所成的角分别为π4,π3,BE=λBD,λ∈(0,1],S为AC的中点，T为BC的中点，设平面OBC与平面EST图419.(本小题满分17分)设有穷数列an:a1,a2,a3,⋯,ann≥2,n∈(1)若“8阶-4数列”:a1,a2,(2)设“n阶一-t数列”满足a1(i)记该“n阶一-t数列”的前r项和为Sr1≤r≤n.证明:数列Sn:S1,(ii)证明:na数学参考答案一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)题号12345678答案ABACCBDD1.在阴影部分区域中任取一个元素x,则x∈∁UA且x∈B,或x∈∁UA∩B且2.∵等比数列an的前n项和为Sn,S4=4,S8=12,由等比数列的性质得:S43.由向量a,b为单位向量,又a⊥b,知a⋅b=0,a=b=1.因为c=a+2b,则c4.在△ABC中，AB=AC，所以BC边上的高线、垂直平分线和中线合一，则其“欧拉线”为△ABC边BC的中垂线AD,因为B3,−1,C−1,3,所以D1,1.∵kBC=−1,∴kAD=1,故5.注意样本点(3,11)恰好在回归直线上,去掉这个样本点,x与y的样本相关系数r不变,故选C.6.当t=0时,v=0,即0=1−m,所以m=1,v=1−nt.又110=7.记6个格子中染蓝色的格子数为X.当X=6时,共有1种染色方法;当X=5时,共有C65=6种;当X=4时,共有C68.因为C=B+2A,A+B+C=π,所以B=π−3A2,C=π+A2,且0<A<π3.由正弦定理得asinA=bsinB=csinC,所以csinC=a+bsinA+sinB.因为a二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)题号91011答案ACDBCDACD9.随机事件A,B,C满足PA=13,PB=12,PC=13,PA∪B=23.对于A,由概率加法公式得23=13+12−PAB,解得PAB=PAPB=16,故A正确;对于B,PA∣B=PABPB=13,PB∣A=P10.如图1,在正方体ABCD−A1B1C1D1中,由AB=C1D1,AB//C1D1,得四边形ABC1D1为平行四边形,可得BC1//AD1,∴∠B1AD1为异面直线AB1与BC1所成的角，∠B1AD1=π3，故A错误；由已知可得,A1C=23,由正方体的结构特征可知,A1C⊥平面AB1D1,设垂足为G,A1G=13A1C=233,点P在△AB1D1内且A1P=2,∴PG=2−43=63，故A1P与平面AB1D1所成的线面角的正切值为2，故B正确；而正三角形AB1D1内切圆的半径为6图111.如图2,由题可知,F1发出的光线经l反射后,反射光线的反向延长线经过点F2,所以∠F1PH=∠MPN=∠F2PH,所以切线l平分∠F1PF2,故A正确;由选项A,切线l平分∠F1PF2,且F1H⊥PH,故△F1PQ为等腰三角形,且H是底边F1Q的中点,即F1H=QH,且H是底边F1Q的中点,又O为F1F2的中点,所以OH=12QF2.由双曲线定义可知,PF1−PF2=6,由△F1PQ为等腰三角形可知，PF1=PQ，因此PQ−PF2=QF2=6，所以OH=12QF2=3，故B错误;由QF图2三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)题号121314答案3002−12.因为X∼N100,σ2,且P80≤X≤100=0.35,所以P8013.log4a2+b2−1=log2ab,14.易知x>0,方程xeax+e−ax=x2+1⇔eax+1eax=x+1x.设fx=x+1xx>0,则feax =fx.且fx四、解答题(共77分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)15.(本小题满分13分)解:(1)∵函数fx的最小正周期为π∴ω=由fα=65，即2sin∵α∈∴2cos2α−(6分)(2)由(1)知，fx=其图象向右平移π12个单位后得到的图象对应函数为y=2sin2x−π即gx=当x∈−π6,令t=2x−π3,t∈−2π3,π3∴sin−π2≤sint故函数y=gx在−π6,16.(本小题满分15分)解:(1)由e2=1−b又点2,12在椭圆C，所以解得a2=故椭圆C的标准方程为x25圆M的标准方程为x−1(2)设Px1,y1,则有x125+4又x1+x2=(9分)Nx0,y0在圆M又ON⊥所以x0x由①、②解得x0=将中点N12,±12所以存在满足条件的点N.(13分)中点N12,±12代入x0+4k又因为k>0,所以k17.(本小题满分15分)解:(1)因为a=则f1故点1,0处的切线方程为即2x+y(2)f′x−∞,00aaf-0+0-f递减0递增f递减所以fx的单调增区间是0,a3,单调减区间是−∞,0(6分)由f0=fa2=0知,当x∈0,a2因为对于任意的x1∈3,+∞,总存在x2当fx1=0时,不成立,故fx1≠0,所以设A={fx∣x(9分)下面分两种情况讨论:情形一:当a2<2,即a<4时,有f2故B=2f2,0(12分)情形二:当2≤a2≤3,即4≤a≤6时,有f由4≤a≤6,得43≤a3≤2,又fx当fx∈−∞,f2因此有B=−∞,0∪2f综上,a的取值范围为4,618.(本小题满分17分)(1)解:若平面OAB，OAC，OBC两两垂直时，球面三角形ABC面积为整个球面面积的18故S球面△(2)(i)证明:由余弦定理有AC2=R2+R2−2R2cosθ(ii)解:由AD是球的直径,则AB⊥BD,AC⊥所以AC⊥平面BCD,则AC⊥BD,所以BD⊥平面由直线DA,DC与平面ABC所成的角分别为所以∠DAB由R=3，则AD=23，AB=BD=6由AC⊥以C为坐标原点,以CB,CA所在直线为x,y轴,过点C作BD的平行线为z设BE=则S0,设平面OBC的法向量为m=图3则m⋅CB=2x=0,m所以m=0设平面EST法向量n=则n⋅ST=22x−y=所以n=2要使sinθ≤155所以令cosθ即6t2−46t作OO′平行于AC交DC于O′,显然O点到平面AEC的距离即为O′到平面AEC的距离,即为O′到EC的距离,故当t=236时,O点到平面在平面AEC中,CE=2,0,球心O到平面AEC距离为d=AO设平面AEC